Bac S 2015 Métropole Correction © http://labolycee.org EXERICE III

Bac S 2016 Métropole
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EXERICE III- COUCHER DE SOLEILS SUR TATOOINE (5 points)
1. Les étoiles Tatoo1 et Tatoo2
1.1. Le texte nous dit que la distance entre Tatoo1 et Tatoo2 est légèrement supérieure à
10 millions de km : on prendra cette valeur par la suite.
On peut mesurer sur la photo que le diamètre (soit 2 r) d’une étoile est 6 mm et que la distance d
entre les étoiles est 19 mm en partant des « coins » supérieurs gauches.
Par proportionnalité :
2r
6 mm
d = 10 Millions de km
19 mm
d
10  6
10  6
 1,57 millions de km.
donc r 
19
19  2
Ce qui compte tenu du manque de précision peut être
effectivement considéré comme proche de 2 millions de km.
Ainsi : 2r 
2r
1.2. En supposant que les étoiles ont la même masse volumique que le Soleil :
M
MSOLEIL
MTATOO
SOLEIL  SOLEIL 
 TATOO 
4 3
4 3
VSOLEIL
 rSOLEIL
r
3
3 TATOO
MSOLEIL
MTATOO
Ainsi
= 
4 3
4 3
r
 rSOLEIL
3 TATOO
3
4 3
3
 rTATOO
 rTATOO 
3
Donc MTATOO  MSOLEIL 
= MSOLEIL  

4 3
 rSOLEIL 
 rSOLEIL
3
On prend la valeur de 2 millions de kilomètres indiquée.
3
 2  106 
MTATOO  2,0  10  
 4,7  1031kg , soit un ordre de grandeur de 1031 kg.
5 
 7,0  10 
M
4, 66  1031
Le Soleil a une masse MSOLEIL = 2,0 × 1030 kg, ainsi TATOO 
= 23
MSOLEIL
2, 0  1030
Les étoiles TATOO sont environ 23 fois plus massives que le Soleil.
30
2. Tatooine en orbite
2.1. D’après le texte, « du point de vue de l’étoile, tout se passe comme si les étoiles ne faisaient
qu’une ».
On peut remarquer que les 2 étoiles ayant la même masse, il est cohérent de trouver une masse
équivalente qui correspond (environ) au double de la masse trouvée pour une étoile à la
question 1.2.
2.2.
FT1 2 /T
Tatoo 1-2
RT
Tatooine
a
2.3. Méthode 1 :
FT1 2 /T n
Tatoo 1-2
RT

Tatooine
a
On étudie le système {Tatooine}, de masse MT, dans le référentiel Tatoocentrique supposé
galiléen. Sa trajectoire est un cercle de rayon : RT.


Le repère d’étude est le repère de Frénet T, n, d’origine le centre de la planète Tatooine T et
de vecteurs unitaires n et  .
Tatooine est soumise à la force gravitationnelle exercée par Tatoo1-2 : FT12 /T  G.
MT12 .MT
.n .
R2T
La deuxième loi de Newton appliquée à Tatooine (avec MT constante) donne : FT12 /T  MT .a
MT12 .MT
M
.n  MT .a donc a  G. T122 .n
2
RT
RT
Dans le repère de Frénet, l’accélération d’un objet en mouvement circulaire s’écrit :
dv
v2
a
. 
.n
dt
RT
En égalant les deux expressions précédentes de l’accélération, il vient :
M
dv
v2
. 
.n
G. T122 .n 
dt
RT
RT
Par identification, on a :
M
v2
Sur n :
 G. T122 (utile pour la question suivante)
RT
RT
dv
 0 alors v = Cte : le mouvement de Tatooine est uniforme
Sur  :
dt
soit G.
Méthode 2 : Deuxième loi de Kepler
Le rayon vecteur TO allant du centre T de Tatoo 1-2 au centre O de Tatooine balaye des
surfaces égales pendant des intervalles de temps égaux.
O1’
Les aires S1 et S2 sont égales.
O1
O2
TO1' S1
TO 2
O2’
S2
TO1
Tatoo
Pendant la durée Δt,
TO '2
1-2
'
Tatooine parcourt l’arc TO1O1 à la vitesse v1
v1 =
TO1O1'
t
Pendant cette même durée, Tatooine parcourt l’arc TO2O2' à la vitesse v2
v2 =
TO2O2'
t
D’après la deuxième loi de Kepler les aires S1 et S2 sont égales alors les arcs TO1O1' et TO2O2'
sont égaux.
Donc v1 = v2, le mouvement de Tatooine est uniforme.
M
v2
2.4. Suite méthode 1 : D’après la question précédente :
 G. T 122
RT
RT
donc v 2  G.
MT 12
M
ainsi v  G. T 12 .
RT
RT
Tatooine ayant un mouvement circulaire et uniforme, elle décrit le périmètre 2.RT pendant la
2.RT
2.RT
durée d’une période T à la vitesse v telle que : v 
donc T 
T
v
2.RT
En utilisant l’expression de v précédente : T 
M
G. T 12
RT
T2 
42 .RT 2 42 .RT 3

MT 12 G.MT 12
G.
RT
RT 3
T  2
G.MT 12
On prend un rayon de 200 millions de km conformément au texte :
 200  10
6
 103 
3
7, 06  106
 0, 22 année
6, 67  10 11  9,5  1031
3600  24  365,25
Une année sur Tatooine ne dure que 0,22 année terrestre.
T  2
 7, 06  106 s 
Méthode 2 :
D’après la 3ème loi de Kepler : Le rapport du carré de la période de révolution par le cube du
demi-grand axe de l'ellipse (ici du cube du rayon du cercle) est une constante qui ne dépend que
du centre attracteur (ici Tatoo 1-2).
T2
4 2

RT 3 G.MT 12
4 ².(RT )3
RT 3
T=
= 2
G.MT 1 2
G.MT 12
Calcul voir ci-dessus.
Remarque : en toute rigueur la 3ème loi de Kepler ne donne pas l’expression de la constante.
Compétences exigibles ou attendues :
En noir : officiel (Au B.O.)
En bleu : officieux (au vu des sujets de Bac depuis 2013)
 Exprimer une masse volumique (2nde)
 Connaître l’expression de la force d’interaction gravitationnelle (numérique et vectorielle avec
un vecteur unitaire à rajouter sur un schéma).
 Démontrer que, dans l’approximation des trajectoires circulaires, le mouvement d’un satellite,
d’une planète, est uniforme. Établir l’expression de sa vitesse et de sa période.