Bac S 2016 Métropole Correction © http://labolycee.org
EXERICE III- COUCHER DE SOLEILS SUR TATOOINE (5 points)
1. Les étoiles Tatoo1 et Tatoo2
1.1. Le texte nous dit que la distance entre Tatoo1 et Tatoo2 est légèrement supérieure à
10 millions de km : on prendra cette valeur par la suite.
On peut mesurer sur la photo que le diamètre (soit 2 r) d’une étoile est 6 mm et que la distance d
entre les étoiles est 19 mm en partant des « coins » supérieurs gauches.
Par proportionnalité : 2 r 6 mm
d = 10 Millions de km 19 mm
Ainsi :
10 6
2
19
r
×
= donc 10 6
1,57
19 2
r
×
= =
× millions de km.
Ce qui compte tenu du manque de précision peut être
effectivement considéré comme proche de 2 millions de km.
1.2.
En supposant que les étoiles ont la même masse volumique que le Soleil :
SOLEIL 3
4
3
SOLEIL SOLEIL
SOLEIL
SOLEIL
M M
Vr
= =
ρπ
TATOO 3
4
3
TATOO
TATOO
M
r
= =
ρπ
Ainsi
3
4
3
SOLEIL
SOLEIL
M
r
π
=
3
4
3
TATOO
TATOO
M
r
π
=
Donc
3
TATOO 3
4
3
4
3
TATOO
SOLEIL
SOLEIL
r
M M r
= ×
π
π
=
3
TATOO
SOLEIL SOLEIL
r
Mr
×
On prend la valeur de 2 millions de kilomètres indiquée.
3
6
30 31
5
2 10
2,0 10 4,7 10 kg
7,0 10
TATOO
M
×
= × × = ×
×
, soit un ordre de grandeur de
10
31
kg
.
Le Soleil a une masse MSOLEIL = 2,0 × 1030 kg, ainsi
31
30
4 66 10
2 0 10
TATOO
SOLEIL
M,
M , ×
=× = 23
Les étoiles TATOO sont environ 23 fois plus massives que le Soleil.
2. Tatooine en orbite
2.1.
D’après le texte, « du point de vue de l’étoile, tout se passe comme si les étoiles ne faisaient
qu’une ».
On peut remarquer que les 2 étoiles ayant la même masse, il est cohérent de trouver une masse
équivalente qui correspond (environ) au double de la masse trouvée pour une étoile à la
question
1.2.
2.2.
d
2r
RT
Tatoo 1-2
Tatooine
1 2
T /T
F
−
a
2.3. Méthode 1 :
On étudie le système {Tatooine}, de masse M
T
, dans le référentiel Tatoocentrique supposé
galiléen. Sa trajectoire est un cercle de rayon : R
T
.
Le repère d’étude est le repère de Frénet
(
)
T, ,
n
τ
d’origine le centre de la planète Tatooine T et
de vecteurs unitaires
n
et
τ
.
Tatooine est soumise à la force gravitationnelle exercée par Tatoo1-2 :
1 2
T1 2 T
T /T 2
T
M .M
F G. .n
R
−
−
=
.
La deuxième loi de Newton appliquée à Tatooine (avec M
T
constante) donne :
1 2
T /T T
F M .a
−
=
soit
T1 2 T T
2
T
M .M
G. .n M .a
R
−
=
donc
T1 2
2
T
M
a G. .n
R
−
=
Dans le repère de Frénet, l’accélération d’un objet en mouvement circulaire s’écrit :
. .
2
T
dv v
a n
dt R
= +
τ
En égalant les deux expressions précédentes de l’accélération, il vient :
T1 2
2
T
M
G. .n
R
−
. .
2
T
dv v
n
dt R
= +
τ
Par identification, on a :
Sur
n
:
2
T1 2
2
T T
M
vG.
R R
−
= (utile pour la question suivante)
Sur
τ
:
0
dv
dt
=
alors
v = Cte
: le mouvement de Tatooine est
uniforme
Méthode 2 : Deuxième loi de Kepler
Le rayon vecteur
TO
allant du centre T de Tatoo 1-2 au centre O de Tatooine balaye des
surfaces égales
pendant des
intervalles de temps égaux
.
Les aires S
1
et S
2
sont égales.
Pendant la durée
Δ
t,
Tatooine parcourt l’arc
'
1 1
TOO
à la vitesse v
1
v
1
=
'
1 1
TOO
t
∆
Pendant cette même durée, Tatooine parcourt l’arc
'
2 2
TO O
à la vitesse v
2
v
2
=
'
2 2
TO O
t
∆
D’après la deuxième loi de Kepler les aires S
1
et S
2
sont égales alors les arcs
'
1 1
TOO
et
'
2 2
TO O
sont égaux.
Donc v
1
= v
2
, le mouvement de Tatooine est
uniforme
.
R
T
Tatoo 1-2
Tatooine
n
1 2
T /T
F
−
a
τ
O
2
’ Tatoo
1
-
2
O
1
’
O
2
O
1
1
TO
'
1
TO
'
2
TO
2
TO
S
2
S
1
2.4. Suite méthode 1 : D’après la question précédente :
2
1 2
2
T
T T
Mv G.
R R
−
=
donc
2
1 2
T
T
M
v G. R
−
=
ainsi
1 2
T
T
M
v G. R
−
=
.
Tatooine ayant un mouvement circulaire et uniforme, elle décrit le périmètre
T
2 .R
π
pendant la
durée d’une période
T
à la vitesse
v
telle que :
2
T
.R
v
T
π
= donc 2
T
.R
T
v
π
=
En utilisant l’expression de v précédente :
1 2
2
T
T
T
.R
TM
G. R
−
π
=
2 2 2 3
2
1 2
1 2
4 4
T T
TT
T
.R .R
TMG.M
G. R
−
−
π π
= =
3
1 2
2
T
T
R
TG.M
−
= π
On prend un rayon de 200 millions de km conformément au texte :
( )
3
6 3 6
6
11 31
200 10 10 7 06 10
2 7 06 10 0 22 année
6 67 10 9 5 10 3600 24 365 25
,
T , s ,
, , ,
−
× × ×
= π = × = =
× × × × ×
Une année sur Tatooine ne dure que 0,22 année terrestre.
Méthode 2 :
D’après la 3ème loi de Kepler : Le rapport du carré de la période de révolution par le cube du
demi-grand axe de l'ellipse (ici du cube du rayon du cercle) est une constante qui ne dépend que
du centre attracteur (ici Tatoo 1-2).
2 2
3
1 2
4
T T
T
R G.M
−
π
=
T =
3
1 2
4 ².( )
.
T
T
R
GM
−
π
=
3
1 2
2
T
T
R
G.M
−
π
Calcul voir ci-dessus.
Remarque : en toute rigueur la 3ème loi de Kepler ne donne pas l’expression de la constante.
Compétences exigibles ou attendues :
En noir : officiel (Au B.O.)
En bleu : officieux (au vu des sujets de Bac depuis 2013)
• Exprimer une masse volumique (2nde)
• Connaître l’expression de la force d’interaction gravitationnelle (numérique et vectorielle avec
un vecteur unitaire à rajouter sur un schéma).
• Démontrer que, dans l’approximation des trajectoires circulaires, le mouvement d’un satellite,
d’une planète, est uniforme. Établir l’expression de sa vitesse et de sa période.
1
/
3
100%
