a opérateurs différentiels
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A OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELS Complément de cours sur ce qu’il faut savoir à propos des opérateurs différentiels utilisés en physique. Ce chapitre est disponible en ligne à l’adresse : http://femto-physique.fr/mecanique_des_fluides/mecaflu_complement1.php L’opérateur gradient Définition L’opérateur gradient est un opérateur différentiel qui s’applique à un champ scalaire (fonction scalaire dépendant de l’espace et du temps) et le transforme en un champ vectoriel (vecteur dépendant de l’espace et du temps). Il se lit « gradient » ou « nabla » et se note : ≠≠≠æ grad f (M, t) ou æ ≠ Ò f (M, t) Dans le système de cordonnées cartésiennes le gradient s’exprime ainsi : ≠≠≠æ ˆf (x, y, z, t) ≠ ˆf (x, y, z, t) ≠ ˆf (x, y, z, t) ≠ grad f (x, y, z, t) = uæ uæ uæ x + y + z ˆx ˆy ˆz ¸ (A.1) Le tableau ci-dessous donne les différentes expressions du gradient dans les systèmes de coordonnées utilisés couramment en physique. Système de coordonnées f (M, t) Expression de gradf Cartésiennes f (x, y, z, t) ˆf ≠ ˆf ≠ ˆf ≠ uæ uæ uæ x + y + z ˆx ˆy ˆz Cylindriques f (r, ◊, z, t) ˆf ≠ ˆf ≠ ˆf ≠ uæ uæ uæ r + z ◊ + ˆr rˆ◊ ˆz Sphériques f (r, ◊, Ï, t) ˆf ≠ ˆf ≠ ˆf ≠ uæ uæ uæ r + Ï ◊ + ˆr rd◊ r sin ◊dÏ Exercice Calculer le gradient des champs suivants f (x, y, z) = 1 2 (x + y 2 + z 2 ) et 2 g(r, ◊, Ï) = ≠ 1 r ≠ æ ≠ æ ≠≠æ Ò f = (x, y, z) = OM et Ò g = r12 ≠ uæ r Propriétés. L’opérateur gradient est un opérateur linéaire et vérifie donc æ ≠ æ ≠ æ ≠ Ò (–f + —g) = – Ò f + — Ò g 15 avec (–, —) œ R2 ANNEXE A. OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELS 16 Le gradient d’un produit de champs scalaires vaut æ ≠ æ ≠ æ ≠ Ò f.g = f Ò g + g Ò f où f et g sont deux fonctions de l’espace et du temps. Lien avec la différentielle On peut définir le gradient à partir de sa relation avec la différentielle. Soit M un point de l’espace et M’ un point infiniment voisin, la différentielle df représente la variation du champ scalaire f lorsque l’on se déplace de M à M’ à t fixé : ≠ æ æ ≠ df © f (M’, t) ≠ f (M, t) = Ò f (M, t) · d¸ avec ≠ æ ≠≠≠æ d¸ = MM’ En conséquence, æ ≠ ¶ Le vecteur Ò f (M, t) est perpendiculaire à la surface de niveau 1 de f passant par M à l’instant t. ¶ Le vecteur gradient est orienté vers les valeurs croissantes de f et sa norme mesure le taux de variation spatiale dans la direction de plus grande pente .æ . . ≠ . df .Ò f. = d¸ Exercice Considérons le champ scalaire de l’espace bi-dimensionnel, f (x, y) = x2 + y 2 . Représenter les ≠ æ courbes de niveau puis calculer Ò f . Tracer quelques vecteurs gradients. ≠ æ ≠≠æ Les courbes de niveau sont des cercles de centre O. On a Ò f = (2x, 2y) = 2 OM . Les vecteur gradients sont effectivement perpendiculaires aux cercles. L’opérateur divergence Définition L’opérateur divergence est un opérateur différentiel qui s’applique à un champ vectoriel et qui renvoie un champ scalaire. Il se lit « divergence » et se note : æ ≠ div A (M, t) ou æ ≠ æ ≠ Ò · A (M, t) Cette notation permet de retenir l’expression de la divergence en coordonnées cartésiennes : Q R Q R ˆ/ˆx Ax æ ≠ ˆAx ˆAy ˆAz div A (x, y, z, t) = a ˆ/ˆy b · a Ay b = + + dx dy dz ˆ/ˆz Az ¸ (A.2) Le tableau ci-dessous donne les différentes expressions de la divergence d’un champ vectoriel exprimé dans différents systèmes de coordonnées. 1. La surface de niveau de f est l’ensemble des points M pour lesquels f (M, t) conserve la même valeur à un instant t fixé. En dimension d = 2, cet ensemble donne une courbe de niveau. ANNEXE A. OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELS Système de coordonnées 17 æ ≠ æ ≠ Expression de div A = Ò · A cartésiennes ˆAx ˆAy ˆAz + + dx dy dz cylindriques ˆ(rAr ) ˆ(A◊ ) ˆAz + + rdr rd◊ dz sphériques 1 ˆ(r2 Ar ) 1 ˆ(sin ◊ A◊ ) 1 ˆAÏ + + r2 ˆr r sin ◊ ˆ◊ r sin ◊ ˆÏ Exercice ≠ ≠ æ uæ r Considérons le champ vectoriel A (r, ◊, Ï) = 2 . Calculer la divergence de ce champ en tout r point M autre que O. ≠ æ ≠ æ On trouve div A = 0. On dit que A est un champ à flux conservatif (sauf en O). Propriétés L’opérateur divergence est un opérateur linéaire et vérifie donc æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ div(– A + — B ) = – div A + — div B avec (–, —) œ R2 La divergence d’un produit vaut æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ ≠≠≠æ div(f. A ) = Ò · (f A ) = f Ò · A + A · Ò f = f div A + A · grad f Théorème de Green-Ostrogradsky ou théorème de la divergence æ ≠ Le flux d’un champ vectoriel A (M) à travers une surface fermée (S) est égal à l’intégrale sur le volume V limité par (S) de la divergence du champ vectoriel. " $ ≠æext æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ A (M) · dS = div A (M) d· avec div A = Ò · A Mœ(S) MœV Sens physique La divergence prend un sens bien précis en mécanique des fluides (cf. simulations à la page http: //femto-physique.fr/mecanique_des_fluides/mecaflu_C1.php). Considérons une portion de ≠ fluide en mouvement dans un fluide décrit par le champ de vitesse æ v (M, t). Au cours du mouvement, le volume V de cette portion varie suite aux déformations engendrées par l’écoulement. La divergence de la vitesse est liée au taux de dilatation de la portion fluide par la relation ≠ div æ v = 1 DV V Dt ANNEXE A. OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELS 18 L’opérateur rotationnel Définition L’opérateur rotationnel est un opérateur différentiel qui transforme un champ vectoriel en un autre champ vectoriel. Il se lit « rotationnel » et se note ≠ ≠æ æ rot A (M, t) ou æ ≠ æ ≠ Ò · A (M, t) Cette notation permet de retenir l’expression du rotationnel en coordonnées cartésiennes : Q R Q ˆ Ax c ˆx d c c d c d c ≠ c ≠æ æ c ˆ d c Ay rot A = c d·c c ˆy d c c d c a ˆ b a Az ˆz R Q ˆAz ˆAy ≠ d c ˆy ˆz d c d c ˆA ˆAz d c x ≠ d=c d c ˆz dx d c b a ˆAy ˆAx ≠ dx dy R d d d d d d d b ¸ (A.3) Le tableau ci-dessous donne les différentes expressions du rotationnel dans différents systèmes de coordonnées. ≠ æ ≠ æ ≠ ≠æ æ Système rot A = Ò · A 3 4 ˆAz ˆAy ˆAx ˆAz ˆAy ˆAx cartésien ≠ , ≠ , ≠ ˆy ˆz ˆz ˆx ˆx ˆy 3 4 1 ˆAz ˆA◊ ˆAr ˆAz 1 ˆ(rA◊ ) 1 ˆAr cylindrique ≠ , ≠ , ≠ r ˆ◊ ˆz ˆz ˆr r ˆr r ˆ◊ 3 4 1 ˆ(sin ◊AÏ ) 1 ˆA◊ 1 ˆAr 1 ˆ(rAÏ ) 1 ˆ(rA◊ ) 1 ˆAr sphérique ≠ , ≠ , ≠ r sin ◊ ˆ◊ r sin ◊ ˆÏ r sin ◊ ˆÏ r ˆr r ˆr r d◊ Propriétés Citons quelques propriétés utiles : ¶ L’opérateur rotationnel étant linéaire, on a ≠ æ ≠2 ≠ ≠ ≠æ 1 æ ≠æ æ ≠æ æ rot – A + — B = – rot A + — rot B avec (–, —) œ R2 ¶ Le rotationnel d’un gradient est nul. ≠≠æ æ ≠ ≠æ ≠≠≠æ æ ≠ rot grad f = Ò · ( Òf ) = 0 ¶ La divergence d’un rotationnel est nulle. ¶ Rotationnel d’un produit 1 ≠æ æ ≠2 æ ≠ 1æ ≠ æ ≠2 div rot A = Ò · Ò · A = 0 ≠≠≠æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ ≠ ≠æ æ ≠æ æ rot f A = Ò · (f A ) = Ò f · A + f Ò · A = grad f · A + f. rot A ¶ Théorème de Stokes. ANNEXE A. OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELS 19 La circulation d’un champ vectoriel le long d’un contour C fermé et orienté est égal au flux du rotationnel de ce champ à travers une surface S délimité par C. " j ≠ æ ≠æ æ ≠ ≠ ≠æ æ A (M) · d¸ = rot A (M) · dS MœC MœS ≠æ avec dS orienté à partir du sens de parcours de C et de la règle du tire-bouchon. Sens physique En mécanique des fluides, le rotationnel du champ de vitesse d’un fluide en écoulement est lié à la vitesse de rotation ⌦ des particules de fluide au cours de leur mouvement. ≠ æ 1 ≠æ ≠ ⌦ = rot æ v 2 L’opérateur laplacien Le laplacien scalaire L’opérateur laplacien scalaire est un opérateur différentiel d’ordre deux qui transforme un champ scalaire en un autre champ scalaire. Le laplacien scalaire s’obtient en prenant la divergence du gradient et se note —f (M, t). ≠≠≠æ ˆ2f ˆ2f ˆ2f —f (M, t) = div( grad f ) = Ò2 f = + + ˆx2 ˆy 2 ˆz 2 ¸ (A.4) Le tableau ci-dessous donne les expressions du laplacien scalaire dans différents systèmes de coordonnées. Système de coordonnées cartésiennes cylindriques sphériques Expression de —f ˆ2f ˆ2f ˆ2f + + ˆx2 ˆy 2 ˆz 2 3 4 1 ˆ ˆf 1 ˆ2f ˆ2f r + 2 2+ 2 r ˆr ˆr r ˆ◊ ˆz 3 4 3 4 1 ˆ 1 ˆ ˆf 1 ˆ2f 2 ˆf + r sin ◊ + 2 2 2 2 r ˆr ˆr r sin ◊ ˆ◊ ˆ◊ r sin ◊ ˆÏ2 Le laplacien vectoriel Le laplacien s’applique également à un champ vectoriel. Dans ce cas il renvoie un autre champ vectoriel et se note æ ≠ —A Par définition, le laplacien vectoriel s’obtient à l’aide de l’identité ≠≠≠æ ≠ æ ≠ 1æ ≠ æ ≠2 æ ≠ 1æ ≠ æ ≠2 æ ≠ æ ≠ æ ≠ ≠æ ≠æ æ rot rot A = Ò · Ò · A = Ò Ò · A ≠ Ò2 A = grad (div A ) ≠ — A ANNEXE A. OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELS 20 æ ≠ En coordonnées cartésiennes, les vecteur unitaires étant fixes, le laplacien vectoriel d’un champ A est tout simplement, un vecteur dont les composantes sont les laplaciens scalaires des composantes æ ≠ de A : æ ≠ ≠ æ ≠ æ — A (M, t) = (—Ax ) ≠ uæ x + (—Ay ) uy + (—Az ) uz Accélération d’une particule de fluide On a vu en mécanique des fluides (cf. http://femto-physique.fr/mecanique_des_fluides/ mecaflu_C1.php) que l’accélération d’une particule de fluide située en M à l’instant t pouvait ≠ s’obtenir à l’aide du champ de vitesse æ v (M, t) : 1 ≠ æ ≠2≠ ˆæ v æ ≠ ≠ a (M, t) = + æ v ·Ò æ v ˆt où le dernier terme désigne la partie convective de l’accélération. Explicitons la composante suivant æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ æ ≠ ≠ Ox de ce terme en utilisant l’égalité A ·( B · C ) = ( A . C ) B ≠( A . B ) C avec A = æ v , B = Ò vx æ ≠ ≠ et C = æ ux: 1 1æ 2 1æ 2 1æ 1æ 2 æ ≠ 2≠ æ ≠ ≠ æ ≠ ≠ ≠ ≠ æ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ v · Ò vx æ u x = (æ v ·æ u x ) Ò vx ≠ æ v · Ò vx · æ u x = vx Ò vx ≠ æ v · Ò vx · æ u x = Ò vx2 ≠ æ v · Ò vx · ≠ uæ x 2 Ainsi en procédant de la même façon pour les deux autres composantes, on obtient 1 2 " ≠ 1æ æ ≠2≠ ≠! ≠ æ ≠ æ ≠ 1æ æ ≠ ≠ ≠ ≠ v ·Ò æ v = Ò vx2 + vy2 + vz2 ≠ æ v · Ò vx · æ u x + Ò vy · æ u y + Ò vz · æ uz 2 ≠æ ≠ On reconnait v 2 dans le gradient et l’on voit apparaître rot æ v dans le dernier terme. On aboutit alors à une nouvelle expression de l’accélération 2 ≠ ≠≠≠æ v 2 1 ≠æ æ ˆæ v æ ≠ ≠ a (M, t) = + grad + rot ≠ v ·æ v ˆt 2 ¸ (A.5)
