1 - Psychosmose

UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER - GRENOBLE 1
L2 - PHY231 - Décembre 2005 - Epreuve Terminale
Durée : 3 heures (Thermodynamique+Ondes)
Formulaire manuscript A4 recto-verso et calculatrice autorisés
Les sujets Ondes et Thermodynamique seront rendus sur des copies séparées
Partie 1 - Thermodynamique
Les 2 exercices sont indépendants.
Exercice 1 - Machines thermiques
1) Question préliminaire :
Pour une machine thermique, fonctionnant de manière cyclique et en contact avec 2 sources à
et ), démontrer, en utilisant le second principe,
températures constantes (respectivement
l’inégalité de Clausius :
où
et
sont les quantités de chaleur échangées avec chacune des sources.
On indiquera dans quel cas on a l’égalité et l’inégalité stricte. Généraliser au cas de 3 sources.
2) On étudie une machine réversible, fonctionnant avec trois sources de chaleur 1, 2 et 3, de tem et !" . Au cours d’un cycle, le
pératures respectives (constantes) système
(noté S) reçoit une quantité de chaleur de la source 1 et cède une quantité de chaleur
à la source 3. Le système S fournit au
à la source 2 et la même quantité de chaleur %$& ')( .
milieu extérieur une quantité d’énergie sous forme de travail #
a) Représenter schématiquement les échanges d’énergie entre S, les 3 sources et le milieu extérieur.
De quel type de machine thermique s’agit-il
? b) Déterminer les quantités de chaleur
et . Application numérique.
c) Déterminer le rendement de cette machine. Application numérique.
3) On propose une autre version de la machine réversible précedente. On supprime la source 2.
,+-'. ). Il subit un cycle de
Le système est constitué d’une mole de gaz parfait monoatomique (*
Carnot réversible, composé de 4 transformations :
/
/
Une compression isotherme de l’état A (0)1
9: 2 ; 7 ),
. 32 4 1 . 65
/
Une compression adiabatique de l’état B à l’état C (0=<
/
Une détente isotherme de l’état C à l’état D (0@
Une détente adiabatique de l’état D à l’état A.
?.
; @
4 < ?>+ 5
) à l’état B (087
),
),
>A+
a) Pourquoi doit-on nécessairement avoir 1
5 et <
85 ?
b) Calculer 0)< et 0@ .
c) Donner les expressions de BDCE1F7 BGCH7A< BDCE<@ et BDC9@A1 en fonction de 081 087 0)< et 08@ . On
précisera le signe de ces grandeurs.
)
d) Représenter de manière qualitative le cycle dans un diagramme I CFJ , température en fonction
de l’entropie.
1
7 e) Pour la transformation AB, que représente graphiquement 1
C ? À quelle grandeur physique
est-elle associée ?
4 < CH1 C97 CE< et C9@ . En déduire
f) En déduire l’expression de 1F7 et <@ en fonction de 1
l’expression du rendement de ce cycle moteur en fonction de 1 et < uniquement. Application
numérique. Comparer qualitativement avec le rendement de la question 2)c).
Exercice 2 - Conditions d’équilibre
?.
On considère un cylindre rigide de volume 0
2 , séparé en 2 compartiments A et B par un
piston mobile sans frottement. Les parois du cylindre et le piston sont diathermanes (elles transmettent la chaleur). Les 2 compartiments comportent chacun 1 mole de gaz parfait monoatomique.
! On impose à l’aide d’un thermostat une température constante aux systèmes A et B : 1
? . Les transformations isothermes subies par les systèmes A et B sont les suivantes :7
I 0
I 0
$ 1 2 1 J $ I 0
I 0
2 7 J
7
1 7
1 J
7J
& .
On notera 01 087 les volumes de A et B au cours de la transformation. On donne
' 5 .
On libère le piston qui va évoluer très lentement vers un état d’équilibre mécanique. La transformation est donc quasi-statique et l’on pourra définir les pressions et températures tout au long de
la transformation.
1)a) Calculer
les pressions dans l’état initial. Donner une condition sur les pressions dans l’état
final
( 1 7 ), ainsi qu’une relation liant les volumes. En déduire les valeurs numériques de
0 1 0 7 1 7.
b) Calcul du travail pour le système A :
Justifier la formule de #1 choisie et préciser quelle est la pression extérieure pour le système A.
Donner une relation liant 0)7 et 01 et en déduire l’expression de # 1 . Application numérique.
c) Donner l’expression et la valeur numérique de la chaleur échangée 1 pour le système A.
d) Calculer la variation d’entropie pour le système A. On justifiera la méthode utilisée et on donnera la valeur numérique de BDCE1 .
e) Calculer les valeurs numériques des termes d’échange ( C ) et de création ( ) d’entropie pour le
système A. Conclure.
2) On reprend le même exercice, mais pour trouver les conditions de l’équilibre, on va utiliser la
fonction thermodynamique F.
J est minimale.
Justifier cette affirmation.
a) À l’équilibre, l’énergie libre du système total I F
b) En utilisant la définition de F, en déduire l’expression générale de en fonction de 0 et .
c) Donner les expressions des variations infinitésimales de l’énergie libre des systèmes A et B
7 ) pour les transformations considérées. En déduire la variation infinitésimale de l’énergie
( 1
7 et 01 uniquement.
libre ( ) du système total (A+B), en fonction de 1
d) Trouver la condition qu’impose l’équilibre sur les pressions dans l’état final.
,+ -# ,
e) L’équilibre est stable si "! %'&
. En utilisant le coefficient thermoélastique *
# . & #$ )(
montrer que le système total (A+B) est dans un équilibre stable.
-/? C $01 0
Indication : Equation fondamentale de la thermodynamique :
2
io
t
c
re
r Licence 2 - UE PHY231 - Durée : 1h30 - Décembre 2005
o
C
Partie 1 - Thermodynamique
Exercice 1 - Machines thermiques
C .
1) On utilise l’expression BDC
Dans le cas d’un cycle, on a BGC
car l’entropie est une fonction d’état.
Par défintion la création d’entropie est positive (cas irréversible) ou nulle (cas réversible) :
On peut finalement évaluer l’échange d’entropie :
C .
car les sources sont à température constante.
On en déduit l’inégalité de Clausius :
) et l’inégalité pour les cycles irréversibles ( On a l’égalité pour les cycles réversibles (
.
NB : on peut utiliser d’autres méthodes, par exemple : pour un cycle on a BDC
Si le cycle est réversible :
BDC
si le cycle est irréversible :
BGC (
" Dans le cas de trois sources, on a de manière évidente :
= 2) a)
W=−1000 J
Q 1>0
1
θ1 = 177 °C
Q 3<0
Système S
3
θ3 = 27 ° C
Q 2<0
2
θ2 = 87 ° C
3
).
Le système fournit du travail au milieu extérieur, il s’agit donc d’un moteur thermique.
/ pour un sycle) :
b) On utilise le premier principe ( B
$
#
= et l’inégalité de Clausius :
On résoud le système, et on trouve :
- + # $= ..'. (
- $ # $ + # .::': (
c) Il s’agit d’un cycle moteur :
$ # 3) a) Le cycle étant réversible, il faut que la température du système soit égale à la température
extérieure (de la source) lors de l’échange de chaleur.
b) Les transformations BC et DA sont des adiabatiques réversibles d’un gaz parfait. On utilise
donc la loi de Laplace :
+
7
< &
+
1
@ &
0)< 08@ 087 9+' 2
01 :9. 2
c) On a BDC97A<
BDC9@A1 car il s’agit de transformations adiabatiques réversibles. On calcule
les deux autres variations d’entropie :
BDCH1E7 BGC9<A@ 0 0 80 7
0
1 &
0 @
8
)0 < & ( d)
T
TC
TA
C
D
A
B
S
SA
SB
4
e) représente l’aire sous la courbe dans
le diagramme (T,S). il s’agit également de la
chaleur échangée lors de la transformation
AB$ ( 1F7 ) 1 I C97 CH1 J et <@
< I CH@ $ CE< J .
f) On a donc (graphiquement) 1E7
Le rendement de ce cycle moteur vaut donc :
$ # F1 7 <@
< @
1 I C97 $$ HC 1 J $
< I C9@ EC < J
.'.
1 ?
<
Le rendement est plus grand que celui de la machine étudiée à la question 2 : on sait d’après le
théorème de Carnot que le rendement est maximal pour la machine de Carnot fonctionnant entre
les mêmes températures extrêmes (en l’occurence et ).
5
Exercice 2 - Conditions d’équilibre
- %+ -0 !
9+ 7
1)a) Dans l’état initial, on a : 1
et 7
.
0 1
L’état final
est
un équilibre mécanique, les pressions sont donc identiques de part et d’autre du piston : 1
7.
Par ailleurs, le volume total est constant : 0 1 0 7 0 .
Dans
l’état
final, on-a : + 1 0 1 et 7 0 7 Comme 1 7 , on en déduit :
0 1 0 7 0 - 2 . 4:: 0 1
On a donc : 1
.
7.
b) Le système A subit les contraintes imposées par le système B :
0 .
Par ailleurs, à tout instant, on peut écrire : 0)1 07
%$ 087 .
On dérive cette expression : 0)1
Pour le système A, l’échange d’énergie sous forme de travail est donc donné par 7 07 .
Le travail au cours de la transformation est donc :
7 087 # 1 0 7 087
0 7
0 7
# 1 %$ 7 01 Application numérique : #1
(.
Le travail est positif : il est reçu par le système A, ce qui est correct pour une compression.
c) Le gaz parfait contenu dans A subit une transformation isotherme.
la loi de Joule, on
/ 1 . D’après le premier principe, on a donc : 1 D’après
# 1 $& (
peut dire que B
d) Pour cette transformation irréversible, on utilise le fait que S est une fonction d’état. On considère le chemin réversible associé allant du même état initial au même état final. Sur ce chemin
on peut écrire :
0 0 1
G
B
A
C
1
0
0 1
$894. + C Application numérique : BDCE1
(5 .
-/ %
On peut également utiliser l’équation fondamentale de la thermodynamique (
/ , on obtient : qui est valable dans les cas réversibles et irréversibles. Comme
ce qui revient au même.
e) L’échange d’entropie est donnée par :
C $ 0
C
0
)
,
$ .9. (5 + BDC $ C ) (5 + .
La création d’entropie ( ) vaut donc : C Il s’agit d’une quantité positive, ce qui est correct pour une transformation irréversible.
2)a) Pour une transformation isotherme, on sait que B # , l’égalité caractérisant les processus
réversibles et l’inégalité les processus irréversibles (ce qui est notre cas).
Pour le système total, la transformation se fait sans échange d’énergie sous forme de travail. On a
donc B . F est donc minimale à l’équilibre.
/ $ C.
On peut aussi utiliser la définition : 6
On sait que T est constant, donc U également (loi de Joule). Le système total n’échange pas de
. On peut donc dire que l’entropie est maximale à l’équilibre. L’énergie libre
travail, donc
est donc minimale.
b) On sait que
namique :
/ $? C , on a donc, en utilisant l’équation fondamentale de la thermody / $ C $ C F $1 0 $ C E
c) Les transformation étant isothermes, on a :
1 %$ 1 01 $ CH1 F 1 $ 1 0 1
et
7 $ 7 087 $ C97 E 7 $ 7 80 7
F étant une fonction détat extensive, on en déduit pour le système total (A+B) :
$ 1 01 $0 7 0 7 I 7 $
d) F est minimale à l’équilibre. On a retrouve bien 1
I 7 $ 1 J , il vient donc :
e) On a ! % &
#
7
0 & 01 &
1
1 J 0 1 car 01 %$ 087
7 , la condition de l’équilibre mécanique.
$ 1
0 1 &
On utilise la définition du coefficient thermoélastique * pour les deux systèmes :
pour A :
pour B :
On a donc :
* + % # %% &
. # +
*
# & # % &
# .
# .
0 & * 087 1
$ 1 $=
0 1 & * 0 1
$ 7 01 & * 07
0 1 &
Comme les volumes sont des quantités positives, l’équilibre est stable si
pour tous les corps.
7
* ( , ce qui est le cas