Exercice 2-50_Kane

Exercice 2-50 (Kane) :
On sert une balle de tennis horizontalement à une hauteur de 2,40 m. Le service s’effectue à
12 m du filet. Celui-ci a une hauteur de 0,9 m.
a) Si la balle passe au moins à 0,2 m au-dessus du filet, quelle était sa vitesse initiale
minimum ? (négliger la résistance de l’air).
b) Si elle passe 0,2 m au-dessus du filet, où retombera-t-elle ?
Données :
y0 = 2,4 m
yfilet = 0,9 m
xfilet = 12 m
Inconnues :
Si y = (0,9 + 0,2) m = 1,1 m, que vaut v0 ?
Si y = 0 m, que vaut x ?
Formules :
Comme on sert la balle horizontalement, la vitesse v0 n’a qu’une composante suivant x:
v0 x = v0 et v0 y = 0 .
Suivant x, il n’y a pas d’accélération. Suivant y, la balle subit la pesanteur et donc une
accélération (- g).
Le mouvement de la balle est décomposé suivant les axes x et y :
- suivant x, il s’agit d’un mouvement rectiligne uniforme (MRU) :
x(t ) = x0 + v0 x t = v0 x t = v0t car x0 = 0
- suivant y, il s’agit d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) :
1
1
y (t ) = y0 + v0 y t + at 2 = y0 − gt 2 car voy = 0
2
2
Résolution :
a) Lorsque la balle passe 0,2 m au-dessus du filet, y = (0,9 + 0,2) m = 1,1 m.
De l’équation du mouvement suivant x, on isole t : x = v0t → xfilet = v0t → 12 = v0t ⇔ t =
12
v0
Dans l’équation du mouvement suivant y, on injecte l’équation de t et on isole v0 :
2
 12 
1 2
1
1
122
y = y0 − gt → 1,1 = 2, 4 − .9,81.   → 1,3 = .9,81. 2
2
2
2
v0
 v0 
9,81.122
9,81.122
2
→v =
= 543,32 ( m/s ) → v0 =
= 23,31 m/s
2.1,3
2.1,3
2
0
La vitesse initiale est donc 23,31 m/s. En transformant cette valeur en km/h, il est plus facile
de voir que cette valeur est raisonnable. En effet, on trouve que la vitesse initiale du service
vaut environ 84 km/h.
b) Si la balle passe 0,2 m au-dessus du filet, la vitesse initiale est 23,31 m/s.
Lorsque la balle retombe au sol, y = 0 m.
De l’équation du mouvement suivant y, on isole t :
1
1
2.2, 4
2.2, 4
y = y0 − gt 2 → 0 = 2, 4 − .9,81.t 2 → t 2 =
= 0, 49 s 2 → t =
= 0.70 s
2
2
9,81
9,81
Dans l’équation du mouvement suivant x, on injecte la valeur de t et la valeur de v0 :
x = v0t = 23,31.0, 70 = 16, 32 m
La balle retombera donc à 16,32 m de l’endroit où le service est effectué.