1 - Psychosmose

UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER - GRENOBLE 1
L2 - PHY231 - Décembre 2005 - Epreuve Terminale
Durée : 3 heures (Thermodynamique+Ondes)
Formulaire manuscript A4 recto-verso et calculatrice autorisés
Les sujets Ondes et Thermodynamique seront rendus sur des copies séparées
Partie 1 - Thermodynamique
Les 2 exercices sont indépendants.
Exercice 1 - Machines thermiques
1) Question préliminaire :
Pour une machine thermique, fonctionnant de manière cyclique et en contact avec 2 sources à
températures constantes (respectivement et ), démontrer, en utilisant le second principe,
l’inégalité de Clausius :
où et sont les quantités de chaleur échangées avec chacune des sources.
On indiquera dans quel cas on a l’égalité et l’inégalité stricte. Généraliser au cas de 3 sources.
2) On étudie une machine réversible, fonctionnant avec trois sources de chaleur 1, 2 et 3, de tem-
pératures respectives (constantes) et . Au cours d’un cycle, le
système (noté S) reçoit une quantité de chaleur de la source 1 et cède une quantité de chaleur
à la source 2 et la même quantité de chaleur à la source 3. Le système S fournit au
milieu extérieur une quantité d’énergie sous forme de travail .
a) Représenter schématiquement les échanges d’énergie entre S, les 3 sources et le milieu extérieur.
De quel type de machine thermique s’agit-il ?
b) Déterminer les quantités de chaleur et . Application numérique.
c) Déterminer le rendement de cette machine. Application numérique.
3) On propose une autre version de la machine réversible précedente. On supprime la source 2.
Le système est constitué d’une mole de gaz parfait monoatomique ( ). Il subit un cycle de
Carnot réversible, composé de 4 transformations :
Une compression isotherme de l’état A ( ) à l’état B (
),
Une compression adiabatique de l’état B à l’état C ( ),
Une détente isotherme de l’état C à l’état D ( ),
Une détente adiabatique de l’état D à l’état A.
a) Pourquoi doit-on nécessairement avoir et ?
b) Calculer et .
c) Donner les expressions de et en fonction de et . On
précisera le signe de ces grandeurs.
d) Représenter de manière qualitative le cycle dans un diagramme , température en fonction
de l’entropie.
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e) Pour la transformation AB, que représente graphiquement ? À quelle grandeur physique
est-elle associée ?
f) En déduire l’expression de et en fonction de et . En déduire
l’expression du rendement de ce cycle moteur en fonction de et uniquement. Application
numérique. Comparer qualitativement avec le rendement de la question 2)c).
Exercice 2 - Conditions d’équilibre
On considère un cylindre rigide de volume , séparé en 2 compartiments A et B par un
piston mobile sans frottement. Les parois du cylindre et le piston sont diathermanes (elles trans-
mettent la chaleur). Les 2 compartiments comportent chacun 1 mole de gaz parfait monoatomique.
On impose à l’aide d’un thermostat une température constante aux systèmes A et B :
. Les transformations isothermes subies par les systèmes A et B sont les suivantes :
On notera les volumes de A et B au cours de la transformation. On donne .
On libère le piston qui va évoluer très lentement vers un état d’équilibre mécanique. La transfor-
mation est donc quasi-statique et l’on pourra définir les pressions et températures tout au long de
la transformation.
1)a) Calculer les pressions dans l’état initial. Donner une condition sur les pressions dans l’état
final ( ), ainsi qu’une relation liant les volumes. En déduire les valeurs numériques de
.
b) Calcul du travail pour le système A :
Justifier la formule de choisie et préciser quelle est la pression extérieure pour le système A.
Donner une relation liant et et en déduire l’expression de . Application numérique.
c) Donner l’expression et la valeur numérique de la chaleur échangée pour le système A.
d) Calculer la variation d’entropie pour le système A. On justifiera la méthode utilisée et on don-
nera la valeur numérique de .
e) Calculer les valeurs numériques des termes d’échange ( ) et de création ( ) d’entropie pour le
système A. Conclure.
2) On reprend le même exercice, mais pour trouver les conditions de l’équilibre, on va utiliser la
fonction thermodynamique F.
a) À l’équilibre, l’énergie libre du système total est minimale. Justifier cette affirmation.
b) En utilisant la définition de F, en déduire l’expression générale de en fonction de et .
c) Donner les expressions des variations infinitésimales de l’énergie libre des systèmes A et B
( ) pour les transformationsconsidérées. En déduire la variation infinitésimalede l’énergie
libre ( ) du système total (A+B), en fonction de et uniquement.
d) Trouver la condition qu’impose l’équilibre sur les pressions dans l’état final.
e) L’équilibre est stable si . En utilisant le coefficient thermoélastique ,
montrer que le système total (A+B) est dans un équilibre stable.
Indication : Equation fondamentale de la thermodynamique :
2

Licence 2 - UE PHY231 - Durée : 1h30 - Décembre 2005
Correction
Partie 1 - Thermodynamique
Exercice 1 - Machines thermiques
1) On utilise l’expression .
Dans le cas d’un cycle, on a car l’entropie est une fonction d’état.
Par défintion la création d’entropie est positive (cas irréversible) ou nulle (cas réversible) : .
On peut finalement évaluer l’échange d’entropie :
car les sources sont à température constante.
On en déduit l’inégalité de Clausius :
On a l’égalité pour les cycles réversibles ( ) et l’inégalité pour les cycles irréversibles ( ).
NB : on peut utiliser d’autres méthodes, par exemple : pour un cycle on a .
Si le cycle est réversible :
si le cycle est irréversible :
Dans le cas de trois sources, on a de manière évidente :
2) a)
θ = 87 °
2C
θ = 177 °
1Cθ = 27 °
3C
3
Q >0
1Q <0
3
Q <0
2
2
Système S
W=−1000 J
1
3

Le système fournit du travail au milieu extérieur, il s’agit donc d’un moteur thermique.
b) On utilise le premier principe ( pour un sycle) :
et l’inégalité de Clausius :
On résoud le système, et on trouve :
c) Il s’agit d’un cycle moteur :
3) a) Le cycle étant réversible, il faut que la température du système soit égale à la température
extérieure (de la source) lors de l’échange de chaleur.
b) Les transformations BC et DA sont des adiabatiques réversibles d’un gaz parfait. On utilise
donc la loi de Laplace :
c) On a car il s’agit de transformations adiabatiques réversibles. On calcule
les deux autres variations d’entropie :
d)
C
T
A
T
B
SA
S
T
S
A
B
C D
4

e) représente l’aire sous la courbe dans le diagramme (T,S). il s’agit également de la
chaleur échangée lors de la transformation AB ( )
f) On a donc (graphiquement) et .
Le rendement de ce cycle moteur vaut donc :
Le rendement est plus grand que celui de la machine étudiée à la question 2 : on sait d’après le
théorème de Carnot que le rendement est maximal pour la machine de Carnot fonctionnant entre
les mêmes températures extrêmes (en l’occurence et ).
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