Fonctions : généralités Voir activité : usine à nombre Qu`est ce qu

Fonctions : généralités
Voir activité : usine à nombre
1) Qu’est ce qu’une fonction ?
a) Définitions
Une fonction 𝑓 est un processus qui, à un nombre 𝑥, fait correspondre un unique nombre
noté 𝑓(𝑥)en lui appliquant une suite d’opération.
𝑥 est appelé la variable et 𝑓(𝑥) est la valeur prise par la fonction 𝑓 pour la valeur 𝑥.
On note 𝑓: 𝑥 ↦ 𝑓(𝑥) et on lit : « fonction 𝑓 qui à 𝑥 associe 𝑓(𝑥) ».
Usine à nombre
Matière première : antécédent
Produit : image
Exemples :
Soit 𝑓 la fonction qui à 𝑥 associe 3𝑥 + 15.
On note 𝑓: 𝑥 ↦ 3𝑥 + 15. La fonction f est définie par 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 15.
Soit 𝑔 la fonction qui à 𝑥 associe 𝑥² − 1.
On note 𝑔: 𝑥 ↦ 𝑥² − 1. La fonction g est définie par 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 1.
Il existe trois façons de définir une fonction :



A l’aide d’une formule (on se trouve dans un cadre algébrique)
A l’aide d’un tableau (on se trouve dans un cadre numérique)
A l’aide d’un graphique (on se trouve dans un cadre graphique)
2) Courbes représentatives
a) Définition
Dans le repère (O, I , J), on appelle courbe représentative de la fonction f l’ensemble des
points M de coordonnées (x ; f(x)), où x parcourt l’ensemble Df.
b) Tableau de valeurs
Un tableau de valeurs pour une fonction f montre la correspondance entre les valeurs de la
variable x et les valeurs de son image f(x).

Déterminer le tableau de valeurs pour une fonction donnée
Technique : Remplir le tableau à la main
1. Choisir des valeurs pour x.
2. Calculer les valeurs de f(x) correspondantes.
Exemple : Compléter le tableau de valeur de la fonction g définie par : 𝑔: 𝑥 ↦ 𝑥² − 1.
x
f(x)

-4
-2
0
Déterminer la représentation graphique d’une fonction
2
4
Technique : Pour tracer une courbe représentative « à la main »
1. Obtenir un tableau de valeurs de la fonction f
2. Tracer un repère
3. Placer les points issus du tableau de valeurs dans le repère
4. Relier ces points « au mieux »
Exemple :
Déterminer la représentation graphique de la fonction g définie par : 𝑔: 𝑥 ↦ 𝑥² − 1 sur [-4 ;
4].
3) Image d’un nombre par une fonction
Définition : Soit f une fonction et a un nombre de l’ensemble de définition de f. Le nombre
f(a) est appelé image de a par la fonction f.
Exemple : g(0) = -1, on dit que -1 est l’image de 0. g(4) = 15, on dit que 15 est l’image de 4.

Calculer l’image d’un nombre a par une fonction f
Technique :
 Valeur exacte dans le cadre algébrique
1. Effectuer son calcul à la main ou à la machine en remplaçant x par la valeur souhaitée.
2. Donner la valeur exacte de f(a)
 Valeur exacte dans le cadre numérique
1. Repérer, dans un tableau de valeurs, la colonne dans laquelle se trouve la valeur a
(normalement 1er ligne).
2. Lire la valeur de la seconde cellule de la colonne qui correspond.
 Approximation dans le cadre graphique
1. Placer le nombre a sur l’axe des abscisses (point de coordonnées (a; 0))
2. Tracer la droite passant par le point de coordonnées (a; 0) et parallèle à l’axe des
ordonnées
3. Marquer le point de la courbe C d’abscisse a (point d’intersection de la courbe et de la
droite)
4. Tracer la parallèle à l’axe des abscisses passant par le point précédemment trouvé.
5. La droite coupe l’axe des ordonnées en un point. C’est l’image de a par f par lecture
graphique (elle peut être approximative)
Exemples :
4
1
1) Calculer les images des nombres − 3 et 3 par la fonction g : x↦ x² - 1.
2) Déterminer graphiquement l’image du nombre
1
3
par la fonction g.
4) Antécédent d’un nombre par une fonction
Définition : Soit f une fonction et k un nombre réel. Si a est un nombre réel dans l’ensemble
de définition de f tel que f(a) = k, on dit que a est un antécédent de k par la fonction f.
Exemple : f(2) = 4, on dit que 2 est un antécédent de 4.

Déterminer le ou les antécédents d’un nombre réel k par la fonction f
Technique :
 Valeur exacte dans un cadre algébrique
L’objectif est de trouver un ou plusieurs nombres x tels que f(x) = k.
On peut donc reformuler ce type de tâche sous une autre forme bien plus connue et pour
lequel on
dispose de quelques techniques efficaces : « Résoudre (algébriquement) l’équation f(x) = k »
 Valeur exacte dans le cadre numérique
1. Repérer, dans un tableau de valeurs, la colonne dans laquelle se trouve la valeur k
(normalement 2ème ligne).
2. Lire la valeur de la seconde cellule de la colonne qui correspond.
 Approximation dans le cadre graphique
1. Placer le nombre k sur l’axe des ordonnées (point de coordonnées (0; k))
2. Tracer la droite passant par le point de coordonnées (0; k) et parallèle à l’axe des
abscisses
3. Si cette droite ne coupe pas la courbe C, k n’a pas d’antécédent par f
4. Sinon, marquer les points d’intersection
5. Les abscisses de ces points sont les antécédents de k par la fonction f (elles peuvent être
approximatives)
Exemples :
1) Calculer l’antécédent du nombre 30 par la fonction f : x ↦ 3x + 15
2) Déterminer graphiquement une valeur approchée des antécédents du nombre 2 par la
fonction g.
Remarque :
Par une fonction, un nombre admet une image unique mais un nombre donné peut
admettre plusieurs antécédents.