TD 11 – Electrostatique

TD : D – Electromagnétisme XI – Electrostatique Sciences Physiques : PSI
Laurent Pietri ~ 1 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy
TD 11 – Electrostatique
A – Travaux dirigés
111 - Champ et potentiel créés par deux fils infinis
On considère un fil infini d'axe Oz portant une densité linéique de charge
constante .
1°) Déterminer le champ électrostatique .
2°) En déduire le potentiel électrostatique V.
3°) On considère deux fils infinis parallèles à l'axe Oz situés en (x = -a, y = 0) et (x = a,
y = 0) portant respectivement des densités linéiques de charges - et +. Donner
l'expression du potentiel en un point de l'espace défini par les distances r1 et r2 aux
deux fils, en choisissant V=0, à égale distance des deux fils.
Rép : 1°)  2°)   
   3°)  
112 – Faisceau de particules chargées a symétrie cylindrique
1°) A l’intérieur d’un cylindre infini, d’axe z’z, de rayon R, se trouve un
faisceau de particules chargées réparties avec une densité volumique de charge .
Déterminer le module du champ électrique E(r) en un point intérieur et extérieur au
faisceau cylindrique dans les deux hypothèses:
a) =0=constante
b) =0[1+(r/R)²]
2°) En déduire le champ  créé par un conducteur filiforme infini,
uniformément électrisé avec une densité linéique .
3°) On considère maintenant le faisceau de particules chargées, réparties
uniformément avec une densité volumique de charge 0, entre deux cylindres de

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même axe z’z et de rayons R1 et R2 (R2>R1). Calculer le champ électrique en un
point M à la distance r de l’axe z’z, r variant de 0 à l’infini.
4°) En déduire le champ créé en un point M par un tube cylindrique de
rayon R1, uniformément électrisé avec une densité surfacique .
Rép : 1°) a b)
2 3°)      
 4°) 
113 – Distribution volumique entre deux sphères concentriques
On considère une charge q positive répartie en volume entre deux sphères
concentriques de rayon R1 et R2. On appelle (r) la densité volumique de charges
entre R1 et R2. Le champ électrostatique se met sous la forme :
pour    avec a une constante. On donne, pour un
champ à symétrie sphérique : 
1°) Déterminer (r) en fonction de a,r, R1 et o.
2°) Déterminer a en fonction de q, o, R1 et R2.
3°) Déterminer le champ électrostatique en tout point de l'espace. Représenter
graphiquement  en fonction de r.
Rép : 1°)
 2°)   
 3°)….
114 – Champ électrostatique entre deux plaques
On considère un condensateur plan formé de deux plaques parallèles infinies
et distantes de d. L'ensemble est placé dans le vide. Les plaques sont maintenues
respectivement aux potentiels V1 et V2. On néglige les effets de bord.
1°) Rappeler les équations de Poisson et de Laplace pour l'électrostatique.
2°) Déterminer le potentiel et en déduire le champ électrostatique  qui règne
entre les armatures de ce condensateur.
3°) Ce condensateur est placé dans un milieu où règne une densité volumique de
charges uniforme. Déterminer le potentiel électrostatique et le champ
électrostatique.
Rép : 1°)    
   2°)   
   3°) 

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B – Exercices supplémentaires
115 – Champ créé par une boule
On considère une boule de centre C, de rayon R uniformément chargée de
densité volumique de charges .
1°) Exprimer la charge Q de la boule en fonction de  et de R.
2°) Déterminer le champ électrostatique en tout point de l'espace.
3°) Exprimer l'énergie électrostatique de cette sphère en fonction de Q et R.
Rép : 1°)    2°)  et  3°)  
116 - Champ dans une cavité cylindrique
Un cylindre infini d'axe O1z possédant une charge volumique uniforme ,
présente une cavité cylindrique infinie (d'axe O2z avec 02 différent de 01) vide de
charges.
Montrer que le champ électrostatique est uniforme dans la cavité.
Rép : 
117 - Recherche d’une distribution de charges
Le potentiel créé par une distribution de charges a pour expression, en
coordonnées sphériques :   
1°) Quelles sont les dimensions de Q et de a ?
2°) Déterminer le champ  résultant.
3°) Déterminer la distribution de charges associée à ce potentiel.
Rép : 1°) [a]=L et [Q]=AT 2°)  3°)

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118 – Topographie
Le schéma représente les lignes du champ électrostatique créé par des fils très
longs, uniformément chargés, perpendiculaires au plan de la figure.
1°) Où sont situés les points d'intersection des fils avec le plan du schéma ?
2°) Quel est le signe de la densité linéique de charge de chacun d'entre eux ?
3°) Quel est le signe de la densité linéique de charge totale ?
4°) La norme du champ en A est de 100 V .m
-1
. Calculer une valeur approchée du
champ en B.
5°) Que peut-on dire du champ au voisinage de point C ?
Rep : 1°)… 2°) Fils de gauche et droite positifs, celui du milieu négatif 3°) Positive. 4°) Environ 55V.m-1
5°) Champ très faible.