Bac S 2016 Métropole
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EXERICE III- COUCHER DE SOLEILS SUR TATOOINE (5 points)
1. Les étoiles Tatoo1 et Tatoo2
1.1. Le texte nous dit que la distance entre Tatoo1 et Tatoo2 est légèrement supérieure à
10 millions de km : on prendra cette valeur par la suite.
On peut mesurer sur la photo que le diamètre (soit 2 r) d’une étoile est 6 mm et que la distance d
entre les étoiles est 19 mm en partant des « coins » supérieurs gauches.
Par proportionnalité :
2r
6 mm
d = 10 Millions de km
19 mm
d
10 × 6
10 × 6
donc r =
= 1,57 millions de km.
19
19 × 2
Ce qui compte tenu du manque de précision peut être
effectivement considéré comme proche de 2 millions de km.
Ainsi : 2r =
2r
1.2. En supposant que les étoiles ont la même masse volumique que le Soleil :
M
MSOLEIL
MTATOO
ρSOLEIL = SOLEIL =
= ρTATOO =
4 3
4 3
VSOLEIL
π rSOLEIL
πr
3
3 TATOO
MSOLEIL
MTATOO
Ainsi
= =
4 3
4 3
π rSOLEIL
πr
3
3 TATOO
4 3
3
π rTATOO
rTATOO
3
Donc MTATOO = MSOLEIL ×
= MSOLEIL ×
4 3
rSOLEIL
π rSOLEIL
3
On prend la valeur de 2 millions de kilomètres indiquée.
3
2 × 106
MTATOO = 2,0 × 10 ×
= 4,7 × 1031kg , soit un ordre de grandeur de 1031 kg.
5
7,0 × 10
M
4, 66 × 1031
Le Soleil a une masse MSOLEIL = 2,0 × 1030 kg, ainsi TATOO =
= 23
MSOLEIL
2, 0 × 1030
Les étoiles TATOO sont environ 23 fois plus massives que le Soleil.
30
2. Tatooine en orbite
2.1. D’après le texte, « du point de vue de l’étoile, tout se passe comme si les étoiles ne faisaient
qu’une ».
On peut remarquer que les 2 étoiles ayant la même masse, il est cohérent de trouver une masse
équivalente qui correspond (environ) au double de la masse trouvée pour une étoile à la
question 1.2.
2.2.
FT1− 2 /T
Tatoo 1-2
RT
Tatooine
a
2.3. Méthode 1 :
FT1− 2 /T n
Tatoo 1-2
RT
τ
Tatooine
a
On étudie le système {Tatooine}, de masse MT, dans le référentiel Tatoocentrique supposé
galiléen. Sa trajectoire est un cercle de rayon : RT.
(
Le repère d’étude est le repère de Frénet T, n,τ
) d’origine le centre de la planète Tatooine T et
de vecteurs unitaires n et τ .
Tatooine est soumise à la force gravitationnelle exercée par Tatoo1-2 : FT1−2 /T = G.
MT1−2 .MT
.n .
R2T
La deuxième loi de Newton appliquée à Tatooine (avec MT constante) donne : FT1−2 /T = MT .a
MT1−2 .MT
M
.n = MT .a donc a = G. T12− 2 .n
2
RT
RT
Dans le repère de Frénet, l’accélération d’un objet en mouvement circulaire s’écrit :
dv
v2
a=
.τ +
.n
dt
RT
En égalant les deux expressions précédentes de l’accélération, il vient :
M
dv
v2
G. T12−2 .n =
.τ +
.n
RT
dt
RT
Par identification, on a :
M
v2
= G. T12−2 (utile pour la question suivante)
Sur n :
RT
RT
dv
Sur τ :
= 0 alors v = Cte : le mouvement de Tatooine est uniforme
dt
soit G.
Méthode 2 : Deuxième loi de Kepler
Le rayon vecteur TO allant du centre T de Tatoo 1-2 au centre O de Tatooine balaye des
surfaces égales pendant des intervalles de temps égaux.
O1’
Les aires S1 et S2 sont égales.
O1
O2
TO1' S1
TO2
O2’
S2
TO1
Tatoo
Pendant la durée Δt,
TO'2
1-2
'
Tatooine parcourt l’arc TO1O1 à la vitesse v1
v1 =
TO1O1'
∆t
Pendant cette même durée, Tatooine parcourt l’arc TO2O2' à la vitesse v2
v2 =
TO2O2'
∆t
D’après la deuxième loi de Kepler les aires S1 et S2 sont égales alors les arcs TO1O1' et TO2O2'
sont égaux.
Donc v1 = v2, le mouvement de Tatooine est uniforme.
v2
M
2.4. Suite méthode 1 : D’après la question précédente :
= G. T 12−2
RT
RT
donc v 2 = G.
M
MT 1− 2
ainsi v = G. T 1−2 .
RT
RT
Tatooine ayant un mouvement circulaire et uniforme, elle décrit le périmètre 2π.RT pendant la
2π.RT
2π.RT
donc T =
durée d’une période T à la vitesse v telle que : v =
T
v
2π.RT
En utilisant l’expression de v précédente : T =
M
G. T 1−2
RT
T2 =
4π2 .RT 2 4π2 .RT 3
=
MT 1−2 G.MT 1− 2
G.
RT
RT 3
T = 2π
G.MT 1−2
On prend un rayon de 200 millions de km conformément au texte :
( 200 × 10
6
× 103 )
3
7, 06 × 106
= 0, 22 année
6, 67 × 10−11 × 9, 5 × 1031
3600 × 24 × 365, 25
Une année sur Tatooine ne dure que 0,22 année terrestre.
T = 2π
= 7, 06 × 106 s =
Méthode 2 :
D’après la 3ème loi de Kepler : Le rapport du carré de la période de révolution par le cube du
demi-grand axe de l'ellipse (ici du cube du rayon du cercle) est une constante qui ne dépend que
du centre attracteur (ici Tatoo 1-2).
T2
4π2
=
RT 3 G.MT 1−2
4π ².(RT )3
RT 3
T=
= 2π
G.MT 1−2
G.MT 1−2
Calcul voir ci-dessus.
Remarque : en toute rigueur la 3ème loi de Kepler ne donne pas l’expression de la constante.
Compétences exigibles ou attendues :
En noir : officiel (Au B.O.)
En bleu : officieux (au vu des sujets de Bac depuis 2013)
• Exprimer une masse volumique (2nde)
• Connaître l’expression de la force d’interaction gravitationnelle (numérique et vectorielle avec
un vecteur unitaire à rajouter sur un schéma).
• Démontrer que, dans l’approximation des trajectoires circulaires, le mouvement d’un satellite,
d’une planète, est uniforme. Établir l’expression de sa vitesse et de sa période.
