Dérivée d`une fonction

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Dérivée d’une fonction
Taux de variation moyen
Considérons une bactérie dont la croissance est définie par la fonction
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() ( 1)ft t=+ où t représente le temps en minutes et ()
f
tle nombre de
bactéries au temps t
Initialement (t = 0), le nombre de bactéries est 2
(0) (0 1) 1f
=
+=
.
Après une minute (t = 1), le nombre de bactéries est 2
(1) (1 1) 4f
=
+=
, …
Pour les quatre premières minutes, on obtient :
Analysons la variation du nombre de bactéries :
de 0t= à 1t=, la variation des bactéries est de 4 – 1 = 3 bactéries,
de 1t= à 3t=, la variation des bactéries est de 16 – 4 = 12 bactéries,
de ta= à tb=, la variation des bactéries sera de () ()
f
fb fa
Δ
=−
bactéries. (voir déf de variation + ex 2.2 p.67)

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Déf: La variation de la fonction ()
f
x sur l'intervalle [a, b] est
() ()
f
fb faΔ= −
Déf: La variation de
x
sur l'intervalle [a, b] est
x
ba
Δ
=−
Lorsqu’on étudie la variation d’une fonction, on s’intéresse souvent au taux
auquel s’effectue cette variation pour un intervalle donné de la variable
indépendante. C’est ce qu’on appelle le taux de variation moyen de la
fonction (TVM).
Le TVM des bactéries par rapport au temps :
de 0t= à 1t= est de 41 3
10
−=
−bactéries/minute
de 1t= à 3t= est de 16 4 6
31
−=
−bactéries/minute
Définition :
Le TVM d’une fonction
f
sur un intervalle [a, b], où a < b, est noté [,]ab
TVM
et est défini par [,] () ()
ab
f
fb fa
TVM xba
Δ−
==
Δ−
Le [,]ab
TVM représente la variation moyenne de la fonction
f
par unité de la
variable
x
sur l'intervalle [a, b]. Géométriquement, il correspond à la pente
de la droite sécante passant par (, ())afa et (, ())bfb :

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Puisque
x
baΔ= − , on a bxa=Δ + et le [,]ab
TVM est également donné par
[] []
, ,
() () ( ) ()
ab aa x
ffbfafaxfa
TVM TVM
xba x
+
Δ
Δ− +Δ−
== = =
Δ− Δ
Remarque: pour alléger l'écriture, on remplacera
x
Δ
par h. On aura alors
[]
,()() aa h
f
fa h fa
TVM hh
+
Δ+−
==
Ex. 1) Calculer l'équation de la droite sécante passant par les points (2, (2))f
et (5, (5))f de 1
() 1 fx
x
=−

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Ex. 2) En utilisant le contexte de la croissance d'une bactérie, où
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() ( 1)ft t=+ donne le nombre de bactérie après t minutes:
a) Évaluer et interpréter [2,7]
TVM
b) Évaluer [, ]tt h
TVM +
c) Utiliser [, ]tt h
TVM + obtenu en b) pour calculer [1,9] TVM
Taux de variation instantané
Reprenons l’exemple du début sur la croissance des bactéries.
Serait-il possible d’obtenir le taux de croissance des bactéries à un moment
précis, disons à la 4e minute?
Il est possible d’approcher la valeur en question en évaluant plusieurs TVM
pour des intervalles plus petits autour de 4 :
Il semble qu’à la 4e minute le TVM soit très près de 10 bactéries/minute
Aurait-il été possible de résoudre le problème sans avoir à évaluer tous ces
TVM? Oui, en utilisant la notion de limite!

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Voyons comment faire :
a) On considère l’intervalle de temps [4, 4+h]
b) On trouve le TVM de la fonction sur cet intervalle,
[4,4 ] (4 ) (4) h
f
hf
TVM h
+
+
−
=
c) On évalue la limite lorsque h s’approche de 0
0
(4 ) (4)
lim
h
f
hf
h
→
+− 22 2
00
(4 1) (4 1) (5 ) 25
lim lim
hh
hh
hh
→→
+
+−+ + −
==
2
0
25 10 25
lim
h
hh
h
→
+
+−
=
2
0
10 0
lim 0
h
hh
h
→
+
=
=
00
(10 )
lim lim(10 ) 10
hh
hh h
h
→→
+
==+=
bactéries/minutes
La valeur obtenue est le taux de variation instantanée (TVI) à la 4e minute
Définition :
Le TVI d’une fonction
f
en un point
x
a
=
est noté
x
a
TVI
=
et est défini par
0
( ) () () ()
lim lim
xa hba
f
ah fa fb fa
TVI hba
=→→
+− −
==
−, lorsque cette limite existe.