PACES TOUT L’UE3 EN FICHES Organisation des appareils et des systèmes : bases physiques des méthodes d’exploration 2e édition 9782100727308-belazreg-lim.indd 1 Salah Belazreg Professeur agrégé et docteur en physique, il enseigne au lycée Camille Guérin à Poitiers. Il a enseigné la biophysique et les biostatistiques en classes préparatoires aux concours de Médecine. 25/06/15 11:48 © Dunod, 2015 5 rue Laromiguière, 75005 Paris www.dunod.com ISBN 978-2-10-072730-8 © Dunod 2011 pour la 1re édition 9782100727308-belazreg-lim.indd 2 25/06/15 11:48 9782100727308-belaz-tdm.qxd 12/06/15 13:26 Page III Table des matières Physique [Mécanique] Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche cours cours cours cours cours QCM 1 2 3 4 5 6 Cinématique du point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Dynamique du point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Étude énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 Chocs entre deux particules . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Les oscillateurs mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . .15 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. [Thermodynamique] Fiche Fiche Fiche Fiche cours cours cours cours 7 8 9 10 Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche cours cours cours cours QCM 11 12 13 14 15 Théorie cinétique du gaz parfait . . . . . . . . . . . . Statique des fluides ou hydrostatique . . . . . . . Premier principe de la thermodynamique . . . . Paramètres d’état. Transformations. Travail échangé au cours d’une transformation réversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Second principe de la thermodynamique . . . . . Changements de phases d’un corps pur . . . . . Phénomènes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . Thermodynamique chimique . . . . . . . . . . . . . . QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 . .32 . .35 . . . . . . .39 .42 .45 .49 .53 .57 [Mécanique des fluides] Fiche cours Fiche cours Fiche QCM 16 Les phénomènes de surface . . . . . . . . . . . . . . . . .63 17 Mécanique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 18 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71 [Électricité – Électromagnétisme] Fiche cours Fiche cours Fiche cours 19 Champ et potentiel électrostatiques . . . . . . . . . . .76 20 Le dipôle électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 21 Flux du vecteur champ électrique. Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83 III 9782100727308-belaz-tdm.qxd 12/06/15 13:26 Page IV [Table des matières] Fiche Fiche Fiche Fiche cours cours cours cours Fiche cours Fiche cours Fiche QCM 22 23 24 25 Condensateurs. Capacité . . . . . . Électrocinétique . . . . . . . . . . . . . Milieux conducteurs . . . . . . . . . Champ d’induction magnétique . . . . − → . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 .91 .94 .98 26 Action d’un champ magnétique B sur un circuit fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102 27 Mouvement d’une particule chargée dans un champ uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . .104 28 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109 [Ondes] Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche cours cours cours cours QCM 29 30 31 32 33 Généralités sur les ondes . . . . . . . . . . . . . Effet Doppler-Fizeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notions sur les ondes électromagnétiques Interférences. Diffraction . . . . . . . . . . . . . . QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115 .118 .121 .125 .130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134 .138 .142 .145 .147 .152 Les origines de la physique quantique . . . Niveaux d’énergie dans un atome . . . . . . Le laser – Oscillateur à fréquence optique Mécanique ondulatoire . . . . . . . . . . . . . . . QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159 .162 .166 .170 .173 . . . . . . . . . . . . . . . . .182 .187 .189 .192 [Optique géométrie] Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche cours cours cours cours cours QCM 34 35 36 37 38 39 Fondements de l’optique géométrique Dioptres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les lentilles minces . . . . . . . . . . . . . . . L’œil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les instruments d’optique . . . . . . . . . . QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [Lumière et ondes] Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche cours cours cours cours QCM 40 41 42 43 44 Biophysique [Biophysique des solutions] Fiche Fiche Fiche Fiche IV cours cours cours cours 45 46 47 48 Généralités sur les solutions aqueuses Acides et bases en solution aqueuse . pH d’une solution aqueuse . . . . . . . . . Valeur de pH d’une solution aqueuse . . . . . . . . . . . . . 9782100727308-belaz-tdm.qxd 12/06/15 13:26 Page V [Table des matières] Fiche cours Fiche cours Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche cours cours cours cours cours QCM 49 Réactions acide-base. Courbes de titrage 50 Diagramme de Davenport et troubles acido-basiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Osmose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Mesure de la pression osmotique . . . . . . 53 Travail osmotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Phénomènes électriques. Effet Donnan . 55 Ultrafiltration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195 . . . . . .199 . . . . . .202 . . . . . .204 . . . . . .206 . . . . . .208 . . . . . .210 . . . . . .213 [Les radiations ionisantes] Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche cours cours cours cours cours cours cours cours cours Fiche cours Fiche QCM 57 58 59 60 61 62 63 64 65 Le noyau atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stabilité des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La radioactivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les différentes radioactivités . . . . . . . . . . . . . . . Décroissance radioactive . . . . . . . . . . . . . . . . . . Une application de la radioactivité. La datation Filiations radioactives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les réactions nucléaires provoquées . . . . . . . . Interactions des particules chargées avec la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Spectre des rayons X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217 .221 .224 .226 .231 .234 .236 .239 .241 .244 .247 © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. [Biophysique sensorielle] Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche cours cours cours cours cours cours cours QCM 68 69 70 71 72 73 74 75 Les amétropies sphériques . . L’astigmatisme . . . . . . . . . . . . La presbytie . . . . . . . . . . . . . . Ondes sonores et audition . . Propagation des sons . . . . . . Sons purs et sons complexes L’audition subjective . . . . . . . QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255 .259 .261 .264 .266 .269 .272 .275 Formation des échos. Impédance acoustique Atténuation du faisceau ultrasonore . . . . . . . Imagerie médicale à l’aide des ondes U.S. . . L’échographie Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .281 .284 .286 .288 [Imagerie médicale] Fiche Fiche Fiche Fiche cours cours cours cours 76 77 78 79 V 9782100727308-belaz-tdm.qxd 12/06/15 13:26 Page VI [Table des matières] Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche cours cours cours cours QCM 80 81 82 83 84 Les nombres quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moments magnétiques de particules chargées Les bases physiques de la RMN . . . . . . . . . . . . Notions d’imagerie RMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291 .294 .296 .300 .304 Compléments mathématiques Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche Fiche VI méthode méthode méthode méthode méthode méthode méthode méthode 85 86 87 88 89 90 91 92 Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .310 Primitives. Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .312 Fonctions logarithme et exponentielle . . . . . . . .315 Fonctions de plusieurs variables indépendantes 318 Développement de fonctions en séries entières .320 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .323 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .326 Grandeurs fondamentales associées à un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .330 9782100727308-belazreg-P01.qxd 10/06/15 13:40 Page 1 9782100727308-belazreg-C01.qxd 25/06/15 11:28 Page 2 [Mécanique] Cinématique du point Repérage d’un point. Le paramètre position a. En coordonnées cartésiennes − →− →− → Soit ( i , j , k ) une base orthonormale directe liée au référentiel (R). Tout point M peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z). Si O est l’origine du repère, le vecteur position s’écrit : x,y et z en m −−→ − − → − → − → r = O M = x 2 + y 2 + z 2 → OM = r = x i + y j + z k − →− →− → ( i , j , k ) : base orthonormale directe liée au référentiel z M k i j y O H x Physique ✑➨❺❸➅➀➈ ❼ b. En coordonnées polaires (cas d’un mouvement plan) On définit un axe O x, axe polaire, et une origine ou pôle O. Un point mobile M peut être repéré par ses coordonnées polaires (r, θ) −→ −−→ où r = O M et θ = ( O x, O M). y Le vecteur position s’écrit donc : → − −−→ − → − → O M = r = r u r r : rayon vecteur θ : angle polaire ur M r j O i x [IMPORTANT] − → − → (ur , uθ ) est une base locale mobile, orthonormée directe, liée au point M. 2 9782100727308-belazreg-C01.qxd 06/07/15 11:05 Page 3 [Cinématique du point] c. En coordonnées cylindriques z zM uz −−→ −→ −−→ → → O M = O H + H M = r− ur + z− uz −→ −→ Avec r = O H et θ = ( O x, O H ) M ur O y r H x Les grandeurs d’évolution On définit la vitesse d’un point M dans le repère R par : −−→ dOM − → v = dt L’accélération du mobile, à l’instant t, est la dérivée dans (R ) du vecteur vitesse par rapport au temps, soit : − → −−→ 2 dv d OM − → a = = dt dt 2 R R Expressions dans différents systèmes de coordonnées a. En coordonnées cartésiennes −−→ dy dz dx d O M → − → − → − → = ẋ − , ẏ = ,ż = i + ẏ j + ż k ; ẋ = v = dt dt dt dt R − → dv d2x d2 y d2z − → − → − → − → a = = ẍ i + ÿ j + z̈ k ; ẍ = 2 , ÿ = 2 ,z̈ = 2 dt dt dt dt Physique Ȑ✑➨❺❸➅➀➈❼ȑ © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. R R 3 9782100727308-belazreg-C01.qxd 10/06/15 13:27 Page 4 [Cinématique du point] b. En coordonnées cylindriques −−→ dOM → − → − → = ṙ − u r + r θ̇ − u→ v = θ + ż u z dt R − → dv − → → − → a = = (r̈ − r θ̇ 2 )− u r + (r θ̈ + 2ṙ θ̇)− u→ θ + z̈ u z dt R c. Dans le repère de Frenet → → n ), lié au mobile M tel que : τ ,− On introduit un repère mobile (− → : vecteur unitaire porté par la tangente à la courbe et orienté dans − τ le sens du mouvement − → → n τ et dirigé vers la concavité de : vecteur unitaire orthogonal à − la trajectoire dv aτ = dt → → → − → → n avec τ + an − a = aτ − v = v− τ ;− 2 a = v n R Étude de quelques mouvements usuels a. Mouvement rectiligne uniforme Physique Ȑ✑➨❺❸➅➀➈❼ȑ −→ → v = cste , par suite : Pour un mouvement rectiligne uniforme − 4 v = v0 = cste et x = v0 t + x0 b. Mouvement rectiligne uniformément varié Un point mobile M a un mouvement rectiligne uniformément varié si − → −→ − → → a =− a0 = a0 i = cste , par suite : (1) a = a0 = cste (2) v = a0 t + v0 (3) x = 12 a0 t 2 + v0 t + x0 , soit v 2 − v02 = 2a0 (x − x0 ) 9782100727308-belazreg-C01.qxd 10/06/15 13:27 Page 5 [Cinématique du point] c. Mouvement rectiligne sinusoïdal Définition Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne sinusoïdal si sa trajectoire est une droite et sa loi horaire est une fonction sinusoïdale du temps, soit : x : amplitude du mouvement m ω : pulsation (en rad · s−1 ) x = xm sin(ωt + φ) φ : phase à l origine (en rad) (ωt + φ) : phase à la date t (en rad) Vitesse et accélération du mobile v = ẋ = ωxm cos(ωt + φ) a = ẍ = −ω2 xm sin(ωt + φ) = −ω2 x, soit ẍ + ω2 x = 0 x(t) Définition Un point mobile M a un mouvement circulaire uniforme lorsqu’il se déplace sur un cercle fixe, de rayon R, par rapport au repère d’espace choisi à la vitesse angulaire ω0 = θ̇ = cste. Vitesse et accélération du mobile − → − → v = R θ̇ − u→ θ = Rω u θ v → − → → a = − − ur u r = −Rω02 − R 2 → a est centripète et le mouvement est périodique de L’accélération − 2π . période T0 = ω0 Physique Ȑ✑➨❺❸➅➀➈❼ȑ © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. d. Mouvement circulaire uniforme 5 9782100727308-belazreg-C02.qxd 11/06/15 9:43 Page 6 [Mécanique] Dynamique du point matériel Les éléments cinématiques a. Quantité de mouvement d’un point matériel → v dans Soit un point matériel M, de masse m, se déplaçant à la vitesse − un repère (R). → p , dans le Le vecteur quantité de mouvement du point matériel M, noté − repère (R) s’écrit : → − p : vecteur quantité de mouvement − → → p = m− v m : masse du point matériel → − v : vecteur vitesse du point matériel b. Énergie cinétique Un point matériel de masse m, se déplaçant à la vitesse v, dans un référentiel (R ), possède une énergie cinétique telle que : Ec en J 1 Ec = m v 2 m en kg v en m · s−1 2 Physique Ȑ✑➨❺❸➅➀➈❼ȑ c. Relation entre énergie cinétique et quantité de mouvement 6 → → → → p = m2− v et par suite : p = m− v , alors − Comme − 2 Ec = 2 p2 ; p : module du vecteur quantité de mouvement 2m Les différentes lois de Newton a. Principe d’inertie (1re loi de Newton) Le centre d’inertie d’un solide (pseudo) isolé est tel que : 9782100727308-belazreg-C02.qxd 11/06/15 9:43 Page 7 [Dynamique du point matériel] • s’il est au repos, il reste au repos ; • s’il est en mouvement, son mouvement est rectiligne uniforme. −→ − système isolé −→ − v→ → G = cste f ext = 0 ⇒ ⇒ ou −→ − → p = cste pseudo-isolé b. Relation fondamentale de la dynamique (2e loi de Newton) → p , souPour un point matériel de masse m, de quantité de mouvement − −→ f ext , on a : mis à un ensemble de force → −→ d− p = f ext dt Pour un point matériel de masse m = cste, on a : m : masse du solide −→ − → f ext aG : vecteur accélération du centre d inertie m− a→ G = −→ f : ensemble des forces s exerçant sur le solide ext −−→ Si un système (A) exerce sur un système (B) une force FA/B alors (B) −−→ exerce sur (A) une force FB/A telle que : −−→ −−→ FA/B = − FB/A [ATTENTION] Quel que soit l'état de mouvement de A par rapport à B , on a toujours −−−→ −−−→ l'égalité vectorielle : FA/B = −FB /A . Physique Ȑ✑➨❺❸➅➀➈❼ȑ © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. c. Principe des actions réciproques (3e loi de Newton) 7 9782100727308-belazreg-C03.qxd 11/06/15 9:39 Page 8 [Mécanique] Étude énergétique Travail d’une force − → a. Cas d’une force F constante Lors d’un déplacement de son centre d’inertie d’un point A à un point B, − → le travail d’une force constante F agissant sur un solide animé d’un mouvement rectiligne par rapport à un référentiel (R ) est donné par : − → − → −→ W ( F ) A→ B = F · AB ou − → − → −→ W ( F ) A→ B = F · AB · cos( F, AB) F en N AB en m − → W ( F ) A→ B en J b. Cas d’une force variable pour un déplacement quelconque Physique Ȑ✑➨❺❸➅➀➈❼ȑ Lors d’un déplacement élémentaire du point d’application d’une force − → F constante, le travail élémentaire δW vaut : − → − → − → F en N δW ( F ) = F · δl δl en m ou → − → − →− → δW (− F ) en J δW ( F ) = F · δl · cos( F, δl ) 8 − → Le travail total de la force F lorsque son point d’application se déplace de A en B s’écrit : B B − − → → − → − → W ( F ) A→ B = F · δl δW ( F ) = A A ou sous forme intégrale : − → W ( F ) A→ B = B A − → − → − → −−→ → v dt F · dl avec dl = M M = − 9782100727308-belazreg-C03.qxd 11/06/15 9:40 Page 9 [Étude énergétique] Théorème de l’énergie cinétique a. Énergie cinétique → v , dans un réféUn point matériel de masse m se déplaçant à la vitesse − rentiel (R), possède une énergie, appelée énergie cinétique, telle que : 1 Ec = mv 2 2 Ec en J m en kg v en m · s−1 b. Puissance d’une force Par définition, la puissance est égale au travail fourni par unité de temps, soit : δW P= δt W en J t en s P en W − → δl − → − → − → − → − → δW = F · δl = F · v dt, où v = δt et par suite : F en N − → − P= F ·→ v v en m · s−1 P en W c. Relation entre la puissance et l’énergie cinétique → → d− v − d− v − → − → → ·→ v. v . Comme F = m On a P = F · − alors P = m dt dt Physique Ȑ✑➨❺❸➅➀➈❼ȑ © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. − → Pendant la durée δt, le point d’application de la force F s’est déplacé − → de δl . Le travail élémentaire s’écrit donc : 9 9782100727308-belazreg-C03.qxd 7/07/15 7:47 Page 10 [Étude énergétique] La masse m étant constante, on peut donc écrire : P= d P en W (Ec ) Ec en J dt d. Théorème de l’énergie cinétique → v , dans Pour un point M matériel, de masse m, se déplaçant à la vitesse − un référentiel (R ) galiléen, soumis à un ensemble de forces dont la résul− → tante est F : t2 − → − → − → − → d Ec = δW ( F ), soit Ec = Ec2 − Ec1 = F ·d l = W ( F ) 1−→2 t1 Énergie potentielle. Énergie mécanique a. Force conservative − → Une force F est dite conservative s’il existe une fonction E p , dépendant uniquement des coordonnées de position, telle que : − → − → d E p = − F · dl E p est homogène à une énergie E p en J F en N l en m E p est appelée énergie potentielle de la particule M associée à la force Physique ✑➨❺❸➅➀➈ ❼ − → F. 10 − → u→ Dans le cas d’une force F = F(x) · − x ne dépendant que d’une seule coordonnée x, on a : d E p = −F(x) · dx, soit F(x) = − d Ep dx b. Relation entre travail et énergie potentielle − → − → − → Le travail élémentaire d’une force F est δW = F · dl. 9782100727308-belazreg-C03.qxd 11/06/15 9:40 Page 11 [Étude énergétique] − → − → Si F est conservative alors F dérive d’une énergie potentielle E p telle − → − → que d E p = − F · dl , soit : δW = −d E p − → Le travail total de la force F s’écrit donc : − → W ( F )1→2 = − 1 (Le travail de la force 2 E d E p = − E p E pp21 = E p1 − E p2 − → F est indépendant du chemin suivi) c. Énergie mécanique d’un corps Dans le cas d’un référentiel galiléen, on a vu que d Ec = δW. − → Si la force F est conservative, alors il existe une fonction E p telle que dW = −d E p . En combinant les deux dernières relations, on obtient d Ec = −d E p , soit d(Ec + E p ) = 0, c’est-à-dire : La somme Em = Ec + E p , qui se conserve au cours du temps, est appelée énergie mécanique de la particule M. Physique Ȑ✑➨❺❸➅➀➈❼ȑ © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. Ec + E p = Em = cste 11 9782100727308-belazreg-C04.qxd 11/06/15 10:03 Page 12 [Mécanique] Chocs entre deux particules Impulsion – Percusssion → v à l’instant t : Pour une particule de masse m et animée d’une vitesse − − → F : résultante des forces agissant sur la particule entre les instants t et t + ∆t → − → − I : impulsion de la force F → − → t2 − I = t1 F dt [IMPORTANT] − → • Si F reste constante dans l’intervalle de temps ∆t = t2 − t1 et si ∆t − → est très petit alors I est appelé percussion. − → • Comme F = → d− p − → t → → p = ∆− p , alors : I = t12 d − dt L’impulsion reçue par un point matériel est égale à la variation de la quantité de mouvement de ce point matériel. Physique Ȑ✑➨❺❸➅➀➈❼ȑ Chocs entre deux particules 12 Soient deux particules (1) et (2) de masses m 1 et m 2 . Si les deux particules viennent à se rencontrer, on dit qu’il y a collision ou choc entre les deux particules. Le système constitué par deux particules qui entrent en collision est un système isolé. Au cours d’un choc : − → → p1 = m 1 − v1 : vecteur quantité −→ −→ dp1 dp2 − → de mouvement de la particule + = 0 dt dt (1) de masse m 1 − − → → soit p2 = m 2 v2 : vecteur quantité −→ de mouvement de la particule − → → p1 + − p2 = cste (2) de masse m 2 Le système constitué par deux particules qui entrent en collision est un système isolé. 9782100727308-belazreg-C04.qxd 11/06/15 10:03 Page 13 [Chocs entre deux particules] La conservation de la quantité de mouvement donne : − → − → − → → p1 + − p2 = p1 + p2 (avant le choc) (après le choc) Chocs élastiques et chocs inélastiques → → v2 leurs vecteurs vitesv1 et − Soient deux particules de masse m 1 et m 2 , − − → − → se avant le choc et v1 et v2 leurs vecteurs vitesse après le choc. a. Choc élastique Au cours d’un choc élastique, outre la conservation de la quantité de mouvement, il y a conservation de l’énergie cinétique : −→ − → p = cste et Ec = cste Ainsi : Soit : 1 1 1 1 m 1 v12 + m 2 v22 = m 1 v12 + m 2 v22 2 2 2 2 (avant le choc) p12 p22 2m 1 + 2m 2 = (après le choc) 2 p1 p22 + 2m 1 2m 2 • Lorsque les particules après le choc sont identiques aux particules initiales, on a un processus de « diffusion » et on parle alors de diffusion élastique. • Dans le cas de particules chargées, il y a conservation de la charge électrique. b. Choc inélastique Au cours d’un choc inélastique, il y a dissipation de l’énergie. [ATTENTION] Au cours d'un choc inélastique, il n'y pas conservation de l'énergie cinétique. c. Choc central élastique Un choc entre deux particules est dit central ou « de plein fouet » si les vecteurs vitesse avant et après le choc sont des vecteurs colinéaires. Physique Ȑ✑➨❺❸➅➀➈❼ȑ © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. [IMPORTANT] 13 9782100727308-belazreg-C04.qxd 25/06/15 11:32 Page 14 [Chocs entre deux particules] Pour un choc central élastique, on peut écrire : v1x = 2m 2 v2x + (m 1 − m 2 )v1x 2m 1 v1x − (m 1 − m 2 )v2x et v2x = m1 + m2 m1 + m2 v1x : vitesse de la particule (1) avant le choc v2x : vitesse de la particule (2) avant le choc v : vitesse de la particule (1) après le choc 1x v : vitesse de la particule (2) après le choc 2x Cas particuliers : • Si avant le choc, la particule cible est immobile, soit v2x = 0, alors : m1 − m2 2m 1 v1x ; v2x = v1x m1 + m2 m1 + m2 → → ϕ = (− v1 ,− v2 ) : angle de diffusion v1x = v'2 particule (2) immobile x' x v1 x' x v'1 Avant le choc après le choc Physique ✑➨❺❸➅➀➈ ❼ • Si les deux particules se heurtent avec des vitesses opposées, soit 14 v1x = −v2x . Si, de plus, m 1 = m 2 , alors : = v2x = −v1x v1x et v2x = v1x 9782100727308-belazreg-C05.qxd 25/06/15 11:34 Page 15 [Mécanique] Les oscillateurs mécaniques Définitions a. Qu’est-ce qu’un oscillateur ? On appelle oscillateur tout système qui effectue des mouvements de vaet-vient autour d’une position d’équilibre stable. Si E p représente l’énergie potentielle du système, son évolution en fonction de la position x peut être donnée par le graphe de la figure cidessous : p(x) Un oscillateur est un système écarté de sa position d équilibre stable. Le système se trouve donc dans une cuvette de potentiel. m 0 x1 x0 x2 x [IMPORTANT] Les oscillations sont libres quand, une fois écarté de sa position d'équilibre, l'oscillateur est abandonné à lui-même. b. L’oscillateur harmonique L’oscillateur est dit harmonique si sa cuvette de potentiel est parabolique. Physique ✑➨❺❸➅➀➈ ❼ © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. 0 15 9782100727308-belazreg-C05.qxd 7/07/15 7:53 Page 16 [Les oscillateurs mécaniques] p(x) La position d’équilibre stable correspond à x = x0 . Ce mouvement n’a pas de branches infinies, puisque x est limité à l’intervalle [x1 ,x2 ]. Le mouvement de l’oscillateur dans la cuvette de potentiel est donc un mouvement lié. m 0 0 x1 x0 x2 x Dans le cas d’un oscillateur mécanique en translation selon un axe x O x, par exemple, l’énergie potentielle s’écrit donc sous la forme : E p (x) = Ax 2 + E0 avec A = cste > 0 c. Les oscillateurs mécaniques d’usage courant Physique ✑➨❺❸➅➀➈ ❼ Le pendule simple 16 La grandeur physique associée à l’oscillateur est l’angle θ(t) appelé élongation angulaire. θ(t) désigne l’écart angulaire entre la position du pendule à l’instant t et celle à l’équilibre. L’élongation θ(t) est une grandeur algébrique. O l Verticale du lieu + g 9782100727308-belazreg-C05.qxd 11/06/15 15:35 Page 17 [Les oscillateurs mécaniques] Le pendule élastique La grandeur physique associée à l’oscillateur est l’élongation x(t). x(t) désigne l’écart entre la position du pendule à l’instant t et celle à l’équilibre. L’élongation x(t) est une grandeur algébrique. À l’équilibre l0 O ux x x' x En mouvement l Étude du pendule élastique a. Étude dynamique Le système étudié est le solide de masse m et de centre d’inertie G. On écarte le solide de sa position d’équilibre de x = a puis on le lâche sans vitesse initiale. Dans le référentiel terrestre suposé galiléen, le système est soumis à trois − → − → forces : son poids P , la réaction normale de l’axe R N et la force de rap− → pel du ressort T . RN À l’équilibre l0 P 0 x = l - l0 T l x RN En mouvement P → − → − → − À l’équilibre : P + R N = 0 . − → − → − → → a En mouvement : P + R N + T = m − Après projection sur l’axe x O x, il vient : k −kx = m ẍ, soit ẍ + x = 0 m Les solutions sont de la forme : x(t) = A cos(ω0 t + ϕ) avec ω0 = k m Physique Ȑ✑➨❺❸➅➀➈❼ȑ © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. i x' 17 9782100727308-belazreg-C05.qxd 7/07/15 7:54 Page 18 [Les oscillateurs mécaniques] • Les oscillations d’un pendule élastique non amorti sont sinusoïdales (on dit aussi harmoniques). 2π m = 2π . • La période propre des oscillations est T0 = ω0 k • T0 ne dépend que des paramètres mécaniques de l’oscillateur : son inertie (masse m) et la constante k du ressort. b. Étude énergétique L’énergie mécanique du système est égale à la somme de son énergie potentielle et de son énergie cinétique, soit : 1 E p = kx 2 2 Em = E p + Ec avec et 1 2 1 2 Ec = mv = m ẋ 2 2 Énergie Les transformations énergétiques E p Ec du pendule élastique peuvent être suivies sur les diagrammes ci-contre. m c 1 2 p(x) = 2 k.x c p Physique ✑➨❺❸➅➀➈ ❼ - xmax 18 0 xmax x 9782100727308-belaz-qcm06.qxd 11/06/15 15:43 Page 19 [Mécanique] QCM Énoncés Un motard se rend d’une ville A à une ville B à la vitesse moyenne v1 = 96 km .h−1 Il revient immédiatement de la ville B à la ville A, en passant par la même route, à la vitesse moyenne v2 = 66 km .h−1 Calculer sa vitesse moyenne sur l’ensemble du parcours. ❑ b. 76 km .h−1 ❑ a. 25 m .s−1 ❑ c. 78 km .h−1 ❑ d. 83 km .h−1 ❑ e. 22 m .s−1 ❑ e. 54 m .s−1 Un point matériel M effectue un mouvement dans un plan −→ −→ (O, O x , Oy). Les coordonnées x et y du point M varient en fonction du temps selon : (1)x = 0,3 cos (0,5πt + 4,25) (2)y = 0,3 sin (0,5πt + 4,25) Toutes les grandeurs sont exprimées dans le système S.I. ❑ a. Le point M effectue un mouvement sinusoïdal rectiligne. ❑ b. Le point M effectue un mouvement circulaire uniforme. ❑ c. La période du mouvement du point M est T0 = 0,5 s. Physique Ȑ✑➨❺❸➅➀➈❼ȑ © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. Un objet tombe en chute libre sans vitesse initiale d’une hauteur h. Cet objet parcourt 9,5 m lors de la dernière seconde de chute. Donnée : Intensité du champ de pesanteur supposée constante : g = 9,8 m .s−2 . Sa vitesse lorsqu’il atteint le sol est : ❑ b. 14,4 m .s−1 ❑ a. 9,8 m .s−1 ❑ c. 49 km .h−1 ❑ d. 52 km .h−1 19 9782100727308-belaz-qcm06.qxd 11/06/15 15:43 Page 20 [QCM] ❑ d. La période du mouvement du point M est T0 = 4 s. ❑ e. La fréquence du mouvement du point M est f = 0,5 Hz. Un bombardier chargé de détruire une cible, une usine pétrochimique, vole à l’altitude h = 2,5 km selon un mouvement rectiligne uniforme à la vitesse v0 . En passant à la verticale d’un point H du sol, situé à la distance d = 2,5 km du centre de l’usine, le bombardier largue une bombe sans vitesse initiale. Données : L’édifice de l’usine est un carré de 200 m de côté. Les forces de frottement avec l’air sont négligeables. Vitesse du bombardier : v0 = 396 km · h−1 . Intensité du champ de pesanteur supposée constante : g = 9,8 m · s−2 ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ a. La cible (centre de l’usine) sera atteinte. b. L’impact se produira à 200 m avant le centre de l’usine. c. L’impact se produira à 2 km après le centre de l’usine. d. L’impact se produira à 15 m avant le centre de l’usine. e. La cible ne sera pas atteinte. L’énoncé suivant est commun aux questions 5 et 6. Un sportif de masse m = 75 kg effectue un saut à l’élastique en se lançant sans vitesse initiale d’un point A d’un pont situé au dessus d’une vallée (figure ci-après). Physique Ȑ✑➨❺❸➅➀➈❼ȑ z A z=0 B C z' 20 pp = 0 9782100727308-belaz-qcm06.qxd 11/06/15 15:43 Page 21 [QCM] L’élastique a une longueur à vide l0 = AB = 23 m et sa masse est négligeable. On prendra le point A comme origine des altitudes et des énergies potentielles de pesanteur. On négligera les frottements avec l’air. Donnée : g = 9,8 m · s−2 . La vitesse du sauteur au point B est : ❑ a. 12,34 m · s−1 ❑ b. 21,23 m · s−1 ❑ d. 36,05 m · s−1 ❑ e. 4,61 m · s−1 ❑ c. 29,40 m · s−1 L’énergie mécanique du système {Terre - sauteur - élastique} vaut : ❑ a. −16,9 · 103 J ❑ b. −12,5 · 103 J ❑ d. 0,0 J ❑ e. +22,6 · 103 J ❑ c. +16,9 · 103 J L’énoncé suivant est commun aux questions 7 et 8. Un point matériel M de masse m peut se déplacer sur un axe O x. En fonction de son abscisse x sur cet axe, l’énergie potentielle de M au voisinage de l’origine est donnée par : E p (x) = −V0 (1 − 0,2x 2 ) ❑ a. 0,4V0 x 1 ❑ d. −V0 ( − 0,2x) x ❑ b. −0,4V0 x ❑ c. −0,2V0 x ❑ e. 0,2V0 x 2 Sous l’effet de cette force, le point M est animé d’un mouvement : ❑ a. Rectiligne uniforme ❑ b. Uniformément accéléré m ❑ c. Sinusoïdale de période T0 = 2π 0,4V0 0,4V0 ❑ d. Sinusoïdale de période T0 = 2π m ❑ e. Aucune des propositions précédentes n’est correcte. Physique Ȑ✑➨❺❸➅➀➈❼ȑ © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit. Quelle est l’expression de la force à laquelle est soumis M au voisinage de l’origine ? 21