Cours 07 - Droites

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Cours 07 : Droites
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Seconde – Lycée Desfontaines - Melle
Cours 07 - Droites
I. Droite parallèle à l’axe des ordonnées
Une droite est parallèle à l’axe des ordonnées si et seulement si elle admet une équation de la
forme x=c (c☻Ë).
Ceci signifie que
- Si D est parallèle à l’axe des ordonnées alors tous les points M(x;y) de D ont pour coordonnées ( c;y) (c☻Ë).
- Réciproquement, tous les points M d’abscisse c (c☻Ë) appartiennent à une même droite parallèle à l’axe des ordonnées.
II. Droite non parallèle à l’axe des ordonnées
Une droite D n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées si et seulement si elle admet une équation de
la forme y=mx+p (a vec m e t p des réels).
Ceci signifie que :
- Si D n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées alors tous les points M de D ont des coordonnées ( x;y) qui sont liées par une
relation de la forme y=mx+p.
- Réciproquement, tous les points M dont les coordonnées ( x;y) sont liées par une relation du type y=mx+p appartient tous à
une même droite D non parallèle à l’axe des ordonnées.
Remarques :
- La droite d’équation y=mx+p coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0;p) d’où le nom donné à p (ordonnée à
l’origine).
- Parmi les droites non parallèles à l’axe des ordonnées, celles qui admettent un coefficient directeur nul sont parallèles à l’axe
des abscisses (et pour équation y=p).
Soit D une droite non parallèle à l’axe des ordonnées passant par les points distincts
A
( )
x
A
;y
A
et B
( )
x
B
;y
B
.
Le coefficient directeur m de D vérifie m=
y
B
−y
A
x
B
−x
A
et l’ordonnée à l’origine p de D vérifie
p=y
A
−mx
A
=y
B
−mx
B
III. Equations de droites
Toute droite du plan admet une équation (dite cartésienne) de la forme ax+by+c=0.
En effet, x=c ñ x−c=0 ñ 1x+oy−c=0. Et y=mx+p ñ mx−1y+p=0
IV. Droites parallèles
Soit D et D′deux droites du plan muni d’un repère
( )
O;Å i;Å j
D et D′sont parallèles si et seulement si
- Elles sont parallèles à l’axe des ordonnées.
- Ou elles sont non parallèles à l’axe des ordonnées et admettent le même coefficient directeur.
Remarque :
Deux droites parallèles entre elles et non parallèles à l’axe des ordonnées admettent des équations réduites de la forme y=mx+p et
y=mx+p′. Si p=p′alors les droites sont confondues et si pýp′alors les droites sont strictement parallèles (ou disjointes)

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Cours 07 : Droites
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V. Exercices
Exercice 1
Soit
( )
O;Å i;Å j un repère.
Soient D
1
, D
2
, D
3
et D
4
les droites d’équations respectives 3y=5x+2 ; y=-5x−1; y=-3 et x=1.
1- Quelle est l’équation réduite de D
1
?
2- Quel est le coefficient directeur de D
1
? de D
2
? de D
3
?
3- Le point A de coordonnées (1;-6) appartient-il à D
1
? D
2
? D
3
? D
4
?
4- Représenter les droites.
5- a. Les droites D
1
et D
2
sont-elles sécantes ? Justifier. Le cas échéant, déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
b. Même question avec les droites D
1
et D
3
, D
1
et D
4
puis D
3
et D
4
.
6- Déterminer les coordonnées des points d’intersection de D
1
avec l’axe des ordonnées.
7- Déterminer les coordonnées des points d’intersection de D
2
avec l’axe des abscisses.
Exercice 2
Soit
( )
O;Å i;Å j un repère et soient A(-2;1), B(5;3), C(3;5), D(3;-18) et E(2;5).
1- Déterminer l’équation réduite de la droite (AB) puis celle des droites ( CD) et ( CE).
2- Déterminer l’équation réduite de la parallèle à (AB) passant par D.
3- Déterminer l’équation réduite de la parallèle à (CD) passant par E.
Exercice 3
Dans un repère
( )
O;Å i;Å j, on considère les points A(2;1), B(5;4), C(-1;4) et I le milieu de [ BC].
1- Faire une figure.
2- Déterminer les coordonnées du point I.
3- Montrer que le triangle ABC est isocèle en A.
4- Soit D le point tel que Ä AD =
1
3
Ä
BC +
8
3
Ä
AI .
a. Démontrer que le point D a pour coordonnées (0;9).
b. Démontrer que les droites (AC) et (BD) sont parallèles.
5-
a. Déterminer l’équation réduite de la médiane d issue de A du triangle ABC.
b. Déterminer l’équation réduite de la droite ∆, parallèle à ( AB) passant par C.
c. Déterminer les coordonnées du point d’intersection K de d et ∆.
d. Démontrer que les points B, D et K sont alignés.
6- Démontrer que le quadrilatère ABKC est un parallélogramme.