DM 1 Propagation dans un plasma magnétisé

Electromagnétisme
L3 Phytem - Module LP353
Année 2016-2017
Propagation d’une onde électromagnétique
dans un plasma magnétisé
Devoir à la maison, à rendre le jeudi 1er décembre 2016.
Il est rappelé qu’une écriture lisible et une présentation claire ont un effet favorable sur
l’humeur des correcteurs. Les applications numériques sont importantes pour comprendre les
phénomènes. Elles comptent pour une partie significative de la note. Les vecteurs sont notés en
gras pour améliorer la lisibilité de l’énoncé. Mais sur votre copie, ils doivent figurer avec une
flèche.
Données numériques :
• masse de l’électron : me = 9.1 × 10−31 kg
• charge de l’électron : qe = −1.6 × 10−19 C
1
•
= 9 × 109 m/F
4πε0
• µ0 = 4π × 10−7 H/m
Nous allons montrer qu’en présence d’un champ magnétique statique Bs ≡ Bs ez , un plasma
a une réponse diélectrique anisotrope, c’est-à-dire que sa susceptibilité diélectrique linéaire
[χ] = [εr ] − I3 est un tenseur d’ordre 2 (pouvant être représenté par une matrice 3 × 3).
Ici, I3 est la matrice unité en dimension 3.
On considère la propagation d’une onde plane monochromatique de pulsation ω dont le
champ électrique peut être écrit E = E0 e−i(ωt−k.r) (avec des expressions similaires pour B et
D). Le plasma est supposé se comporter comme le vide du point de vue de la réponse magnétique
(µ = µ0 ).
Le plasma est constitué d’un ensemble de charges {qj } telles que la neutralité électrique est
∑
assurée : Ne qe = j Nj qj , où Ne est la densité volumique d’électrons, et Nj est la densité d’ions
de l’espèce chimique j. Les charges sont supposées se déplacer à une vitesse non relativiste.
1
Susceptibilité
On va d’abord s’intéresser au cas général d’une espèce de masse m, de charge q et de densité
N . On note [α] le tenseur de polarisabilité de cette espèce, de sorte que son moment dipolaire
vaut : p = εo [α]E.
1
a) Écrire l’équation du mouvement de la charge soumise au champ magnétique statique et à
l’onde électromagnétique se propageant.
b) Justifier que l’on puisse négliger le champ magnétique B associé à E.
c) A partir de l’équation du mouvement, on montre que le tenseur de polarisabilité peut être
écrit de la manière suivante dans le repère orthonormé (ex , ey , ez ) :


α1
iα2 0


[α] = −iα2 α1 0  ,
0
0 α∥
2
(1)
2
q
q
1
ωΩ
où α1 = mε
2
2 et α2 = mε ω 2 Ω2 −ω 2 , avec Ω ≡ qBs /m. Comment s’appelle Ω ? A quoi
o Ω −ω
o
correspond-il ? Quelle est sa valeur numérique pour un électron dans un champ magnétique
d’amplitude Bs = 1 mT.
d) A partir de l’équation du mouvement, démontrer la dernière ligne du tenseur [α]. Quelle est
l’expression de α∥ ?
e) La polarisation volumique est donnée par P = εo [χ]E, avec [χ] = N [α]. Donc [χ] est de la
forme :


χ1
iχ2 0


[χj ] = −iχ2 χ1 0  ,
(2)
0
0 χ∥
Donner les expressions de χ1 , χ2 et χ∥ en fonction de ωp ≡
√
N q2
mε0 .
f) Comment s’appelle ωp ? Que vaut-il pour des électrons de densité Ne = 2 × 108 cm−3 ?
2
Modes de propagation
Nous commençons par établir l’équation de dispersion de l’onde se propageant dans le plasma.
a) Rappeler les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday entre E, B et D.
b) Ré-exprimer ces équations dans le cas de l’onde plane, sachant que rot ≡ ik∧.
c) En utilisant la relation constitutive D = εo [ϵr ]E, montrer qu’on obtient l’équation suivante :
(
ω2
[ϵr ] − k 2
c2
)
E + k (k.E) = 0
On peut ré-écrire cette équation sous la forme d’un opérateur tensoriel O(ω, k) agissant sur
E:
[
]
ω2
2
k I3 − 2 [ϵr ] − k ⊗ k E = 0,
(3)
c
où [k ⊗ k] est le tenseur de composantes ki kj .
Par la suite, nous nous restreignons aux modes de propagation parallèles au champ magnétique statique Bs .
d) Pour que l’équation (3) ait une solution non nulle à la pulsation ω et avec le vecteur d’onde
k, il faut que det[O] = 0. En déduire que l’équation de dispersion est donnée par :
( )2
ω
c
[
(1 + χ∥ ) k −
2
][
( )2
ω
c
(1 + χ1 + χ2 )
k −
2
( )2
ω
c
]
(1 + χ1 − χ2 ) = 0
(4)
L’annulation de chacun des trois facteurs correspond à un mode de propagation différent de
l’onde dans le plasma, qui constitue des branches de dispersion différentes. L’annulation du
premier facteur conduit à une onde dite "électrostatique", dont le champ électrique est polarisé
selon ez et le champ magnétique associé est nul.
2
3
Branches de dispersion électromagnétiques et ondes d’Alfvén
Les deux termes entre [ ] de la relation de dispersion (4) donnent deux branches associées
chacune à une vibration d’amplitude E± , où ± est le signe devant χ2 .
a)
b)
c)
d)
e)
Ecrire le tenseur O pour le mode E+ .
Montrer qu’il s’agit d’un mode transverse.
Montrer que E+ présente une polarisation circulaire.
Que se passe-t-il pour E− ?
Montrer que ces modes ont une vitesse de phase vϕ± = c/n± , où :
ωp2
ω (ω ∓ Ω)
n2± = 1 −
(5)
Pour obtenir une vitesse de phase réaliste, il faut considérer l’ensemble des espèces j présentes
dans le plasma, de densité Nj , de masse mj et de charge qj . Ces grandeurs conduisent à des
pulsations ωpj et Ωj similaires à ceux de la partie précédente.
f) Justifier que les indices n± s’écrivent de la façon suivante :
n2± = 1 −
∑
j
2
ωpj
ω (ω ∓ Ωj )
(6)
Pour la suite on considère la limite des très basses fréquences, au sens où les mouvements de gyration des particules autour du champ Bs ont lieu à des pulsations beaucoup
plus grandes que ω (i.e. Ωj ≫ ω), si bien que l’onde n’est sensible qu’aux variations lentes
du centre guide de ces mouvements.
g) On considère n+ . Développez l’expression (6) au premier ordre en ω/Ωj .
h) Ecrire la condition de neutralité du plasma et montrer que le terme d’ordre 0 de n+ se
simplifie.
∑
i) En introduisant la masse volumique du plasma ρ ≡ j mj Nj , montrer que la vitesse de
phase associée vaut :
c
vϕ+ = √
.
(7)
1 + ε0ρB 2
s
vϕ− ?
j) Qu’en est-il de
k) Dans ce régime basses fréquences, le milieu est-il dispersif ?
l) En admettant que la densité d’énergie magnétique (Bs2 /µ0 ) est beaucoup plus petite que la
densité d’énergie de masse au repos du plasma (ρc2 ), montrer que la vitesse de phase (7) se
ramène à celle des ondes d’Alfvén :
√
VA ≡
Bs2
.
ρµ0
(8)
Dans la limite des basses fréquences, les modes électomagnétiques se confondent donc avec
le mode d’Alfvén transverse, qui se propage le long des lignes de champ magnétique à la
vitesse VA .
m) Application numérique : déterminer la vitesse des ondes d’Alfvén dans la couronne
solaire, en prenant une densité électronique Ne = 2 × 108 cm−3 et Bs = 1 mT.
Les ondes d’Alfvén sont des ondes de perturbation magnétique qui se propagent dans un
milieu conducteur, comme une onde sonore se propage dans l’air, mais sans variation de pression,
ni de densité. Elles sont observées couramment dans les plasmas spatiaux.
⋆⋆⋆
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