Chapitre5

Biomécanique
Chapitre 5
Mouvement dans le champ de pesanteur
terrestre
1
Interaction gravitationnelle
Deux corps solides de masse respectives mA et mB distants de r
s’attirent selon la loi de Newton
Cette loi définit la force d’interaction gravitationnelle
→
=
→
=
Avec G = 6.67 10-11 Nm2kg-2 constante universelle de gravitation
2
Champ de pesanteur terrestre
La force due au champ de pesanteur terrestre est notée
→
On définit alors une grandeur vectorielle que l’on appelle poids
par la relation :
→
=
→
→
Le champ de pesanteur n’est pas uniforme à la surface de la terre
(g = 9.81 m/s2 à Paris et 9.776 m/s2 à Quito)
Néanmoins, on prendra pour nos études g = 9.81 m/s2
3
Trajectoire dans le champ de pesanteur
Considérons le problème suivant, un solide S de masse m est lancé
dans le champ de pesanteur terrestre d’un hauteur initiale y0 et
avec une vitesse initiale v0 (on négligera la résistance de l’air)
→
α
→
→
4
→
=
→
α +
α
→
Accélération de S
Une fois lancé le solide S ne subit plus que le champ de gravité
terrestre
→
, en appliquant le principe fondamental de la dynamique
sur S, il vient :
→
=
→
=
→
→
=
→
=
→
=
=−
L’accélération du centre d’inertie du solide S est égale au champ de
pesanteur terrestre
5
Equation horaire suivant l’axe x
La composante du poids suivant cet axe est nulle, par conséquent
l’accélération ax est nulle. Si cette accélération est nulle alors la vitesse vx
est constante depuis le lancer jusqu’à l’atterrissage.
=
=
=
=
α
La coordonnée horizontale x(t) est obtenu en intégrant la vitesse :
α +
=
Or la position initiale suivant l’axe x est nulle donc x0 = 0
=
6
α
Equation horaire suivant l’axe y
Suivant l’axe y, le poids du solide intervient, on a alors :
=−
Pour calculer la vitesse vy du centre d’inertie du solide, on intègre
l’accélération :
=−
+
=−
+
α
Enfin, pour calculer la coordonnée y(t) du centre d’inertie du solide, on intègre
La vitesse vy :
=−
7
+
α +
Equation de la trajectoire
L’équation de la trajectoire est la relation qui relie les coordonnées y et x
Pour la déterminer, il faut éliminer le temps entre les 2 équations horaires
Or
=
α
donc
=
α
En reportant la valeur de t dans l’équation horaire de y(t), il vient :
=−
α
=−
+
α
α
α
+
+( α) +
La relation est de la forme y = ax2 + bx + c, c’est l’équation d’une parabole
8
Définition de la portée
Le solide S va retrouver l’horizontale en un point situé à une distance P de
l’origine du repère que l’on appellera portée du jet
9
Calcul de la portée
A l’instant où le solide touche le sol, on a x = P et y = 0 donc :
=−
+
α +
=
De la forme at2 + bt + c = 0, cette équation horaire du second degré
a deux solutions mathématiques dont une positive qui correspond à
la solution notre problème :
=
10
α+
α
+
Calcul de la portée
La portée P est donc égale à x(t2) soit :
=
11
=
α
[
α+
α
+
]
Applications
Le calcul de la portée peut être appliqué à de nombreuses disciplines
athlétiques de lancer ou de saut :
•
Lancer de poids
•
Saut en longueur…
Le problème est souvent de déterminer l’angle α optimal pour
une vitesse de décollage fixée
12
Lancer du poids
Influence de l’angle α sur la performance pour les conditions initiales
suivante :
•
y0 = 2.4 m
•
v0 = 13.4 m/s
α (degrés)
P (m)
30
19.28
35
20.13
40
20.55
45
20.46
Une victoire se jouant souvent au centimètres près, il est important
d’optimiser l’angle de lancer (40°)
13
Saut en longueur
Pour estimer la performance p au saut en longueur, il faut ajouter à la
portée, la position x0 du centre d’inertie au moment du décollage et
la distance e entre la position de la marque et la position du centre d’inertie
(p = P + x0 + e)
Les meilleurs performances sont réalisées avec des vitesses de 9.5 m/s
et des angles de 20°à 21°
α = 20°
P = 8.34 m
α = 21°
P = 8.35 m
En outre x0 et e sont de l’ordre de 0.25 m ce qui donne des performances
maximales de 8.85 m
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Bibliographie
MECANIQUE
Mécanique des solides, M. Coubranous, D. Desjardins, C. Bacon, Amphi science
Mécanique, J. P. Pérez, Masson
BIOMECANIQUE
Biomécanique du mouvement et APS, J. P. Blanchi, Vigot
Mécanique humaine, J. Duboy, A. Junqua, P. Lacouture, Revue EPS
Physique pour les sciences du sport, A. Durey, Masson
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