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Résumé du paramagnétisme
12+33.4+(-54(,*+.(/
%&'()*+,-%.%)(*/
m T !"g P J §¨ g P JB ·¸
B
© kT ¹
J
J
B
B
J
B
moments localisés sans interaction
J x {
f x #J !
§ #J ! · !
§ ! ·
x¸
x¸
,.*0 ¨
,.*0 ¨
#J
© #J
¹ #J
© #J ¹
$x
!"#
!
$"#
5.2-3&2')-T 6742+)-3&89/-
aimantation sous champ:
ˆ
Assembly of non-interacting
magnetic
moments
B
m T | g J PB J J !
#
:k T
M (T ) 1 "Paramagnetic term x
x %
= $(2J +1)coth((2J +1) ) ! coth( )' = BJ (x)
MS
2J #
2
2 &
B
m)55 | g J PB
Limit x<<1, i.e. kBT>>H
Curie law:
J J !
µ B gJ B
2 J +1 x
avec:
(x)
!
!
"
NB(µ
g
)
C
N p2ef f
J B J 0 J(J + 1)
k BT
=
=
χ=
3
V
3kB T
T
V 3kB T
x moment
with the
effective
cas particulier: B
(x)
=
tanh(
J=1/2
� ) (à vérifier !)
2 + 1)µ
p
=g
J(J
x=
ef f
J
B
susceptibilité magnétique (x<<1): loi de Curie
2
µ (µ g ) J(J +1)
!= 0 B J
3kBT
!"#$%&'()*+,*"&+)(*"$-*'+$(.*102(&"3*,'%3&(+.(;
d x # y # <: z# r #
Works well for magnetic moments without interactions,
Résumé du modèle diatomique (H2)
Interaction d’échange J: interaction coulombienne + principe d’exclusion de Pauli
Hamiltonien effectif d’Heisenberg
! !
H = !J S1.S 2
X
échange direct: modèle de Heitler-London de H2
•  Coulomb inter-site X,V. Coulomb intra-site U infini
•  échange intra-atomique (Hund): triplet, J=2X
•  échange inter-atomique: signe dépend recouvrement/orbitales
t
Délocalisation: orbitales moléculaires
•  U=0, intégrale de saut t
•  Orbitales moléculaires: singulet (délocalisation)
énergie
! SOM
•  U>>t: régime de Heitler-London. Isolant de Mott
•  U<<t: régime des orbitales moléculaires. Métal
U/t
! SHL
Echange cinétique dans le modèle de Hubbard (I)
$
H = !t
Hamiltonien d’Hubbard
+
i,! i+" ,!
c c
i," ,! =",#
Sur deux sites avec
une orbitale par site:
+U $ ni,"ni,#
i
i: site, n: occupation, σ: spin
t: intégrale de saut
U: Coulomb intra-site
X=V=0
H = !t &"#cA,+ ! c B,! + cB,+ ! c A,! $% +U "#nA,'nA,( + nB,'nB,($% = H t + HU
! =±
Pour t=0
A
B
!0 = U
!0 = 0
Etats Heitler-London dégénérés et déconnectés des états à double occupation
Etat singulet Heitler-London
(approx. orthogonale L=0)
Action de Ht, 8 termes ex:
!
+
1 + +
+
+
=
c
c
"
c
c
(
A,! B,"!
A,"! B,! ) 0
2
+
+
+
+
+
+
+
!cA,+ ! c B,! cA,!
c
0
=
c
c
c
c
0
=
c
c
! B,!
A,! A,!! B,! B,!
A,! A,!! 0
{c! , c! } = 0 {c! , c! } = !""
+
HL
S
+
'
H t ! SHL = "
'
'
4 termes non-nuls
1! nB,!
t
+
+
+
"
$
cA,+ ! c+A,"! + cB,+ ! c+B,"! + cA,+ ! cA,"
+
c
c
(
!
B,! B,"! ) 0 = ! 2t # A1 A2 + B1 B2 %
2
Echange cinétique dans le modèle de Hubbard (II)
Si t<<U (spin localisés), on peut traiter les états de Heitler-London en perturbation sur Ht
Etat singulet
! SHL =
1 + +
1 #
+
+
c
c
"
c
c
0
=
(
$ A1 B2 + A2 B1 %&
A,! B,"!
A,"! B,! )
2
2
Au second ordre en perturbation
!
HL
S
! "
HL
S
Ht "
HL
S
+$
n
"
HL
S
Ht n
2
! 0HL # ! n
≠0
ssi n: état doublement occupé
t !" A1 B2 + A2 B1 #$!" A1 A2 + B1 B2 #$ = 0
A1 A2 , B1 B2
!
HL
S
=#
n
!
HL
S
!
HL
0
Ht n
" !n
2
="
!
HL
S
H t A1 A2
U
2
"
!
HL
S
H t B1 B2
2
U
2
2
1"
1"
$
$
"
$
"
$
= ! # 2t # A1 A2 + B1 B2 % A1 A2 % ! # 2t # A1 A2 + B1 B2 % B1 B2 %
U
U
!
HL
S
4t 2
=!
U
Echange cinétique dans le modèle de Hubbard (III)
!
HL
S
4t 2
=!
U
l’état singulet est stabilisé par le processus de sauts virtuels
t
Etats triplets
!
HL
T
t
1 #
=
$ A1 B2 " A2 B1 %&
2
H t ! THL = 0
Ht n’agit pas sur les états triplets
!
HL
T
=0
! !
H ! "J S1.S 2
4t 2
J =!
U
3 états:
1 + +
+
+
c
c
+
c
c
(
A,! B,!!
A,!! B,! ) 0
2
cA,+ ! c+B,! 0
+
+
cA,!
c
! B,!! 0
Echange cinétique
Hamiltonien de Hubbard à 1 orbitale
devient Heisenberg si t<<U et demi-remplissage
Ordre orbital (I)
t
Modèle de Hubbard à deux orbitales dégénérées par site
H = !t " cA,+ ! ," cB,! ," + cB,+ ! ," cA,! ," +U
" =±
! =1,2
! ! %
"1
!J H ( $ + 2S i,1 S i,2 '
#
&
i=A,B 2
"
ni,! ,#ni, # ,$
i=A,B
! , # =1,2
U-JH
4 types de configuration sans double occupations: dégénérées si t=0
singulet
orbitales identiques
8 états de Heitler-London (1 orbitale/site)
2
1
1
A
α: orbital
t: intégrale de saut uniquement entre orbitales identiques
U: Coulomb intra-site (orbitales identiques ou différentes)
JH: échange de Hund intra-site
triplet
orbitales identiques
2
triplet
orbitales différentes
t
B
U
!0 = 0
singulet
orbitales différentes
8 nouveaux états (6+2)
Ordre orbital (II)
H = !t " c
+
A,! ," B,! ,"
c
+c
+
B,! ,"
"
ni,! ,#ni, # ,$
i=A,B
! , # =1,2
" =±
! =1,2
Si t<<U
cA,! ," +U
second ordre en t sur les
confugurations sans double occupation
! ! %
"1
!J H ( $ + 2S i,1 S i,2 '
#
&
i=A,B 2
! ! " Ht " S + $
=0
!=0
4t 2
! =!
U
4t 2
! =!
U ! JH
n
" Ht n
!0 # !n
4t 2
! =!
U
État de plus basse
Énergie
4t 2
4t 2
4J H t 2
!
=
Hund favorise triplet J =
U U ! J H U(U ! J H )
Ordre ferromagnétique
+ ordre orbital « antiferro »
2
!""#$%"&'()*+%+,"-.)/%#$-0"%1-&2$03
!""#$%"&'()*+%+,"-.)/%#$-0"%1-&2$03
Règles de Anderson/Goodenough/Kanamori
!"###$%&'()*+#,)-+.(&-,/)#/0#-1/#'(2030,22+4#/.5,-(26#,6#6-./)*#()4#
!"###$%&'()*+#,)-+.(&-,/)#/0#-1/#'(2030,22+4#/.5,-(26#,6#6-./)*#()4#
()-,0+../7(*)+-,&#8!"#9
()-,0+../7(*)+-,&#8!"#9
P.W. Anderson (1950)
Recouvrement entre deux orbitales au demi-remplissage
JJAFM
AFM
Singulet/antiferro
4t 2
J =!
U
22t t2 2
UU
J. Kanamori (1959)
J.B. Goodenough (1955)
:"#$%&'()*+#,)-+.(&-,/)#/0#'(2030,22+4#()4#+7;-<#8/.#4/=52<30,22+49#
:"#$%&'()*+#,)-+.(&-,/)#/0#'(2030,22+4#()4#+7;-<#8/.#4/=52<30,22+49#
/.5,-(26#,6#1+(>##()4#0+../7(*)+-,&#8"#9
Recouvrement
entre une orbitale au demi-remplissage et une orbitale vide
/.5,-(26#,6#1+(>##()4#0+../7(*)+-,&#8"#9
J FM
J FM
2
4J
t
H
Triplet/ferro (faible) J =
U(U ! J H )
2t 2 J2 H
2t J H
U (U J H )
U (U J H )
Plan du cours
  Magnétisme sans interaction
  Magnétisme atomique
  Moments magnétiques localisés
  Environnement
  Magnétisme localisé en interaction
  Interactions d’échange
  Modèle de champ moyen du ferromagnétisme
  Au delà du champ moyen
  Hamiltonien d’Heisenberg: du classique au quantique
  Ondes de spin ferromagnétiques et antiferromagnétiques
  Magnétisme frustré et liquides de spin
  Magnétisme itinérant
  Paramagnétisme d’un gaz d’électrons libres
  Instabilité magnétique de Stoner
  Effets Hall quantiques
quid has more symmetries as a solid:
plete translational and rotational invariance
a-ferromagnetic
transition
is similar
Transitions
magnétiques
aimantation macroscopique
TC
G. M. Zhao, K. Conder, H. Keller, and K. A. Muller, Nature 381, 676 (1996)
Existe t-il une transition de phase dans le modèle d’Heisenberg sur réseau?
Compétition entre J et T
Hamiltonien d’Heisenberg sur réseau
! !
H = !J S1 S 2
J = ES ! ET
molécule diatomique
J1 ! !
J2 ! !
H = ! " S i S i+!1 ! " S i S i+!2 .....
2 i,!1
2 i,!2
! !
1
H = ! # Jij S i S j modèle d’Heisenberg
2 i" j
réseau: somme de liaisons
J1
J2
J
J
Sous champ magnétique
2
J ! !
si L=0 (ions 3d) H = ! # S i S j + gµ B B# Siz
2 i" j
i
!" !"
J
z2
si L≠0 (ions 4f) H = ! (gJ !1)# J i J j + gJ µ B B# J i
2
i" j
i
facteur de de Gennes
jm j (J z + Sz ) jm j = gJ m j
J décroit très rapidement
i et j 1er (voire 2ième) voisins
J ! !
H = ! #Si S j
2 i" j
jm j Sz jm j = ! jm j J z jm j + gJ m j = (gJ !1)m j
Ferromagnétisme: champ moyen
but: transformer problème à N sites en problème à 1 site
Approximation champ moyen: faibles fluctuations spatiales
!
Si
(
)(
J>0
ferromagnétisme
fluctuations autour de la moyenne
moyenne de Si sur N sites
! ! " !
S i .S j = $ S i !
découplage champ moyen:
#
!
!
!
!
!
!
!
= Si ! Si . S j ! S j + Si ! Si . S j +
(
J ! !
H = ! #Si S j
2 i" j
) (
)
!
! %" !
!
! %
S i + S i '. $ S j ! S j + S j '
&#
&
!
!
!
! !
S j ! S j . Si + Si S j
)
(
(
)
)
!
Sj
second ordre: néglige
! ! ! !
! !
!
S i .S j = S i . S j + S j . S i ! S i
!
Sj
! !
!
J ! !
J ! !
H = ! # S i S j $ ! # S i. S j + S j . S i ! S i
2 i" j
2 i" j
! !
1 ! !
H CM = !J # S i . S j ! S i S j
2
i" j
!
Sj
J
J
interaction spin-champ moyen
Ferromagnétisme: champ moyen
! !
!
1
= !J # S i . S j + J # S i
2 i" j
i" j
H CM
H CM
! !
!
1
= !J " S i . S i+! + J " S i
2 i,!
i,!
champ moyen ou effectif
H CM
!
Sj
δ
!
S i+!
δ
!
S i+!
δ
!"
"
1
B m = !J " S i+! #
gµ B
!
! "! 1
!
= gµ B ! S i .B m + J ! S i
2 i,!
i
δ
•  δ: premiers voisins
dépend du réseau et dimensionnalité
•  un seul type de site i: un seul champ
moyen
!
S i+!
constante: 0 si para
M2 si ferro
H CM
! "!
= gµ B ! S i .B m + EM
i
•  assemblée de spin soumis à champ Bm
•  Bm dépend de Si: problème auto-cohérent
Transition ferromagnétique (B=0)
Aimantation réduite
!!"
!"
M = ! Si
aimantation réduite à saturation
MS = S
!"
"
1
zJ !!"
B m = !J " S i+! #
=
M
)*+,*"&+)(*"$-*'+$(.*/"0")"#$%&'()*+,*"&+)(
gµ B gµ B
!
12+33.4+(-54(,*+.(/
)(*/
§ g P JB · a
J ¨ J B ¸
© kBT ¹
#J !
!(T· ) !
§ #JM
§ ! ·
x
x
x¸
{
,.*0
,.*0
=
B
(x)
J
¨
¸
¨
champ externe
#J nul:© #J
¹ #J S © #J ¹
Ms
f x $ x !"#
42+)-3&89/-
#
J J !
J !
!
$"#
ˆ
B
:kBT
z: nombre de premiers voisins
cubique simple: z=6
carré: z=4
chaîne: z=2
x = !µ B gBm = ! zJM
M (T )
= BS (! zJM )
Ms
problème auto-cohérent