Chapitre 4 : « Notion de fonction »

3ème 3
2010-2011
Chapitre 4 : « Notion de fonction »
I. Activités
1/ Activité 1
Sur un circuit de 13,2 km, un pilote réalise des essais d'une nouvelle voiture de course.
Des capteurs placés sur le circuit mesurent la vitesse au moment du passage de la voiture, ces
vitesses sont notées dans le tableau ci-dessous.
D'autre part, un enregistreur placé à bord de la voiture donne la vitesse en fonction de la distance
parcourue sous forme du graphique ci-dessous.
Capteur n°...
1
2
3
4
5
6
7
8
Distance parcourue depuis la
ligne de départ en km
0,8
2
2,8
4,6
7,2
9,4
(*)
13
Vitesse mesurée en km·h−1
125
196
144
165
113
105
200
225
(*) 1,8 , 4,8 , 6,4 , 12,5 et 14
Vitesse
en km·h−1
2
5
0
1
Distance
parcourue en km
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• Quelle est la vitesse mesurée après 6 km parcourus ? Peut-il y avoir plusieurs
réponses ?
La vitesse est d'environ 240 . Il n'y a qu'une seule réponse possible.
• La vitesse est-elle fonction de la distance parcourue ? Justifie ta réponse.
Le graphique nous indique que la vitesse dépend de la distance parcourue (le lien est
fait par le capteur)/
• Quelle est la vitesse maximale atteinte ? 245 km/h
La vitesse minimale ? 0 km/h
• À quelle vitesse la voiture est-elle repassée sur la ligne de départ au bout d'un tour ?
C'est la dernière valeur de la courbe : 150 km/h
• Combien de virage ? Il y a 3 voire 4 virages selon les interprétations.
2/ Activité 2
Activité 6 page 107
A
4m
B
ABCD est un
carré
N
x
D
x
M
C
• Pourquoi 0 x4 ? DM et CN sont inférieurs à la longueur du côté, c'est à dire
4 m.
• On note S l'aire de la surface éclairée. Calcule S pour x=0 , x=1 , x=2,5 et
x=4 .
2
Pour x=0 : S =4×4÷2=8 m
Pour x=1 : S =16 –[ 4×1÷24×3÷2 ]=16 – [ 26 ]=8 m²
Pour x=2,5 : S=16 –[ 4×2,5÷24×1,5÷2 ]=16 – [ 53]=16 – 8=8 m²
4×4 16
2
Pour x=4 : S= 2 = 2 =8 m
• Exprime S en fonction de x :
S =16 – [ 4 x ÷24×4 – x ÷2 ]
S =16 – [ 2 x2×4 – x ]
S =16 – [ 2 x8 – 2 x ]
S =16 – 8
S =8
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II. Exemples simples
Exemple 1
On considère un triangle équilatéral de côté x . Exprime son périmètre en fonction de x .
p  x =3× x
p est une fonction qui associe à la longueur du côté le périmètre.
• p 1,5=3×1,5=4,5 cm
• p  – 9 n'existe pas.
• p 0,25=0,75
Exemple 2
On considère le programme de calcul suivant :
• je choisis un nombre,
• je lui retranche 3 ,
• je mets le résultat au carré,
• et enfin, j'ajoute le double du nombre de départ.
2
2
Calcule le résultat obtenu pour – 2 : – 2 – 3 2×– 2= – 5 – 4=25 – 4=21 .
Exprime en fonction de x ce programme de calcul :
 x – 32 2× x
= x – 3 x – 32 x
= x× x x×– 3 – 3× x – 3× – 32 x
= x 2 – 3 x – 3 x92 x
= x²−4 x 9
Exemple 3
On considère le graphique suivant :
A– 4,5 ; 0,5 ; B – 3;1,5 ; C  – 2; 2 ; D 0; 2,5 ; E 1,5;1 ; F 4 ; 0 .
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III. Les fonctions
1/ Définition/Notations
Définition
Une fonction est une suite ordonnée d'opérations (processus opératoires) qui permet d'associer
à un nombre donné un unique résultat, appelé l'image.
Exemple
« Je prends un nombre, je le divise par 2 , je retranche 4 et je mets le tout au carré ».
2
–
6
– 4 = – 3 – 42=– 72 =49 .
• l'image de – 6 est
2
• l'image de 0 est 16 .


Notation sur un exemple
f:
2
 
x
−4
2
x
On dit « f est la fonction qui à x associe
2
 
x
–4
2
»
Exemple
On considère une fonction g qui à un nombre x associe son triple. Donne le schéma.
g : x
3x
Deuxième façon de noter
f  x =
2
 
x
–4
2
2
 
x
– 4 ». Il faut comprendre f  x  ainsi : « Qu'est-ce que
2
donne x transformé par la fonction f »
On dit « f de x est égal à
Exemple
2
On considère h x = – 3 x 2 x5 .
• Quelle est l'image de – 1 ?
h – 1= – 3× – 12 2× – 15
h  – 1=– 3 – 25
h – 1=0
• Image de 7 ?
h7= – 3×492×75
h7= – 147145
h7= – 128
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IV. Image/Antécédents
1/ À partir d'une représentation graphique
Rappels
Un repère du plan est constitué d'une droite graduée appelée axe des abscisses et d'une
deuxième droite graduée appelée axe des ordonnées.
Les coordonnées d'un point permettent de repérer n'importe quel point du plan.
M  ; 
abscisse
ordonnées
L'intersection des deux axes est appelée l'origine.
Exemple/Méthode
• On suppose que cette courbe
représente une fonction f . A est
un point de cette courbe. Par ses
coordonnées, il faut correspondre
deux nombres : – 2,2 et 5 . On a
f  – 2,2=5 . Autrement dit, 5 est
l'image de – 2,2 .
• De manière générale, si on choisit
un nombre sur l'axe des abscisses,
on lit son image sur l'axe des
ordonnées (en passant par la
courbe !).
• De même : f  – 2=3 ,
f  – 1= – 2 , l'image de 0 est – 1 .
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• Pour trouver les
antécédents de – 1 , on
place ce nombre sur l'axe
des ordonnées et on trace
l'horizontale passant par
–1 .
Les antécédents sont les
abscisses des points
d'intersection : – 0,4 , 0
et 0,4 .
-0,4
+0,4
Remarques
Pour une représentation donnée, en général :
• il y a une image (parfois aucune),
• il y un ou plusieurs antécédents (parfois aucun ou une infinité)
Autre exemple
• Image de – 4 est 0
• Antécédent(s) de 3 :
aucun !
• Antécédent(s) de 0 : – 4
et 3 .
• Antécédent(s) de 1 : une
infinité, tous les nombres
compris entre – 2 et 1 .
• Image de 5,1 : pas
d'image !
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2/ À partir d'un tableau
On considère une fonction h dont certaines valeurs sont dans le tableau suivant :
•
•
•
•
x
–5
–4
– 1,5
0
2
3
5
h x 
8,1
2
32
18
13
11
–1
On lit les images sur la deuxième ligne et les antécédents sur la première.
h – 5=8,1 ; h0=18
Antécédent de 32 : – 1,5
Etc.
V. Tracer une représentation graphique
1/ A partir d'un tableau
On considère une fonction g dont certaines valeurs sont dans le tableau suivant.
x
-2
-1,5
-1
-0,5
0,5
2
3
g  x
-1
1
2
1
0,5
1
2
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2/ A partir d'une formule
2 x2 – 7 .
On considère f : x
x
–3
–2
–1
0
1
2
3
f x
11
1
–5
–7
–5
1
11
• Tout nombre strictement
supérieur à – 7 possède
deux antécédents.
• – 7 a un antécédent : 0 .
• Sinon, tous les nombres
strictement inférieurs à – 7
n'ont pas d'antécédent.
Pour lundi 29 novembre
Contrôle