Amphi no.4

Introduction `a la g´eom´etrie
diff´erentielle MAT 452 :
Courbures d’une surface
David Renard
7 mai 2016
David Renard Introduction `a la g´eom´etrie diff´erentielle MAT 452 : Courbures d’une surface

Orientation des surfaces
Dans ce chapitre et les suivants, nous ne pr´ecisons plus les classes
de r´egularit´e des sous-vari´et´es et des applications entre sous-vari´et´es.
Nous parlerons simplement de sous-vari´et´es et d’applications diff´erentiables,
le lecteur pouvant choisir soit de les supposer de classe C∞, soit de
s’assurer la validit´e des ´enonc´es pour une certaine classe de r´egularit´e
(au minimum C1).
Nous utiliserons souvent les notations suivantes. Soit Sune surface
de R3, et x:U → Sun param´etrage local de S,U´etant un ouvert
de R2. On note q= (u,v) la variable dans U, de sorte qu’en un point
p=x(q) = x(u,v), les vecteurs
xu(q) = dxq(1,0),xv(q) = dxq(0,1)
forment une base du plan tangent TpS.
L’espace R3est muni de sa structure euclidienne standard. Courbes
et surfaces sont synonymes de sous-vari´et´es de dimension 1 et 2 res-
pectivement.
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Orientation
En chaque point d’une surface Sde R3, l’espace tangent de dimen-
sion 2 admet un suppl´ementaire orthogonal (pour le produit scalaire
ambiant) de dimension 1, donc une droite. Cette droite porte deux
vecteurs de norme 1. Nous allons chercher `a associer `a chaque point
de la surface un de ces vecteurs normaux unitaires, ceci de mani`ere `a
d´efinir une application diff´erentiable.
D´efinition
Soit Sune surface de l’espace euclidien R3. Un champ de vecteurs
normaux sur Sest une application diff´erentiable N :S→R3telle
qu’en chaque point p ∈S, le vecteur N(p)soit orthogonal au plan
tangent TpS. Si de plus, en chaque point, la norme de N(p)est 1, on
dit que N est un champ de vecteurs normaux unitaires.
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Orientation des surfaces
Localement, un tel champ de vecteurs existe toujours.
Lemme
Soit x:U → Sun param´etrage local de S. Alors il existe un champ de
vecteurs normaux unitaires sur x(U).
Posons, pour tout p=x(q)∈S,
N(p) = xu(q)∧xv(q)
||xu(q)∧xv(q)||.
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Orientation des surfaces
D´efinition
Une surface Sde l’espace euclidien R3est dite orientable s’il existe un
champ de vecteurs normaux unitaires sur S. Le choix d’un tel champ
s’appelle une orientation de S.
Remarque. Il est clair que si Nest un champ de vecteurs normaux
unitaires sur S,−Nen est un autre, et que si Sest connexe, Net
−Nsont les seuls champs de vecteurs normaux unitaires sur S. En
effet, soient Net N1deux tels champs de vecteurs. Soient
A={p∈S;N(p) = N1(p)},B={p∈S;N(p) = −N1(p)}.
On a A∪B=S, et d’autre part, Aet Bsont ferm´es par continuit´e
de Net N1. Ils sont donc aussi ouverts dans S, leur compl´ementaire
´etant ferm´e. Si Sest connexe, ou bien S=A, ou bien S=B.
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