Introduction 1. Mouvement dans un champ magnétique uniforme

Leçon 9 87
Leçon n°9 : Mouvement d'une particule chargée dans un champ
magnétique indépendant du temps. Applications (1er CU)
Introduction
1. Mouvement dans un champ magnétique uniforme
1.1. Mise en équation
1.2. Trajectoire
2. Applications
2.1. Accélérateurs circulaires (B uniforme)
2.2. Lentilles magnétiques (B non uniforme)
2.3. Autres applications
Conclusion
Introduction
Nous étudierons dans le cadre de la théorie de la relativité restreinte le mouvement d'une particule
chargée placée dans un champ magnétique uniforme et stationnaire.
Puis parmi les nombreuses applications possibles nous traiterons deux exemples. Le premier, lié à la
physique des particules concerne les accélérateurs circulaires où le champ magnétique est uniforme,
et le deuxième, pris dans le domaine de l'optique corpusculaire, les lentilles magnétiques dans
lesquelles le champ magnétique n'est pas uniforme.
1. Mouvement dans un champ magnétique uniforme
1.1. Mise en équation
Considérons une particule en mouvement à la vitesse v par rapport à un réferentiel galiléen R. Si elle
est soumise à une force f, nous savons d'après les résultats de la dynamique relativiste que :
d
dt =
pf et dE
dt =⋅fv
où p est l'impulsion de la particule et E son énergie relativiste. Dans un champ magnétique B, la
particule de charge q et de masse m est soumise à la force de Lorentz :
q=∧fvB,
ainsi qu'a son poids négligeable devant f. Nous constatons alors que l'énergie de la particule reste
constante. En effet :
() ()
dE qq0
dt =⋅= ∧ ⋅= ∧ ⋅ =
fv v B v v v B .
Le champ magnétique seul ne permet pas d'augmenter la vitesse de la particule car :
2
22
mc
ECte
1v c
==
− ⇒ 0
vv Cte== ,
où 0
v est le module de la vitesse initiale.

88 Leçon 9
Le facteur 22
11vcγ= − étant constant, la relation fondamentale de la dynamique relativiste
s'écrit :
()
dd d
mm
dt dt dt
=
γ
=
γ
=
pv
vf
,
et l'équation du mouvement :
d
mq
dt
γ
=∧
vvB
.
Posons :
cqB
m
ω=
γ
.
On appelle pulsation cyclotron la quantité positive, homogène à l'inverse d'un temps :
cqB
m
ω=
γ
.
Choisissons maintenant, un repère Oxyz lié au référentiel R, tel que le champ B soit dirigé suivant
l'axe Oz. Dans ce repère, les coordonnées de la particule sont (x,y,z) et les composantes de son
vecteur vitesse (x
,y ,z ). Il en résulte :
c
xx0
yy0
zz1
=ω ∧
,
puis :
c
c
xy
yx
z0
=ω
=−ω
=
.
1.2. Trajectoire
Pour résoudre l'équation différentielle du mouvement il nous faut
connaître la position de la particule ainsi que sa vitesse à un instant
initial. Supposons qu'a l'instant t0= :
x0
y0
z0
=
=
= et 0
0
x0
yvsin
zvcos
=
=α
=α
,
avec 02≤α≤π . La troisième équation z 0=
 s'intègre immédiatement
en :
0
zvcos=α
 et 0
zvcost=α.
Pour intégrer les deux premières, nous allons utiliser la notation complexe. Posons :
Zxiy=+ avec
2
i1=− .
Ajoutons alors la première équation à la deuxième multipliée par i. Il vient :
α
O
x
z
By
0
v

Leçon 9 89
c
ZiZ=−ω
  .
En intégrant cette équation, on obtient :
c
ZiZA=−ω +
.
A est une constante d'intégration que l'on détermine à l'aide des conditions initiales, et :
c0
ZiZivsin=−ω + α
.
La solution de cette équation du premier ordre avec second membre est la somme de la solution de
l'équation homogène et d'une solution particulière. Elle s'écrit :
c
it 0
c
vsin
ZBe
−ω α
=+
ω,
où B est une constante d'intégration déterminée par les conditions initiales. Finalement :
()
c
it
0
c
vsin
Z1e
−ω
α
=−
ω,
ou encore :
c
it
00
cc
vsin vsin
Ze
−ω
αα
−=−
ωω.
Le module de cette expression est constant, égal à :
00 00
cc c
v sin v sin v sin mv sin
Zxiy qB
αα α
γ
α
−=−+==
ωω ω .
Dans le plan Oxy le mouvement est donc circulaire centré au point de coordonnées
()
0c
v sin ,0,0αω
et de rayon :
0
mv sin
RqB
γ
α
=.
En revenant à la notation réelle :
()
0cc
c
vsin
Zxiy 1cos tisin t
α
=+ = − ω+ ω
ω.
Les coordonnées de la particule sont :
()
0c
c
0c
c
0
vsin
x1cost
vsin
ysint
zvcost
α
=−ω
ωα
=ω
ω
=α
.
Dans le plan Oxy la période du mouvement est c
T2=πω. Pendant ce temps la particule se déplace
suivant l'axe Oz de :

90 Leçon 9
0
0c
vcos
pvcosT 2
α
=α= π
ω.
La trajectoire est donc une hélice de pas p (le pas réduit est 0c
vcosαω). Si 2α=π alors
cos 0α= et le mouvement hélicoïdal se réduit à un mouvement circulaire de rayon 0
RmvqB=γ
dans le plan Oxy.
Expérience
On utilise un tube à faisceau circulaire
placé dans le champ magnétique B de
bobines de Helmholtz. Les électrons
produits par un canon à électrons ont une
vitesse 0
v perpendiculaire à B, et leur
trajectoire est circulaire. La vapeur de
mercure dans le tube permet de visualiser
cette trajectoire et donc de déterminer le
rayon R du cercle.
La mesure de l'intensité du courant
circulant dans les bobines de Helmholtz
donne accès à la valeur de B, et la tension
accélératrice du canon à électrons, à la
vitesse 0
v . Il est alors possible de vérifier
dans l'hypothèse d'électrons non
relativistes, la relation :
0
mv
RqB =.
x
y
z
0
v
O
B
xy
z
0
v
O
B
q0>q0<
B
bobines de
Helmholtz
trajectoire
des électrons
tube
canon à
électrons

Leçon 9 91
2. Applications
2.1. Accélérateurs circulaires (B uniforme)
2.1.1. Le cyclotron et le synchrocyclotron
Un cyclotron est constitué de deux demi-cylindres
métalliques creux placés dans le vide, appelés
"dees" (de la même forme que la lettre D) dont les
faces planes sont parallèles. Entre ces plaques, un
champ électrique E accélère linéairement les
particules chargées, injectées au centre de l'appareil
avec de faibles vitesses horizontales. Un champ
magnétique B uniforme et stationnaire, vertical,
régnant dans tout l'espace, donne une trajectoire
circulaire de rayon R, aux particules à l'intérieur des
dees. Après chaque demi-tour, pour accélérer les
particules, le champ E doit changer de sens.
 Si les particules ne sont pas relativistes, vc et
1γ. La pulsation cyclotron ne dépend pas de v. Il
suffit alors d'appliquer entre les dees, un champ
électrique E alternatif dont la fréquence est égale à
la fréquence cyclotron :
cqB
2m
ν=π.
 Lorsque les particules ont effectué un grand nombre de tour dans le cyclotron, elles atteignent des
vitesses relativistes, v c d'où 1
γ. La pulsation cyclotron dépend de v qui augmente à chaque
demi-tour. Le champ alternatif E ne permet plus de continuer à accélérer les particules. Le cyclotron a
atteint sa limite relativiste. Pour donner plus d'énergie aux particules, il faut synchroniser la variation
du champ électrique E avec l'arrivée des particules entre les dees. L'appareil est alors appelé
synchrocyclotron.
Historiquement, le premier cyclotron fut construit par l'Américain Ernest O. Lawrence en 1930. Son
diamètre est de 11 cm et il permet de communiquer aux protons, une énergie de 80 keV . Pour élever
cette énergie, il suffit d'augmenter la taille du cyclotron puisque pour une valeur de B fixée, le rayon R
est une fonction croissante de la vitesse v. Ainsi dès 1939, un cyclotron de 2 m de diamètre pouvait
communiquer 20 MeV aux protons.
Actuellement, les cyclotrons permettent d'apporter à des protons et des deutons des énergies de 10 à
20 MeV . Ils sont ensuite envoyés sur des cibles pour créer des isotopes d'éléments naturels,
émetteurs de positons, à très courte période. On produit par exemple le radioélément 18 F de période
1,9 h en accélérant des protons à 18MeV sur une cible d'oxygène 18. Ces cyclotrons sont utilisés en
physique nucléaire, en chimie et en médecine. La tomographie par émission de positons (T.E.P.) est
un exemple d'un usage relativement récent du cyclotron dans le domaine médical. Elle consiste à
injecter par voie veineuse chez un patient, un radiotraceur émetteur de positons, porté par une
molécule, puis à enregistrer les positons émis à l'aide d'un capteur et enfin à reconstituer l'image avec
un système informatique. En cancérologie, on utilise le 18 FFDG−, molécule de désoxy-D-glucose
marquée au fluor. Ce sucre analogue au glucose se fixe sur les cellules cancéreuses, grandes
consommatrices de glucose, et permet ainsi de localiser très précisément les tumeurs.
Pour communiquer plus d'énergie aux particules, nous avons vu qu'il est nécessaire de prendre en
compte les effets relativistes et d'utiliser un synchrocyclotron. C'est en 1945 que le Soviétique V.I.
Veksler et les Américains E.M. McMillan et M.L.E. Oliphant, de façon indépendante, proposèrent pour
la première fois de faire varier la fréquence du champ électrique pour l'adapter à la fréquence de
rotation des particules relativistes. Le synchrocyclotron permit alors de communiquer 400 MeV aux
dees
B
E
vide
p
oussé
trajectoire