Amphi no.4

Introduction à la géométrie
différentielle MAT 452 :
Courbures d’une surface
David Renard
7 mai 2016
David Renard
Introduction à la géométrie différentielle MAT 452 : Courbures d’une surface
Orientation des surfaces
Dans ce chapitre et les suivants, nous ne précisons plus les classes
de régularité des sous-variétés et des applications entre sous-variétés.
Nous parlerons simplement de sous-variétés et d’applications différentiables,
le lecteur pouvant choisir soit de les supposer de classe C ∞ , soit de
s’assurer la validité des énoncés pour une certaine classe de régularité
(au minimum C 1 ).
Nous utiliserons souvent les notations suivantes. Soit S une surface
de R3 , et x : U → S un paramétrage local de S , U étant un ouvert
de R2 . On note q = (u, v ) la variable dans U, de sorte qu’en un point
p = x(q) = x(u, v ), les vecteurs
xu (q) = dxq (1, 0),
xv (q) = dxq (0, 1)
forment une base du plan tangent Tp S .
L’espace R3 est muni de sa structure euclidienne standard. Courbes
et surfaces sont synonymes de sous-variétés de dimension 1 et 2 respectivement.
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Introduction à la géométrie différentielle MAT 452 : Courbures d’une surface
Orientation
En chaque point d’une surface S de R3 , l’espace tangent de dimension 2 admet un supplémentaire orthogonal (pour le produit scalaire
ambiant) de dimension 1, donc une droite. Cette droite porte deux
vecteurs de norme 1. Nous allons chercher à associer à chaque point
de la surface un de ces vecteurs normaux unitaires, ceci de manière à
définir une application différentiable.
Définition
Soit S une surface de l’espace euclidien R3 . Un champ de vecteurs
normaux sur S est une application différentiable N : S → R3 telle
qu’en chaque point p ∈ S , le vecteur N(p) soit orthogonal au plan
tangent Tp S . Si de plus, en chaque point, la norme de N(p) est 1, on
dit que N est un champ de vecteurs normaux unitaires.
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Introduction à la géométrie différentielle MAT 452 : Courbures d’une surface
Orientation des surfaces
Localement, un tel champ de vecteurs existe toujours.
Lemme
Soit x : U → S un paramétrage local de S . Alors il existe un champ de
vecteurs normaux unitaires sur x(U).
Posons, pour tout p = x(q) ∈ S ,
N(p) =
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xu (q) ∧ xv (q)
.
||xu (q) ∧ xv (q)||
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Orientation des surfaces
Définition
Une surface S de l’espace euclidien R3 est dite orientable s’il existe un
champ de vecteurs normaux unitaires sur S . Le choix d’un tel champ
s’appelle une orientation de S .
Remarque. Il est clair que si N est un champ de vecteurs normaux
unitaires sur S , −N en est un autre, et que si S est connexe, N et
−N sont les seuls champs de vecteurs normaux unitaires sur S . En
effet, soient N et N1 deux tels champs de vecteurs. Soient
A = {p ∈ S ; N(p) = N1 (p)},
B = {p ∈ S ; N(p) = −N1 (p)}.
On a A ∪ B = S , et d’autre part, A et B sont fermés par continuité
de N et N1 . Ils sont donc aussi ouverts dans S , leur complémentaire
étant fermé. Si S est connexe, ou bien S = A, ou bien S = B.
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Introduction à la géométrie différentielle MAT 452 : Courbures d’une surface
Orientation des surfaces
Une surface connexe orientable admet donc exactement deux orientations. Lorsque le choix du champ de vecteurs normaux unitaires est
fait, nous dirons que la surface est orientée. Ainsi, lorsque nous dirons par exemple Soit S une surface orientée ... ceci suppose
qu’un champ vecteurs normaux unitaires est choisi sur S et celui-ci
sera toujours noté N.
Proposition
Soit S une surface de l’espace euclidien R3 . Alors S est orientable si et
seulement s’il existe un recouvrement de S par des paramétrages locaux
x i : Ui → S ,
[
S =
xi (Ui )
i
tels que sur toute intersection Wij = xi (Ui ) ∩ xj (Uj ), le changement de
paramétrage :
x−1
◦ xj : x−1
i
j (Wij ) −→ Ui
ait un déterminant jacobien strictement positif.
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Introduction à la géométrie différentielle MAT 452 : Courbures d’une surface
Orientation des surfaces
Exemple. Les plans affines sont orientables. Si P est le plan défini par
P = {p ∈ R3 | hp − p0 , ai = 0} (le plan passant par p0 et orthogonal au
vecteur a de norme 1), alors
Tp P = {v ∈ R3 | hv , ai = 0}
et donc N : P → R3 , p 7→ a est une champ de vecteurs normaux
unitaires à P.
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Introduction à la géométrie différentielle MAT 452 : Courbures d’une surface
Orientation des surfaces
Exemple. Soit f : U → R une application différentiable sur un ouvert U
de R2 . Un paramétrage global de son graphe S est donné par
x : U → S,
(u, v ) 7→ (u, v , f (u, v ))
et donc, en posant q = x−1 (p), le champ de vecteurs
N : S → R3 ,
p 7→ N(p) =
xu (q) ∧ xv (q)
(−fu (q), −fv (q), 1)
=
,
||xu (q) ∧ xv (q)||
||(−fu (q), −fv (q), 1)||
est un champ de vecteurs normaux unitaires sur S .
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Orientation des surfaces
Exemple. Les sphères sont orientables. Soit S(p0 , r ) la sphère de centre
1
p0 et de rayon r . Le champ de vecteurs N : p → R3 ; p 7→ (p − p0 ) est
r
un champ de vecteurs normaux unitaires sur S(p0 , r ). Nous verrons plus
tard qu’il est d’usage de choisir l’autre orientation, c’est-à-dire celle dont
les vecteurs pointent vers l’intérieur de la sphère.
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Introduction à la géométrie différentielle MAT 452 : Courbures d’une surface
Orientation des surfaces
Exemple. Les surfaces définies par des équations sont orientables. Soient
V un ouvert de R3 , f : V → R une fonction différentiable et a une valeur
régulière de f et S = f −1 ({a}) la surface définie par f et a. En chaque
point p de S , le plan tangent à S en p est
Tp S = ker dfp = {v ∈ R3 | h∇f (p), v i = 0}
∂f
∂f
∇f (p)
∂f
(p),
(p),
(p) 6= 0 et donc p 7→
est un
où ∇f (p) =
∂x
∂y
∂z
||∇f (p)||
champ de vecteurs normaux unitaires sur S .
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Orientation des surfaces
Exemple. Toutes les surfaces ne sont pas orientables, comme le montre
l’exemple célèbre du ruban de Moebius.
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Théorème de Jordan-Brouwer (admis)
Théorème (Jordan-Brouwer)
Soit S une surface compacte connexe de R3 . Alors R3 \ S possède
exactement deux composantes connexes. Chacune d’elle admet S
comme frontière.
(Domaine intérieur délimité par une surface) Parmi les deux composantes connexes de R3 \S , l’une est bornée et l’autre non. On appelle
la composante bornée le domaine intérieur à S . Notons-le Ω. Il est
clair que Ω = Ω ∪ S est compact.
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Le théorème de Brouwer-Samelson
Une conséquence importante est le fait qu’une surface compacte de
R3 est orientable.
Théorème (théorème de Brouwer-Samelson)
Une surface compacte connexe de R3 est orientable.
Remarques
1. Parmi les deux orientations possibles d’une surface compacte S de
R3 , dont l’existence est assurée par le théorème de Brouwer-Samelson,
l’une est distinguée par le fait que N pointe vers le domaine intérieur.
Sauf mention explicite du contraire, les surfaces compactes de R3
seront toujours orientées selon cette convention.
2. Le théorème de Brouwer-Samelson est valide pour les surfaces fermées
de R3 .
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p
~
N(p)
S
Ω
Domaine intérieur et orientation d’une surface compacte.
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Introduction à la géométrie différentielle MAT 452 : Courbures d’une surface
Application de Gauss
On étudie les surfaces de R3 . Sauf mention explicite du contraire,
toutes les surfaces sont supposées orientables.
Définition
Soit S une surface de R3 et soit N un champ de vecteurs normaux
unitaires sur S . Comme N(p) est de norme 1 pour tout p ∈ S , on peut
voir N comme une application différentiable de S dans la sphère unitaire
S2 de R3 . L’application N : S → S2 s’appelle application de Gauss de
la surface orientée S .
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Introduction à la géométrie différentielle MAT 452 : Courbures d’une surface
Application de Gauss
Par analogie avec les courbes, on s’attend à ce que l’étude des variations de N au voisinage d’un point p de S nous donne des renseignements sur la géométrie de la surface dans ce voisinage.
Dans le cas des surfaces, cette variation locale n’est plus décrite par
un simple scalaire (comme la courbure dans le cas des courbes) mais
par la différentielle de N en p, qui est une application linéaire
dNp : Tp S → TN(p) S2 .
L’espace tangent Tp S est l’orthogonal de N(p), mais c’est aussi le
cas de TN(p) S2 , c’est-à-dire que Tp S = TN(p) S2 . Ainsi, dNp est un
endomorphisme de Tp S .
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Introduction à la géométrie différentielle MAT 452 : Courbures d’une surface
Application de Gauss
Proposition
Soit S une surface de R3 . En tout point p de S , la différentielle dNp de
l’application de Gauss est symétrique (pour le produit scalaire sur Tp S
induit de celui sur l’espace ambiant R3 ).
Corollaire
En chaque point p ∈ S , la différentielle de l’application de Gauss est un
endomorphisme diagonalisable (sur R), dans une base orthonormale (pour
le produit scalaire sur Tp S induit de celui sur l’espace ambiant R3 ).
Pour des raisons historiques, on considère l’endomorphisme
symétrique Lp = −dNp de Tp S que l’on appelle application de
Weingarten
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Seconde forme fondamentale
Définition
La seconde forme fondamentale sur S est l’application bilinéaire
symétrique σp définie sur l’espace tangent Tp S en chaque point p de S
par
σp (v , w ) = hLp (v ), w i = −hdNp (v ), w i,
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(v , w ∈ Tp S ).
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Seconde forme fondamentale
Définition
L’endomorphisme Lp de Tp S est symétrique et donc diagonalisable dans
une base orthonormale, ses valeurs propres sont des réels. Notons-les
k1 (p) et k2 (p), avec k1 (p) ≤ k2 (p). On appelle k1 et k2 les courbures
principales de S en p. Si k1 = k2 = k, alors Lp = k IdTp S . Si k1 et k2
sont distinctes, les deux droites propres sont en somme directe
orthogonale. Dans ce cas, les deux droites propres sont appelées
directions principales de S en p.
La courbure de Gauss de S en p est définie par
K (p) = k1 (p)k2 (p) = det(Lp ).
La courbure moyenne de S en p est définie par
H(p) =
1
1
(k1 (p) + k2 (p)) = tr(Lp ).
2
2
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Interprétation géométrique
Soient p un point de S et v un vecteur unitaire tangent à S en p
et soit α : I → S est un paramétrage par la longueur de l’arc d’un
arc paramétré tracé sur S , tel que α(t0 ) = p et que α0 (t0 ) = v pour
un certain t0 ∈ I .
Le résultat suivant relie la courbure κ(t0 ) de α en t0 et la seconde
forme fondamentale en p. Soit θ l’angle entre le vecteur normal à
S en p, N(p), et le vecteur unitaire normal à la courbe en p, ~n =
α00 (t0 )
α00 (t0 )
=
.
00
||α (t0 )||
κ(t0 )
Proposition
On a, avec les notations qui précèdent, cos θ × κ(t0 ) = σp (v , v ).
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Seconde forme fondamentale
Définition
Soit S une surface orientée de R3 .
Les points où la courbure de Gauss est strictement positive sont
appelés points elliptiques de la surface.
Ceux où la courbure de Gauss est strictement négative sont appelés
points hyperboliques.
Ceux où la seconde forme fondamentale admet une valeur propre
nulle sans être identiquement nulle sont appelés points
paraboliques.
Enfin, ceux où la seconde forme fondamentale est identiquement
nulle sont appelés points plans
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Introduction à la géométrie différentielle MAT 452 : Courbures d’une surface
Seconde forme fondamentale
Remarques. En un point p d’une surface S , tous les vecteurs unitaires tangents v vérifient
k1 (p) ≤ σp (v , v ) ≤ k2 (p)
(on le voit en décomposant v dans une base orthonormale de vecteurs propres pour Lp ). Les courbures principales k1 et k2 sont donc
respectivement le min et le max des courbures algébriques des sections
normales à la surface en p.
En particulier, si les deux courbures principales sont égales, toutes les
courbures algébriques des sections normales à la surface en p sont
égales à cette valeur commune. On a de plus dans ce cas K (p) =
H(p)2 . On appelle les points où ceci se produit points ombilicaux
de S . Une surface est dite totalement ombilicale si tous ces points
sont des points ombilicaux.
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Fonction hauteur
Soient S une surface orientée de R3 . Soient p0 un point de R3 et a
un vecteur unitaire de R3 soit h la fonction hauteur relative au plan
affine P passant par p0 et de vecteur normal a :
h: S →R
p 7→ hp − p0 , ai.
Sa différentielle en en point p ∈ S est
dhp : Tp S → R,
v 7→ hv , ai,
et donc p ∈ S est un point critique de h lorsque Tp S est orthogonal
à a, c’est-à-dire lorsque les plans P et Tp S sont parallèles. Quitte
à changer l’orientation de S , on peut alors supposer que N(p) = a.
Remarquons qu’un point d’une surface est toujours critique pour la
fonction hauteur relative a son plan affine tangent Tp S . Ceci nous
permet d’établir le résultat suivant.
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Introduction à la géométrie différentielle MAT 452 : Courbures d’une surface
Fonction hauteur
Proposition
La seconde forme fondamentale au point p0 ∈ S est la hessienne de la
fonction hauteur relative a son plan affine tangent Tp0 S .
Ce résultat permet d’étudier la position de la surface par rapport a
son plan tangent affine en un point.
Proposition
Soit S une surface orientée et K sa courbure de Gauss.
1. Si K (p) > 0 (c’est-à-dire si p est un point elliptique), alors il existe un
voisinage W de p dans S tel que S ∩ W est entièrement dans l’un des
demi-espaces délimités par le plan affine tangent en p, le seul point
d’intersection entre ce plan affine tangent en p et S ∩ W étant p.
2. Si K (p) < 0 (c’est-à-dire si p est un point hyperbolique), alors il existe
pour chaque voisinage W de p dans S , il existe des points de S ∩ W
dans les deux demi-espaces délimités par le plan affine tangent en p.
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Etude des courbures principales
Proposition
Soit S une surface orientée de l’espace euclidien R3 . La courbure de
Gauss K et la courbure moyenne H sont des fonctions différentiables sur
S . Les courbures principales k1 et k2 sont des fonctions continues sur
S , différentiable sur l’ouvert des points non ombilicaux de S .
Fixons un paramétrage x : U → S de S .
N(x(q)) =
xu ∧ xv
(q).
||xu ∧ xv ||
Au point p = x(q) les formes bilinéaires symétriques sur Tp S que
sont la première et la seconde forme fondamentale sont données dans
la base (xu (q), xv (q)) de Tp S par des matrices notées respectivement
M et Σ.
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Etude des courbures principales
Posons
M=
E
F
F
G
,
E = ||xu ||2 , F = hxu , xv i, G = ||xv ||2 .
Les fonctions E , F et G sont clairement différentiables.
e
De même, pour la seconde forme fondamentale, Σ =
f
f
, où
g
e(q) = σx(q) (xu (q), xu (q)), f (q) = σx(q) (xu (q), xv (q)),
g (q) = σx(q) (xv (q), xv (q)).
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Etude des courbures principales
K ◦x=
eg − f 2
,
EG − F 2
E = ||xu ||2 ,
H ◦x=
F = hxu , xv i,
1 eG + gE − 2fF
.
2
EG − F 2
G = ||xv ||2
1
det(xu (q), xv (q), xuu (q)),
||xu ∧ xv (q)||
1
f (q) =
det(xu (q), xv (q), xuv (q)),
||xu ∧ xv (q)||
1
g (q) =
det(xu (q), xv (q), xvv (q)).
||xu ∧ xv (q)||
e(q) =
Les courbures principales k1 et k2 sont elles données par
p
ki = H ± H 2 − K ,
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Voisinages tubulaires
Soit S une surface de R3 . Une famille de voisinages de S naturelle est
donnée par la structure métrique de R3 . Pour tout réel δ strictement
positif, posons
Bδ (S ) = {p ∈ R3 | d(p, S ) < δ},
où d(p, S ) = inf q∈S ||p − q||.
Il est clair que Bδ (S ) est un voisinage ouvert de S . Décrivons ces
voisinages en termes de segments normaux à la surface. Pour tout réel
δ strictement positif, pour tout p ∈ S , posons
Nδ (p) = {p + tN(p); t ∈ ]−δ ; δ[
où N(p) est un vecteur normal unitaire à S en p.
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Voisinages tubulaires
Lemme
Avec les notations ci-dessus, si S est une surface fermée de R3 , on a
[
Bδ (S ) =
Nδ (p).
p∈S
Définition
Si la restriction de
F : S × R → R3 ,
(p, t) 7→ p + tN(p)
à S × ]−δ ; δ[ est un difféomorphisme sur son image, on dit que
[
Nδ (S ) = F S × ]−δ ; δ[ =
Nδ (p)
p∈S
est un voisinage tubulaire de S .
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Introduction à la géométrie différentielle MAT 452 : Courbures d’une surface
Voisinages tubulaires
Lemme
Soit S une surface de R3 . Pour chaque point p ∈ S , il existe un
voisinage ouvert orientable V de p dans S et un réel δ > 0 tel que
Nδ (V) soit un voisinage tubulaire de V.
Un argument de compacité nous permet d’assurer l’existence de voisinages tubulaires globaux. Rappelons qu’une surface compacte est
orientable (Théorème de Brouwer-Samelson).
Théorème
Soit S une surface compacte de R3 . Alors il existe un voisinage tubulaire
de S .
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Introduction à la géométrie différentielle MAT 452 : Courbures d’une surface