00 MATH. I - MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES

00MATH.I-MP
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2000
MATHÉMATIQUES
PREMIÈRE ÉPREUVE
FILIÈRE MP
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP.
L’emploi de la calculette est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première page de la
copie : MATHÉMATIQUES I - MP.
L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 5 pages.
Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et
poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Le but de ce problème est l’étude d’endomorphismes définis par l’action d’un groupe sur un
espace vectoriel de matrices complexes.
Soit Ml’ensemble des matrices complexes md’ordre 2 qui s’écrivent sous la forme suivante
:
m=aib
ib a .
Dans cette relation, aet bsont des nombres complexes, ivérifie i2=?1, a(resp. b)estle
nombre complexe conjugué de a(resp. b).
Partie préliminaire
0.L’ensemble Mest un espace vectoriel réel :
Démontrer qu’en munissant l’ensemble Mde l’addition des matrices et de la multiplication
des matrices par un réel, l’ensemble Mest un espace vectoriel réel. Préciser sa dimension.
Démontrer que le produit de deux matrices m1et m2de l’espace Mappartient à M.
Soit Ila matrice unité d’ordre 2. Soit mune matrice appartenant à l’espace vectoriel M;la
matrice transposée de la matrice mest notée tm.Sipest un entier naturel, mpest le produit de la
matrice mp-fois par elle-même ; classiquement m0=I.
Soit Gle sous-ensemble des matrices gappartenant à l’espace Mdont le déterminant est égal
à1:
-1/5-

G=Æg5MPdetg=1Ç.
Il est admis que l’ensemble Gest, pour le produit des matrices, un groupe.
Soit Ule sous-ensemble des matrices ude l’espace Mantisymétriques dont le carré est égal à
l’opposé de la matrice identité :
U=u5MPu+tu=0, u2=?I.
Soit Vle sous-ensemble des matrices symétriques vappartenant à l’espace M:
V=Æv5MPv=tvÇ.
Il est admis que le sous-ensemble Vde Mest un sous-espace vectoriel réel.
Soient m1et m2deux matrices appartenant à l’espace vectoriel M; il est admis que la trace
de la matrice m1.tm2est réelle ; soit Âm1Pm2Ãle réel défini par la relation suivante :
Âm1Pm2Ã=1
2TrÂm1.tm2Ã=1 2TrÂm1.tm2Ã.
L’égalité entre les traces des matrices m1.tm2et m1.tm2est admise.
Il est admis que l’espace ÂM,Â.P.ÃÃ est un espace euclidien. Si le produit scalaire
Âm1Pm2Ã, de deux matrices m1et m2, est nul, ces matrices sont dites perpendiculaires. Le
sous-espace vectoriel Vde Mest un espace euclidien lorsqu’il est muni du produit scalaire induit
par celui de M.
Première partie
I.1.Propriétés élémentaires des matrices de l’espace M:
Soit mune matrice de l’espace M; démontrer que les matrices m+tmet m.tms’expriment au
moyen de la matrice identité I, du déterminant detm,delatraceTrm de la matrice m.
Soit gune matrice appartenant à M; déduire du résultat précédent que, pour qu’une matrice
gde l’espace Mappartienne au groupe G, il faut et il suffit qu’il existe une relation simple entre
les matrices g1et tg.
Soit mune matrice de l’espace Mdont la trace est nulle ÂTrm =0Ã; établir la relation :
m=?tm; calculer les matrices m2,ÂtmÃ2en fonction du déterminant de la matrice met de la
matrice unité I.
I.2 Matrices u:
Déterminer les matrices uqui appartiennent à l’ensemble Udéfini ci-dessus.
Soit mune matrice de l’espace M,uune matrice de l’ensemble U. Comparer les deux
produits de matrices : m.uet u.m. Démontrer que, lorsque la trace de la matrice mest nulle
ÂTrm =0Ã, les deux matrices m.uet u.mappartiennent au sous-espace vectoriel V.
I.3.Norme d’une matrice m:
Soit mune matrice de l’espace M; calculer la norme de la matrice mRmR=ÂmPmÃ
en fonction du déterminant de cette matrice. Comparer pour deux matrices met wde l’espace M
la norme Rm.wRdu produit des matrices met wavec le produit RmR.RwRdes normes de
ces matrices.
I.4.Matrices appartenant àG:
a. Démontrer que toute matrice gappartenant au groupe Gs’écrit, de manière unique, sous la
forme
-2/5-

g=IcosS+m,
où Sest un réel appartenant au segment Ä0,^Ået mune matrice de trace nulle ÂTrm =0Ãqui
appartient à M.
Calculer,enfonctionduréelS, le déterminant de la matrice m, ainsi définie à partir de la
matrice g, ainsi que le carré m2de la matrice m.
b. Soit mune matrice de l’espace Mdifférente de 0 Âm0Ã: démontrer que la matrice g1
définie par la relation ci-dessous appartient au groupe G:
g1=1
detmm.
I-5 Un sous-groupe de G:
Soit g1une matrice, de trace nulle ÂTrg1=0Ã, appartenant à G; soit GÂg1Ãl’ensemble des
matrices mdéfinies par la relation suivante
m=IcosS+g1sinS,
où Sest un réel quelconque appartenant au segment Ä0,2^Å;soit:
GÂg1Ã=m=IcosS+g1sinSPS5Ä0,2^Å.
a. Démontrer que l’ensemble GÂg1Ãest un sous-groupe commutatif du groupe G.
b. Soit mune matrice de l’espace M; la matrice exponentielle de la matrice mest définie par
la relation
expm=>
n0
1
n!mn.
Calculer la matrice expÂS.g1Ã.
Deuxième partie
Cette partie est consacrée à l’étude d’une application définie dans le sous-espace vectorielV
des matrices symétriques de Mà l’aide d’une matrice du groupe G.
Dans toute cette partie, gest une matrice donnée du groupe G, de trace nulle ÂTrg =0Ã;
étant donnée une matrice wappartenant au sous-espace vectoriel Vsoit lgÂwÃla matrice définie
par la relation suivante :
lgÂwÃ=g.w+w.tg.
II-1.L’endomorphisme lgde V:
a. Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel réel Vde l’espace vectoriel M.
Déterminer une base de ce sous-espace vectoriel.
b. Démontrer que l’application lg:wÐlgÂwÃest un endomorphisme de l’espace vectoriel
V. Démontrer que cet endomorphisme lgn’est pas nul.
II-2.Propriétés de l’endomorphisme lg:
a. Comparer l’endomorphisme lgElg:wÐlgÂlgÂwÃÃ à l’endomorphisme wÐ2g.lgÂwÃ.
Calculer l’expression lgÂg.lgÂwÃÃ en fonction de lgÂwÃ.
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Comparer les deux normes RlgÂwÃRet Rg.lgÂwÃR.
Calculer, pour une matrice ude l’ensemble U, l’expression lgÂg.uÃ.
b. Déterminer une relation simple qui lie, pour deux matrices quelconques vet wde l’espace
V, les produits scalaires ÂlgÂvÃPwÃet ÂvPlgÂwÃÃ.
En déduire l’endomorphisme adjoint de l’endomorphisme lg.
c. Déduire des résultats précédents, que, pour toute matrice wde V, les matrices lgÂwÃet
g.lgÂwÃsont perpendiculaires.
II-3.Unebasedel’espace V:
Etant données une matrice vde l’espace vectoriel Vtelle que son image par
l’endomorphisme lgsoit différente de 0 ÂlgÂvÃ0Ã, une matrice ude l’ensemble U(uappartient
àM, est antisymétrique, u2=?I), soient h0le produit des matrices get u,h1l’image de la
matrice vpar l application lg,h2le produit des matrices get h1:
h0=g.u,h1=lgÂvÃ,h2=g.lgÂvÃ.
a. Calculer les produits scalaires de la matrice uavec chacune des matrices hi,0 i2, et
des matrices hi,0 i2, deux à deux :
ÂuPhiÃ,0i2, ÂhkPhlÃ,0 kl2.
b. Démontrer que la suite des matrices hi,0i2, est une base de l’espace vectoriel V.
Déduire de cette base une base orthonormée. Quelle est la matrice associée à l’endomorphisme
lgdans cette base ? Déterminer la transformation géométrique associée à l’endomorphisme 1
2lg.
II-4.Un endomorphisme de l’espace vectoriel M:
Soit Sun réel donné appartenant au segment Ä0,2^Å; soit mla matrice appartenant au
groupe G(question I-5) définie par la relation suivante :
m=IcosS+gsinS.
Soit sl’application qui, à une matrice wde l’espace vectoriel M, associe la matrice m.w:
s:wÐm.w.
Déterminer la matrice associée à l’endomorphisme sdans la base définie par les matrices
u,h0,h1,h2.
Troisième partie
Soit mune matrice donnée de l’espace vectoriel M. A toute matrice wdu sous-espace
vectoriel Vde Mest associée la matrice m.w.tm.
III-1.Endomorphisme fmde l’espace V:
a. Démontrer que l’application wÐm.w.tmest un endomorphisme de l’espace vectoriel V.
L’endomorphisme wÐm.w.tmde Vest noté fm.
Calculer m.u.tmoù uest une matrice de l’ensemble U.
b. Déterminer les matrices mde l’espace vectoriel Mpour lesquelles l’application fmest
l’application identité.
III-2.Endomorphisme fg:
Soit gune matrice, différente des matrices I(identité) et -I, appartenant au groupe G.
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a. Démontrer, à l’aide de la question I-4, qu’il existe un réel Sappartenant à l’intervalle
ouvert Å0,^Äet une matrice m, appartenant à M, différente de 0, de trace nulle, tels que la
relation ci-dessous soit vérifiée :
g=IcosS+m;S5Å0,^Ä,m5M.
Soit Lla matrice définie à partir de la matrice mpar la relation suivante :
L=1
detmm.
b. Exprimer, pour toute matrice wde l’espace vectoriel V, la matrice fgÂwÃen fonction des
matrices w,lÂwÃ,fÂwÃet du réel S.
c. Soit vune matrice de l’espace vectoriel Vtelle que son image par l’application lsoit
différente de 0 ÂlÂvÃ0Ã. D’après la question II-3.b, la famille L.u,lÂvÃ,L.lÂvÃest une base
de l’espace vectoriel V. Déterminer la matrice associée à l’endomorphisme fgdans cette base.
Calculer le déterminant de cette matrice noté detfg. Caractériser la transformation géométrique
définie par l’endomorphisme fg.
III-3.Endomorphisme fm:
Soit mune matrice, différente des matrices 0, Iet ?I, appartenant à l’espace vectoriel M.
Démontrer qu’il existe une matrice gappartenant au groupe Gtelle que l’endomorphisme fm
soit proportionnel à l’isomorphisme fg. En déduire une interprétation géométrique de
l’endomorphisme fm.
FIN DU PROBLEME
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