Bac S 2016 Métropole Correction © http://labolycee.org EXERICE III- COUCHER DE SOLEILS SUR TATOOINE (5 points) 1. Les étoiles Tatoo1 et Tatoo2 1.1. Le texte nous dit que la distance entre Tatoo1 et Tatoo2 est légèrement supérieure à 10 millions de km : on prendra cette valeur par la suite. On peut mesurer sur la photo que le diamètre (soit 2 r) d’une étoile est 6 mm et que la distance d entre les étoiles est 19 mm en partant des « coins » supérieurs gauches. Par proportionnalité : 2r 6 mm d = 10 Millions de km 19 mm d 10 × 6 10 × 6 donc r = = 1,57 millions de km. 19 19 × 2 Ce qui compte tenu du manque de précision peut être effectivement considéré comme proche de 2 millions de km. Ainsi : 2r = 2r 1.2. En supposant que les étoiles ont la même masse volumique que le Soleil : M MSOLEIL MTATOO ρSOLEIL = SOLEIL = = ρTATOO = 4 3 4 3 VSOLEIL π rSOLEIL πr 3 3 TATOO MSOLEIL MTATOO Ainsi = = 4 3 4 3 π rSOLEIL πr 3 3 TATOO 4 3 3 π rTATOO rTATOO 3 Donc MTATOO = MSOLEIL × = MSOLEIL × 4 3 rSOLEIL π rSOLEIL 3 On prend la valeur de 2 millions de kilomètres indiquée. 3 2 × 106 MTATOO = 2,0 × 10 × = 4,7 × 1031kg , soit un ordre de grandeur de 1031 kg. 5 7,0 × 10 M 4, 66 × 1031 Le Soleil a une masse MSOLEIL = 2,0 × 1030 kg, ainsi TATOO = = 23 MSOLEIL 2, 0 × 1030 Les étoiles TATOO sont environ 23 fois plus massives que le Soleil. 30 2. Tatooine en orbite 2.1. D’après le texte, « du point de vue de l’étoile, tout se passe comme si les étoiles ne faisaient qu’une ». On peut remarquer que les 2 étoiles ayant la même masse, il est cohérent de trouver une masse équivalente qui correspond (environ) au double de la masse trouvée pour une étoile à la question 1.2. 2.2. FT1− 2 /T Tatoo 1-2 RT Tatooine a 2.3. Méthode 1 : FT1− 2 /T n Tatoo 1-2 RT τ Tatooine a On étudie le système {Tatooine}, de masse MT, dans le référentiel Tatoocentrique supposé galiléen. Sa trajectoire est un cercle de rayon : RT. ( Le repère d’étude est le repère de Frénet T, n,τ ) d’origine le centre de la planète Tatooine T et de vecteurs unitaires n et τ . Tatooine est soumise à la force gravitationnelle exercée par Tatoo1-2 : FT1−2 /T = G. MT1−2 .MT .n . R2T La deuxième loi de Newton appliquée à Tatooine (avec MT constante) donne : FT1−2 /T = MT .a MT1−2 .MT M .n = MT .a donc a = G. T12− 2 .n 2 RT RT Dans le repère de Frénet, l’accélération d’un objet en mouvement circulaire s’écrit : dv v2 a= .τ + .n dt RT En égalant les deux expressions précédentes de l’accélération, il vient : M dv v2 G. T12−2 .n = .τ + .n RT dt RT Par identification, on a : M v2 = G. T12−2 (utile pour la question suivante) Sur n : RT RT dv Sur τ : = 0 alors v = Cte : le mouvement de Tatooine est uniforme dt soit G. Méthode 2 : Deuxième loi de Kepler Le rayon vecteur TO allant du centre T de Tatoo 1-2 au centre O de Tatooine balaye des surfaces égales pendant des intervalles de temps égaux. O1’ Les aires S1 et S2 sont égales. O1 O2 TO1' S1 TO2 O2’ S2 TO1 Tatoo Pendant la durée Δt, TO'2 1-2 ' Tatooine parcourt l’arc TO1O1 à la vitesse v1 v1 = TO1O1' ∆t Pendant cette même durée, Tatooine parcourt l’arc TO2O2' à la vitesse v2 v2 = TO2O2' ∆t D’après la deuxième loi de Kepler les aires S1 et S2 sont égales alors les arcs TO1O1' et TO2O2' sont égaux. Donc v1 = v2, le mouvement de Tatooine est uniforme. v2 M 2.4. Suite méthode 1 : D’après la question précédente : = G. T 12−2 RT RT donc v 2 = G. M MT 1− 2 ainsi v = G. T 1−2 . RT RT Tatooine ayant un mouvement circulaire et uniforme, elle décrit le périmètre 2π.RT pendant la 2π.RT 2π.RT donc T = durée d’une période T à la vitesse v telle que : v = T v 2π.RT En utilisant l’expression de v précédente : T = M G. T 1−2 RT T2 = 4π2 .RT 2 4π2 .RT 3 = MT 1−2 G.MT 1− 2 G. RT RT 3 T = 2π G.MT 1−2 On prend un rayon de 200 millions de km conformément au texte : ( 200 × 10 6 × 103 ) 3 7, 06 × 106 = 0, 22 année 6, 67 × 10−11 × 9, 5 × 1031 3600 × 24 × 365, 25 Une année sur Tatooine ne dure que 0,22 année terrestre. T = 2π = 7, 06 × 106 s = Méthode 2 : D’après la 3ème loi de Kepler : Le rapport du carré de la période de révolution par le cube du demi-grand axe de l'ellipse (ici du cube du rayon du cercle) est une constante qui ne dépend que du centre attracteur (ici Tatoo 1-2). T2 4π2 = RT 3 G.MT 1−2 4π ².(RT )3 RT 3 T= = 2π G.MT 1−2 G.MT 1−2 Calcul voir ci-dessus. Remarque : en toute rigueur la 3ème loi de Kepler ne donne pas l’expression de la constante. Compétences exigibles ou attendues : En noir : officiel (Au B.O.) En bleu : officieux (au vu des sujets de Bac depuis 2013) • Exprimer une masse volumique (2nde) • Connaître l’expression de la force d’interaction gravitationnelle (numérique et vectorielle avec un vecteur unitaire à rajouter sur un schéma). • Démontrer que, dans l’approximation des trajectoires circulaires, le mouvement d’un satellite, d’une planète, est uniforme. Établir l’expression de sa vitesse et de sa période.