Introduction 1. Mouvement dans un champ magnétique uniforme

Leçon 9
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Leçon n°9 : Mouvement d'une particule chargée dans un champ
magnétique indépendant du temps. Applications (1er CU)
Introduction
1. Mouvement dans un champ magnétique uniforme
1.1. Mise en équation
1.2. Trajectoire
2. Applications
2.1. Accélérateurs circulaires ( B uniforme)
2.2. Lentilles magnétiques ( B non uniforme)
2.3. Autres applications
Conclusion
Introduction
Nous étudierons dans le cadre de la théorie de la relativité restreinte le mouvement d'une particule
chargée placée dans un champ magnétique uniforme et stationnaire.
Puis parmi les nombreuses applications possibles nous traiterons deux exemples. Le premier, lié à la
physique des particules concerne les accélérateurs circulaires où le champ magnétique est uniforme,
et le deuxième, pris dans le domaine de l'optique corpusculaire, les lentilles magnétiques dans
lesquelles le champ magnétique n'est pas uniforme.
1. Mouvement dans un champ magnétique uniforme
1.1. Mise en équation
Considérons une particule en mouvement à la vitesse v par rapport à un réferentiel galiléen R. Si elle
est soumise à une force f , nous savons d'après les résultats de la dynamique relativiste que :
dp
=f
dt
et
dE
= f ⋅v
dt
où p est l'impulsion de la particule et E son énergie relativiste. Dans un champ magnétique B, la
particule de charge q et de masse m est soumise à la force de Lorentz :
f = qv ∧ B ,
ainsi qu'a son poids négligeable devant f. Nous constatons alors que l'énergie de la particule reste
constante. En effet :
dE
= f ⋅ v = q ( v ∧ B) ⋅ v = q( v ∧ v ) ⋅ B = 0 .
dt
Le champ magnétique seul ne permet pas d'augmenter la vitesse de la particule car :
E=
mc 2
1− v 2 c 2
où v 0 est le module de la vitesse initiale.
= Cte
⇒
v = v 0 = Cte ,
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Le facteur γ = 1
s'écrit :
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1 − v 2 c 2 étant constant, la relation fondamentale de la dynamique relativiste
dp d
dv
= ( γ m v) = m γ
=f,
dt dt
dt
et l'équation du mouvement :
mγ
dv
= qv ∧ B .
dt
Posons :
ωc =
qB
.
mγ
On appelle pulsation cyclotron la quantité positive, homogène à l'inverse d'un temps :
ωc =
qB
mγ
.
Choisissons maintenant, un repère Oxyz lié au référentiel R, tel que le champ B soit dirigé suivant
l'axe Oz. Dans ce repère, les coordonnées de la particule sont (x,y,z) et les composantes de son
vecteur vitesse ( x , y , z ). Il en résulte :
x
y
z
x
= ω c y
z
0
∧ 0,
1
puis :
x = ω c y
y = −ω c x .
z=0
1.2. Trajectoire
Pour résoudre l'équation différentielle du mouvement il nous faut
connaître la position de la particule ainsi que sa vitesse à un instant
initial. Supposons qu'a l'instant t = 0 :
x=0
y=0
et
z=0
x = 0
y = v 0 sin α ,
z = v 0 cos α
z
α
B
O
x
avec 0 ≤ α ≤ π 2 . La troisième équation z = 0 s'intègre immédiatement
en :
z = v 0 cos α
et
z = v 0 cos α t .
Pour intégrer les deux premières, nous allons utiliser la notation complexe. Posons :
Z = x + iy
avec
i 2 = −1 .
Ajoutons alors la première équation à la deuxième multipliée par i. Il vient :
v0
y
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= −i ω Z .
Z
c
En intégrant cette équation, on obtient :
Z = −i ω c Z + A .
A est une constante d'intégration que l'on détermine à l'aide des conditions initiales, et :
Z = −i ω c Z + i v 0 sin α .
La solution de cette équation du premier ordre avec second membre est la somme de la solution de
l'équation homogène et d'une solution particulière. Elle s'écrit :
Z = B e −i ω c t +
v 0 sin α
,
ωc
où B est une constante d'intégration déterminée par les conditions initiales. Finalement :
(
)
Z=
v 0 sin α
1 − e −i ω c t ,
ωc
Z−
v 0 sin α
v sin α −i ω c t
=− 0
e
.
ωc
ωc
ou encore :
Le module de cette expression est constant, égal à :
Z−
v 0 sin α
v sin α
v sin α γ m v 0 sin α
= x− 0
+ iy = 0
=
.
ωc
ωc
ωc
qB
Dans le plan Oxy le mouvement est donc circulaire centré au point de coordonnées ( v 0 sin α ω c ,0,0 )
et de rayon :
R=
γ m v 0 sin α
.
qB
En revenant à la notation réelle :
Z = x + iy =
v 0 sin α
(1 − cos ω c t + isin ω c t ) .
ωc
Les coordonnées de la particule sont :
x=
v 0 sin α
(1 − cos ω c t )
ωc
y=
v 0 sin α
sin ω c t
ωc
.
z = v 0 cos α t
Dans le plan Oxy la période du mouvement est T = 2π ω c . Pendant ce temps la particule se déplace
suivant l'axe Oz de :
90
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p = v 0 cos α T =
v 0 cos α
2π .
ωc
La trajectoire est donc une hélice de pas p (le pas réduit est v 0 cos α ω c ). Si α = π 2 alors
cos α = 0 et le mouvement hélicoïdal se réduit à un mouvement circulaire de rayon R = γ m v 0 q B
dans le plan Oxy.
z
z
B
v0
B
O
v0
y
O
x
y
x
q>0
q<0
Expérience
On utilise un tube à faisceau circulaire
placé dans le champ magnétique B de
bobines de Helmholtz. Les électrons
produits par un canon à électrons ont une
vitesse v 0 perpendiculaire à B, et leur
trajectoire est circulaire. La vapeur de
mercure dans le tube permet de visualiser
cette trajectoire et donc de déterminer le
rayon R du cercle.
La mesure de l'intensité du courant
circulant dans les bobines de Helmholtz
donne accès à la valeur de B, et la tension
accélératrice du canon à électrons, à la
vitesse v 0 . Il est alors possible de vérifier
dans
l'hypothèse
d'électrons
non
relativistes, la relation :
mv 0
.
R=
qB
canon à
électrons
bobines de
Helmholtz
B
tube
trajectoire
des électrons
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2. Applications
2.1. Accélérateurs circulaires (B uniforme)
2.1.1. Le cyclotron et le synchrocyclotron
Un cyclotron est constitué de deux demi-cylindres
métalliques creux placés dans le vide, appelés
"dees" (de la même forme que la lettre D) dont les
faces planes sont parallèles. Entre ces plaques, un
champ électrique E accélère linéairement les
particules chargées, injectées au centre de l'appareil
avec de faibles vitesses horizontales. Un champ
magnétique B uniforme et stationnaire, vertical,
régnant dans tout l'espace, donne une trajectoire
circulaire de rayon R, aux particules à l'intérieur des
dees. Après chaque demi-tour, pour accélérer les
particules, le champ E doit changer de sens.
Si les particules ne sont pas relativistes, v c et
γ 1 . La pulsation cyclotron ne dépend pas de v. Il
suffit alors d'appliquer entre les dees, un champ
électrique E alternatif dont la fréquence est égale à
la fréquence cyclotron :
qB
νc =
.
2π m
vide
poussé
dees
B
E
trajectoire
Lorsque les particules ont effectué un grand nombre de tour dans le cyclotron, elles atteignent des
vitesses relativistes, v c d'où γ 1 . La pulsation cyclotron dépend de v qui augmente à chaque
demi-tour. Le champ alternatif E ne permet plus de continuer à accélérer les particules. Le cyclotron a
atteint sa limite relativiste. Pour donner plus d'énergie aux particules, il faut synchroniser la variation
du champ électrique E avec l'arrivée des particules entre les dees. L'appareil est alors appelé
synchrocyclotron.
Historiquement, le premier cyclotron fut construit par l'Américain Ernest O. Lawrence en 1930. Son
diamètre est de 11 cm et il permet de communiquer aux protons, une énergie de 80 keV . Pour élever
cette énergie, il suffit d'augmenter la taille du cyclotron puisque pour une valeur de B fixée, le rayon R
est une fonction croissante de la vitesse v. Ainsi dès 1939, un cyclotron de 2 m de diamètre pouvait
communiquer 20 MeV aux protons.
Actuellement, les cyclotrons permettent d'apporter à des protons et des deutons des énergies de 10 à
20 MeV . Ils sont ensuite envoyés sur des cibles pour créer des isotopes d'éléments naturels,
émetteurs de positons, à très courte période. On produit par exemple le radioélément 18 F de période
1,9 h en accélérant des protons à 18 MeV sur une cible d'oxygène 18. Ces cyclotrons sont utilisés en
physique nucléaire, en chimie et en médecine. La tomographie par émission de positons (T.E.P.) est
un exemple d'un usage relativement récent du cyclotron dans le domaine médical. Elle consiste à
injecter par voie veineuse chez un patient, un radiotraceur émetteur de positons, porté par une
molécule, puis à enregistrer les positons émis à l'aide d'un capteur et enfin à reconstituer l'image avec
un système informatique. En cancérologie, on utilise le 18 F − FDG , molécule de désoxy-D-glucose
marquée au fluor. Ce sucre analogue au glucose se fixe sur les cellules cancéreuses, grandes
consommatrices de glucose, et permet ainsi de localiser très précisément les tumeurs.
Pour communiquer plus d'énergie aux particules, nous avons vu qu'il est nécessaire de prendre en
compte les effets relativistes et d'utiliser un synchrocyclotron. C'est en 1945 que le Soviétique V.I.
Veksler et les Américains E.M. McMillan et M.L.E. Oliphant, de façon indépendante, proposèrent pour
la première fois de faire varier la fréquence du champ électrique pour l'adapter à la fréquence de
rotation des particules relativistes. Le synchrocyclotron permit alors de communiquer 400 MeV aux
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protons. A ces vitesses, le rayon de l'appareil devient très grand et il est difficile de maintenir un
champ magnétique uniforme dans tout l'espace. Une nouvelle limite est atteinte.
2.1.2. Le synchrotron
Dans la recherche d'énergie toujours plus grande, le
synchrotron permet d'éliminer le principal défaut du
synchrocyclotron qui exige un champ magnétique
uniforme sur une très grande surface. Ici, le champ
magnétique est appliqué uniquement sur la
trajectoire circulaire des particules. Entre ces
portions de trajectoires, dans les cavités
accélératrices, le champ électrique E accélère les
particules. Il est synchronisé avec le temps de
parcours des particules dans les différentes portions
circulaires.
D'après l'expression du rayon de la trajectoire, le
module de la quantité de mouvement d'une particule
est :
p = γ m v = q BR ,
cavité
accélératrice
trajectoire
circulaire
et son énergie relativiste :
E = m2 c 4 + p2 c 2 = m2 c 4 + q2 B2 R2 c 2 .
Pour augmenter la valeur de cette énergie, il suffit d'accroître B et R. L'intensité du champ magnétique
réalisable est limitée à quelques teslas, mais le rayon R peut être aussi grand qu'on le veut,
contrairement au cyclotron ou au synchrocyclotron. Bien sur, pour un rayon R donné, l'intensité du
champ magnétique doit être suffisante pour maintenir les particules sur leur trajectoire. C'est ce qui
limite l'énergie qu'un synchrotron peut communiquer aux particules.
Le premier synchrotron apparut en Grande Bretagne en 1946. En 1952, à New York, on pouvait
communiquer plus de 1 GeV aux protons, et en 1959, au C.E.R.N. de Genève, 24 GeV avec un
synchrotron de 85 m de rayon. En 1977, toujours à Genève, un anneau de 1,1 km permit d'obtenir
450 GeV et en 1983 pour un rayon identique, avec des bobinages supraconducteurs, le synchrotron
du Fermilab de Batavia près de chicago, alla jusqu'à 1 TeV .
Actuellement, au C.E.R.N. de Genève, le synchrotron à protons (P.S.) communique 28 GeV aux
protons et sert de préaccélérateur au supersynchrotron (S.P.S.) qui leur donne 450 GeV . Le L.E.P.
(Large Electron-Positon collider) de 27 km de circonférence est en cours de transformation pour
devenir le L.H.C. (Large Hadron Collider). Il fournira 7 TeV aux protons, avec un champ magnétique
de 8,5 T obtenu par des aimants supraconducteurs.
Rq : Nous n'avons pas mentionné l'accélération des électrons, qui peut se faire dans les synchrotrons
de façon identique à celle des protons, car ils émettent un rayonnement, appelé rayonnement
synchrotron, beaucoup plus important que les protons, de part leur masse plus faible, limitant ainsi
l'énergie maximum pouvant être atteinte.
Les énergies de plus en plus importantes permettent de sonder la structure profonde de la matière en
faisant apparaître dans des collisions, des particules élémentaires de plus en plus petites.
2.2. Lentilles magnétiques (B non uniforme)
Les microscopes classiques permettent d'observer des détails de l'ordre de la longueur d'onde du
rayonnement électromagnétique dans le domaine du visible, c'est à dire au mieux quelques dixièmes
de micromètres. Pour voir des objets plus petits, le microscope électronique utilise un faisceau
d'électrons dont la longueur d'onde associée est plus faible. Les électrons sont émis par une cathode,
puis accélérés par une anode et dirigés sur l'objet à observer. Dans les microscopes à transmission,
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ces électrons traversent l'objet de façon analogue aux photons. Ils sont ensuite déviés par des lentilles
magnétiques remplaçant les lentilles minces en verre, pour former l'image de l'objet.
Une lentille magnétique est constituée par un champ magnétique non uniforme, d'axe de révolution Oz
créé dans l'entrefer de pièces polaires, entre les plans P1 et P2 .
bobinage produisant
le champ magnétique
er
objet
A
ez
O
faisceau
d'électrons
z
eθ
pièce polaire
P1
P2
En coordonnées cylindriques ( r, θ,z ) le champ magnétique s'écrit :
B = B r ( r,z ) e r + B z ( r,z ) e z .
Dans cette géométrie de champ, on peut considérer que la composante axiale de B proche de l'axe ne
dépend pas de r, et donc :
B z ( r,z ) = B z ( 0,z ) .
D'autre part, la conservation du flux de B permet facilement d'obtenir la relation :
B r ( r,z ) = −
r dB z ( 0,z )
.
2
dz
Supposons qu'un électron de charge q = −e et de masse m, émerge du point objet A à la vitesse non
relativiste v 0 v r 0 ,0,v z 0 . Jusqu'au plan P1 il n'est soumis à aucune force (son poids est négligeable)
et sa trajectoire est rectiligne. Dans la lentille, entre les plans P1 et P2 il subit l'action de la force de
Lorentz due au champ magnétique. Puis après P2 sa trajectoire est à nouveau rectiligne.
Pour connaître l'effet de la lentille sur l'électron, appliquons le principe fondamental de la dynamique à
cet électron, entre P1 et P2 . Il s'écrit :
(
)
ma = qv ∧ B .
Par projection sur les vecteurs unitaires e r , e θ et e z du repère cylindrique, on obtient les trois
équations :
(
)
m r − r θ 2 = qr θ B z
(
)
(1)
θ + 2r θ = q (B r z − r B z )
m r ( 2) .
m z = −qr θ B r
(3)
La relation (2) se réécrit :
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( )
(
)
m d 2
e d 2
r θ =
r Bz .
r dt
2r dt
Puis en intégrant par rapport au temps :
er 2 B z
+C,
mr 2 θ =
2
où C est une constante d'intégration. Juste avant le plan P1 , l'électron n'est pas dévié et B z = 0 , donc
par continuité C = 0 . Entre P1 et P2 la lentille magnétique fait tourner l'électron autour de l'axe Oz à la
pulsation :
eB z
θ =
.
2m
Reportons l'expression de θ dans la relation (1). Il vient :
mr = −
e 2 r B 2z
.
4m
Mais ∂z ∂t v 0 , d'où :
2
r = ∂  ∂r ∂z  = v 02 ∂ r ,
∂t  ∂z ∂t 
∂z 2
et :
∂ 2r
∂z 2
=−
e 2 r B 2z
4m 2 v 02
.
Faisons l'approximation des lentilles minces en supposant que la distance entre P1 et P2 est faible
devant OA. Dans le deuxième membre de la relation précédente considérons alors que r est constant
égal à r 0 .
r
P1
P2
r0
A′
A
z1
O
z
z2
L'allure de la variation de r en fonction de z est représentée sur la figure. A ′ est l'image de A sur l'axe
Oz. L'intégration par rapport à z entre les plans P1 et P2 de côte z 1 et z 2 donne :
z
e 2 r0
 ∂r  2
=
−
 ∂z 
4m 2 v 02
  z1
Mais d'après la figure :
z2
∫ B z dz .
z1
2
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95
r0
 ∂r 
 ∂z  = −
OA ′
  z2
r0
 ∂r 
,
 ∂z  =
  z 1 AO
et
donc :
1
OA ′
−
1
OA
=
e 2 r0
4m
2
z2
∫ B z dz .
2
v 02 z
1
Notons comme en optique géométrique p′ = OA ′ , p = OA . On retrouve ainsi la relation de
conjugaison d'une lentille mince :
1 1 1
− = ,
p′ p f ′
avec f ′ la distance focale image (positive):
f′ =
4m 2 v 02
.
 z2

e 2  ∫ B 2z dz 


 z1

On constate qu'il est facile de modifier cette distance focale en faisant varier l'intensité du courant
circulant dans l'électroaimant et donc la composante B z . Finalement la trajectoire de l'électron est la
suivante :
α
P1
P2
A
z
A′
La lentille fait subir une rotation d'angle α à l'image d'un objet.
2.3. Autres applications
Lorsque le champ magnétique est uniforme, citons :
Le spectromètre de masse
Le filtre de vitesse
L'oscillographe cathodique
Dans un champ magnétique non uniforme :
Le confinement magnétique
Les aurores boréales
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Conclusion
Dans un champ magnétique uniforme et stationnaire la trajectoire d'une particule chargée est circulaire
si sa vitesse initiale est perpendiculaire au champ ou hélicoïdale si elle possède une composante
parallèle au champ. Mais le champ magnétique seul ne modifie pas le module de la vitesse d'une
particule. C'est le champ électrique qui permet d'augmenter sa vitesse et donc son énergie.
Lorsque le champ magnétique n'est plus uniforme, les trajectoires hélicoïdales, de rayon et de pas
variables, s'appuient sur les tubes de champ.
Bibliographie
M. Bertin, J.P. Faroux, J. Renault, Mécanique 1 et 2, Dunod, 1994.
C. Grossetête, Relativité restreinte et structure atomique de la matière, éllipses, 1985.
J.P. Pérez, Mécanique, Masson, 1997.