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Résumé du paramagnétisme
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JB
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B
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! =
µ
0
µ
BgJ
( )
2J(J+1)
3kBT
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Assembly of non-interacting magnetic moments
Paramagnetic term
Limit x<<1, i.e. kBT>>H
Curie law:
with the effective moment
peff =gJ�J(J+ 1)µB
χ=N
V
(µBgJ)2J(J+ 1)
3kBT=C T=N V
p2
eff
3kBT
Works well for magnetic moments without interactions,
negligible CEF : ex. Gd3+, Fe3+ or Mn2+ (L=0)
susceptibilité magnétique (x<<1): loi de Curie
x=
µ
BgJB
kBT
aimantation sous champ:
B
!"
moments localisés sans interaction
M(T)
MS
=1
2J(2J+1)coth((2J+1) x 2)!coth( x 2)
"
#
$%
&
'=BJ(x)
avec:
BJ=1/2 (x)=tanh( x
2)
cas particulier: (à vérifier !)
BJ(x)0 ! "! J+1
3
x

Résumé du modèle diatomique (H2)
Interaction d’échange J: interaction coulombienne + principe d’exclusion de Pauli
échange direct: modèle de Heitler-London de H2
• Coulomb inter-site X,V. Coulomb intra-site U infini
• échange intra-atomique (Hund): triplet, J=2X
• échange inter-atomique: signe dépend recouvrement/orbitales
Délocalisation: orbitales moléculaires
t
X
• U>>t: régime de Heitler-London. Isolant de Mott
• U<<t: régime des orbitales moléculaires. Métal
!
S
HL
!
S
OM
U/t
énergie
H=!J S
!
1.S
!
2
Hamiltonien effectif d’Heisenberg
• U=0, intégrale de saut t
• Orbitales moléculaires: singulet (délocalisation)

Echange cinétique dans le modèle de Hubbard (I)
H=!t ci,
!
+ci+
" , !
i, " , ! =",#
$+U ni,"ni,#
i
$
Hamiltonien d’Hubbard
i: site, n: occupation, σ: spin
t: intégrale de saut
U: Coulomb intra-site
X=V=0
Sur deux sites avec
une orbitale par site:
H=!t cA,
!
+cB,
!
+cB,
!
+cA,
!
"
#$ %
! =±
&+U nA,'nA,(+nB,'nB,(
"
#$ %=Ht+HU
Pour t=0 A B
!S
HL =1
2
cA,
!
+c+
B," !
"cA,"
!
+c+
B, !
( )
0
Etat singulet Heitler-London
(approx. orthogonale L=0)
!
0=0
!
0=U
Ht!HL
S="t
2
cA,
!
+c+
A," !
+cB,
!
+c+
B," !
+cA,
!
+cA,"
!
++cB,
!
+cB,"
!
+
( )
0
Action de Ht, 8 termes ex:
=!2t A
1A2+B 1B2
"
#$ %
Etats Heitler-London dégénérés et déconnectés des états à double occupation
c+
!
,c+
! '
{ }
=0
!cA,
!
+cB,
!
cA,!
!
+c+
B, !
0
=cA,
!
+c+
A,! !
cB,
!
c+
B, !
0=cA,
!
+c+
A,! !
0
c+
!
,c
! '
{ }
= !""
'
1!nB,
!
4 termes non-nuls

Echange cinétique dans le modèle de Hubbard (II)
!S
HL =1
2
cA,
!
+c+
B," !
"cA,"
!
+c+
B, !
( )
0=1
2
A
1B2+A2B 1
#
$% &
Si t<<U (spin localisés), on peut traiter les états de Heitler-London en perturbation sur Ht
!
S
HL ! "S HL Ht"S HL +"S
HL Htn
2
!
0
HL #
!
n
n
$
Au second ordre en perturbation
≠0
ssi n: état doublement occupé
t A
1B2+A2B 1
!
"# $A
1A2+B 1B2
!
"# $=0
A
1A2,B 1B2
Etat singulet
!
S
HL =!S
HL Htn
2
!
0
HL "
!
n
n
#="!S
HL HtA
1A2
2
U"!S
HL HtB
1B2
2
U
=!1
U
2t A
1A2+B 1B2
"
#$ %A
1A2
"
#$ %
2
!1
U
2t A
1A2+B 1B2
"
#$ %B
1B2
"
#$ %
2
!
S
HL =!4t2
U

Echange cinétique dans le modèle de Hubbard (III)
!
S
HL =!4t2
U
l’état singulet est stabilisé par le processus de sauts virtuels
t t
Etats triplets
!T
HL =1
2
A
1B2"A2B 1
#
$% &
!
T
HL =0
J=!4t2
U
Echange cinétique
H! "J S
!
1.S
!
2
Hamiltonien de Hubbard à 1 orbitale
devient Heisenberg si t<<U et demi-remplissage
1
2
cA,
!
+c+
B,! !
+cA,!
!
+c+
B, !
( )
0
cA,
!
+c+
B, !
0
cA,!
!
+c+
B,! !
0
Ht!T
HL =0
Ht n’agit pas sur les états triplets
3 états: