Théorie des faisceaux

An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Introduction à la théorie des
faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Mohamed AQALMOUN
Faculté des sciences Meknès
Samedi 21 Mars , 2015
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
21 Mars 2015
1 / 29
Table des matières
An introduction to
sheaves theory
1
Pré-faisceaux
2
Faisceaux
Table des matières
3
Morphisme de faisceaux
Faisceaux
4
Sous faisceau et faisceau quotient
Sous faisceau et
faisceau quotient
5
Image directe, Image inverse
6
Suites exacte de faisceaux
7
Recollement de faisceaux
M. AQALMOUN
Pré-faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
8
Faisceaux de Modules
9
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
2 / 29
Pré-faisceaux
An introduction to
sheaves theory
Dénition
M. AQALMOUN
Soit X un espace topologique. Un pré-faisceau de groupes Abéliens F
sur X est la donné :
1 Pour tout ouvert U de X d'un groupe Abélien F (U ), et
2 Pour tout inclusion d'ouverts V ⊂ U, d'un morphisme de groupes
ρ UV : F (U ) → F (V ), vériant :
1
2
3
F (;) = 0,
ρ UU est l'application identité F (U ) → F (U ), et
Si W ⊂ V ⊂ U sont des ouverts, alors ρ UW = ρ VW ◦ ρ UV .
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
3 / 29
Pré-faisceaux
An introduction to
sheaves theory
Dénition
M. AQALMOUN
Soit X un espace topologique. Un pré-faisceau de groupes Abéliens F
sur X est la donné :
1 Pour tout ouvert U de X d'un groupe Abélien F (U ), et
2 Pour tout inclusion d'ouverts V ⊂ U, d'un morphisme de groupes
ρ UV : F (U ) → F (V ), vériant :
1
2
3
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
F (;) = 0,
ρ UU est l'application identité F (U ) → F (U ), et
Si W ⊂ V ⊂ U sont des ouverts, alors ρ UW = ρ VW ◦ ρ UV .
Image directe,
Image inverse
Pour tout espace topologique X on dénit
la catégorie Top(X ), dont les objets sont les ouverts de X et dont les
morphismes sont les inclusion c'est-à-dire Hom(V , U ) est vide si V 6⊂ U
et Hom(V , U ) = {i : V → U } où i est l'inclusion si V ⊂ U . Un pré-faisceau
sur X est un foncteur contravariant de la catégorie Top(X ) dans la
catégorie des groupes Abélien Ub. On dénit de la même façon un
pré-faisceau d'anneaux , d'ensembles , ou à valeurs dans une catégorie
C, en remplaçant dans la dénition "groupe Abélien" par "anneau",
"ensemble" , ou "objet de C".
En théorie des catégories :
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
21 Mars 2015
3 / 29
Pré-faisceaux
Si F est un pré-faisceau sur X , les éléments de F (U ) sont appelés les
sections de F sur l'ouvert U , souvent F (U ) se note Γ(U , F ).
L'application ρ UV s'appelle l'application de restriction et l'élément
ρ UV (s ) où s ∈ F (U ) se note s |V .
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
4 / 29
Pré-faisceaux
An introduction to
sheaves theory
Si F est un pré-faisceau sur X , les éléments de F (U ) sont appelés les
sections de F sur l'ouvert U , souvent F (U ) se note Γ(U , F ).
L'application ρ UV s'appelle l'application de restriction et l'élément
ρ UV (s ) où s ∈ F (U ) se note s |V .
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Dénition
Faisceaux
Soit F un pré-faisceau sur X et x ∈ X . La Fibre Fx de F en x est la
limite direct des groupes F (U ) , U parcourt les voisinages ouverts de x,
via l'application de restriction ρ ;
Fx :=
lim
F (U )
−→
x ∈U
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
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Pré-faisceaux
An introduction to
sheaves theory
Si F est un pré-faisceau sur X , les éléments de F (U ) sont appelés les
sections de F sur l'ouvert U , souvent F (U ) se note Γ(U , F ).
L'application ρ UV s'appelle l'application de restriction et l'élément
ρ UV (s ) où s ∈ F (U ) se note s |V .
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Dénition
Faisceaux
Soit F un pré-faisceau sur X et x ∈ X . La Fibre Fx de F en x est la
limite direct des groupes F (U ) , U parcourt les voisinages ouverts de x,
via l'application de restriction ρ ;
Fx :=
lim
F (U )
−→
Un élément de Fx est représenté par un couple (U , s ) où U est un
voisinage ouvert de x et s ∈ F (U ). Deux couples (U , s ) et (V , t )
représente le même élément dans Fx si, et seulement si, il existe un
voisinage ouvert W de x tel que W ⊂ U ∩ V et s |W = t |W . Les éléments
de Fx sont appelés les germes des section de F en x . Si s ∈ F (U ) et
x ∈ U , l'image de s dans Fx se note sx (le germe de s en x ).
L'application F (U ) → Fx dénie par s 7→ sx est un homomorphisme de
groupes.
An introduction to sheaves theory
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
x ∈U
M. AQALMOUN (FSM)
Morphisme de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
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Pré-faisceaux
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Dénition
Table des matières
Soient F et G deux pré-faisceaux sur X ; un morphisme de
pré-faisceaux ϕ : F → G est la donné, pour tout ouvert U, d'un
morphisme de groupes ϕ(U ) : F (U ) → G (U ), tel que pour tous ouverts
F (U )
ϕ(U )
V ⊂ U le diagramme suivant est commutatif ρ UV
F (V )
ϕ(V )
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
G (U )
ρ 0UV
G (V )
ρ et ρ 0 désignent les applications de restriction dans F et G . Un
isomorphisme est un morphisme qui possède un inverse.
Pré-faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
où
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
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An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
5 / 29
Pré-faisceaux
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Dénition
Table des matières
Soient F et G deux pré-faisceaux sur X ; un morphisme de
pré-faisceaux ϕ : F → G est la donné, pour tout ouvert U, d'un
morphisme de groupes ϕ(U ) : F (U ) → G (U ), tel que pour tous ouverts
F (U )
ϕ(U )
V ⊂ U le diagramme suivant est commutatif ρ UV
F (V )
ϕ(V )
ρ 0UV
G (V )
M. AQALMOUN (FSM)
= ϕ(V )(s |V )
An introduction to sheaves theory
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
où
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
isomorphisme est un morphisme qui possède un inverse.
La commutativité du diagramme s'écrit : ϕ(U )(s )|V
Faisceaux
G (U )
ρ et ρ 0 désignent les applications de restriction dans F et G . Un
s ∈ F (U ).
Pré-faisceaux
Faisceaux de
Modules
où
Bibliographie
21 Mars 2015
5 / 29
Pré-faisceaux
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Dénition
Table des matières
Soient F et G deux pré-faisceaux sur X ; un morphisme de
pré-faisceaux ϕ : F → G est la donné, pour tout ouvert U, d'un
morphisme de groupes ϕ(U ) : F (U ) → G (U ), tel que pour tous ouverts
F (U )
ϕ(U )
V ⊂ U le diagramme suivant est commutatif ρ UV
F (V )
ϕ(V )
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
G (U )
ρ 0UV
G (V )
ρ et ρ 0 désignent les applications de restriction dans F et G . Un
isomorphisme est un morphisme qui possède un inverse.
La commutativité du diagramme s'écrit : ϕ(U )(s )|V = ϕ(V )(s |V ) où
s ∈ F (U ). On a ainsi une catégorie des pré-faisceaux sur un espace
Sous faisceau et
faisceau quotient
où
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
topologique.
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An introduction to sheaves theory
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Pré-faisceaux
Soit ϕ : F → G un morphisme de pré-faisceaux et x ∈ X , alors ϕ induit
un morphisme de groupes sur les bres ϕx : Fx → Gx ,où ϕx est déni
par ϕ(sx ) = (ϕ(U )(s ))x si sx est représenté par le couple (U , s ) (
s ∈ F (U ) et U voisinage ouvert de x ), en eet ; si s ∈ F (U ) et t ∈ F (V )
tel que sx = tx alors il existe un voisinage ouvert W de x tel que
s |W = t |W et donc
ϕ(U )(s )|W = ϕ(W )(s |W ) = ϕ(W )(t |w ) = ϕ(V )(t )|W , ce qui montre
que (ϕ(U )(s ))x = (ϕ(V )(t ))x .
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
6 / 29
Pré-faisceaux
Soit ϕ : F → G un morphisme de pré-faisceaux et x ∈ X , alors ϕ induit
un morphisme de groupes sur les bres ϕx : Fx → Gx ,où ϕx est déni
par ϕ(sx ) = (ϕ(U )(s ))x si sx est représenté par le couple (U , s ) (
s ∈ F (U ) et U voisinage ouvert de x ), en eet ; si s ∈ F (U ) et t ∈ F (V )
tel que sx = tx alors il existe un voisinage ouvert W de x tel que
s |W = t |W et donc
ϕ(U )(s )|W = ϕ(W )(s |W ) = ϕ(W )(t |w ) = ϕ(V )(t )|W , ce qui montre
que (ϕ(U )(s ))x = (ϕ(V )(t ))x .
Dénition
Soit ϕ : F → G un morphisme de pré-faisceau.
On dit que ϕ est injectif si pour tout ouvert U de X ,
ϕ(U ) : F (U ) → G (U ) est injectif.
On dit que ϕ est surjectif si , pour tout x ∈ X , ϕx : Fx → Gx est
surjectif.
On dit que ϕ est un isomorphisme s'il admet un morphisme inverse
c'est-à-dire lorsqu'il existe un morphisme de pré-faisceau ψ : G → F tel
que ϕ ◦ ψ = IdG et ψ ◦ ϕ = IdF
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An introduction to sheaves theory
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
21 Mars 2015
6 / 29
Pré-faisceaux
Soit ϕ : F → G un morphisme de pré-faisceaux et x ∈ X , alors ϕ induit
un morphisme de groupes sur les bres ϕx : Fx → Gx ,où ϕx est déni
par ϕ(sx ) = (ϕ(U )(s ))x si sx est représenté par le couple (U , s ) (
s ∈ F (U ) et U voisinage ouvert de x ), en eet ; si s ∈ F (U ) et t ∈ F (V )
tel que sx = tx alors il existe un voisinage ouvert W de x tel que
s |W = t |W et donc
ϕ(U )(s )|W = ϕ(W )(s |W ) = ϕ(W )(t |w ) = ϕ(V )(t )|W , ce qui montre
que (ϕ(U )(s ))x = (ϕ(V )(t ))x .
Dénition
Soit ϕ : F → G un morphisme de pré-faisceau.
On dit que ϕ est injectif si pour tout ouvert U de X ,
ϕ(U ) : F (U ) → G (U ) est injectif.
On dit que ϕ est surjectif si , pour tout x ∈ X , ϕx : Fx → Gx est
surjectif.
On dit que ϕ est un isomorphisme s'il admet un morphisme inverse
c'est-à-dire lorsqu'il existe un morphisme de pré-faisceau ψ : G → F tel
que ϕ ◦ ψ = IdG et ψ ◦ ϕ = IdF
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
Notons , dans la dénition , que la surjectivité à un caractère local, on
ne demande pas la surjectivité des morphismes de groupes des sections
(globale) , mais des morphismes induit sur les bres (local).
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An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
6 / 29
Faisceaux
An introduction to
sheaves theory
Dénition
M. AQALMOUN
Un pré-faisceau F sur un espace topologique est dit faisceau, lorsqu'il
vérie les propriétés suivantes :
1 (unicité) Si (U ) est un recouvrement ouvert d'un ouvert U et
i i
s , t ∈ F (U ) tel que, pour tout i , s |Ui = t |Ui alors s = t,
2 (recollement ) Si (U ) est un recouvrement ouvert d'un ouvert U
i i
et si ∈ F (Ui ), pour tout i, tel que pour tous i , j, si |Ui ∩Uj = sj |Ui ∩Uj
alors il existe s ∈ F (U ) tel que pour tout i , s |Ui = si .
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
7 / 29
Faisceaux
An introduction to
sheaves theory
Dénition
M. AQALMOUN
Un pré-faisceau F sur un espace topologique est dit faisceau, lorsqu'il
vérie les propriétés suivantes :
1 (unicité) Si (U ) est un recouvrement ouvert d'un ouvert U et
i i
s , t ∈ F (U ) tel que, pour tout i , s |Ui = t |Ui alors s = t,
2 (recollement ) Si (U ) est un recouvrement ouvert d'un ouvert U
i i
et si ∈ F (Ui ), pour tout i, tel que pour tous i , j, si |Ui ∩Uj = sj |Ui ∩Uj
alors il existe s ∈ F (U ) tel que pour tout i , s |Ui = si .
Soit U = {Ui }i une famille d'ouverts de X , U = ∪i Ui , et Uij = Ui ∩ Uj .
Pour tout pré-faisceau F de groupes abéliens sur X , on a un complexe
de groupes Abélien C • (U , F ) :
0
F (U )
d0
Y
i
M. AQALMOUN (FSM)
F (U i )
d1
Y
F (U i , j )
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
i ,j
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
7 / 29
Faisceaux
An introduction to
sheaves theory
Dénition
M. AQALMOUN
Un pré-faisceau F sur un espace topologique est dit faisceau, lorsqu'il
vérie les propriétés suivantes :
1 (unicité) Si (U ) est un recouvrement ouvert d'un ouvert U et
i i
s , t ∈ F (U ) tel que, pour tout i , s |Ui = t |Ui alors s = t,
2 (recollement ) Si (U ) est un recouvrement ouvert d'un ouvert U
i i
et si ∈ F (Ui ), pour tout i, tel que pour tous i , j, si |Ui ∩Uj = sj |Ui ∩Uj
alors il existe s ∈ F (U ) tel que pour tout i , s |Ui = si .
Soit U = {Ui }i une famille d'ouverts de X , U = ∪i Ui , et Uij = Ui ∩ Uj .
Pour tout pré-faisceau F de groupes abéliens sur X , on a un complexe
de groupes Abélien C • (U , F ) :
0
F (U )
d0
Y
F (U i )
d1
i
Y
F (U i , j )
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
i ,j
où d0 : s 7→ (s |Ui )i et d1 : (si )i 7→ (si |Ui ,j − sj |Ui ,j )i ,j
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An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
7 / 29
Faisceaux
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Lemme
Faisceaux
Soit F un pré-faisceau de groupes abélien sur X .
F est un faisceau si, et seulement si, le complexe C • (U , F ) est exacte,
pour toute famille d'ouverts U de X .
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
8 / 29
Faisceaux
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Lemme
Faisceaux
Soit F un pré-faisceau de groupes abélien sur X .
F est un faisceau si, et seulement si, le complexe C • (U , F ) est exacte,
pour toute famille d'ouverts U de X .
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Lemme
Suites exacte de
faisceaux
Soit F un faisceau sur X et U un ouvert de X . Si s , t ∈ F (U ) tel que,
pour tout x ∈ U, sx = tx alors t = s.
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
8 / 29
Morphisme de faisceaux
An introduction to
sheaves theory
Un morphisme de faisceaux est un morphisme de pré-faisceaux (i.e en
tant que pré-faisceaux). Les notions injectif , surjectif et isomorphisme
pour les faisceaux sont dénies de la même façon que les pré-faisceaux.
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
9 / 29
Morphisme de faisceaux
An introduction to
sheaves theory
Un morphisme de faisceaux est un morphisme de pré-faisceaux (i.e en
tant que pré-faisceaux). Les notions injectif , surjectif et isomorphisme
pour les faisceaux sont dénies de la même façon que les pré-faisceaux.
Lemme
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Soit ϕ : F → G un morphisme de faisceaux. Alors ;
ϕ est injectif si, et seulement si, pour tout x ∈ X , ϕx : Fx → Gx est
injective.
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
9 / 29
Morphisme de faisceaux
An introduction to
sheaves theory
Un morphisme de faisceaux est un morphisme de pré-faisceaux (i.e en
tant que pré-faisceaux). Les notions injectif , surjectif et isomorphisme
pour les faisceaux sont dénies de la même façon que les pré-faisceaux.
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Lemme
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Soit ϕ : F → G un morphisme de faisceaux. Alors ;
ϕ est injectif si, et seulement si, pour tout x ∈ X , ϕx : Fx → Gx est
injective.
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Théorème
Suites exacte de
faisceaux
Soit ϕ : F → G un morphisme de faisceaux. Les assertions suivantes sont
équivalentes :
1 ϕ est un isomorphisme,
2 Pour tout x ∈ X , ϕ : F → G
x
x
x est un isomorphisme.
3 ϕ est à la fois injectif et surjectif.
Recollement de
faisceaux
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
21 Mars 2015
9 / 29
Morphisme de faisceaux
Dans ce paragraphe, nous allons rependre à la
question suivante : Comment construire un faisceau à partir d'un
pré-faisceau en préservant les bres ?
Faisceautisation :
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
10 / 29
Morphisme de faisceaux
Dans ce paragraphe, nous allons rependre à la
question suivante : Comment construire un faisceau à partir d'un
pré-faisceau en préservant les bres ?
Faisceautisation :
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Dénition
Soit F un pré-faisceau sur un espace topologique X . On appelle
faisceau associé à F tout faisceau F † équipé d'un morphisme de
pré-faisceaux θ : F → F † vériant la propriété universelle suivante :
Pour tout morphisme de pré-faisceaux ϕ : F → G où G est un faisceau,
il existe un unique morphisme de faisceaux ϕe : F † → G tel que le
diagramme suivant est commutatif,
F
ϕ
G
e
ϕ
θ
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
F†
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
10 / 29
Morphisme de faisceaux
Dans ce paragraphe, nous allons rependre à la
question suivante : Comment construire un faisceau à partir d'un
pré-faisceau en préservant les bres ?
Faisceautisation :
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Dénition
Soit F un pré-faisceau sur un espace topologique X . On appelle
faisceau associé à F tout faisceau F † équipé d'un morphisme de
pré-faisceaux θ : F → F † vériant la propriété universelle suivante :
Pour tout morphisme de pré-faisceaux ϕ : F → G où G est un faisceau,
il existe un unique morphisme de faisceaux ϕe : F † → G tel que le
diagramme suivant est commutatif,
F
ϕ
G
e
ϕ
θ
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
F†
L'unicité de F † lorsqu'il existe est une conséquence immédiate de la
propriété universelle.
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
10 / 29
Morphisme de faisceaux
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Théorème
Soit F un pré-faisceau sur un espace topologique X . Alors le faisceau
F † associé à F existe est unique à isomorphisme près. De plus pour
tout x ∈ X , θx : Fx → Fx† est un isomorphisme.
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
11 / 29
Morphisme de faisceaux
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Théorème
Table des matières
Soit F un pré-faisceau sur un espace topologique X . Alors le faisceau
F † associé à F existe est unique à isomorphisme près. De plus pour
tout x ∈ X , θx : Fx → Fx† est un isomorphisme.
Pré-faisceaux
Faisceaux
Construction du faisceau associé
à l'aide de
l'espace
étalé
:
Soit
F un pré-faisceau de groupes abéliens sur X . Soit
`
Y = x ∈X Fx (union disjointe), et on considère l'application π : Y → X
qui envoi chaque élément sx ∈ Fx sur x i.e π(sx ) = x . Pour tout ouvert
U de X et s ∈ F (U ), notons s l'application s : U → Y dénie pour tout
x ∈ U par s (x ) = sx , remarquons que pour tout x ∈ U ; π(s (x )) = x i.e
π ◦ s = IdU (s est une section et π rétraction ). On muni maintenant Y
de la topologie qui rende toutes les applications s : U → Y , U ouvert et
s ∈ F (U ), continues.
Pour tout ouvert U de X , on dénit
F † (U ) = {f : U → Y / f continue et π ◦ f = IdU } c'est l'ensemble des
sections de Y sur l'ouvert U .
Démonstration :
M. AQALMOUN (FSM)
F†
An introduction to sheaves theory
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
21 Mars 2015
11 / 29
Morphisme de faisceaux
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Faisceau constant : Soit A un groupe (ou anneau ,
algèbre,. . . ), alors U 7→ A si U 6= ; et ; 7→ 0 est un pré-faisceau et le
faisceau associé est appelé le faisceau constant à valeurs dans A et se
note AX ou A. Pour tout x ∈ X on a Ax = A. Si on muni A de la
topologie discrète alors pour tout ouvert U de X ,
A(U ) = {f : U → A /f continue } = {f : U → A /f localement constant } .
Exemple :
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
12 / 29
Sous faisceau et faisceau quotient
An introduction to
sheaves theory
Dénition
F 0, F
M. AQALMOUN
Soit
deux faisceaux sur X , on dit que
est un sous-faisceau de
F , si pour tout ouvert U de X , F 0 (U ) est un sous groupe de F (U ) et
F 0 muni de la restriction induite .
F0
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
13 / 29
Sous faisceau et faisceau quotient
An introduction to
sheaves theory
Dénition
M. AQALMOUN
F 0, F
Soit
deux faisceaux sur X , on dit que
est un sous-faisceau de
F , si pour tout ouvert U de X , F 0 (U ) est un sous groupe de F (U ) et
F 0 muni de la restriction induite .
F0
0
Remarque : F est un sous faisceau de F
i : F 0 → F est un morphisme de faisceaux.
si, et seulement si, l'injection
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
13 / 29
Sous faisceau et faisceau quotient
An introduction to
sheaves theory
Dénition
M. AQALMOUN
F 0, F
Soit
deux faisceaux sur X , on dit que
est un sous-faisceau de
F , si pour tout ouvert U de X , F 0 (U ) est un sous groupe de F (U ) et
F 0 muni de la restriction induite .
F0
0
Remarque : F est un sous faisceau de F
i : F 0 → F est un morphisme de faisceaux.
si, et seulement si, l'injection
Lemme
Soit ϕ : F → G un morphisme de faisceaux. Le pré-faisceau noyau
U 7→ ker(ϕ(U )) est un faisceau, et se note ker ϕ.
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
13 / 29
Sous faisceau et faisceau quotient
An introduction to
sheaves theory
Dénition
M. AQALMOUN
F 0, F
Soit
deux faisceaux sur X , on dit que
est un sous-faisceau de
F , si pour tout ouvert U de X , F 0 (U ) est un sous groupe de F (U ) et
F 0 muni de la restriction induite .
F0
0
Remarque : F est un sous faisceau de F
i : F 0 → F est un morphisme de faisceaux.
si, et seulement si, l'injection
Morphisme de
faisceaux
Suites exacte de
faisceaux
Si ϕ : F → G est un morphisme de faisceaux, alors ker ϕ est
un sous faisceau de F , et si on note i : ker ϕ → F l'inclusion, alors
(ker ϕ, i ) est le noyau de ϕ au sens des catégories. c'est-à-dire : ϕ ◦ i = 0
et pour tout morphisme de faisceaux ψ : H → F , tel que ϕ ◦ ψ = 0, il
existe un morphisme de faisceaux ψ0 : H → ker ϕ tel que ψ = i ◦ ψ0 .
An introduction to sheaves theory
Faisceaux
Image directe,
Image inverse
Soit ϕ : F → G un morphisme de faisceaux. Le pré-faisceau noyau
U 7→ ker(ϕ(U )) est un faisceau, et se note ker ϕ.
M. AQALMOUN (FSM)
Pré-faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Lemme
Remarque
Table des matières
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
21 Mars 2015
13 / 29
Sous faisceau et faisceau quotient
An introduction to
sheaves theory
Dénition
M. AQALMOUN
F 0, F
Soit
deux faisceaux sur X , on dit que
est un sous-faisceau de
F , si pour tout ouvert U de X , F 0 (U ) est un sous groupe de F (U ) et
F 0 muni de la restriction induite .
F0
0
Remarque : F est un sous faisceau de F
i : F 0 → F est un morphisme de faisceaux.
si, et seulement si, l'injection
Morphisme de
faisceaux
Suites exacte de
faisceaux
Si ϕ : F → G est un morphisme de faisceaux, alors ker ϕ est
un sous faisceau de F , et si on note i : ker ϕ → F l'inclusion, alors
(ker ϕ, i ) est le noyau de ϕ au sens des catégories. c'est-à-dire : ϕ ◦ i = 0
et pour tout morphisme de faisceaux ψ : H → F , tel que ϕ ◦ ψ = 0, il
existe un morphisme de faisceaux ψ0 : H → ker ϕ tel que ψ = i ◦ ψ0 .
Les pré-faisceaux image U 7→ Im(ϕ(U )) et conoyau U 7→ co ker(ϕ(U )) ne
sont pas en générale des faisceaux. Ce qui justie la dénition suivante :
An introduction to sheaves theory
Faisceaux
Image directe,
Image inverse
Soit ϕ : F → G un morphisme de faisceaux. Le pré-faisceau noyau
U 7→ ker(ϕ(U )) est un faisceau, et se note ker ϕ.
M. AQALMOUN (FSM)
Pré-faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Lemme
Remarque
Table des matières
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
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Sous faisceau et faisceau quotient
An introduction to
sheaves theory
Dénition
M. AQALMOUN
Soit ϕ : F → G un morphisme de faisceaux. Le faisceau associé au
pré-faisceau image est appelé faisceau image et se note imϕ et celui
associé au pré-faisceau conoyau est appelé faisceau conoyau et se note
cokerϕ.
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
14 / 29
Sous faisceau et faisceau quotient
An introduction to
sheaves theory
Dénition
M. AQALMOUN
Soit ϕ : F → G un morphisme de faisceaux. Le faisceau associé au
pré-faisceau image est appelé faisceau image et se note imϕ et celui
associé au pré-faisceau conoyau est appelé faisceau conoyau et se note
cokerϕ.
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Théorème
Soit ϕ : F → G un morphisme de faisceaux. On a les assertions
suivantes :
1 Pour tous ouvert U de X , et s ∈ G (U ). s ∈ (imϕ)(U ) si, et
seulement si, il existe un recouvrement ouvert (Ui )i de U et des
éléments ti ∈ F (Ui ) tels que, pour tout i, s |Ui = ϕ(Ui )(ti ).
2 ϕ est surjectif si, et seulement si, Pour tous ouvert U de X , et
s ∈ G (U ), il existe un recouvrement ouvert (Ui )i de U et des
éléments ti ∈ F (Ui ) tels que, pour tout i, s |Ui = ϕ(Ui )(ti ).
3 ϕ est surjectif si, et seulement si, imϕ = G .
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Table des matières
An introduction to sheaves theory
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
21 Mars 2015
14 / 29
Sous faisceau et faisceau quotient
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Dénition
7 F (U )/F 0 (U )
→
Le faisceau associé au pré-faisceau U
quotient du faisceau F par F 0 et se note F /F 0 .
est appelé le
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
15 / 29
Sous faisceau et faisceau quotient
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Dénition
7 F (U )/F 0 (U )
→
Le faisceau associé au pré-faisceau U
quotient du faisceau F par F 0 et se note F /F 0 .
est appelé le
Soit
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Lemme
F0
Morphisme de
faisceaux
un sous faisceau de F , et x ∈ X . Alors
(F /F 0 )x ' Fx /Fx0 .
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
15 / 29
Image directe, Image inverse
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Jusqu'à maintenant, on a seulement parlé des faisceaux dénies sur un
seul espace topologique. Nous allons étudier dans ce paragraphe
quelques transformations des faisceaux via les applications continues
entre espaces topologiques.
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
16 / 29
Image directe, Image inverse
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Jusqu'à maintenant, on a seulement parlé des faisceaux dénies sur un
seul espace topologique. Nous allons étudier dans ce paragraphe
quelques transformations des faisceaux via les applications continues
entre espaces topologiques.
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Dénition
Soient X , Y deux espaces topologiques, et f : X → Y continues.
Si F est un faisceau sur X , alors V 7→ F (f −1 (V )) est un faisceau sur Y
appelé faisceau image directe de F et se note f∗ F .
Si G est un faisceau sur Y , le faisceau associé au pré-faisceau
U 7→ lim G (V ) est appelé image inverse de G est se note f −1 G .
f
(U )⊂V
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
16 / 29
Image directe, Image inverse
An introduction to
sheaves theory
Remarques :
1
Si V ⊂ U sont des ouverts de Y , la restriction est dénie par
f∗ F (U ) = F (f −1 )(U ) → F (f −1 (V )) = f∗ F (V ) (notons que
f −1 (V ) ⊂ f −1 (U ) sont des ouverts de X ). Soit (Ui )i un
recouvrement de U , et (si )i une famille de sections telles que
si ∈ f∗ F (Ui ) = F (f −1 (Ui )) et si |Ui ∩Uj = sj |Ui ∩Uj , comme
f −1 (U ) = ∪i f −1 (Ui ), par dénition de f∗ F et on a
si ∈ F (f −1 (Ui )) et si |f −1 (Ui )∩f −1 (Uj ) = sj |f −1 (Ui )∩f −1 (Uj ) , il existe
alors s ∈ F (f −1 (U )) tel que pour tout i , s |f −1 (Ui ) = si , c'est-à-dire
s |Ui = si dans f∗ F . Si s ∈ f∗ F (U ) = F (f −1 (U )) tel que
s |f −1 (Ui ) = 0,alors s = 0 (F est un faisceau et (f −1 (Ui ))i est un
recouvrement ouvert de f −1 (U )).
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
17 / 29
Image directe, Image inverse
An introduction to
sheaves theory
Remarques :
1
2
Si V ⊂ U sont des ouverts de Y , la restriction est dénie par
f∗ F (U ) = F (f −1 )(U ) → F (f −1 (V )) = f∗ F (V ) (notons que
f −1 (V ) ⊂ f −1 (U ) sont des ouverts de X ). Soit (Ui )i un
recouvrement de U , et (si )i une famille de sections telles que
si ∈ f∗ F (Ui ) = F (f −1 (Ui )) et si |Ui ∩Uj = sj |Ui ∩Uj , comme
f −1 (U ) = ∪i f −1 (Ui ), par dénition de f∗ F et on a
si ∈ F (f −1 (Ui )) et si |f −1 (Ui )∩f −1 (Uj ) = sj |f −1 (Ui )∩f −1 (Uj ) , il existe
alors s ∈ F (f −1 (U )) tel que pour tout i , s |f −1 (Ui ) = si , c'est-à-dire
s |Ui = si dans f∗ F . Si s ∈ f∗ F (U ) = F (f −1 (U )) tel que
s |f −1 (Ui ) = 0,alors s = 0 (F est un faisceau et (f −1 (Ui ))i est un
recouvrement ouvert de f −1 (U )).
(f −1 G )x = Gf (x ) pour tout x ∈ X .
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An introduction to sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
21 Mars 2015
17 / 29
Image directe, Image inverse
An introduction to
sheaves theory
Remarques :
1
2
3
Si V ⊂ U sont des ouverts de Y , la restriction est dénie par
f∗ F (U ) = F (f −1 )(U ) → F (f −1 (V )) = f∗ F (V ) (notons que
f −1 (V ) ⊂ f −1 (U ) sont des ouverts de X ). Soit (Ui )i un
recouvrement de U , et (si )i une famille de sections telles que
si ∈ f∗ F (Ui ) = F (f −1 (Ui )) et si |Ui ∩Uj = sj |Ui ∩Uj , comme
f −1 (U ) = ∪i f −1 (Ui ), par dénition de f∗ F et on a
si ∈ F (f −1 (Ui )) et si |f −1 (Ui )∩f −1 (Uj ) = sj |f −1 (Ui )∩f −1 (Uj ) , il existe
alors s ∈ F (f −1 (U )) tel que pour tout i , s |f −1 (Ui ) = si , c'est-à-dire
s |Ui = si dans f∗ F . Si s ∈ f∗ F (U ) = F (f −1 (U )) tel que
s |f −1 (Ui ) = 0,alors s = 0 (F est un faisceau et (f −1 (Ui ))i est un
recouvrement ouvert de f −1 (U )).
(f −1 G )x = Gf (x ) pour tout x ∈ X .
Notons que f∗ est un foncteur de la catégorie Ub(X ) des faisceaux
de groupes abélien sur X vers la catégorie Ub(Y ) des faisceaux e
groupes abélien sur Y . De même f −1 est un foncteur de Ub(Y )
vers Ub(X ).
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An introduction to sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
21 Mars 2015
17 / 29
Image directe, Image inverse
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Dénition
Pré-faisceaux
Soit Z une partie de X , muni de sa topologie induite et i : Z ,→ X
l'inclusion. Si F est un faisceau sur X , le faisceau i −1 F est appelé la
restriction de F à Z et se note F |Z .
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
18 / 29
Image directe, Image inverse
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Dénition
Pré-faisceaux
Soit Z une partie de X , muni de sa topologie induite et i : Z ,→ X
l'inclusion. Si F est un faisceau sur X , le faisceau i −1 F est appelé la
restriction de F à Z et se note F |Z .
Faisceaux
Si U est un ouvert de X , alors pour tout ouvert V ⊂ U , on
a F | U (V ) = F (V ).
Image directe,
Image inverse
Remarque :
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
18 / 29
Image directe, Image inverse
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Dénition
Pré-faisceaux
Soit Z une partie de X , muni de sa topologie induite et i : Z ,→ X
l'inclusion. Si F est un faisceau sur X , le faisceau i −1 F est appelé la
restriction de F à Z et se note F |Z .
Faisceaux
Si U est un ouvert de X , alors pour tout ouvert V ⊂ U , on
a F | U (V ) = F (V ).
Image directe,
Image inverse
Remarque :
Lemme
Soit Z une partie de X et F un faisceau sur X . Alors pour tout z ∈ Z ,
on a (F |Z )z = Fz
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An introduction to sheaves theory
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
21 Mars 2015
18 / 29
Suites exacte de faisceaux
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Dénition
Table des matières
Soit X un espace topologique. On dit que la suite
ϕi −1
ϕi
ϕi +1
F i −1
...
Fi
F i +1
...
Pré-faisceaux
Faisceaux
de faisceaux sur X
est exacte si pour tout i ; imϕi −1 = ker ϕi . En particulier ; une suite de la
forme 0
F
ϕ
F
G
ϕ
G
est exacte si ϕ est injectif, et la suite
0 est exacte si ϕ est surjectif.
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
19 / 29
Suites exacte de faisceaux
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Dénition
Table des matières
Soit X un espace topologique. On dit que la suite
ϕi −1
ϕi
ϕi +1
F i −1
...
Fi
F i +1
...
Pré-faisceaux
Faisceaux
de faisceaux sur X
est exacte si pour tout i ; imϕi −1 = ker ϕi . En particulier ; une suite de la
forme 0
F
ϕ
F
G
ϕ
G
est exacte si ϕ est injectif, et la suite
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
0 est exacte si ϕ est surjectif.
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Lemme
Soit ϕ : F → G un morphisme de faisceaux sur X . Alors pour tout x ∈ X ,
on a (ker ϕ)x = ker(ϕx ) et (imϕ)x = Im(ϕx ).
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Morphisme de
faisceaux
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Faisceaux de
Modules
Bibliographie
21 Mars 2015
19 / 29
Suites exacte de faisceaux
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Théorème
F i −1
ϕi −1
ϕi
F i +1
ϕi +1
Table des matières
est une suite
exacte de faisceaux sur X si, et seulement si, pour tout x ∈ X ;
ϕix−1
ϕix
ϕix+1
...
F i −1
Fi
F i +1
. . . est une suite
...
x
Fi
x
...
x
exacte de de groupes abélien.
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
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20 / 29
Suites exacte de faisceaux
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Théorème
F i −1
ϕi −1
ϕi
F i +1
ϕi +1
Table des matières
Pré-faisceaux
est une suite
exacte de faisceaux sur X si, et seulement si, pour tout x ∈ X ;
ϕix−1
ϕix
ϕix+1
...
F i −1
Fi
F i +1
. . . est une suite
...
x
Fi
x
...
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
x
exacte de de groupes abélien.
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Théorème
Soit F 0 un sous faisceau de F . Alors la suite 0 → F 0 → F → F /F 0 → 0
est exacte.
Réciproquement, si, 0 → F 0 → F → F 00 → 0 est une suite exacte de
faisceaux sur X , alors F 0 s'identie à un sous faisceau de F et
F 00 ' F /F 0 .
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An introduction to sheaves theory
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
21 Mars 2015
20 / 29
Suites exacte de faisceaux
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Corollaire
Soit ϕ : F → G un morphisme de faisceaux. Alors
1 im(ϕ) ' F / ker ϕ, et
2 cokerϕ ' G /im(ϕ).
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
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An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
21 / 29
Suites exacte de faisceaux
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Corollaire
Table des matières
Soit ϕ : F → G un morphisme de faisceaux. Alors
1 im(ϕ) ' F / ker ϕ, et
2 cokerϕ ' G /im(ϕ).
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Théorème (Naissance de la Cohomologie)
Soit U un ouvert de X , le foncteur Γ(U , .) de la catégorie des faisceaux
sur X vers la catégorie des groupes abélien est un foncteur exacte à
gauche i .e si 0 → F → F 0 → F 00 est une suite exacte de faisceaux sur X ,
alors 0 → Γ(U , F ) → Γ(U , F 0 ) → Γ(U , F 00 ) est une suite exacte de
groupes abélien.
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
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An introduction to sheaves theory
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21 / 29
Suites exacte de faisceaux
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Corollaire
Table des matières
Soit ϕ : F → G un morphisme de faisceaux. Alors
1 im(ϕ) ' F / ker ϕ, et
2 cokerϕ ' G /im(ϕ).
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Théorème (Naissance de la Cohomologie)
Soit U un ouvert de X , le foncteur Γ(U , .) de la catégorie des faisceaux
sur X vers la catégorie des groupes abélien est un foncteur exacte à
gauche i .e si 0 → F → F 0 → F 00 est une suite exacte de faisceaux sur X ,
alors 0 → Γ(U , F ) → Γ(U , F 0 ) → Γ(U , F 00 ) est une suite exacte de
groupes abélien.
Le théorème montre l'exactitude à gauche du foncteur Γ(U , .), mais ce
foncteur est en générale n'est pas exacte à droite, illustrons ceci par un
exemple et un contre exemple :
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
21 Mars 2015
21 / 29
Suites exacte de faisceaux
Un exemple : cas d'un faisceau asque
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Dénition
Soit F un faisceau sur un espace topologique X , on dit que F est un
faisceau asque, si pour tout inclusion d'ouverts V ⊂ U, le morphisme
de groupes F (U ) → F (V ) , s 7→ s |V est surjectif.
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
22 / 29
Suites exacte de faisceaux
Un exemple : cas d'un faisceau asque
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Dénition
Table des matières
Soit F un faisceau sur un espace topologique X , on dit que F est un
faisceau asque, si pour tout inclusion d'ouverts V ⊂ U, le morphisme
de groupes F (U ) → F (V ) , s 7→ s |V est surjectif.
Remarque :
V ⊂ U)
F (X )
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
En regardant le diagramme commutatif suivant (pour
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
F (V )
il vient que F est asque si, et seulement si,
Recollement de
faisceaux
F (U )
pour tout ouvert U ⊂ X , le morphisme F (X ) → F (U ) est surjectif.
M. AQALMOUN (FSM)
Suites exacte de
faisceaux
An introduction to sheaves theory
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
21 Mars 2015
22 / 29
Suites exacte de faisceaux
Un exemple : cas d'un faisceau asque
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Dénition
Table des matières
Soit F un faisceau sur un espace topologique X , on dit que F est un
faisceau asque, si pour tout inclusion d'ouverts V ⊂ U, le morphisme
de groupes F (U ) → F (V ) , s 7→ s |V est surjectif.
Remarque :
V ⊂ U)
F (X )
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
En regardant le diagramme commutatif suivant (pour
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
F (V )
il vient que F est asque si, et seulement si,
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
F (U )
pour tout ouvert U ⊂ X , le morphisme F (X ) → F (U ) est surjectif.
Théorème
Soit 0 → F → F 0 → F 00 → 0 une suite exacte de faisceaux, avec F
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
asque, alors pour tout ouvert U de X la suite de groupes abélien
0 → F (U ) → F 0 (U ) → F 00 (U ) → 0 est exacte.
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
22 / 29
Suites exacte de faisceaux
Notons H le faisceau des fonctions holomorphe
(additif) et H × celui des fonctions holomorphes inversibles.
Toute fonction holomorphe inversible est localement le logarithme d'une
fonction holomorphe. Par ailleurs, l'exponentielle d'une fonction
holomorphe f sur un ouvert U de C est égale à 1 si, et seulement si, f
est constante de valeurs appartenant à 2i πZ sur chaque composante
connexe de U . On a donc une suite exacte naturelle de faisceaux de
groupes abéliens sur l'espace topologique C :
Un contre-exemple :
0 → 2i π Z → H
→H× →1
Mais la suite 0 → 2i πZ(C∗ ) = 2i πZ → H (C∗ ) → H × → 1 n'est pas
exacte.
Ce défaut d'exactitude -dont la mesure précise constitue l'objet de ce
qu'on appelle la cohomologie - est, en un sens, le principal intérêt de la
théorie des faisceaux : il traduit en eet les diculté de recollement
d'antécédents , elles- mêmes liées à la forme de l'espace topologique
considéré (présence ou non de trous, etc.) ; il permet donc d'une
certaine manière de décrire cette forme algébriquement. Ainsi, le
contre-exemple ci-dessus est intimement lié au fait que C∗ n'est pas
simplement connexe.
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
21 Mars 2015
23 / 29
Suites exacte de faisceaux
Extension du faisceau par zero : Soit X un espace topologique, Z un
fermé de X , et U = X \ Z . i : Z ,→ X et j : U ,→ X les inclusion.
• Si H est un faisceau sur U on note j! H le faisceau sur X associé au
pré-faisceau V 7→ F (V ) si V ⊂ U et V 7→ 0 sinon.
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
24 / 29
Suites exacte de faisceaux
Extension du faisceau par zero : Soit X un espace topologique, Z un
fermé de X , et U = X \ Z . i : Z ,→ X et j : U ,→ X les inclusion.
• Si H est un faisceau sur U on note j! H le faisceau sur X associé au
pré-faisceau V 7→ F (V ) si V ⊂ U et V 7→ 0 sinon.
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Lemme
Soit H un faisceau sur Z , alors pour tout x ∈ X , on a (i∗ H )x = H x si
x ∈ Z et (i∗ H )x = 0 sinon.
Soit K est un faisceau sur U, alors pour tout x ∈ X on a (j! K )x = K x
si x ∈ U et (j! K )x = K x = 0 sinon.
j! K est appelé le faisceau obtenue par extension par zero du faisceau
K.
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
24 / 29
Suites exacte de faisceaux
Extension du faisceau par zero : Soit X un espace topologique, Z un
fermé de X , et U = X \ Z . i : Z ,→ X et j : U ,→ X les inclusion.
• Si H est un faisceau sur U on note j! H le faisceau sur X associé au
pré-faisceau V 7→ F (V ) si V ⊂ U et V 7→ 0 sinon.
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Lemme
Soit H un faisceau sur Z , alors pour tout x ∈ X , on a (i∗ H )x = H x si
x ∈ Z et (i∗ H )x = 0 sinon.
Soit K est un faisceau sur U, alors pour tout x ∈ X on a (j! K )x = K x
si x ∈ U et (j! K )x = K x = 0 sinon.
j! K est appelé le faisceau obtenue par extension par zero du faisceau
K.
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Théorème
Faisceaux de
Modules
Soit F un faisceau sur X , Z un fermé de X et U = X \ Z alors
Bibliographie
0 → j! (F |U ) → F → i∗ (F |Z ) → 0
est une suite exacte de faisceaux sur X .
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
24 / 29
Suites exacte de faisceaux
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Corollaire
Faisceaux
Soit X un espace topologique, U un ouvert de X et Z = X \ U. F un
faisceau sur X tel que F |U = 0, alors F ' i∗ (F |Z ).
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
25 / 29
Suites exacte de faisceaux
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Corollaire
Faisceaux
Soit X un espace topologique, U un ouvert de X et Z = X \ U. F un
faisceau sur X tel que F |U = 0, alors F ' i∗ (F |Z ).
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Corollaire
Soit X un espace topologique et U un ouvert de X . Alors le foncteur
j! : Ub(U ) → Ub(X ) est exacte.
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
25 / 29
Recollement de faisceaux
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Théorème
Pré-faisceaux
Soit X un espace topologique, et U = (Ui )i un recouvrement ouverts de
X . Supposons que pour tout i , Fi est un faisceau sur Ui et pour tout
couple (i , j ), ϕi ,j : Fi |Ui ∩Uj → Fj |Ui ∩Uj est un isomorphisme tel que :
Pour tout i , ϕi ,i = IdFi , et
2 Pour tout (i , j , k ), ϕ
i ,j ◦ ϕj ,k = ϕi ,k sur Ui ∩ Uj ∩ Uk .
Alors il existe un unique (a isomorphisme près) faisceau F sur X et des
1 sur
isomorphismes ϕi : F |Ui → Fi tel que pour tout (i , j ), ϕi, j = ϕi ◦ ϕ−
j
Ui ∩ Uj .
On dit que F est le faisceau obtenue par recollement des faisceaux Fi
via les isomorphismes ϕi ,j .
1
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
21 Mars 2015
26 / 29
Faisceaux de Modules
An introduction to
sheaves theory
Dénition
M. AQALMOUN
Soit X un espace topologique et O un faisceaux d'anneaux sur X , un
faisceau de O -modules est un faisceau F tel que , pour tout ouvert U,
F (U ) est un O (U )-module et pour tout couple d'ouverts V ⊂ V , le
O (U ) × F (U )
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
F (U )
diagramme suivant est commutatif
Morphisme de
faisceaux
i.e
O (V ) × F (V )
Sous faisceau et
faisceau quotient
F (V )
pour tout (a, s ) ∈ O (U ) × F (U ), on a (as )|V = a|V s |V .
Un morphisme ϕ : F → G de faisceaux de O -modules, est un morphisme
de faisceaux d'anneaux tel que pour tout ouvert U, le diagramme
suivant est commutatif ;
O (U ) × F (U )
Id ×ϕ(U )
O (U ) × G (U )
F (U )
ϕ(U ) i.e pour tout (a, s ) ∈ O (U ) × F (U ), on a
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
G (U )
ϕ(U )(as ) = aϕ(U )(s ) en particulier ϕ(U )(as )|V = a|V ϕ(V )(s |V ).
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
27 / 29
Faisceaux de Modules
Soit F et G deux faisceaux de O modules, alors U 7→ F (U ) ⊗O (U ) G (U )
dénie un pré-faisceau de O -modules sur X , le faisceau associé est
appelé produit tensorielle de F par G et se note F ⊗O G .
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
28 / 29
Faisceaux de Modules
Soit F et G deux faisceaux de O modules, alors U 7→ F (U ) ⊗O (U ) G (U )
dénie un pré-faisceau de O -modules sur X , le faisceau associé est
appelé produit tensorielle de F par G et se note F ⊗O G .
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Théorème
Pré-faisceaux
Soit O un faisceau d'anneaux sur X , F et G deux faisceaux de
O -modules sur X , pour tout x ∈ X , on a (F ⊗O G )x = Fx ⊗Ox Gx .
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
28 / 29
Bibliographie
Bibliographie
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
1
B.Iversen :Cohomology of sheaves.
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
29 / 29
Bibliographie
Bibliographie
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
1
2
B.Iversen :Cohomology of sheaves.
Roger Godement : Topologie algébrique et théorie des faisceaux.
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
29 / 29
Bibliographie
Bibliographie
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
1
2
3
B.Iversen :Cohomology of sheaves.
Roger Godement : Topologie algébrique et théorie des faisceaux.
Robin Hartshorne : Algebraic Geometry .
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
29 / 29
Bibliographie
Bibliographie
An introduction to
sheaves theory
M. AQALMOUN
Table des matières
Pré-faisceaux
Faisceaux
Morphisme de
faisceaux
1
2
3
4
B.Iversen :Cohomology of sheaves.
Roger Godement : Topologie algébrique et théorie des faisceaux.
Robin Hartshorne : Algebraic Geometry .
Qing Liu : Algebraic Geometry and Arithmetic Curves.
Sous faisceau et
faisceau quotient
Image directe,
Image inverse
Suites exacte de
faisceaux
Recollement de
faisceaux
Faisceaux de
Modules
Bibliographie
M. AQALMOUN (FSM)
An introduction to sheaves theory
21 Mars 2015
29 / 29