LEÇON 3 CONGRUENCES DANS Z, ANNEAU Z/NZ

LEÇON 3
CONGRUENCES DANS Z,
ANNEAU Z/NZ. APPLICATIONS
I. Congruences dans Z
1. Sous-groupes additifs de Z
Les sous-groupes de (Z,+) sont de la forme
nZ={nq / q ∈Z}.
Théorème 1.
Ce résultat se traduit en disant que l’anneau
Zest principal et il a de nombreuses applications.
Entre autres, il nous permet de définir les notions
de pgcd et ppcm et ici, pour ce qui nous concerne
les congruences modulo un entier n.
Soient nun entier naturel et a, b deux entiers
relatifs. On dit que aest congru à bmodulo n
si l’une trois propriétés équivalentes suivantes
est vérifiées :
(i) ndivise a−b.
(ii) a−b∈nZ.
(iii) aet bont le même reste dans la division
euclidienne par n.
On note :
a≡bmod nou a≡b(n).
Définition 1.
Remarque: a≡b(0) équivaut à dire a=bet
modulo 1, la relation a≡best toujours vérifiée.
La relation de congruence est une relation
d’équivalence sur Zet on note :
¯a={b∈Z/ a ≡b(n)}
={b∈Z/ n|b−a}
={a+kn / k ∈Z}
=a+nZ.
Cette relation d’équivalence est compatible
avec l’addition et la multiplication sur Zce qui
permet de munir l’ensemble Zn=Z/nZdes classes
d’équivalence modulo nd’une structure d’anneau.
2. Division euclidienne dans Z
Soit (a, b)∈Z×Z∗.
a≡r(b),
où rest le reste dans la division euclidienne de
apar b.
Lemme 2.
Application: Le reste dans la division euclidienne
de 1955 par 7 est égal à 5.
Pour tout entier naturel n,
Zn=n¯
0,¯ 1,...,n−1o.
Znest de cardinal net il est en bijection avec
l’ensemble de tous les restes dans la division
euclidienne par n.
Corollaire 3.
Application: Un entier de la forme 8n+7 ne peut
pas être la somme de trois carrés parfaits.
3. Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications Fabien PUCCI

2Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications
Soit nun entier naturel et n=np. . . n1n0son
écriture décimale. nest divisible par :
•2 si et seulement si son chiffre des unités n0
est pair.
•3 si et seulement si la somme
p
X
k=0
nkde ses
chiffres est divisible par 3.
•5 si et seulement si son chiffre des unités n0
est égal à 0 ou 5.
•7 si et seulement si la somme
n0+ 3n1+ 2n2−n3−3n4−2n5+n6+...
est divisible par 7.
•9 si et seulement si la somme
p
X
k=0
nkde ses
chiffres est divisible par 9.
•11 si et seulement si la somme alternée
p
X
k=0
(−1)knkde ses chiffres est divisible par
11.
•13 si et seulement si la somme
n0−3n1−4n2−n3+ 3n4+ 4n5+n6+...
est divisible par 13.
Corollaire 4 (Critère de divisibilité).
Application: Ces critères de divisibilité donnent
un moyen de détecter les erreurs dans les calculs
comme la preuve par 9. Il permettent aussi de dé-
buter la décomposition en facteurs premiers d’un
entier n.
Exemple: m= 111 ...11
|{z }
kfois
est divisible par 7 et 13
si et seulement si kest multiple de 6 et on a :
111111 = 3 ×7×11 ×13 ×37.
II. L’anneau Zn
1. Groupes cycliques
(i) Zn,¯ +,¯ ×est un anneau commutatif
unitaire.
(ii) Zn,¯ +est un groupe cyclique d’ordre
n.
Proposition 5.
Le théorème suivant donne toute son impor-
tance à Znen théorie des groupes.
Tout groupe cyclique d’ordre nest isomorphe
àZn.
Théorème 6.
2. Irréductibles de Zn
Soit ken entier relatif. Les propriétés suivantes
sont équivalentes :
(i) ¯ kest inversible dans Z/nZ.
(ii) k∧n= 1.
(iii) ¯ kest un générateur de Z/nZ.
Théorème 7.
Application: L’inverse de 16 dans Z19 est ¯ 6.
On appelle fonction indicatrice d’Euler, la
fonction qui à tout entier naturel nassocie le
nombre ϕ(n) d’entier inférieurs ou égal à net
premiers avec n.
ϕ(n) = Card{k∈N/16k6net k∧n= 1}.
Définition 2.
Exemple: Si n∈Palors ϕ(n) = n−1.
(i) Pour tout entier relatif apremier avec n,
on a : aϕ(n)≡1 (n).
(ii) Soit ppremier
∀a∈Z, ap≡a(p)
et ∀a∈Z, p 6 |a, ap−1≡1 (p).
Corollaire 8 (Fermat-Euler).
Application: Le reste de la division de 52012 par
11 est égal à 3.
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III. Applications 3
Soit n>2 en entier relatif. Les propriétés sui-
vantes sont équivalentes :
(i) nest premier.
(ii) Z/nZest un corps.
(iii) Z/nZest intègre.
Théorème 9.
Un entier p>2 est un nombre premier si et
seulement si (p−1)! ≡ −1 (p).
Corollaire 10 (Wilson).
III. Applications
1. Equations diophantiennes ax ≡b
(n)
Soient n>2 un entier, a∈N∗premier avec n
et b∈Z.
Les solutions dans Zde l’équation ax ≡b(n)
sont de la forme bx0+kn,k∈Zoù x0est une
solution particulière de cette équation.
Proposition 11.
Application: L’ensemble des solu-
tions de 522x+ 2214y= 36 est
n(34 + 123k, −8−29k)/ k ∈Zo.
2. Lemme Chinois
Les entiers net msont premiers entre eux si
et seulement si anneaux Znm et Zn×Zmsont
isomorphes.
Théorème 12.
Application: Si m∧n= 1 alors
ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
La surjectivité de l’application f:Zmn 7−→ Zm×Zn
prouve que si m∧n= 1 alors le système :
(S)(x≡a(m)
x≡b(n)
possède une solution 1entière pour tout a, b ∈Z.
Application: Pierre veut ranger sa collection de
livres. S’il range les livres par 11 il en reste 7, s’il
les range par 26 il en reste 12. Combien Pierre a de
livres dans sa collection sachant qu’il en a moins
de 200 ?
Ce problème se ramène à la résolution du système :
(S)(x≡7 (11)
x≡12 (26)
1. En fait une infinité !
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4Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications
IV. Idées de développement
•Les critères de divisibilité et l’application à la décomposition d’un en-
tier en facteurs premiers.
•Les bases de numérations 2
•Le théorème 9 et le théorème de Wilson en application.
•L’exercice ?? et son application au théorème de Fermat.
•La résolution d’une équation diophantienne de la forme ax +by =c.
•La résolution d’un système d’équations diophantiennes.
V. Références
– F. Combes, Algèbre et géométrie : Agrégation - CAPES - Licence -
Maîtrise, Bréal
– Xavier Gourdon, Les maths en tête, Mathématiques pour M∗- AL-
GEBRE,
Ellipses
VI. Exercices
Exercice 6.1: Calculer le reste dans la division euclidienne de 1955 par 7.
Correction: Comme 19 = 2 ×2 + 5, par compatibilité de la congruence avec la
multiplication on a :
1955 ≡7555 ≡7(55)11 52≡74,54≡742≡72,55≡710 ≡73
≡7311 33≡727 ≡7−1,311 ≡733×3+2 ≡75
≡75.
Remarque: On fait beaucoup plus rapide avec le théorème de Fermat 8.
Exercice 6.2: Un entier de la forme 8n+ 7 ne peut pas être la somme de trois carrés
parfaits.
Correction: On va se plonger dans Z8et considérer les classes modulo 8. Soient donc
m,net ptrois entiers naturels et r1,r2et r3leur reste respectif dans la division euclidienne
par 8. Alors,
m2+n2+p2= (8q1+r1)2+ (8q2+r2)2+ (8q3+r3)2≡r2
1+r2 2+r2 3(8).
Donc m2+n2+p2∈¯ 7 (8) si et seulement si r2
1+r2 2+r2 3∈¯
7 (8).
Comme r1,r2et r3sont des entiers entre 0 et 7, il suffit de vérifier que les sommes de
trois carrés d’entiers compris au sens large entre 0 et 7 n’appartiennent pas à ¯ 7 (8).
Or,
02≡0 (8),12≡1 (8),22≡4 (8),
32≡1 (8),42≡0 (8),52≡1 (8),
62≡4 (8),72≡1 (8).
Donc, les carrés des entiers de 0 à 7 sont congrus à 0, 1 ou 4 modulo 8. Enfin,
0 + 0 + 0 ≡0 (8),0 + 0 + 1 ≡1 (8),0 + 0 + 4 ≡4 (8),
0 + 1 + 1 ≡2 (8),0 + 1 + 4 ≡5 (8),0 + 4 + 4 ≡0 (8),
1 + 1 + 1 ≡3 (8),1 + 1 + 4 ≡6 (8),1 + 4 + 4 ≡1 (8),
4 + 4 + 4 ≡4 (8).
Aucune de ces sommes n’appartient à ¯ 7 (8), un entier de la forme 8n+ 7 ne peut donc
être la somme de trois carrés.
Exercice 6.3: Pour quelles valeurs de k, le nombre m= 111 ...11
|{z }
kfois
est-il divisible par
7 ? par 13 ?
Correction: si k≡0 (6), les critères de divisibilité par 7 et 13 sont vérifiés. sinon, ils
ne le sont pas, donc mest divisible par 7 et 13 si et seulement si kest multiple de 6 et
alors mest aussi divisible par 11 et 3.
Exemple: 111111 = 7 ×13 ×3×11 ×37.
2. Délicat ! Ne se lancer que si les notions sont parfaitement maîtrisées
Fabien PUCCI 3. Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications

VI. Exercices 5
Exercice 6.4: Quel est l’inverse de 16 dans Z19 ?
Correction: Comme 19 est premier, 16 ∧19 = 1 en particulier donc 16 est bien in-
versible dans Z19 c’est-à-dire qu’il existe un ¯u∈Z19 tel que 16¯u≡1 (19) c’est-à-dire
16u−19v= 1. C’est une relation de Bézout dont on peut trouver les coefficient uet vpar
l’algorithme d’Euclide.
19 = 16 ×1 + 3
163 ×5 + 1
3 = 3 ×1 + 0
En remontant :
1 = 16 −3×5
= 16 −(19 −16 ×1) ×5
= 6 ×16 −5×19.
On trouve donc 16−1≡¯
6 (19).
Exercice 6.5: Montrer que le reste de la division de 52012 par 11 est égal à 3.
Correction: Comme 11 est premier, d’après le théorème 8, 510 ≡1 (11).
Or, par division euclidienne, 2012 = 201 ×10 + 2, d’où 52012 ≡52≡3 (11).
Le reste de la division euclidienne de 52012 par 11 est donc égal 3.
Exercice 6.6: Résoudre le système (S)x≡7 (11)
x≡12 (26)
Correction: Comme 11 ∧26 = 1, d’après le théorème des restes chinois, le système
(S) possède une unique solution modulo 11 ×26 = 286.
Résoudre (S) revient à trouver x∈Ztel que :
x= 7 + 11u
x= 12 + 26v
c’est-à-dire à résoudre dans Zl’équation 11u−26v= 5 ou encore 11¯u≡¯ 5 (26) c’est-
à-dire trouver l’inverse de 11 modulo 26.
trouvons une relation de Bézout par l’algorithme d’Euclide :
26 = 11 ×2 + 4 1 = 4 −3×1
11 = 4 ×2 + 3 = 4 −(11 −4×2) ×1
4 = 3 ×1 + 1 = −11 + 3 ×4
3 = 3 ×1 + 0 = −11 + 3(26 −11 ×2)
D’où 1 = 3 ×26 −7×11 c’est-à-dire 11−1≡ −7 (26) puis ¯u≡ −7¯
×5≡ −35 ≡17 (26).
On trouve finalement :
x= 7 + 11(17 + 26k)k∈Z
= 194 + 286k
Pour répondre au problème de la leçon, Pierre a donc 194 livres dans sa bibliothèque.
Remarque: Il est inutile de calculer vsi ce n’est pour vérifier les calculs. On trouverait
v= 7 + 11k,k∈Z.
Exercice 6.7: Résoudre dans Z, 1665x+ 1035y= 45.
Correction:
– En divisant par 45 = 1665 ∧1035 ∧45, nous obtenons l’équation équivalente :
37x+ 23y= 1 (3.1)
– Comme le pgcd de 37 et 23 est 1, d’après le théorème de Bézout cette équation
(3.1) a des solutions.
– L’algorithme d’Euclide pour le calcul du pgcd de 37 et 23 fourni les coefficients
de Bézout : 37 ×5 + 23 ×(−8) = 1. Une solution particulière de 3.1 est donc
(x0, y0) = (5,−8).
– Nous allons maintenant trouver l’expression générale pour les solutions de l’équa-
tion 3.1.
Soient (x, y) une solution de l’équation 37x+ 23y= 1. Comme (x0, y0) est aussi
solution, nous avons 37x0+ 23y0= 1.
D’où 37(x−x0) + 23(y−y0) = 0 c’est-à-dire :
37(x−x0) = −23(y−y0) (3.2)
2. C’est ici qu’il est important d’avoir divisé par 45 dès le début !
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