Génération de champ magnétique par effet dynamo : l

Génération de champ magnétique par effet
dynamo : l’expérience VKS
Nicolas Mordant
Laboratoire de Physique Statistique
6 Novembre 2007
Compte-rendu de Luc Deike et Stéphanie Couvreur
Introduction
Les mouvements de convection d’un métal liquide peuvent gé-
nérer un champ magnétique par induction : c’est l’effet dynamo.
L’expérience VKS (Von Karman Sodium), développée en parte-
nariat entre l’ENS Paris et Lyon et le CEA de Saclay et Cada-
rache, a pour objectif de générer un tel champ magnétique afin de
permettre une meilleure compréhension de la magnétohydrodyna-
mique et des champs magnétiques naturels.
1 Champs magnétiques naturels
La plupart des panètes du système solaire ont un champ ma-
gnétique naturel. Il est intéréssant de remarquer quel’axe du dipôle
magnétique en correspond pas toujours à l’axe de rotation de la
planète. Grâce au paléomagnétisme, il est facile de reconstruire
l’histoire du champ magnétique terrestre. Au cours du temps, le
dipôle qu’est la Terre s’est de nombreuses fois inversé. La disper-
sion temporelle de ces inversions est très grande : une période de
signe de dipôle constant peut varier de quelques milliers d’années
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à une quarantaine de millions d’années.
Le Soleil possède lui aussi un champ magnétique naturel. Les
taches solaires, facilement observables, sont en fait des tubes de
champ magnétique qui sortent de la surface solaire. Enfin, les ga-
laxies ont aussi un champ magnétique.
Quelle est l’origine de ces champs magnétiques ?
2 Magnétohydrodynamique
2.1 Dynamo de Bullard
En 1919, Larmor émet l’hypothèse que le champ magnétique
solaire est généré par effet dynamo : de petits mouvements de
métal liquide générent des courants qui induisent un champ ma-
gnétique qui produit lui-même des courantes, etc. Le phénomène
s’auto-entretient et crée ainsi un champ magnétique permanent.
Un premier modèle de Dynamo est développé par Bullard :
L’équation qui régit la dynamique du système est :
LdI
dt =MΩI−RI
Pour avoir un effet dynamo, il faut que dI
dt >0, il existe donc une
vitesse de rotation seuil : Ω>R
M. En pratique, cette vitesse est
très grande et très difficile à réaliser : d’après la loi de Lenz, la force
d’induction créée par les courants va s’opposer aux mouvements et
va être d’autant plus grande que la vitesse de rotation sera élevée.
2.2 Les équations de la magnétohydrodynamique
La magnétohydrodynamique est le couplage entre l’hydrody-
namique et le magnétisme. Les équations utilisées vont donc être
les équations de Maxwelle et de Navier-Stokes.
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Fig. 1 – Dynamo de Bullard
– Equations de Maxwell sur le champ magnétique :
∂B
∂t =∇ × (u×B) + νm∇2B
∇.B= 0
νm=1
σµ0est la diffusivité magnétique (effet Joule).
– Equation de Navier-Stokes pour un fluide en présence d’un
champ magnétique et incompressibilité :
∂u
∂t + (u.∇)u=−∇P ρ+ν∇2u+1 ρµ0((∇ × B)×B)
∇.u= 0
2.3 Les mécanismes d’induction
Quels sont les mécanismes susceptibles de produire un champ
magnétique. On suppose que notre fluide conducteur est parfait,
c’est à dire que νm= 0, on néglige la diffudion. L’équation de
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l’induction peut alors se réécrire :
∂B
∂t + (u.∇)B= (B.∇)u
Dans la limite du conducteut parfait (ou limite non diffudise),
les lignes de courant et le champ magnétique sont transportés et
déformés par l’écoulement.
On distingue deux types de mécanismes d’induction : l’effet αet
l’effet ω.
– Effet α
L’hélicité (vorticité et advection) déforme les lignes de champ.
Une boucle de courant est ainsi formée, créant un champ ma-
gnétique orthogonal au champ magnétique initial.
– Effet ω
Deux disques tournent dans des sens opposés et provoquent
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la torsion des lignes de champ. Cet effet est facilement ob-
servable.
3 L’expérience VKS
3.1 Ecoulement Von Karman
Cet écoulement est mis en mouvement par deux disques contra-
rotatifs. L’effet ωest donc observable avec la rotation différentielle.
De plus, le fluide est éjecté vers l’éxtérieur par la force centrifuge
provoquant de l’hélicité. A partir de ce dispositif mêlant effets α
et ω, est-il possible de générer une rétroaction positive et produire
ainsi un champ magnétique spontané ?
L’écoulement est caractérisé par deux nombres sans dimension :
le nombre de Reynolds Re =Lu
νet le nombre de Reynolds magné-
tique Rem=Lu
νm. Un bilan d’énergie nous donne l’équation sans
dimension : dEm
dt =Im+PJ Rm
Le signe de Imdépend des conditions d’expériences, il va donc
falloir trouver la bonne configuration pour qu’elle soit positive.
PJest la puissance par effet Joule, elle est donc négative, il faut
donc se placer à grand nombre de Reynolds magnétique pour que
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