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Chapitre 4
La transformation de Fourier
Notation : Pour x=(x1,...,xn),y=(y1,...,yn)2Rn, on note par x.yleur
produit scalaire i.e. x.y=Ân
i=1xiyi.
Pour q2Ron pose eiq=cos(q)+isin(q)avec i2=1.
4.0.5 REMARQUE
Si A:Rn!Rnest une application linéaire alors (Ax).y=x.(tAy).
4.1 Transformation de Fourier sur L1(Rn,C)
Soit f2L1(Rn), alors pour tout y2Rnon a |f(x)e2ipxy|=|f(x)|, d’où
RRn|f(x)e2ipxy|dx =RRn|f(x)|dx =kfk1<+•, on peut donc définir :
4.1.1 DÉFINITION
1. Soit f2L1(Rn). On appelle transformée de Fourier, la fonction b fdéfinie par
b
f(y)=ZRnf(x)e2ipx.ydx,8y2Rn.
où x.y=Ân
i=1xiyiest le produit scalaire standard sur Rn.
2. La transformation de Fourier sur L1(Rn)est l’application
b:L1(Rn)! CRn
f7! b f
4.1.2 REMARQUE
1. On a b f(y)=RRnf(x)e2ipxy dx =RRnf(x)e2ipxy dx =bf(y).
2. On utilise aussi la notation F(f)pour désigner b f.
Dans la partie qui va suivre on va énoncer les propriétés de base de la transformation
de Fourier.
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4. La transformation de Fourier: Transformation de Fourier sur L1(Rn,C)75
4.1.1 Propriétés de la transformée de Fourier
Les fonctions considérées seront dans L1(Rn).
P1kb fk•kfk1.
Démonstration: En effet, pour tout y2Rn,kb f(y)k=RRn|f(x)e2ipxy|dx
RRn|f(x)|dx =kfk1.⌅
P2L’application b f:Rn!Cest continue.
Démonstration: Soit (yk)une suite dans Rntelle que limk!+•yk=y. Alors
pour presque tout x2Rnon a limk!+•f(x)e2ipxyk=f(x)e2ipxy, et comme
|f(x)e2ipxyk|=|f(x)|est intégrable et ne dépend pas de k, d’après le théo-
rème de convergence dominée limk!+•ykb f(yk)= b f(y).⌅
P3d f(0)=RRnf(x)dx.
P4Si f(x)= f1(x1)...fn(xn), alors b f(y)= b f1(y1)... b fn(yn).
Démonstration: Ceci est une conséquence du théorème de Fubini et la propriété
de l’exponentielle :
e2ipxy =e2ipx1y1...e2ipxnyn.
P5Si f,g2L1(Rn), alors f⇤g2L1(Rn)et [ f⇤g=b fb g.
Démonstration: D’après l’inégalité de Young, kf⇤gk1kfk1kgk1, d’où f⇤g2
L1(Rn).
Pour y2Rnfixé, on a [ f⇤g(y)=RRnf⇤g(x)e2ipxy dx =RRnRRnf(xz)g(z)e2ipxy dz dx =
RRng(z)e2ipxz ⇣RRnf(xz)e2ip(xz)ydx⌘dz =b
f(y)RRng(z)e2ipxz)dz =b f(y)b g(y).⌅
4.1.7 DÉFINITION
Soit f:Rn!C.
1. Soit a2Rn. On définit l’opérateur translation tapar :
taf(x)= f(xa).
2. Pour l2R⇤. On définit l’opérateur dilatation slpar
slf(x)= f(x
l).
P6(a) c taf(y)=e2ipay b f(y).

4. La transformation de Fourier: Transformation de Fourier sur L1(Rn,C)76
(b) d slf(y)=|l|nb f(ly).
(c) Plus généralement, soit Aune matrice inversible et A=Rn!Rnl’iso-
morphisme linéaire (associé à A) alors :
[
fA(y)= 1
|det(A)|b
f(tA1)(y).
Démonstration:
[
fA(y)=RRnf(Ax)e2ipxy dx, avec le changement de variable
z=Ax on a [ fA(y)=RRnf(z)e2ipA1zy|det(A1)|dx. Finalement, comme
(A1z).y=z.(tA1y), on obtient
[
fA(y)=|det(A1)|ZRnf(z)e2ipz.(tA1y)dx =1
|det(A)|b
f(tA1)(y).
4.1.9 REMARQUE
Si Aest une matrice orthogonale, i.e. tA.A=Ialors tA1=Aet |det(A)|=1
la formule précédente nous donne alors : [ fA=b fA.
En particulier, si fest radiale i.e. fne dépend que de kxk, alors b fest aussi
radiale.
En effet, fest radiale ,fA=fpour toute matrice Aorthogonale.
P7[Lemme de Riemann-Lebesgue] Si f2L1(Rn)alors limkyk!+•b f(y)=0.
Démonstration: D’après la propriété P6,RRnf(x+z)e2ipxy dx =
[
tzf(y)=
e2ipzy b f(y). Si on pose z=y
2kyk2, alors e2ipzy =eip=1 et kzk=1
2kyk. D’où,
2b f(y)=RRn(f(x)f(x+z))e2ipxy dx. Ainsi, 2|b f(y)|RRn|f(x)f(x+z)|dx =
kftzfk1.
D’après 3.2.10, lim
kyk!+•|b
f(y)|1
2lim
z!0kftzfk1=0. ⌅
Transformation de Fourier et différentiabilité
P8(a) Si kxkkf2L1(Rn), alors :
b
f2Ck
0(Rn)et (1)|a|Dab
f=(2ip)|a|d xaf
pour tout a2Nn,|a|k.
(b) Si f2Ck(Rn)telle que pour tout a2Nn,|a|kon ait Daf2L1(Rn),
alors : d
Daf=(2ip)|a|yab f

4. La transformation de Fourier: Transformation de Fourier sur L1(Rn,C)77
Démonstration: On va démontrer le résultat pour k=1, i.e ; pour les dérivées
partielles d’ordre 1, le cas général se fait par récurrence.
(a) On pose g(x,y)= f(x)e2ipxy, alors ∂g
∂yj
=2ipxjf(x)e2ipxy et |∂g
∂yj|
2pkxk|f(x)|qui ne dépend pas de yet qui est dans L1par hypothèse.
D’après le théorème de dérivation sous le signe Z,
∂b
f
∂yj
(y)=∂
∂yjZRnf(x)e2ipxy dx =ZRn
∂
∂yj⇣f(x)e2ipxy⌘dx =2ipZRnxjf(x)e2ipxy dx.
(b) Par le théorème de Fubini on se ramène au cas n=1. Alors, comme ∂f
∂xet f
sont dans L1, le théorème d’intégration par parties donne :
ZR
∂f
∂x(x)dx =lim
B!+•
A!•
[f(x)]B
AZRf(x)dx
Ainsi, limx!+•f(x)et limx!+•f(x)existent et comme f2L1ces limites sont
nécessairement égales à 0.
D’où
c
∂f
∂x(y)=ZR
∂f
∂x(x)e2ipxy dx =lim
B!+•
A!•hf(x)e2ipxyiB
A+2ipyZRf(x)e2ipxy dx =2ipyb
f(y).
P9(Formule de transfert) Si f,g2L1(Rn), alors :
ZRnb
f(x)g(x)dx =ZRnf(x)b g(x)dx
Démonstration: Comme f,g2L1(Rn),b fet b g2C0⇢L•(Rn), d’où b fget fb g2
L1. Ainsi les deux intégrales sont bien définies.
Par le théorème de Fubini on a :
ZRnb
f(x)g(x)dx =ZRn✓ZRnf(z)e2ipzx dz◆g(x)dx
=ZRnf(z)✓ZRng(x)e2ipzx dx◆dz =ZRnf(z)b g(z)dz.
4.1.13 EXEMPLE.(i) soit a>0 et f=1[a,a]Alors, si y6=0, b f(y)=Ra
ae2ipxy dx =
2Ra
0cos(2pxy)dx =2sin(2pay
2pyet b
f(0)=Ra
adx =2a.
(ii) g(x)=ex1R+. Alors b f(y)=R+•
0exe2ipxy dx =R+• 0ex(1+2ipy)dx =1
1+2ipy.
(iii) h(x)=xex1R+. Alors h(x)=xg(x), d’où
b
h(y)=c xg(y)= 1
2ip
∂b g
∂y(y)= 1 2ip2ip (1+2ipy)2=1 (1+2ipy)2.

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4.1.14 EXEMPLE (EXEMPLE FONDAMENTAL). f(x)=epkxk2=epÂn
k=1x2
k, alors b
f=f.
Cet exemple est très important, et la formule pour b fpeut être calculée de plusieurs
manière en voici une, utilisant la propriété P8.
(i) Cas n=1
On a f0(x)=2pxf(x), d’où b f0=2pc xf ce qui donne 2ipyb f=ib f0. Ainsi b fest
solution de l’équation différentielle, 2pyb f=ib f0i.e. b f(y)=cepy2, et c=b f(0)=
RRepx2dx =1. Finalement, b
f(y)=epy2.
(ii) Le cas nquelconque, s’obtient en utilisant la propriété P4.
Comme, f(x)=epkxk2=epx2
1...epx2
n, alors
b
f(y)= b f1(y1)... b fn(yn)=epy2
1...epy2
n=epkyk2.
4.1.2 Le théorème d’inversion
On peut résumer les propriétés P1,P2et P8par
4.1.15 PROPOSITION
La transformation de Fourier b:L1(Rn)! C0(Rn)est une application linéaire
continue de norme 1 de L1(Rn)muni de la norme k.k1dans C0(Rn)est muni de la
norme k.k•.
On peut se poser les questions suivantes, l’opérateur précédent est-il injectif ?
surjectif ?
Le théorème suivant donne une réponse positive à la première question.
On montre (voir le TD) qu’il existe des fonctions dans C0(Rn)qui ne sont pas
les transformées de Fourier d’aucune fonction intégrable i.e. l’opérateur n’est pas
surjectif.
4.1.16 THÉORÈME (THÉORÈME D’INVERSION)
Soit f2L1(R)telle que b f2L1(R), alors b
b
f(x)= f(x)p.p.
Démonstration: Soit f:Rn!Rtelle que f(x)=epkxk2. Alors RRnf(x)dx =1 et
pour tout x2Rn, limt!0+s1
tf(x)=limt!0+f(tx)=1.
Par définition b
b
f(x)=RRnb f(y)e2ipxy dy
Comme |b f(y)e2ipxyf(ty)|
b
f(y)|qui est par hypothèse dans L1, d’après le le
théorème de convergence dominée on a b
b
f(x)=limt!0+RRnb f(y)e2ipxyf(ty)dy.
D’autre part, en utilisant le lemme de transfert, on a
ZRnb
f(y)e2ipxyf(ty)dy =ZRn
[
tx(f)(y)f(ty)dy =ZRntx(f)(y)d s1
tf(y)dy
=tnZRntx(f)(y)f(y
t)dy =ZRnf(zx)ft(z)dz =f⇤ft(x).