Dérivée d`une fonction

Dérivée d’une fonction
Taux de variation moyen
Considérons une bactérie dont la croissance est définie par la fonction
f (t ) = (t + 1) 2 où t représente le temps en minutes et f (t ) le nombre de
bactéries au temps t
Initialement (t = 0), le nombre de bactéries est f (0) = (0 + 1) 2 = 1 .
Après une minute (t = 1), le nombre de bactéries est f (1) = (1 + 1)2 = 4 , …
Pour les quatre premières minutes, on obtient :
Analysons la variation du nombre de bactéries :
de t = 0 à t = 1 , la variation des bactéries est de 4 – 1 = 3 bactéries,
de t = 1 à t = 3 , la variation des bactéries est de 16 – 4 = 12 bactéries,
de t = a à t = b , la variation des bactéries sera de Δf = f (b) − f (a)
bactéries. (voir déf de variation + ex 2.2 p.67)
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Déf: La variation de la fonction f ( x) sur l'intervalle [a, b] est
Δf = f (b) − f (a)
Déf: La variation de x sur l'intervalle [a, b] est Δx = b − a
Lorsqu’on étudie la variation d’une fonction, on s’intéresse souvent au taux
auquel s’effectue cette variation pour un intervalle donné de la variable
indépendante. C’est ce qu’on appelle le taux de variation moyen de la
fonction (TVM).
Le TVM des bactéries par rapport au temps :
de t = 0 à t = 1 est de
4 −1
= 3 bactéries/minute
1− 0
de t = 1 à t = 3 est de
16 − 4
= 6 bactéries/minute
3 −1
Définition :
Le TVM d’une fonction f sur un intervalle [a, b], où a < b, est noté TVM [ a ,b ]
et est défini par TVM [ a ,b ] =
Δf
f (b) − f ( a )
=
Δx
b−a
Le TVM [ a ,b ] représente la variation moyenne de la fonction f par unité de la
variable x sur l'intervalle [a, b]. Géométriquement, il correspond à la pente
de la droite sécante passant par (a, f (a )) et (b, f (b)) :
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Puisque Δx = b − a , on a b = Δx + a et le TVM [ a ,b ] est également donné par
TVM [a ,b] =
Δf
f (b) − f ( a ) f ( a + Δx) − f ( a )
=
=
= TVM [a ,a +Δx]
b−a
Δx
Δx
Remarque: pour alléger l'écriture, on remplacera Δx par h . On aura alors
TVM [a ,a + h] =
Δf
f ( a + h) − f ( a )
=
h
h
Ex. 1) Calculer l'équation de la droite sécante passant par les points (2, f (2))
et (5, f (5)) de f ( x) =
1
x −1
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Ex. 2) En utilisant le contexte de la croissance d'une bactérie, où
f (t ) = (t + 1) 2 donne le nombre de bactérie après t minutes:
a) Évaluer et interpréter TVM [2,7]
b) Évaluer TVM [t ,t + h ]
c) Utiliser TVM [t ,t + h ] obtenu en b) pour calculer TVM [1,9]
Taux de variation instantané
Reprenons l’exemple du début sur la croissance des bactéries.
Serait-il possible d’obtenir le taux de croissance des bactéries à un moment
précis, disons à la 4e minute?
Il est possible d’approcher la valeur en question en évaluant plusieurs TVM
pour des intervalles plus petits autour de 4 :
Il semble qu’à la 4e minute le TVM soit très près de 10 bactéries/minute
Aurait-il été possible de résoudre le problème sans avoir à évaluer tous ces
TVM? Oui, en utilisant la notion de limite!
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Voyons comment faire :
a) On considère l’intervalle de temps [4, 4+h]
b) On trouve le TVM de la fonction sur cet intervalle,
TVM [4,4+ h ] =
f (4 + h) − f (4)
h
c) On évalue la limite lorsque h s’approche de 0
f (4 + h) − f (4)
lim
h →0
h
(4 + h + 1) 2 − (4 + 1) 2
(5 + h) 2 − 25
= lim
= lim
h→0
h→0
h
h
25 + 10h + h 2 − 25
10h + h 2 0
= lim
=
h →0
h→0
h
h
0
= lim
h(10 + h)
= lim(10 + h) = 10 bactéries/minutes
h→0
h →0
h
= lim
La valeur obtenue est le taux de variation instantanée (TVI) à la 4e minute
Définition :
Le TVI d’une fonction f en un point x = a est noté TVI x = a et est défini par
TVI x = a = lim
h →0
f (a + h) − f (a )
f (b) − f ( a )
= lim
, lorsque cette limite existe.
b→a
h
b−a
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Géométriquement, lorsqu’on calcule le TVI d’une fonction f au point x = a ,
on calcule la pente de la droite tangente à la courbe de f en x = a .
Ex. 3) Trouver l’équation de la droite tangente à la courbe de f ( x) =
1
en
x
x = 2.
(voir Autres applications du TVI p.73)
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Dérivée en un point et fonction dérivée
La dérivée d’une fonction en un point x = a correspond au TVI de cette
fonction en x = a .
Définition :
La dérivée d’une fonction f en un point x = a est notée f '(a) et est définie
par f '(a ) = lim
h →0
f ( a + h) − f ( a )
, lorsque cette limite existe.
h
Remarque : lorsque f '(a) existe, on dit que f est dérivable en x = a , et f '(a)
est égale à la pente de la tangente de la courbe de f au point ( a, f ( a )) . Si
f '(a ) n'existe pas, on dit que f n'est pas dérivable en x = a
Ex. 4) Calculer la dérivée de f ( x) = x + 2 en x = 7 .
(voir ex. 2.10 p.76 et commenter)
Afin d’éviter les calculs répétitifs de dérivées en un point, nous allons définir
la fonction dérivée d’une fonction.
Si dans la définition d’une dérivée en un point f '(a ) = lim
h →0
remplace a par x , on obtient f '( x) = lim
h →0
f ( a + h) − f ( a )
on
h
f ( x + h) − f ( x )
.
h
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Définition :
La fonction dérivée de la fonction f ( x) est notée f '( x) et est définie par :
f '( x) = lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
, lorsque cette limite existe.
h
Ex. 5) Calculer la fonction dérivée de f ( x) =
1
x
Ex. 6) Soit f ( x) = x + 2 . Déterminer f '( x)
Ex. 7) Calculer la fonction dérivée de f ( x) = 1 − 3x 2
Ex. 8) Trouver le sommet de la parabole qui représente la fonction
f ( x) = −2 x 2 + 4 x − 3 en utilisant la dérivée de cette fonction.
Remarque : Les notations suivantes sont également utilisées pour désigner la
fonction dérivée d’une fonction y = f ( x) :
y ',
dy
,
dx
d
( y ),
dx
df
,
dx
d
(f)
dx
(voir 2.3.2 p.78)
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Dérivée et continuité
Théorème 2.1 :
Si f est une fonction dérivable en x = a , alors f est continue en x = a
Donc, une fonction dérivable en x = a est continue. Mais attention!
L'inverse n'est pas nécessairement vrai. Voir p. 83 exemples 2.13 et 2.14.
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