(ε,σ,μ) et élaboration des matériaux composites pour application à la

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université Ferhat Abbas – Sétif -1Faculté de Technologie
Département d’Electronique
Laboratoire d'Instrumentation Scientifique "LIS"
Thèse intitulée:
«Caractérisation électromagnétique () et élaboration
des matériaux composites pour application à la
miniaturisation des composants électroniques»
Présentée par:
Mr. LALLA KHALFA
Pour l’obtention du diplôme de Docteur es Science
Option:
Instrumentation
Soutenue le 30 Avril 2015 devant le jury composé de:
Pr Ferhat Hamida Abdelhak
Pr. Bouzit Nacerdine
Dr. Bourouba Nacerdine
Pr Chikouche Djamel
Dr Aidel Salih
Dr Ait Kaki Abdelaziz
Pr. Juan Pablo Martínez
Jiménez
Pr Juan Carlos Martín
Pr. Université de Sétif 1
Pr. Université de Sétif 1
MCCA Université de Sétif 1
Pr.. Université de M'Sila
MCCA Université de BBA
MCCA Université de Oum El Bouaki
Pr Université Zaragoza Espagne
Président
Rapporteur
Co-Rapporteur
Examinateur
Examinateur
Examinateur
Invité
Pr Université Zaragoza Espagne
Invité
2014-2015
1
Remerciements
Je voudrais à travers ces quelques lignes exprimer toute ma
reconnaissance au Professeur Nacerdine Bouzit et au Docteur Nacerdine
Bourouba de l’Université de Sétif pour m’avoir proposé ce sujet et m’avoir
encadré tout au long de ce travail. Qu’ils trouvent ici l’expression de mes vifs
remerciements
La plus grande partie de ce travail a été effectué au Laboratoire de
Physique Appliquée de l’Université de Saragosse (Espagne) sous la direction de
feu le Professeur José-Maria FORNIES-MARQUINA pour lequel j’exprime ici ma
profonde gratitude pour ces précieux conseils et ses chaleureux accueils à
chaque stage. Je garderai à jamais un ardent souvenir de l’affectueuse amitié
de ce Grand Monsieur. Mes remerciements vont également au Professeur
Juan Pablo Martínez Jiménez pour avoir accepté avec bon cœur de poursuivre
dans la voie du Professeur Fornies. Je remercie Pr Juan Carlos Martín d’avoir
accepté l’invitation à cette soutenance. Merci à la Directrice de la Faculté des
Sciences de l’Université de Saragosse pour l’accueil chaleureux qu’elle nous a
réservé.
Je tiens à remercier le professeur Ferhat Hamida Abdelhak de l’Université
Ferhat Abbas de Sétif, le Professeur CHIKOUCHE Djamel de l’Université de
M’Sila, le Docteur Aidel Salih de l’Universite de Bordj Bou Arréridj et le Docteur
Ait Kaki AbdelMalek de l’Université d’Oum El Bouaki pour avoir bien voulu
accepter de juger mon travail.
Je remercie également le Docteur Benhamouda Abdallah et Monsieur
Bouchaour Mounir pour leur précieuse aide.
Je remercie mes parents et mon épouse auxquels je dédie ce travail.
Mes remerciements vont aussi à toutes les personnes qui m’ont aidé de
près ou de loin.
2
Sommaire
INTRODUCTION GENERALE
............................................................................ 6
INTRODUCTION GENERALE
............................................................................ 7
CHAPITRE I
............................................................................ 9
LES MATERIAUX DIELECTRIQUES
............................................................................ 9
Les matériaux diélectriques [1,2] ....................................................................................... 10
1.1 Définition : .................................................................................................................... 10
1.2 La polarisation [1,2,3,4,5] ............................................................................................ 11
1.3 Les Dipôles ................................................................................................................... 11
1.4 Création d'une polarisation ......................................................................................... 12
1.5 Effet d'un champ électrique dans un milieu diélectrique ........................................... 12
1.5.1
Le champ électrique local [3,5,6] ................................................................... 13
1.5.2 Les Mécanismes de la Polarisation .................................................................... 14
1.6 Susceptibilité électrique .............................................................................................. 17
1.6.1 Calcul de la susceptibilité électrique .................................................................. 18
1.6.2 La relation entre la permittivité et la susceptibilité électrique ......................... 19
1.6.3
La relation de Clausius-Mossotti .................................................................... 20
1.7 Modélisation fréquentielle de la permittivité diélectrique ........................................ 20
1.7.1 L'équation de Debye [2] ..................................................................................... 20
1.8 CONCLUSION ............................................................................................................... 22
CHAPITRE II
...........................................................................23
METHODES DE CARACTERISATION
...........................................................................23
DES MATERIAUX DIELECTRIQUES
...........................................................................23
2.1 Introduction ................................................................................................................. 24
2.2 La propagation des ondes électromagnétiques [12,14,15,16] ................................... 24
2.2.1 L'approche électrique......................................................................................... 25
2.2.2
L'Approche électromagnétique. .................................................................... 28
2.3 La Réflectométrie en Domaine Temporel ................................................................... 31
2.4 Principales Méthodes Utilisées en Spectroscopie Temporelle. [1,16]........................ 34
2.4.1 Expression générale du coefficient de réflexion (démarche optique). [27] ...... 34
2.4.2. La Méthode De La Première Réflexion [24, 25, 26]. .......................................... 36
2.4.3 Les Méthodes de Multi réflexions. ..................................................................... 40
2.4.4 Choix de la Méthode la mieux adaptée à notre travail...................................... 52
3
2.5
Modélisation Mathématique: Lois de Mélange[1,2] ............................................. 53
2.5.1
Introduction : .................................................................................................. 53
2.5.2 Le modèle de Rayleigh [39] ( .............................................................................. 54
2.5.3 Le modèle de Bottcher [40]37) .......................................................................... 54
2.5.4 La loi de Wiener [41]37 ...................................................................................... 54
2.5.5 La loi de Lichtencker-Rother [42]37 ................................................................... 56
2.5.6 La Loi de Birchak [43]41) .................................................................................... 56
2.5.7 La loi de Bruggemen [44]37 ............................................................................... 56
2.5.8 La loi de Hanai [45]37 ......................................................................................... 57
2.5.9 La Loi de Maxwell-Garnet [46]37 ....................................................................... 57
2.6 CONCLUSION ......................................................................................................... 57
CHAPITRE III
...........................................................................59
DISPOSITIF
...........................................................................59
ET RESULTATS EXPERIMENTAUX
...........................................................................59
3.1 Introduction................................................................................................................. 60
3.2 Matériaux utilisés ........................................................................................................ 60
3.2.1
Les Titanates ................................................................................................... 60
3.2.2
Les Oxydes ...................................................................................................... 63
3.3 Procédé de Préparation .............................................................................................. 65
3.3.1
Détermination des fractions volumiques ....................................................... 65
3.3.2
Mode de préparation ..................................................................................... 66
3.4 Procédé de Mesure par Réflectométrie Temporelle .................................................. 70
3.4.1 Banc de Mesure.................................................................................................. 70
3.4.2 Procédé Expérimental de Mesure par TDR ........................................................ 73
3.4.2.1 Traitement des signaux TDR ........................................................................... 74
3.5
RESULTATS EXPERIMENTAUX ................................................................................ 81
3.5.1
Introduction ................................................................................................ 81
3.5.2
Effet des Oxydes sur le Titanate de Barium ................................................ 81
3.5.3
Effet des Oxydes sur le Titanate de Calcium ............................................... 83
3.5.4
Effet Des Oxydes sur le Titanate de Magnésium .......................................... 84
3.6
Effet des oxydes sur la conductivité du composite ternaire ................................. 86
3.7
Processus de Modélisation .................................................................................... 87
3.8
Etude Comparative entre les Résultats Expérimentaux et les .............................. 91
Résultats Théoriques .......................................................................................................... 91
4
3.9
Coefficients de perte diélectrique dans les mélanges ternaires ........................... 94
3.9.1
Coefficient de perte pour le mélange à base de titanate de barium ............. 94
3.9.2
Coefficient de perte pour le mélange à base de titanate de calcium. ........... 97
3.9.3
Coefficient de perte pour le mélange à base de titanate de magnésium ...... 99
3.10
Conclusion ............................................................................................................ 102
CONCLUSION GENERALE.
......................................................................... 104
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
......................................................................... 106
ANNEXE
........................................Erreur ! Signet non défini.
5
INTRODUCTION GENERALE
6
INTRODUCTION GENERALE
Les matériaux composites connaissent une évolution de plus en grandissante dans tous
les domaines et plus particulièrement dans l'industrie de l'électronique. Les développements
technologiques récents imposent une recherche, sans relâche, de nouveaux matériaux avec des
caractéristiques spécifiques pour satisfaire des besoins spécifiques. Chaque matériau possède
un ensemble unique de caractéristiques qui dépendent de ces propriétés diélectriques. Le
mélange de deux matériaux ou plus lui permet d'acquérir plus de propriétés que les matériaux
pris individuellement ne peuvent posséder.
Le succès des matériaux composites provient de
cette possibilité d’obtenir des propriétés très diverses en fonction des caractéristiques des
phases constituantes. Notre travail porte précisément sur les propriétés diélectriques des
matériaux hétérogènes et plus particulièrement sur leur permittivité effective complexe. Les
matériaux auxquels nous nous intéressons
se composent essentiellement de matériaux
diélectriques. Ce sont des matériaux composites ternaires.
Donc dans le présent travail nous nous intéressons aux propriétés diélectriques de
matériaux composites ternaires et plus particulièrement à leur permittivité. Nous étudierons
l'influence de certains oxydes sur leurs propriétés et en particulier sur leurs permittivités. Ces
composites objets de notre sujet sont à base de céramiques techniques, d'époxyde et d'oxydes.
Nous nous proposons d'utiliser trois différents titanates et trois différents oxydes en
l'occurrence le titanate de baryum BaTiO3, le Titanate de Calcium CaTiO3, le titanate de
magnésium MgTiO3, l'oxyde de zinc, l'oxyde de calcium et le dioxyde de manganèse.
Nos matériaux composites ne seront constitués à la fois que d'un titanate, d'un oxyde et d'une
résine époxyde utilisée comme liant.
L'influence de l'oxyde sera étudiée en variant sa
proportion dans le mélange.
Dans le premier chapitre du présent travail nous donnerons un aperçu sur les
matériaux diélectriques et leurs caractéristiques qui les rendent attractifs. Le second chapitre
portera sur le processus et les méthodes de caractérisations de ces matériaux et en particulier
sur la spectrométrie en domaine temporelle. Quelques lois de mélange y seront traitées. Dans
le troisième et dernier chapitre nous présenterons le dispositif expérimental et les résultats
expérimentaux avec leur interprétation et leur comparaison aux résultats théoriques prédits par
les lois de mélange.
Pour rappel le travail réalisé au cours de cette thèse est accompli dans le cadre des
activités scientifiques du Laboratoire d'Instrumentation Scientifique de l'Université de Sétif 1
7
en collaboration avec le laboratoire de l'Université de Zaragossa. Il fait suite à une série de
travaux déjà réalisés par les Professeurs Merzouki Abdelaziz et, Bouzit Nacerdine ainsi que
par le docteur Benhamouda Abdallah. Leurs travaux font partie de la base du présent travail
qui n'est qu'une continuité logique des activités du laboratoire LIS.
La caractérisation réalisée sur des céramiques appliquées dans le domaine de la
technologie des communications qui ne cesse de s’accroitre pour leur bonne propriétés
diélectriques d’une part et leur contribution dans la réduction en volume et en poids des
composants d’autres part. la plus part de ces matériaux renferment dans leur composition des
éléments appartenant à des familles pérovskite telles que le titanate de baryum ou de calcium
à des famille ilménites tel que le titanate magnésium. Les premiers éléments sont bien
connues par leur propriété ferroélectrique très commune et leur constante diélectrique très
élevée.
8
CHAPITRE I
LES MATERIAUX DIELECTRIQUES
9
Les matériaux diélectriques [1,2]
Etant donné que les matériaux composites utilisés dans notre présent travail sont à base de
matériaux diélectriques, il est utile de rappeler certaines définitions et propriétés de ces matériaux.
1.1 Définition :
Un matériau diélectrique est un matériau isolant car il ne peut pas conduire de l'électricité de
façon macroscopique. Il ne contient pas de charges libres dans sa structure. Cependant les charges
positives et négatives de ce même matériau et qui sont liées se déplacent sous l'influence d'un
champ électrique, les premières dans le sens du champ et les secondes dans le sens opposé créant
ainsi des dipôles électriques au niveau microscopique. Cet effet de polarisation lui confère de
nombreuses caractéristiques électriques.
Il faut signaler que sous l'effet de certains facteurs ionisants externes ce matériau peut perdre
ses propriétés diélectriques.
En génie électrique les matériaux diélectriques jouent, en général, le rôle d'isolant dans tout
dispositif soumis à une tension électrique. Mais en réalité les matériaux diélectriques peuvent
contenir une faible proportion d'impuretés provoquant une légère conduction surtout en basses
fréquences.
Le déplacement des charges
dû
à la
polarisation ou
leur mobilité due à la
conductivité induisent des pertes diélectriques.
Il faut noter que les phénomènes qui prennent place dans les milieux diélectriques soumis à
l'influence d'un champ électrique dépendent de la fréquence de ce dernier, de la température, du
mélange, de la pression et de la structure du diélectrique.
Un matériau est également classé comme diélectrique s'il a la capacité de stocker de l'énergie
lorsqu'il est soumis à un champ électrique externe. Si une tension est appliquée aux bornes d'un
condensateur à plaques parallèles, on constate qu'il y a une plus grande accumulation de charge
lorsqu'un matériau diélectrique est inséré entre les armatures; la capacitance augmente.
C0 =
C = C0 '
' = έr =
A

+
+
-
d
+ +
-
Où :
Figure 1.1: Polarisation dans un condensateur
10
-
C et C0 sont les capacitances respectives avec et sans diélectrique,
-
' = έr est la constante diélectrique réelle aussi appelée permittivité.
-
A et d sont,respectivement, la surface des plaques du condensateur et la distance qui les
sépare. (Fig. 1.1).
Le matériau diélectrique accroit la capacité de stockage en neutralisant les charges aux
électrodes qui contribuent généralement au champ externe. La capacitance du matériau diélectrique
est liée à la constante diélectrique. Il est à noter que si une tension sinusoïdale est placée aux
bornes du même condensateur alors le courant résultant sera composé d'un courant de charge Ic et
d'un courant de perte Il qui est lié à la constante diélectrique. Les pertes dans le matériau peuvent
être représentées par une conductance (G) en parallèle avec un condensateur (C).
1.2 La polarisation [1,2,3,4,5]
Malgré l'impossibilité des milieux diélectriques de conduire le courant, ils présentent,
cependant, de nombreuses caractéristiques électriques. En effet les atomes qui constituent le
matériau peuvent présenter des dipôles électrostatiques qui sont susceptibles d'interagir avec
un champ électrique. Cette interaction se traduit par la création d'une polarisation reliée à ce
champ électrique, au niveau microscopique, par une polarisabilité, et au niveau
macroscopique, par la susceptibilité électrique.
Les électrons présents dans un milieu diélectriques ne peuvent pas, par définition, se déplacer
sur de grandes distances. Ils peuvent par contre présenter des mouvements d'amplitudes très
petites à notre échelle, mais qui peuvent être à l'origine de nombreux phénomènes. Ces
mouvements sont souvent des mouvements d'oscillation autour du noyau : le nuage
électronique peut être déformé et ainsi créer un dipôle électrostatique. Il en va de même pour
le déplacement global des atomes au sein du matériau (ils créent également des dipôles).
1.3 Les Dipôles
L'ensemble de deux charges électriques espacées d'une distance d et de signes opposés
constitue un dipôle.
L'énergie emmagasinée provient de ce déplacement. La figure 1.2
illustre ci un dipôle. (2)(3)
11
+q
-q
d
FIGURE 1.2: DIPOLE ELECTRIQUE.
Il existe deux types de dipôles, permanents et induits. Les dipôles dits permanents se trouvent
dans certains matériaux caractérisés par une dissymétrie au niveau moléculaire où les charges
positives et les charges négatives n'ont pas le même barycentre.
Les dipôles induits ne se
forment qu'en présence d'un champ électrique externe. Donc nous avons une polarisation de
charges de signes opposés.
Un moment dipôlaire
caractérise chaque dipôle électrique:
= q.d.
(1.1)
où est un vecteur unitaire dirigé de –q vers +q.
1.4 Création d'une polarisation
En soumettant le matériau à un champ électrique, de tels dipôles peuvent être créés.
S'ils existaient déjà, cela peut avoir comme effet de les aligner tous dans le même sens. D'un
point de vue microscopique, on peut relier l'amplitude de l'onde au dipôle créé via la notion de
polarisabilité, qui est une caractéristique propre à chaque atome. Il est cependant impossible
de mesurer de telles grandeurs microscopiques. On préfère utiliser une grandeur
macroscopique, la polarisation, qui vaut la somme de tous les dipôles du matériau.
Cette polarisation informe sur l'aptitude du milieu diélectrique à être influencé par un champ
électrique externe en déplaçant les barycentres des charges positives et négatives.
1.5 Effet d'un champ électrique dans un milieu diélectrique
Soit un échantillon de forme ellipsoïdale sur lequel on applique un champ électrique
uniforme
ext.
Ce champ entraine une polarisation uniforme:
= 
ext
(1.2)
où est la susceptibilité diélectrique.
12
1.5.1 Le champ électrique local [3,5,6]
Le champ électrique exercé sur un point matériel M qui forme, avec un dipôle
ponctuel de moment polaire
, un vecteur , est défini par :
(1.3)

dipôle
M
Figure 1-3: induction d'un dipôle sur un point matériel.
Lorsque le point M est entouré par n dipôles chacun caractérisé par son moment dipolaire
et son vecteur
, alors le champ total sur ce point est:
(1.4)

M
Figure 1-4: induction de n dipôles sur un point matériel M
Au point M on applique maintenant un champ électrique externe
en plus du champ
du aux dipôles permanents. Le champ total qui affecte le point matériel M est
appelé champ local. Il est la somme des deux champs.
13
+
(1.5)
Ce raisonnement n'est valable que pour les milieux denses où les particules sont proches.
Cependant pour les milieux peu denses les particules sont éloignées les unes des autres et leur
champ n'a pas d'effet significatif sur un point donné par rapport au champ externe. Dans ce
cas le champ local se limite au champ externe:
Dans un milieu cristallin linéaire, homogène et isotrope, le champ local est donné par :
+
où


(1-6)
représente le champ local créé par les dipôles et qu'on appelle : champ de Lorentz
La présence et la création de dipôles dans les matériaux diélectriques, ou phénomène de
polarisation, vient donc de différents effets physiques:
• la polarisation électronique, toujours présente, est due au déplacement et à la
déformation de chaque nuage électronique,
• la polarisation atomique est due aux déplacements des atomes,
• la polarisation d'orientation existe lorsque des dipôles déjà présents sont tous alignés
entre eux.
La polarisation est souvent proportionnelle au champ électrique qui l'a créée (ce cas est dit
linéaire) :
= ε 0 E
(1.7)
avec ε 0 la constante diélectrique et  la susceptibilité électrique du matériau, qui est un
nombre complexe.
1.5.2 Les Mécanismes de la Polarisation
Dans ce qui suit nous passerons en revue ces différents types de polarisation. (Fig.1.5)
14
1.5.2.1
La Polarisation Electronique:
En l'absence de champ externe le nuage électronique du matériau est pratiquement
centré autour du noyau. En présence d'un champ électrique externe le nuage électronique se
déplace en s'éloignant du noyau. Ce déplacement dépend de l'intensité du champ appliqué et
des forces d'attraction ente charges positives du noyau et charges négatives du nuage. Ainsi il
y a apparition de deux barycentres, l'un pour les charges positives et l'autre pour les charges
négatives et ce pour chaque atome, constituants ainsi des dipôles induits.
Vue la faible masse des électrons, ce type de polarisation s'établit en un temps très court. Sa
contribution demeure même pour des fréquences très élevées [7]. Cette polarisation est
exprimée par:
= N.e
loc
)8.1(
N est le nombre de particules par unité de volume.
Figure 1.5: Mécanismes De La Polarisation
15
1.5.2.2 La Polarisation Ionique (ou moléculaire):
La polarisation ionique (fig.1.5) peut s'établir dans les matériaux comportant des ions
positifs et des ions négatifs. Sous l'effet d'un champ électrique externe ces ions s'alignent et
induisent des dipôles. Cette polarisation est imperceptible en présence d'hyperfréquences. Les
raisons étant, d'une part, la masse des ions qui est relativement grande et d'autre part les
liaisons ioniques qui sont très fortes. Cette polarisation est notée:
= N.I
1.5.2.3
)1.1(
LOC
La Polarisation d'Orientation:
Les molécules de certains milieux possèdent un moment dipolaire permanent.
L'effet d'un champ électrique extérieur provoque une orientation des dipôles dans la direction
du champ. Cette polarisation dépend très fortement de la température ainsi que de la
fréquence du champ appliqué et de la viscosité du milieu. Elle est appelée polarisation
d’orientation (fig.1.5) et est notée:
= N.o
loc
(1.11)
1.5.2.1
La Polarisation hétérogène (ou inter faciale):
Certains milieux matériels sont composés de plusieurs phases et sont dits hétérogènes.
Sous l'effet d'un champ électrique les charges pouvant se déplacer s'attirent au niveau des
interfaces des différentes phases. L'accumulation de ces charges constitue une polarisation
appelée polarisation inter faciale.
La somme de ces types de polarisation constitue la polarisation totale dans le
matériau.:
=
+
+
= N.
+
(11.1)
LOC
(1.11)
où    e   i   o   h est la polarisabilité totale dans le matériau. Elle peut se réduire soit
à ( e   i ) ou à ( e   i   o ) selon la nature du milieu matériel et la fréquence de travail.
16
La figure 1.6 représente la contribution des différents mécanismes de polarisation dans la
valeur de la permittivité complexe en fonction de la fréquence d’excitation.
Figure 1.6 : Contribution des Différents Mécanismes de la Polarisation dans la valeur de la
Permittivité Complexe en Fonction de la Fréquence d’Excitation.
1.6 Susceptibilité électrique
En électromagnétisme, la susceptibilité électrique  est une grandeur caractérisant la
polarisation créée par un champ électrique. Ce phénomène se produit uniquement par
l'intermédiaire d'un milieu matériel (souvent un matériau diélectrique), et dans de nombreux
cas, l'intensité du champ électrique utilisé est suffisamment faible pour que la polarisation
vérifie la relation suivante :
= 0.
)1.11(
où  est la constante diélectrique, et  la susceptibilité électrique qui est un nombre
complexe sans dimension.
Ce cas est dit linéaire car il s'agit d'une relation de
17
proportionnalité. Il permet d'interpréter le phénomène de réfraction : en effet, la susceptibilité
est reliée, d'après les équations de Maxwell, à l'indice de réfraction n par la relation :
n=
(1.14)
où Re()désigne la partie réelle de la susceptibilité électrique.
1.6.1 Calcul de la susceptibilité électrique
Pour calculer la susceptibilité électrique, plusieurs approches sont possibles. Il faut
dans tous les cas être capable de décrire l'effet d'un champ électrique sur les constituants la
matière. Les différents mécanismes possibles sont à l'origine de plusieurs types de
polarisation évoqués précédemment:
Dans la plupart des cas, plusieurs de ces phénomènes sont présents et se cumulent. La
principale difficulté du calcul réside dans le fait que le champ électrique macroscopique dans
lequel est plongé le matériau est souvent différent du champ électrique local qui agit
réellement sur les constituants microscopiques et donc crée la polarisation. C'est pourquoi il
faut distinguer susceptibilité (grandeur
macroscopique) de polarisabilité (grandeur
microscopique). de polarisabilité (grandeur microscopique).
Soit un milieu matériel dont les particules sont supposées de forme sphérique. Des relations
P  N    E loc (1-12) et E loc  E ext 
P
3 0
(1.15)
nous obtenons:

P 
P  N     E ext 

3 0 

P
3 0  N  
 E ext
3 0  N  
(1.16)
(1.17)
comme: P   0    E ext alors
18
0   
3 0  N  
3 0  N  
(1.18)
La susceptibilité est:

3N  
3 0  N  
(1.19)
 est appelée susceptibilité électrique qui dépend de la polarisabilité du milieu matériel et du
nombre des particules par unité de volume.
1.6.2 La relation entre la permittivité et la susceptibilité électrique
Par définition [2, 4, 8, 9]:
(
= 
ext
on sait que3)(7)(12)(13)
1.11)
et comme:
= 
ext
+ + +0jjhon
(1.21)
En remplaçant le vecteur de polarisation par son expression donnée par l’équation on trouve:
= 
ext
+ 
ext
(1.22)
ou bien:
= 
EXT
(1.23)
Par comparaison avec (1-11(, on déduit l’expression de  :
   0  (1   )
(1.24)
Le rapport entre et  0 définit la permittivité diélectrique relative:
 r  1 
(1.25)
19
1.6.3 La relation de Clausius-Mossotti
La formule de Clausius-Mossotti est une relation entre la polarisabilité microscopique
 d'un milieu diélectrique et sa constante diélectrique macroscopique  .
Les équations (1-14) et (1-20), aboutissent à cette relation:
 r 1 N 

 r  2 3 0
(1.26)
On remarque que plus la valeur de la polarisabilité est grande plus la permittivité du matériau
est importante.
1.7 Modélisation fréquentielle de la permittivité diélectrique
La permittivité diélectrique d'un milieu matériel dépend considérablement de la
fréquence du champ appliqué. Le degré de dépendance diffère d'un matériau à un autre. Dans
la littérature plusieurs auteurs ont proposé chacun sa propre formulation aux problèmes,
néanmoins les modèles proposés par Debye, Cole & Cole ou Cole & Davidson restent les
plus utilisés, et ce vu leur degré de validité pour les différents matériaux étudiés.
(5)(13)(17)(18)
1.7.1 L'équation de Debye [2]
Dans son article "Polar molecule" Debye (1929) donne une généralisation sur le
comportement des matériaux présentant une polarisabilité d'orientation, dans la région où la
polarisation diélectrique montre une relaxation [10, 11,12]. Cette relaxation apparait quand la
période de l'onde électromagnétique est comparable au temps nécessaire à l'alignement de la
molécule. Lorsque la fréquence appliquée est trop grande devant celle correspondante au
temps de relaxation, la permittivité relative est appelée constante diélectrique relative infinie,
notée , et représentant la polarisation atomique (ionique) et électronique qui, dans cette
situation, n’est plus fonction de
. Pour des fréquences assez basses, la permittivité relative
devient la constante diélectrique relative statique qu'on note  s .
Une relation liant la permittivité diélectrique à la fréquence pourrait être de la forme de la
forme:
 ( )     f ( )
(1.27)
20
où f ( ) est une fonction de fréquence. Lorsque   0 f ( ) devient :
f (0)   s   
(1.28)
Si on supprime le champ électrique destiné à aligner les molécules, alors la
polarisation diminue ainsi que le champ interne. D'après Debye cette polarisation P décroît
exponentiellement avec le temps par une constante de temps  représentant le temps de
relaxation caractéristique au moment dipolaire de la molécule. Cette polarisation est donnée
par la formule suivante:
P(t )  P0  e

t

(1.29)
La fonction recherchée f ( ) est reliée à la polarisation par la transformée de Fourier [13] :

f ( )  K   P(t )  e jt  dt 
0
K  P0
j  1/
(1.30)
où k est une constante.
De la condition donnée par (1-28), on a :
K  P0    s   
(1.31)
L'équation (1.30) devient :
  ( )   s 
s  
1  j   
(1.32)
L'équation (1-32) est appelée: équation de Debye.
Par séparation des parties réelle et imaginaire de l’expression       j    , on obtient:
21
s  
2
1    
(1.33)
    s    
2
1    
(1.34)
 ( )   s 
 ( ) 
1.8 CONCLUSION
Dans ce chapitre nous avons fait des rappels sur la physique des milieux diélectriques
et en particulier sur la permittivité diélectrique qui est un paramètre important dans la
caractérisation de ces milieux. Nous avons vu les différents types de polarisation en faisant la
distinction entre polarisation qui est à l'échelle macroscopique et polarisabilité qui est elle vue
à l'échelle microscopique et les relations qui les lient. Le modèle de Debye a été traité pour
montrer la relation entre la permittivité et la fréquence.
22
CHAPITRE II
METHODES DE CARACTERISATION
DES MATERIAUX DIELECTRIQUES
23
2.1 Introduction
Le succès des matériaux composites provient de leur aptitude à être conçus à la carte
et selon l'utilisation et les besoins industriels. Leur comportement peut être modifié en
agissant sur les types de matériaux constituant le composite et sur leurs propriétés, leur
granulométrie, leur concentration et leur disposition dans la matrice.
Cependant il est
important de garantir la répétitivité de ce comportement afin d'éviter les surprises qui
pourraient surgir lors de leur utilisation. Par conséquent ces matériaux composites doivent
faire l'objet d'une caractérisation de leurs propriétés lors de leur élaboration.
Diverses méthodes sont utilisées pour la détermination des propriétés des matériaux
hétérogènes. Parmi ces méthodes, la méthode thermique, les méthodes nucléaires, la méthode
électrique et, en ce qui concerne le présent sujet, les méthodes diélectriques basées sur la
détermination de la permittivité diélectrique relative en l'occurrence la méthode capacitive et
la méthode de réflectométrie en domaine temporel (T.D.R.). C'est cette dernière méthode que
nous avons adopté dans le présent travail.
Cependant il est maintenant admis qu'il est possible de déterminer la constante
diélectrique d'un mélange hétérogène et aléatoire à partir des paramètres de ses constituants
mathématiquement grâce à la modélisation diélectrique de tels mélanges. Cette modélisation
est considérée comme un outil mathématique que nous aborderons également dans ce
chapitre.
2.2 La propagation des ondes électromagnétiques [12,14,15,16]
Nous avons opté pour la TDR car c'est une technique simple d'utilisation en milieux
guidés (dans un guide d'ondes électromagnétiques), non coûteuse en terme d'équipements et
satisfaisante en terme de résultats. Le dispositif à réponse temporelle a l'avantage de donner
directement la nature du milieu caractérisé. Cette réponse peut faire l'objet d'un traitement
fréquentiel basée sur la transformée de Fourier. La réflectométrie temporelle associée au
traitement fréquentiel est connue sous le nom de spectroscopie en domaine temporel
(SDT).d'une onde électromagnétique
Etant donné que nous avons opté pour la TDR qui est utilisée dans les milieux guidés,
il est bon de faire quelques rappels sur la propagation des ondes dans de tels milieux.
En
effet la propagation guidée consiste à canaliser un signal électromagnétique dans un espace
délimité par des interfaces conductrices ou diélectriques, depuis la source jusqu’au détecteur.
24
Son avantage est de transmettre l’énergie électromagnétique avec un faible taux d’atténuation
et de véhiculer, en retour, l’information correspondante à l’abri de phénomènes parasites.
Le guidage est réalisé dans des lignes coaxiales ou des guides d’ondes dont la constitution
varie suivant le domaine de fréquence des ondes. Ainsi sont utilisés :
- à haute fréquence (f < 1GHz), les câbles coaxiaux.
- en ondes millimétriques et centimétriques (f < 1THz), les guides d’ondes creux à
section rectangulaire.
- en infrarouge et dans le visible (f < 1015Hz), les fibres optiques.
Dans un guide d’ondes, on peut produire des ondes progressives guidées qui obéissent aux
équations de Maxwell et aux conditions aux limites sur les conducteurs métalliques.
A cet effet il est nécessaire de connaitre les équations qui décrivent cette propagation et son
interaction avec le milieu.
Dans ce qui suit nous faisons un rappel sur la propagation des
ondes électromagnétiques dans une ligne de transmission coaxiale. Deux approches sont
abordées, électrique puis électromagnétique.
2.2.1 L'approche électrique.
Une ligne de transmission est modélisée par une cascade de circuits électriques
identiques comportant chacun
une résistance, une inductance une conductance, et une
capacité figure 2.1.
R
L
R
G
C
L
G
C
Figure 2.1: Modélisation d'une ligne de transmission
Quelles sont les équations qui gèrent v(x,t) et i(x,t) ?
On considère une section dx de la ligne, dx étant très petit et sa représentation est faite par
des éléments ponctuels. Cette portion est modélisée par le quadripôle suivant (figure 2.2):
25
i(x)
Ldx
Rdx
V(x)
i(x+dx)
G
C
V(x+dx)
dx
Figure 2.2: Elément dx d'une ligne de transmission
où R, L, C et G sont les paramètres primaires de la ligne de transmission.
L : énergie magnétique emmagasinée (H/m)
G : perte diélectrique dans l’isolant qui n’est pas parfait )S/m( )Siemens/m(, c’est la
conductance entre les 2 conducteurs.
C : énergie électrique emmagasinée (F/m)
R : pertes ohmiques )conducteur( )Ω/m(
En un point x de la ligne v(x) =V et i(x) = I, mais après une distance dx nous avons:
v(x+dx) = V - dv et i(x + dx) = I - di.
Après cette distance dx la tension subit une chute ∂v =R. ∂x.i(x,t) +L∂x
car le conducteur
présente une perte ohmique et également une diminution du courant ∂i= G∂x.v(x,t) + C∂x
due aux pertes dans le milieu diélectrique. Ces deux équations peuvent être écrites sous la
forme suivante:
(2.1)
De ces deux équations sont dérivées les équations des télégraphistes
(2.2)
Si on suppose que la ligne est sans perte c.-à-d. R=0, et G=0 alors nous obtenons
26
(2.3)
Les solutions de ce système d'équation sont de la forme suivante:
(2.4)
Avec
étant la vitesse de propagation définie par la relation
fonctions représentant un phénomène de déplacement à la vitesse
et où f et g sont des
dans le sens des x.
Si nous considérons le cas particulier d'une ligne infinie où l'onde incidente et l'onde réfléchie
n'interfèrent pas, alors en un point quelconque de cette ligne nous aurons:
(2.5)
que nous pouvons écrire:
(2.6)
Le terme
qui relie la tension à l'intensité constitue une impédance; il est noté Zc et est
dénommé impédance caractéristique de la ligne à air.
27
Pour une ligne présentant des pertes ohmiques l'impédance s'exprime comme suit:


Zc=
(2.7)
2.2.2 L'Approche électromagnétique.
Le phénomène de propagation peut également être décrit par les équations de Maxwell
où une onde électromagnétique est représentée par deux champs, électrique et magnétique,
et
où :
et
Les relations entre ces deux grandeurs dans le cas d'un milieu isotrope sont régies par les
équations de Maxwell [15,17,18].
- Equation du flux magnétique :
div
(2.8)
Sa signification : Le flux de
à travers toute surface fermée est nul.
- Equation de Maxwell-Faraday:
=-
(2.9)
Cette équation décrit tous les phénomènes d'induction et montre qu'un champ
magnétique variable peut créer un champ électrique à circulation non nul.
=
(2.10)
- Equation de Maxwell-Gauss:
(2.11)
28
Cette équation relie le champ électrique à ses sources. Le flux du champ électrique
à travers toute surface fermée est égal à la somme des charges intérieures.
- Equation de Maxwell-Ampère:
(2.12)
Cette équation relie le champ magnétique à ses sources et au champ électrique. En
régime stationnaire, nous retrouvons le théorème d’Ampère qui montre que le champ
tourne autour des courants et le terme supplémentaire en
indique qu’un champ
électrique variable est source de champ magnétique.
Dans un milieu isotrope nous avons aussi :
et
Où :
-

est le vecteur de déplacement électrique,
10-9 /36
(F/m) et
= 4 10-7 (H/m) sont respectivement la
permittivité et la perméabilité du vide,
-
et  sont respectivement la permittivité diélectrique, la perméabilité
magnétique et la conductivité du milieu de propagation.
Ce sont des grandeurs complexes :
(2.13)
(2.14)
Dans un milieu où la conductivité est nulle, soient  = 0 et
= 0, nous avons:
(2.15)
(2.16)
29
Remplaçons
et
par leurs expressions, nous obtenons :
(2.17)
(2.18)
L'équation de propagation peut être déterminée à partir des équations de Maxwell sachant
que:
rot(rotE) =-E (Laplacien de E) et grad div E= 0, nous obtenons:

(2.19)

(2.20)
Si nous considérons une variation harmonique de E et de H, une solution particulière serait
l'onde plane donnée par:

E = E0

H = H0

et
(2.21)
et
,
(2.22)

étant la constante de propagation exprimée par :

c'est une grandeur complexe

où  est la constante d'atténuation et
(2.23)
la constante
de phase.
La vitesse de propagation est définie par :
30
(2.24)
Où c=
est la vitesse de la lumière dans le vide et
désigne la partie réelle.
Dans la démarche de l'électricien nous avons trouvé que la vitesse de propagation était
donc par analogie nous pouvons écrire :
(2.25)
L'impédance d'onde Z en un point de la ligne de propagation peut être exprimée en fonction
de la constante de propagation
par:

(2.26)
Ou encore par:
(2.27)
Dans le cas particulier du mode fondamental se propageant dans une ligne coaxiale (voir
figure 2.3) l'impédance caractéristique Zc est donnée en fonction des dimensions de la ligne
par:
(2.28)
b
a
Figure 2.3 : ligne coaxiale
2.3 La Réflectométrie en Domaine Temporel
Parmi les méthodes de caractérisations des matériaux nous avons opté pour la
technique de réflectométrie dans le domaine temporel (Time Domain Reflectometry). C'est
31
une méthode axée sur l’analyse du comportement d’une onde électromagnétique émise dans
le milieu étudié. Elle exploite la vitesse de propagation de cette onde qui est fonction de la
permittivité du milieu et la réflexion à chaque discontinuité ou changement d’impédance
dans la ligne de transmission. L’onde est une impulsion électrique ou échelon )figure 1.1( de
durée très courte donc de très haute fréquence délivrée par un générateur d'échelons.
Cette onde parcourt une ligne coaxiale au bout de laquelle l'échantillon du matériau objet de
l'étude est placé. La mesure du temps aller-retour de l’onde au moyen d’un oscilloscope ultrarapide permet d’en déduire la permittivité. Le dispositif de mesure utilisé à cet effet est
constitué d'un générateur d'échelon, d'une ligne coaxiale, d'un oscilloscope à échantillonnage
et d'un micro-ordinateur pour l'acquisition et le traitement des données. (voir figure 2.4).
[15,19,20].
V(t)
Vi

t
Fig.2.4: echelon de tension
Les caractéristiques de l'échelon
(2.29)
V(t)= 0 pour t=
V(t)=
V(t)=


pour 0
(2.30) 
pour t 
(2.31)
L'amplitude complexe dans le domaine fréquentiel est donnée par:





(2.32)
Pour très faible nous obtenons



(2.33)
qui n'est que la transformée de Fourier de la fonction échelon et dont la densité spectrale est :
32





(2.34)

de même lorsque  tend vers zéro


(2.35)

Au vu des équations, il est clair que la densité spectrale s'atténue beaucoup plus
rapidement pour des temps de montée longs. Plus le temps de montée est court et plus la
densité spectrale s'atténue moins rapidement d'où l'intérêt d'utiliser des temps de plus en plus
courts grâce à l'avènement des diodes à pas de recouvrement rapide qui permettent d'atteindre
des fréquences de l'ordre de plus de 10 GHz. Dans notre cas le spectromètre que nous avons
utilisé délivre un échelon de tension d'amplitude 200mV, dont le temps de montée est de
l'ordre de 28 ps, ce qui permettra de couvrir, après transformée de Fourier, une bande passante
s'étendant du statique jusqu’à 12,5 GHz.
Ce signal échelon se propage dans la ligne coaxiale d'impédance caractéristique Z0.
A la rencontre de l'échantillon, se trouvant en bout de ligne et qui a une impédance Z, une
partie du signal incident est réfléchie. Le coefficient de réflexion est donné par:
(2.36)
Nous pouvons alors, connaissant R et Z0 = 50  obtenir Z et par conséquent
caractériser la cause de ce changement d'impédance. Il peut être dû, ainsi que nous l'avons
déjà signalé, à un changement de standard du guide, à un défaut de la ligne ou à la présence
d'un échantillon dans la ligne. Ce dernier aspect est à l'origine du développement du travail
présenté ici
Les caractéristiques électromagnétiques [diélectriques ' ,''), électrique ( ) et
éventuellement magnétiques(' et ")] d'un matériau sont alors déterminés en fonction de la
fréquence, en traitant soit le coefficient de réflexion R(), soit en passant par l'intermédiaire
de l'admittance caractéristique du milieu Y() (ou de son impédance Z(  ) 
1
) par la
Y(  )
résolution inverse des équations transcendantes obtenues à partir des relations de propagation
en lignes coaxiales. L'expérimentation nécessite en plus de la mesure du signal temporel en
33
présence de l'échantillon, celle donnée par la charge étalon (court-circuit) qui permettra de
déconvoluer la réponse échantillon et ainsi s'affranchir de la fonction d'appareil.
SYSTEME TDR
Connecteur
APC7
Câble de
mesure
Générateur
d’échelon
Terminaison
Ligne coaxiale Echantillon
à air 50 
Figure 2.5: dispositif de mesure en TDR.
2.4 Principales Méthodes Utilisées en Spectroscopie Temporelle. [1,16]
2.4.1 Expression générale du coefficient de réflexion (démarche optique). [27]
Dans cette démarche nous analysons la réponse d'un échantillon en étudiant les
coefficients de réflexion au niveau des interfaces en prenant chaque réflexion
individuellement. Ceci est possible car, dans notre dispositif de réflectométrie temporelle, les
ondes réfléchies arrivent échelonnées dans le temps. Les coefficients de réflexion globaux
sont par la suite calculés par une méthode généralement utilisée par les opticiens et les microondistes.
Soit une lame diélectrique d'épaisseur d et de constante diélectrique 2 disposée entre
deux milieux différents de longueurs infinies et de permittivité relatives 1 et 3, alors nous
avons de façon générale:
i

Z i1  Z i n i  n i1

Z i1  Z i n i  n i1
où ni =  i .
Du coté amont de la première interface nous obtenons:
Z 2  Z1 n1  n 2

1 
Z 2  Z1 n1  n 2
cependant du coté aval nous avons:
Z2  Z3 n 2  n 3

2 
Z2  Z3 n 2  n 3
Le système peut être représenté par la figure 2.6 suivante:
(2.37)
(2.38)
(2.39)
34
1,
2,
1
E1
3,
2
E3
E2
t1 = 1 +


t'1 = 1 -
3
t2 = 1 +





E'1
E'2
d
Figure 2.6 Multi réflexions dans un diélectrique
où

constante de propagation dans le diélectrique étudié
E1: champ incident sur le premier dioptre
E'1: champ total réfléchi au niveau du premier dioptre
E2: champ total sur le premier dioptre à l'intérieur du d
trique
E'2: champ total réfléchi au niveau du second dioptre et à l'intérieur du diélectrique
E3: champ total transmis
1:
coefficient de réflexion sur le premier dioptre
t1: coefficient de transmission au niveau du premier dioptre
2:
coefficient de réflexion sur le second dioptre
t2: coefficient de transmission au niveau du second dioptre
Les relations suivantes entre les expressions des champs peuvent alors être établies [22,23]:
E2 = (1+
1)
E1 -
E3 = (1+
2)
E2 exp(-  d)
1
E'2 exp(-  d)
E'2 =
2
E2 exp(-  d)
E'1 =
1
E1 + (1-
1)
E'2 exp(-  d)
(2.40)
A partir de ce système d'équations linéaires sont déduites les expressions générales du
coefficient de réflexion global R et du coefficient de transmission global T:
R
E1
E
et T  3
E1
E1
(2.41)
35
R
soit :
E1

 1
E1 1  1
exp( 2 d )
2 exp( 2 d )
2
(2.42)
pour le coefficient de réflexion
et :
T
E 3 (1  1 )(1  2 ) exp( 2 d )

E1
1  1 2 exp( 2 d )
(2.43)
pour le coefficient de transmission.
Les protocoles expérimentaux qui seront mis en œuvre en spectroscopie temporelle
vont être définis à partir de ces deux relations fondamentales. Leurs avantages et
inconvénients seront présentés et le choix de ceux retenus dans notre travail sera exposé.
Il y a deux catégories de méthodes: la méthode de première réflexion et les méthodes
de réflexions multiples.
2.4.2. La Méthode De La Première Réflexion [24, 25, 26].
Elle fût la première à être mise en œuvre dans la spectroscopie en domaine temporel.
La figure ci-dessous, montre que seule la réflexion issue de l'interface air/échantillon est prise
en compte. Cependant il est nécessaire d'utiliser un échantillon de longueur suffisante pour
que toute l'information portée par la réflexion
de la première interface soit obtenue avant
que n'apparaisse la seconde réflexion due à la seconde interface.
Les figures 2.7 et 2.8 présentent respectivement le dispositif expérimental et une
schématisation des signaux correspondants.
DIGITIZING
OSCILLOSCOPE
HP 54120
STEP
GENERATOR
Echantillon
HP 54121
DIGITIZING
OSCILLOSCOPE
STEP
GENERATOR
HP 54120
HP 54121
Court-Circuit
Figure 2.7: Dispositif expérimental utilisé en première réflexion
36
R(t)
0
R(t) (Echantillon)
V(t) (Court-circuit)
-1
Figure 2.8: Représentation des signaux réfléchis pour la
méthode de la première réflexion
Les signaux temporels obtenus par la méthode de première réflexion pour un
échantillon d'hexanol sont présentés dans la figure 2.9. [28].
0,2
R(t)
Canaux
0
0
100
200
300
400
500
-0,2
-0,4
Rec(hexanol)
-0,6
-0,8
Rcc
-1
-1,2
Figure 2.9: Signaux réels obtenus par la méthode de la première réflexion.
Dans cette expérience qui se déroule en deux étapes, le signal Rec(t) réfléchi par
l'interface air / diélectrique est enregistré en premier. Ensuite c'est le signal Rcc(t), réfléchi
par le court-circuit placé à l'endroit qu'occupait précisément la face avant du matériau, qui est
enregistré Ainsi, les signaux Rec(t) et Rcc(t) sont repérés par rapport à une même origine des
temps.
La réflexion est donnée par la relation : [1]
37
( )  






Comme Z 
Rec (t ) exp(  jt )dt
Rcc (t ) exp(  jt )dt

Rec ( ) H ( )
Rcc ( ) H ( )
(2.44)
Z0
, où Z représente l'impédance caractéristique du matériau et Z0 est

l'impédance caractéristique de la ligne à air coaxiale, cela mène à:
R

Z  Z0 1  

Z  Z0 1  
(2.45)
La permittivité complexe est donc simplement obtenue par:
1
  
1



2
(2.46)
Cette méthode se caractérise par une extrême simplicité et par une grande facilité dans sa mise
en œuvre. Ceci la rend une méthode de choix pour l’étude des liquides pour lesquels nous
pouvons obtenir des échantillons suffisamment longs. [22]
Cependant cette méthode présente quelques inconvénients dont nous citons trois qui
paraissent les plus fondamentaux:
1- L'échantillon doit être d'autant plus long que nous sommes en présence de
relaxations basse fréquence afin de tenir compte de la décroissance de la courbe de réponse
temporelle.
2- Dans le cas général où   1 on ne peut pas séparer la permittivité et la
perméabilité car alors nous disposons seulement d'information:
 1 


 1 
2
(2.47)
Toutefois pour les études sous champ magnétique [29] où la permittivité ne varie pas
en fonction de B:
( B  0)   ( B  0) , nous permet d'étudier les variations de:
1 
  

1 
2
(2.48)
3- Enfin l'inconvénient majeur de cette méthode consiste dans la maîtrise d'un
décalage éventuel de l'origine des temps. En effet, la dynamique des phases est extrêmement
faible compte tenu que:

1   1  n   jn 

1   1  n   jn 
(2.49)
38
où n    n   jn  est l'indice électromagnétique du milieu. Nous pouvons écrire le
coefficient de réflexion
également sous la forme:
 R( )  jI( ) 
exp(  j)
(2.50)
avec:
 n  
 n  
  Artg
  Artg

 n   1
 n   1
(2.51)
Dans notre cas n'' est très inférieur à n' ce qui implique que  reste toujours faible
d'où la difficulté de l'expérimentation.
Une variation même très faible de l'origine des temps aura pour conséquence une
variation de phase parasite qui peut être du même ordre de grandeur que . En effet, si nous
considérons le signal de référence R cc ( t ) (correspondant à la mesure d'un court-circuit) et le
signal temporel donné par l'échantillon décalé d'une quantité t, la réponse obtenue après
utilisation d'une transformée de Fourier est donnée par:
N
TFD[V ( t  t )]
R déca (  ) 

TFD[R cc ( t )]
t  V ( t  t ) exp(  jt )
0
N
t  R cc ( t ) exp(  jt )
(2.52)
0
où Rdéca() représente le signal obtenu, on a encore:
N
R déca ( ) 
 V( t ) exp(  jt ) exp(  j t )
0
(2.53)
N
R
cc
( t ) exp(  jt )
0
Il vient alors que Rdéca() = R() exp(-j t) où R() est le signal recherché. Il existe entre
les deux expressions un terme de correction de phase exp(-j t). Même pour des valeurs
extrêmement faibles de t, cette correction peut devenir importante aux limites hautes
fréquences de la bande d'intérêt, en particulier pour des matériaux présentant de faibles pertes.
Ce problème ne constitue plus une contrainte car la nouvelle génération de spectromètre
permet de définir, avec une excellente précision du point de vue expérimental, le temps t = 0.
Cette méthode qui est parfaitement adaptée au cas des liquides (longs échantillons),
n'a pas pu être retenue dans le cadre de ce travail (échantillons courts).
Nous avons donc
39
essayé de déterminer les protocoles les mieux adaptés à notre recherche en utilisant les
propriétés des multi réflexions.
2.4.3 Les Méthodes de Multi réflexions.
Lors de l'usage de ces méthodes nous supposons que les ondes se propagent dans une
ligne à air parfaite et ce en amont de l'échantillon..
Contrairement à la méthode précédente il n'est pas nécessaire d'utiliser des
échantillons longs afin de pouvoir les caractériser. Plusieurs protocoles permettant de définir
les paramètres électromagnétiques du matériau sont présentés en considérant à chaque fois
son épaisseur d, sa permittivité  et son impédance terminale de charge Zt. Chaque protocole
fera l'objet d'une étude critique quant aux domaines d'application pour des matériaux
magnétiques ou non, conducteurs ou non afin de faire un choix sur la méthode la mieux
adaptée au présent travail.
2.4.3.1 La Méthode de la Ligne Court-circuitée (ZT = 0).
La figure 2.10 présente le dispositif expérimental.
DIGITIZING
OSCILLOSCOPE
STEP
GENERATOR
HP 54120
HP 54121
DIGITIZING
OSCILLOSCOPE
HP 54120
STEP
GENERATOR
Echantillon
Court-circuit
HP 54121
Figure 2.10: Représentation du dispositif de mesure d'une ligne court-circuitée.
La figure 2.11 présente les réflexions multiples dans l'échantillon et leurs influences
sur le signal temporel.
40
R(t)
-
1
temps
0
-1
r0
1
Rcc(ech+cc)
r0
r1
Rcc(seul)
r1
r2
-1
r2
r3
R=ri
Figure 2.11: Représentation des multi-réflexions pour la méthode de ligne courtcircuitée
La figure 2.12 présente un exemple de signaux réels obtenus avec et sans échantillon
en domaine temporel.
R(t)
0,2
Canaux
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
-0,2
-0,4
Rcc(seul)
Rcc(ech+cc)
-0,6
-0,8
-1
-1,2
Figure 2.12: Représentation des signaux réfléchis obtenus par la méthode de la ligne
court-circuitée (pour un milieu diélectrique)
41
Cette méthode a fait l'objet de nombreux travaux et articles au laboratoire [1, 30, 31,
32]. Elle consiste à effectuer Zt = 0 c'est à dire
1

2

= -1, dans ces conditions on obtient:
1 
1 
(2.54)
A partir de (2.42), le coefficient de réflexion global s'exprime par:
R c ( ) 
 exp( 2 d )
1  exp( 2 d )
(2.55)
avec bien entendu Tc() = 0.
Cette méthode, très utilisée pour des fréquences ponctuelles, semble moins
intéressante pour caractériser des matériaux diélectriques en large bande. Pour nous en
convaincre, calculons l'impédance de l'ensemble matériau plus charge terminale. Il vient:
Z
1  R c 1   1  exp( 2 d )


1  R c 1   1  exp( 2 d )

th( d )

(2.56)
En basse fréquence quand d << 1, on peut développer cette expression au premier ordre par:
Z
 


 d   j d
j

 c
c
(2.57)
En conséquence, la permittivité du matériau à étudier devient difficile à déterminer
en basse fréquence pour des échantillons minces, la dépendance en  n'intervenant qu'au
second ordre. En fait, cette méthode sera principalement utilisée pour des mesures de
perméabilité sur des matériaux magnétiques ou sur des matériaux de grandes longueurs.
Une autre difficulté inhérente à cette méthode est que l'équation à résoudre pour
obtenir la permittivité à partir de Rc est transcendante ce qui nécessite l'utilisation d'une
méthode itérative. On peut toutefois obtenir une solution simple dans le cas où on dispose
d'un matériau avec deux épaisseurs doubles l'une de l'autre [75]. On a alors pour les deux
épaisseurs les expressions des impédances:
Z1 
  

th  j d  

  c
(2.58)
Z2 
  

th  j 2d  

  c
(2.59)
et
42
Si on pose alors p 
Z1



et x  exp  2 j d   , il vient:


c
Z2
2
1  x2
 1  x  1  x 
p




 1  x   1  x 2  (1  x) 2
(2.60)
soit finalement connaissant x on obtient C1   que l'on porte dans l'expression de Z1 et
on a: C 2 

soit finalement:


C1
C2
(2.61)
et
  C1 C2
(2.62)
Une autre méthode consiste à utiliser la méthode du court-circuit mobile (figure
2.13): le court-circuit peut occuper n'importe quelle position derrière l'échantillon et on peut
déterminer ainsi le coefficient de réflexion global Rm qui conduit également à résoudre une
équation transcendante. Mais la difficulté majeure réside dans le contact électrique entre guide
et court-circuit qui doit se conserver lors du déplacement de celui-ci.
diélectrique
air
1
R
air
3
-1
court-circuit
2
d
dcc
Figure 2.13: Dispositif de mesure de la méthode du court-circuit mobile
2.4.3.2 La Méthode de la Ligne Adaptée (ZT = Z0) [38].
Le matériau est placé dans une ligne à air, terminée par son impédance
caractéristique Z0 (50 Ohms), dans ce cas l'onde globale transmise à travers l'échantillon ne
43
pourra revenir sur celui-ci. Nous donnons sur la figure 2.14 ci-dessous la configuration
expérimentale utilisée.
Echantillon
Z0
STEP
DIGITIZING
GENERATOR
OSCILLOSCOPE
HP 54121
HP 54120
Z0
DIGITIZING
STEP
OSCILLOSCOPE
GENERATOR
HP 54120
HP 54121
Figure 2.14: Représentation du dispositif de mesure d'une ligne adaptée
Les signaux correspondants sont schématisés ci-dessous pour la transmission Tca et la
réflexion Rca:
1
Amplitude
-
1
Tca
1
r0
t1
r1
t2
r2
t3
r0
r1
r2
Rca(ec+la)
r3
R=ri
temps
0
Rcc(seul)
T=ti
-1
Figure 2.15: Représentation des multi-réflexions pour la méthode de la ligne adaptée
Nous présentons également sur les figures suivantes les différents signaux réels
obtenus lors de mesures sur des matériaux présentant les caractéristiques suivantes:
44
- un milieu diélectrique pur, le PVC ( = 0,  = 0), dont les signaux réels sont portés
sur la figure 2.16.
- un matériau présentant une conductivité non nulle ( 0 et = 0), en l'occurrence de
l'eau non dé ionisée, dont les signaux réels sont portés sur la figure 2.17
- et enfin un matériau magnétique une ferrite ( 0 et  = 0) dont les signaux réels
sont donnés sur la figure 2.18.
Enfin, nous présentons sur la figure 2.19 une synthèse des différents comportements
observés précédemment.
R(t)
0,2
RLA
Canaux
0
0
100
200
300
400
500
-0,2
-0,4
REC(PVC)
-0,6
-0,8
-1
Figure 2.16: Représentation des signaux réfléchis pour la méthode de la ligne
adaptée (pour un milieu diélectrique pur: PVC)
R(t)
0,2
Rca(ligne adaptée)
adaptée)
Canaux
0
-0,2
0
100
200
300
400
Vech(t  )
V0
-0,4
-0,6
-0,8
RCA(ec+l.a.) (  0)
-1
Figure 2.17: Représentation des signaux réfléchis pour la méthode de la ligne adaptée
(pour un milieu diélectrique conducteur).
45
500
REC(ferrite)
0,2
Canaux
0
0
50
100
150
200
250
-0,2
RLA
-0,4
-0,6
-0,8
RCC
-1
Figure 2.18: Représentation des signaux réfléchis pour la méthode de la ligne adaptée
pour un milieu diélectrique magnétique (ferrite).
R(t)
c
0
a
a:  = 1,  = 0
b:  = 1,   0
c:   1,  = 0
b
-1
Court- Circuit
temps
Figure 2.19: Représentation schématique des différentes réponses temporelles en ligne
adaptée en fonction des caractéristiques électromagnétiques du matériau
La figure 2.19 montre que ce protocole expérimental permet de visualiser directement
sur l'écran de l'oscilloscope les propriétés du matériau et permet ainsi de choisir la méthode la
mieux adaptée pour étudier un matériau de caractéristiques non définies a priori.
Pour ce protocole expérimental, nous aurons au niveau de la première interface:
46
1


1 
(2.63)
1 
alors que sur la seconde interface nous aurons:

2
 1

 1
(2.64)
Les expressions donnant les coefficients de réflexion et de transmission sont alors de
la forme, avec
1
=
3
=
0
et
2
=  coefficient de propagation du milieu étudié:
R
1  exp(2 d )
1
(2.65)
exp(2 d )
2
et
T
(1 
1
2
2
) exp(  d )
exp( 2 d )
(2.66)
A partir de l'expression du coefficient de réflexion, nous pouvons en déduire
l'admittance de l'ensemble échantillon plus charge terminale. En effet:
Y
1 1 R

Z 1 R
(2.67)
on a alors directement:
1   1  exp( 2 d )
Y

1   1  exp( 2 d )
(2.68)
Le premier terme de cette expression correspond à l'admittance du dioptre d'entrée de
l'échantillon (air / matériau), le deuxième terme correspond à la contribution des réflexions
multiples dans l'échantillon. Dans le cas général où l'échantillon présente une perméabilité
non nulle, il vient:
Y



 
 


d

c

  exp(2 j d
c
   exp(2 j

 )
(2.69)
 )
soit encore:
Y








 1  exp( 2 j d  )   1  exp( 2 j d  )




c
c






 1  exp( 2 j d  )   1  exp( 2 j d  )




c
c
(2.70)
qui devient finalement:
47
Y


1
  

th j d  

  c
(2.71)

 

th j d   
 c


Si nous considérons, le cas particulier où  = 1, la relation précédente se simplifie et
nous obtenons:
 

1   th  j d  
 c

Y 
 

th  j d    
 c

(2.72)
Cette équation est transcendante, sa résolution [76] nécessite un traitement
informatique que nous développerons ultérieurement.
Néanmoins, ainsi que nous l'avons vue précédemment, cette méthode a le grand
mérite de définir, par simple observation des signaux temporels, le type de matériaux que
nous avons à traiter (figure 2.19) et donc de permettre un choix du protocole à utiliser. Par
ailleurs, si nous effectuons un développement asymptotique au temps long en considérant que
la quantité d est très faible ( d << 1), nous obtenons pour t   (  0):
exp(-2 d) = 1 - 2 d
(2.73)
Dans ces conditions le coefficient de réflexion devient égal à:
R (  0) 
soit en remplaçant
2 d
1 2  2
2
(2.74)
d
par sa valeur, nous obtenons:


d 
(1   ) j d
c
c
R (  0) 



4   (1   )2 2 j d  2  (1   ) 2 j d
c
c
(1   )2 j
(2.75)
Si nous considérons un échantillon présentant une conductivité, la permittivité s'écrit
sous la forme:  = ' - j'' - j  / ( 0), et on aura:
(1     j   j
R(  0) 
 
)j d
 0 c
2

  
 j d
2  1     j   j
 0  c

(2.76)
pour  =0 on obtient:
48

d
c 0
R(  0)  

2
d
c 0
(2.77)
qui conduit à:

c 2R(  0)
c 2R( t   )


0
d 1  R(  0)
d 1  R( t   )
(2.78)
Un autre intérêt de cette méthode est donc d'obtenir simplement la conductivité DC
du matériau à partir de la valeur asymptotique de Rec(t). Dans nos expériences, nous
prendrons comme référence la différence entre la valeur du signal au temps long donnée par
un court-circuit Rcc() = 1 et celle donnée par la ligne adaptée Rla() = 0.
En associant à la réflexion, le coefficient de transmission, ainsi que le fait Nicolson
nous pouvons obtenir  et . C'est une dérivée de la méthode généralement utilisée avec les
analyseurs de réseaux.
2.4.3.3 La Méthode de la Ligne Ouverte (ZT =  et YT = 0). [1]
La figure 2.20 représente les signaux obtenus en utilisant cette méthode.
1
Amplitude
-r0
1
Rlo
r0
r3
1
1
r2
Rlo(ec+lo)
r0
r1
temps
0
r0
r1
r2
Rcc(seul)
r3
-1
Figure 2.20: Représentation des multi-réflexions pour la méthode de la ligne
ouverte
Cette figure donne les signaux réels obtenus pour la ligne ouverte seule, puis avec un
matériau présentant une forte conductivité et une plaque de téflon ('  2,1). On remarque que
49
les signaux de la ligne ouverte et du téflon sont pratiquement confondus en domaine de temps
ce qui les rend difficile à modéliser par d'autres techniques (TLM par exemple) et montre tout
l'intérêt d'un traitement harmonique.
La difficulté de cette méthode consiste à réaliser une admittance terminale nulle
(ligne idéale). En effet, pour une fréquence fixe en mesure guidée il est relativement facile de
satisfaire cette exigence en plaçant un court-circuit à

de la face arrière de l'échantillon.
4
Cependant il est beaucoup plus difficile de réaliser de telles conditions expérimentales dans
les dispositifs large bande.
Car ainsi que l'avait montré, par un traitement variationnel, Markuvitz [1,33] dans
son ouvrage, la référence des phases est décalée en aval. Au Laboratoire, A. Merzouki
[34,35], a développé cette technique de ligne ouverte en travaillant avec une transition
coaxiale (ligne de propagation) - circulaire à la coupure (cellule de mesure) en établissant les
équations modales liées à la propagation et leurs raccordement aux ondes évanescentes
générées dans la cellule cylindrique, puis A. Boutaudon [36], a traité le problème des sondes
planaires, qui au delà du traitement des équations modales dans la partie coaxiale doivent être
raccordées à des équations intégrales gérant la propagation dans l'espace libre (continuité des
champs). Ceux sont des problèmes extrêmement difficiles à traiter de manière rigoureuse, en
particulier, en sonde planaire pour laquelle il devient indispensable d'établir des abaques
permettant d'obtenir la permittivité complexe à partir de l'impédance complexe donnée par la
mesure. On pourra trouver une bibliographie complète des études faites sur la ligne ouverte
dans les thèses de A. Merzouki et de A. Boutaudon [34,36], nous avons signalé ici que
quelques-unes d'entre elles qui nous ont paru les plus significative du point de vue de la
démarche suivie par les auteurs.[37,38].
50
1
Rlo(seul)
Rec (téflon)
0,75
0,5
0,25
Rec(milieu conducteur)
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Canaux
-0,25
-0,5
Figure 2.21: Représentation des signaux réfléchis pour la méthode de la
ligne ouverte
Dans le cas de la ligne ouverte idéale (admittance terminale nulle sans présenter de
décalage de phase), ce qui n'est jamais le cas, mais une bonne approche, en basse fréquence et
pour appréhender le problème, la réflexion au niveau du dioptre diélectrique / charge
terminale est égale à
2
= 1. L'échantillon étant toujours placé dans une ligne à air sans pertes,
nous avons:
1
 
1 
1 
(2.79)
Le coefficient de réflexion est alors donné par:
R
 exp( 2 d )
1  exp( 2 d )
(2.80)
ce qui conduit finalement à l'admittance globale du système:
Y
1  R 1   1  exp( 2 d )

1  R 1   1  exp( 2 d )
(2.81)
soit finalement:
51
Y
1 R 1

th( d )
1 R 1
(2.82)
qui peut également s'écrire en considérant le cas général où  et  sont non nuls:
Y
  

th  j d  

  c
(2.83)
Si nous effectuons un développement limité de la tangente hyperbolique, en basse
fréquence nous obtenons:
Y
 
j d 
 c
(2.84)
Y j
d

c
(2.85)
soit:
La variation de l'admittance est du premier ordre en  tandis que la dépendance en 
n'apparaît uniquement qu'aux ordres supérieurs. Cette méthode est donc particulièrement bien
adaptée à l'étude des matériaux diélectriques, par contre elle n'est pas performante pour les
mesures sur les matériaux magnétiques.
Il est bon de remarquer en outre que c'est une méthode digne d'intérêt pour l'étude
des conductivités  en effet en développant la formule ci-dessus on obtient:
Y(   0 )  j
 
 
d     j   j

c 
 0 
(2.86)
Soit lorsque  =0 (t  ):
Y(   0 ) 
 d
 Y( t   )
0 c
 c
  0 Y( t   )
d
(2.87)
C'est néanmoins une méthode qui conduit en toute rigueur à des calculs
particulièrement lourds par rapport aux autres méthodes déjà citées.
2.4.4 Choix de la Méthode la mieux adaptée à notre travail.
Etant donné que le présent travail consiste à étudier le comportement de matériaux
composites ternaires résine époxy/titanates/oxydes en fonction de la fréquence et de la
52
fraction volumique des charges, il est nécessaire de choisir la méthode appropriée. Les
matériaux utilisés sont réalisés avec de faibles et donc la méthode de première réflexion est
éliminée car elle nécessite des échantillons longs.
Concernant les méthodes de multi-
réflexion, la méthode de la ligne court-circuitée est également inadéquate pour des
échantillons de faible épaisseur. La méthode de la ligne ouverte exige une mise en œuvre
assez difficile (contacts parfait entre l'échantillon, le plan de masse et l'âme coaxial de la
sonde) et une interprétation laborieuse. Donc la méthode qui semble la plus convenable est
celle de la ligne adaptée.
2.5
Modélisation Mathématique: Lois de Mélange[1,2]
2.5.1 Introduction :
Plusieurs modèles et lois se trouvant dans la littérature scientifique permettent de
déterminer la constante diélectrique d'un mélange hétérogène et aléatoire à partir des
paramètres de ses constituants mathématiquement grâce à la modélisation diélectrique de tels
mélanges. Cette modélisation est considérée comme un outil mathématique et elle est opérée
selon plusieurs considérations. Parmi ces considérations: l'aspect géométrique ou granulaire
des inclusions, de la manière de leur dispersion dans le milieu hôte ou encore de la nature
physique du mélange lui même (gaz, liquide ou solide).
Plusieurs modèles ont été proposés et utilisés pour prédire les propriétés d’un
composite diélectrique. Deux hypothèses importantes ont été faites dans la majorité des
modèles [25-35]. La première est que chaque phase est constante et possède les mêmes
propriétés partout dans le composite. La seconde est que la troisième phase )dans le cas d’un
composite à deux phases) dans le composite, tel que limites du grain, interfaces, et
quelquefois même les pores peuvent être négligés. Pour les micro-composites, cette
supposition est valide; cependant, ces troisièmes phases peuvent être considérables pour les
nano composites, et ne peuvent être plus négligeable. Dans notre cas, nos matériaux
composites sont des micro-composites.
Si l'échelle de non homogénéité dans le mélange est plus petite que la longueur d'onde
à l'intérieur du mélange, on peut définir une permittivité efficace. Les permittivités efficaces
peuvent être définies dans un cas où le champ électromagnétique ne voit pas l’inhomogénéité
dans la matière. Dans la bande de fréquence de GHz ou MHz, la longueur d'onde est mesurée
dans une échelle des centimètres ou des mètres. A ces fréquences, les permittivités efficaces
peuvent être définies pour tout matériau ayant des inhomogénéités microscopiques [24].
53
2.5.2 Le modèle de Rayleigh [39] (
Ce modèle est donné par l'expression:
 m 1 n
 1
  fi  i
 m  2 i 1  i  2
(2.88)
 m représente la constante diélectrique du mélange.
 i représente la constante diélectrique du ième constituant.
f i représente la fraction volumique du ième constituant.
2.5.3 Le modèle de Bottcher [40]37)
L'équation proposée par Böttcher destinée à calculer la constante diélectrique d'un mélange
binaire est donnée par:
f1 
1   m
 
 f2  2 m  0
1  2 m
 2  2 m
(2.89)
Les inclusions pour ce modèle sont supposées sphériques. Une forme générale de l'équation
de Böttcher pour un système multi-phases, est donnée par:
n
 fi 
i 1
i  m
0
 i  2 m
n
i  m
0

2

i
m
 f 
i 1
i
(2.90)
2.5.4 La loi de Wiener [41]37
Wiener a proposé un modèle de description de la permittivité effective d’un composite à n
constituants donné par :
n
n
i 1
i 1
 mc   fi   i c  m c   f i   i c
(2.91)
54
On remarque l'introduction d'un paramètre noté « c », appelé facteur de forme ou facteur de
dépolarisation. Ce paramètre est compris entre –1 et +1.
Deux cas limites se présentent:
C=-1 : dans ce cas, le modèle décrit la constante diélectrique d'un composite formé par
n couches disposées en série entre deux armatures planes d'un condensateur
(figure 2.22a).
C=1 : dans ce cas, le modèle décrit la constante diélectrique d'un composite formé par
n couches disposées en parallèle entre deux armatures planes d'un condensateur
(figure 1.11b).
Couche 1
Couche 2
Armature
s
Couche 3
(a)
Couche 1
Couche 2
Armature
s
Couche 3
(b)
Figure 2.22: Schématisation des cas extrêmes du modèle de wiener pour un composite
ternaire.
Ces deux cas extrêmes sont connus par les limites inférieure et supérieure de Wiener.
Entre –1 et +1, le facteur de forme peut prendre n'importe quelle valeur est peut donc
exprimer toutes les configurations que peuvent exister dans un tel composite.
55
2.5.5 La loi de Lichtencker-Rother [42]37
Lichtenecker et Rother ont proposé un modèle mathématique pour la détermination de
la constante diélectrique d'un mélange composé de n constituants. Il est donné par [2-11, 1735, 39-40]: (40)
n
n
i 1
i 1
ln    fi  ln  i ln    f i  ln  i
(2.92)
Ce modèle représente une relation empirique largement utilisée indépendamment de
la
géométrie physique des particules du système composite [21]. (21)
2.5.6 La Loi de Birchak [43]41)
En 1974, Birchak proposa la méthode dite CRIM (méthode de l'index de réfraction
complexe) pour le calcul de la permittivité diélectrique d'un mélange binaire, en supposant
que la taille des inclusions est assez petite devant la longueur d'onde. Cette méthode est
donnée par la formule:
 m  f1  1  f 2   2
 m  f1  1  f 2   2
(2.93)
Pour le cas d'un système multi-phases, une formule généralisée est donnée par:
n
 m   fi   i
(2.94)
i 1
Ce modèle est un cas spécial de la loi de Wiener lorsque c  0.5 . c  0.5
2.5.7 La loi de Bruggemen [44]37
La loi de Bruggeman est donnée par la relation:
(1  f ) 
1   m
 
 
 
 f  2 m  0 (1  f )  1 m  f  2 m  0
1   m
2  m
1   m
2  m
(2.95)
56
2.5.8 La loi de Hanai [45]37
Un des modèles les plus utilisé est celui de Hanai, donné par la relation:
m  i
h  i
 
  h 
 m 
1
3
 1  fi
(2.96)
 h  h et  i  i représentent respectivement les constantes diélectriques du milieu hôte et des
inclusions.
Une forme générale fût donner en introduisant un facteur de dépolarisation noté L, et qui varie
de 0 à +1:
m  i
h  i
L
 
 
  h   1  fi m i
h  i
 m 
L
 
  h   1  f i
 m 
(2.97)
Lorsque L=0, le modèle devient celui de Wiener pour c=1. Lorsque L=1, il devient celui de
Wiener pour c=-1. Ce paramètre dépend essentiellement de la porosité, de la conductivité et
de la valeur de la matrice hôte utilisée [18]. (18).
2.5.9 La Loi de Maxwell-Garnet [46]37
La loi de Maxwell-Garnett a été appliquée essentiellement sur des composites à base
d’inclusions métalliques encapsulées dans une matrice isolante et pour un faible taux de
remplissage (concentration). Par la suite, elle a prouvé sa validité sans restrictions pour tout
type de composite. Cette loi est donnée par l’expression :
  m  3 f  m
i   m
i  m
  m  3 f m
(2.98)
 i  2 m  f ( i   m )
 i  2 m  f ( i   m )
2.6 CONCLUSION
Un rappel sur la propagation des ondes électromagnétique a été introduit dans ce
chapitre. Le dispositif expérimental a été décrit avec le processus de propagation de l'échelon
et de sa réflexion à la rencontre du composite échantillon. Les principales méthodes utilisées
57
en spectroscopie en domaine temporelle (SDT) pour caractériser les échantillons de nos
matériaux composites ont également étés décrites. La méthode de la ligne adaptée en multi
réflexion est retenue pour le présent travail car permettant de façon assez aisée à caractériser
nos échantillons qui sont de faible épaisseur. Par ailleurs nous avons présenté quelques lois
qui essayent de prédire le comportement des corps mixtes et en particulier la prédiction de la
permittivité effective d’un milieu matériel. Dans le cas où cette permittivité est déjà connue,
par exemple à partir d’une caractérisation expérimentale du mélange, ces lois permettent de
déterminer les permittivités de ses différents constituants.
58
CHAPITRE III
DISPOSITIF
ET RESULTATS EXPERIMENTAUX
59
Dispositif Expérimental
3.1 Introduction
Le dispositif expérimental est exposé dans ce chapitre. Nous présentons les matériaux
objets de notre travail, le dispositif expérimental ainsi que les procédés de préparation des
échantillons de mesure et de calcul.
Les matériaux utilisés durant toutes nos expériences sont à base de : BaTiO3 (Titanate
de Baryum), CaTiO3 (Titanate de Calcium), MgTiO3 (Titanate de Magnésium), ZnO (Oxyde
de Zinc), CaO (Oxyde de Calcium), MnO2 (Dioxyde de manganèse) et la Résine Epoxyde qui
joue le rôle de matrice (ou de support) qui enrobe et lie les grains des charges, et minimise
ainsi le volume des pores d'air. Les matériaux à faible permittivité (comprise entre 6 et 10)
possèdent des pertes très faibles (comprises entre 3 et 10.10-5 , soit Q compris entre 10 000 et
20 000) et sont destinés aux fréquences comprises entre 50 et 100GHz ; les matériaux à
permittivité moyenne (comprise entre 15 et 25) sont utilisés dans la gamme de 20 à 30GHz ;
ceux dont la permittivité est comprise entre 30 et 40 sont utilisés dans le spectre 7-12 GHz ; et
enfin ceux dont la permittivité est supérieure à 50 ont des pertes relativement élevées (tan δ =
10-3) et sont destinés aux fréquences comprises entre 0,8 et 3GHz.
3.2 Matériaux utilisés
3.2.1 Les Titanates
Le mot titanate est un terme de chimie qui désigne un sel produit par la combinaison
de l'acide titanique avec une base. Les titanates peuvent présenter différentes formes
cristallines. La structure cristalline de base est la « pérovskite ». La pérovskite, du nom du
minéralogiste russe L. A. Perowski, est une structure cristalline commune à de nombreux
oxydes. Ce nom a d'abord désigné le titanate de Calcium de formule CaTiO 3, avant d'être
étendu à l'ensemble des oxydes de formule générale ABO3 présentant la même structure. Les
pérovskites présentent un grand intérêt en raison de la très grande variété de propriétés que
présentent ces matériaux selon le choix des éléments A et B : ferroélasticité (SrTiO3),
ferroélectricité
(BaTiO3),
antiferroélectricité
(PbZrO3),
ferromagnétisme
(YTiO3),
antiferromagnétisme (LaTiO3) et autres. La pérovskite désigne à l'origine le minéral CaTiO3
(titanate de calcium). Ce minéral fut découvert en 1839 par Gustav Rose dans l'Oural, et
nommé pérovskite d'après le minéralogiste russe Lew Alexejewitsch Perowski (1792–1856).
60
La pérovskite présente un aspect métallique et une couleur noire ou brun-rouge. Elle
peut parfois être légèrement transparente. Elle a une densité de 4,0 g/cm³. Sa maille cristalline
est de symétrie orthorhombique.
Figure 3-1: Permittivité Diélectrique d’une Céramique en Fonction de la Température.
La structure pérovskite de plus haute symétrie est une structure de symétrie Cubique.
C'est par exemple la structure du titanate de baryum BaTiO3 à hautes températures.
Dans la structure pérovskite Cubique, les anions (ici O2-) forment un réseau d'octaèdres liés
par leurs sommets. Le centre de chaque octaèdre est appelé site B. Il est occupé par un cation,
dans cet exemple Ti4+. Ce cation, de coordinence 6, est sur un site à environnement
octaédrique d'oxygène. Les espaces entre les octaèdres sont des cuboctaèdres dont le centre
constitue le site A. La coordinence des ions A est 12 : ils sont sur un site à environnement
cubique d'oxygène (le baryum dans la figure).
61
Figure 3-2: Structure Pérovskite.
Le BaTiO3 et le CaTiO3 ont tous les deux une structure pérovskite. Par ailleurs, le
MgTiO3 présente une structure dite ilménite. Ce mot est celui d’un oxyde minéral de fer et de
titane de formule chimique FeTiO3 qui appartient au système cristallin trigonal. Son réseau est
rhomboédrique et son groupe d'espace est R 3 . Elle se trouve dans les roches métamorphiques
et plutoniques basiques.
Figure 3-3: Structure Cristalline du Mgtio3
La structure de l'ilménite est essentiellement la même que celle de l'hématite, ce qui
permet une solution solide complète à haute température ; la distribution des cations fer et
titane dans l'hématite est ordonnée. Les atomes d'oxygène forment un empilement de type
AB, les cations occupent deux tiers des cavités octaédriques ainsi formées. Puisque dans
l’hématite, chaque troisième site octaédrique est vide : la séquence est -Fe-Ti-L-Ti-Fe-L-Fe-
62
Ti- où L représente une lacune (site octaédrique vide). Les cations proches du site vacant sont
toujours soit deux fer, soit deux titane.
L’ilménite forme deux séries isomorphes avec la pyrophanite MnTiO3 et la geikielite
MgTiO3. On trouve la même structure dans MgSiO3 à haute pression.
Figure 3-4: Photo de L’ilménite
À température ambiante, l’ilménite est paramagnétique, mais elle devient antiferromagnétique
à environ 55 K.
3.2.2 Les Oxydes
- L’oxyde de Zinc : ZnO
L’oxyde de zinc est un composé chimique de formule « ZnO ». Cet oxyde se présente
généralement sous la forme d'une poudre blanche communément appelée « zinc blanc » ou
« blanc de zinc » non soluble dans l'eau. Ce solide est utilisé dans de nombreuses applications,
telle que la fabrication de verres, de céramiques, dans la formation d'eugénate, dans la
composition d'aliments et de crèmes solaires. L'oxyde de zinc est présent dans la nature sous
forme de zincate, minéral comportant souvent du manganèse et ayant une coloration jaune à
rouge de ce fait7 mais la majorité de l'oxyde de zinc utilisé est produit industriellement dans
des grandes usines.
63
Figure 3-5: Photo de Ténorite
- L'oxyde de Manganèse : MnO2
L’oxyde de manganèse MnO2 est un composé chimique aussi connu comme dioxyde
de manganèse. Il est de couleur noire ou brun. On le trouve naturellement dans la pyrolusite,
principale source de manganèse métallique. Il est également présent dans les nodules de
manganèse.
Figure 3-6: L’oxyde de Manganèse
Le dioxyde de manganèse de formule MnO2 est obtenu par oxydation du manganèse
de formule Mn. L'équation bilan de cette réaction est simple :

Bilan: manganèse + dioxygène

Équation bilan :Mn + O2

Équation bilan équilibré :Mn + O2
dioxyde de manganèse
MnO2
MnO2
Les principales applications du MnO2 sont les piles sèches comme les piles alcalines et
les piles Zn-Cd. En 1976, cette application correspondait à une consommation d’un demimillion de tonnes annuelles de pyrolusite.
64
Le
MnO2 est
utilisé
comme
matériau
d'électrode
de super
condensateur
ou
comme catalyseur au laboratoire pour la préparation du dioxygène à partir de chlorate de
potassium ; c’est une des expériences classiques dans l’enseignement de base de la chimie. Il
catalyse aussi la décomposition du peroxyde d’hydrogène :
2 H2O2(aq)
O2(g) + 2 H2O(l)
Il est aussi utilisé dans la production de permanganates comme KMnO4.
En chimie organique on utilise le dioxyde de manganèse activé suivant l'équation :
MnCl2 + KMnO4 + H2O → MnO2
C'est un oxydant sélectif : les alcools allyliques, benzyliques et propargyliques sont
oxydés plus rapidement que les alcools saturés. L'oxydation se fait dans l'eau, l'acétone ou
le dichlorométhane. Cette oxydation a cependant pour inconvénients de nécessiter un large
excès de MnO2 (parfois plus de 40 équivalents), des temps de réaction longs et la difficulté à
obtenir du MnO2 hautement activé8.
3.3 Procédé de Préparation
3.3.1 Détermination des fractions volumiques
Etant donné que les lois de mélanges sont fonctions des fractions volumiques, on doit
impérativement travailler avec des volumes. Pour les titanates qui se présentent sous forme de
poudre, la mesure directe du volume n’est pas possible, on est amené donc à peser les masses
exactes qui correspondent à des volumes bien déterminés.
Le passage d'un volume vers sa masse est réalisé de la manière suivante:

on fixe d’abord le volume total Vtot d’un échantillon )selon les dimensions du
moule).

Ensuite, on fixe la fraction volumique Fmatrice de la matrice (résine époxyde).
On déduit le volume de la matrice nécessaire : Vmatrice  Vtot  Fmatrice .

On fixe la fraction volumique Vch arg e d’une charge donnée )BaTiO3 ou
CaTiO3).
65

On calcule le volume Vch arg e correspondant à cette fraction volumique :
Vch arg e  Vtot  Fch arg e .

Finalement, on calcule la masse M ch arg e de ce volume, en utilisant la densité de
la charge Dch arg e : M ch arg e  Dch arg e  Vch arg e .
Pour la pesée des différentes poudres, nous avons utilisé une balance électronique de 1mg
précision (figure 3-7).
Figure 3-7: La Balance Électronique utilisée dans la Pesée des Différentes Poudres.
3.3.2 Mode de préparation
On verse dans un récipient la résine qui est constituée d’un volume de résine époxyde
pure et d'un même volume de durcisseur.
On mélange les deux produits jusqu’à ce qu’ils forment un seul liquide visqueux. On
remarque l’apparition des bulles d’air qui sont évacuées par la résine.
Ensuite, on verse les charges voulues et on commence à bien mélanger le tout, jusqu’à ce
qu’il ne reste aucun grain isolé dans le mélange.
On continue à mélanger encore afin d’obtenir un mélange le plus homogène possible. La
résine doit enrober toute la poudre. Il faut signaler que la phase de mélange détermine la
qualité de l'homogénéité du produit final.
66
Après cela, on commence à couler doucement le mélange dans un moule de forme
parallélépipède, après avoir essuyé ses parois intérieures par de la cire, afin de faciliter le
démoulage ultérieur.
Chaque échantillons est composé donc de 70% de résine Époxyde et de 30% de charge. Cette
charge est un mélange de Titanates et d’oxyde selon des fractions volumiques bien définies
(0%, 7.5%, 15%, 22.5% et 30%).
Les grains des poudres des charges sont liés après la polymérisation de la résine Époxyde, qui
doit enrober l’ensemble des grains. L’utilisation de la résine, qui remplace le volume d’air qui
se trouve entre les grains, permet de contrôler le volume exacte de cette troisième phase du
composite ternaire.
Figure 3-8: Représentation des Inclusions (Charges) dans la Matrice Hôte (Résine).
A cause de la grande viscosité que présente le mélange, surtout pour les grandes
fractions volumiques des charges, on fait couler le mélange en essayant d’avoir une
distribution spatiale uniforme dans le moule. Une fois le mélange coulé, on le laisse pendant
plus de seize heures jusqu’à polymérisation complète de la résine. Dans ce temps, on peut
observer le phénomène de dégazage des bulles d’air. L'utilisation d'un vibreur aurait aidé à
éliminer ces bulles de l'intérieur du mélange. Une fois que la résine est complètement
polymérisée et le mélange devenu ferme, on commence à le démouler soigneusement. On
obtient ainsi, un matériau composite relativement dur, de couleur qui varie du crème au blanc
jaune, selon la concentration des charges.
67
Remarque :
Plus on augmente la fraction volumique de la charge et plus on trouve une difficulté
pour maintenir les grains par la résine, et elle devient saturée. La viscosité du mélange
augmente, et on rencontre alors une autre difficulté dans l'écoulement du mélange dans le
moule. C’est essentiellement à cause de cette contrainte qui détermine la fraction des charges
maximale qu’on ne peut pas dépasser.
- Usinage des échantillons
Pour la caractérisation sur un banc de TDR, on a besoin d’échantillons tubulaires.
Cette forme est obtenue en faisant une extraction avec un foret cylindrique creux, de
dimensions adéquates (7 mm de diamètre), à partir des échantillons parallélépipèdes. On
effectue ensuite un perçage d'un trou de 3 mm de diamètre. Un polissage est nécessaire pour
ajuster les échantillons aux dimensions du guide coaxial utilisé en TDR (a=3.04 mm et b=7
mm), et obtenir des surfaces planes et perpendiculaires.
L’échantillon, une fois préparé et usiné, ressemble à celui de la figure 1-9.
a
b
Figure 3.9: La Forme du Guide et de L’échantillon.
L’usinage des échantillons a été réalisé au niveau du laboratoire d’instrumentation
scientifique, mais l’ajustement des dimensions a été fait en Espagne pendant les stages, en
68
fonction des dimensions de la cellule de mesure de standard APC-7. L’outillage utilisé pour
cette opérations est composé de:
o Un étau : utiliser pour fixer l’échantillon pendant l’ajustement de ses
dimensions et sa forme finale.
o Un jeu de scies : utiliser pour le découpage des échantillons.
o Un jeu de limes : utiliser pour raffiner l’épaisseur de l’échantillon.
o Papier de verre en trois calibres pour le lissage des surfaces des échantillons.
o Des accessoires métalliques pour la fixation des échantillons.
Figure 3.10: Instruments Utilisés pour l’Ajustement de la Forme des Échantillons.
69
3.4 Procédé de Mesure par Réflectométrie Temporelle
(Time Domain Reflectometry: TDR)
3.4.1 Banc de Mesure
Figure 3.11: Le banc de réflectométrie
utilisé.
La caractérisation diélectrique des différents échantillons a été réalisée sur le banc de
mesure par réflectométrie temporelle indiqué sur la figure 3.11. Cette technique de mesure,
qui a prouvé sa crédibilité depuis des décennies, est basée autour d’un système composé d’un
générateur d’échelon )modèle HP 54111( ayant un niveau d’amplitude de 111mV et un temps
de montée de 15ps avec une tête d’échantillonnage incorporé, associé à un oscilloscope
numérique mainframe (modèle HP54120B).
Le signal issu du générateur d’échelon se propage le long d’une ligne coaxiale standard de
précision de type APC-7mm et d’impédance caractéristique égale à 51 (figures 3.12, 3.13).
Cette ligne est connectée à une sonde APC-7mm / 50, dans laquelle nous plaçons à son
entrée notre échantillon de forme tubulaire, et sur l’autre bout )terminaison( nous plaçons une
charge adaptée (50) pour supprimer les réflexions non désirées (la méthode de mesure «
ligne adaptée » choisie dans notre étude).
70
Figure 3.12: Photo de la Cellule de Mesure Apc-7.
Vis et contact
Rondelle
HP
Conducteur
central
Corps de la
cellule
Connecteur
APC-7
Figure 3.13: Composition de la Cellule de Mesure Apc-7.
Pour chaque échantillon on commence d’abord à faire une mesure en court-circuit (sans
échantillon) pour avoir une meilleure qualité de mesure.
Figure 3.14: Les Charges Terminales : 51 Ω, Court-Circuit et 75 Ω.
La mesure TDR donne pour chaque échantillon des courbes temporelles traduisant le
comportement diélectrique du matériau sous test.
71
Figure 3-15: Réponse TDR d’un Court-Circuit.
Ces courbes subissent un traitement numérique par un programme de calcul qui permet
d’extraire la permittivité et la conductivité du composite.
Figure 3.16: Réponse TDR d’un échantillon
diélectrique
72
3.4.2 Procédé Expérimental de Mesure par TDR
La méthode expérimentale choisie est celle de la ligne adaptée. Son montage est celui
de la figure ci-dessous :
SYSTEME TDR
Connecteur
APC7
Générateur
d’échelon
Câble de
mesure
Terminaison
Ligne coaxiale Echantillon
à air 50 
Figure 3.16: Système de Réflectométrie Temporelle en Ligne Adaptée.
Les mesures par réflectométrie temporelle (TDR) pour chaque échantillon ont été réalisées
comme suit :
1- Le court-circuit est fixé à la terminaison de la cellule de mesure.
Figure 3-17: Le Court-Circuit Placé à l’extrémité
de la Cellule de Mesure.
2- La réponse TDR correspondante est enregistrée.
3- L’échantillon est placé dans la cellule en ajoutant la charge adaptée comme charge
terminale.
4- La réponse TDR correspondante est alors enregistrée.
73
Figure 3-18: l’échantillon place dans l’extrémité
de la cellule de mesure.
.
Cette opération est répétée pour l’ensemble des échantillons.
La procédure expérimentale effectuée par le système de réflectométrie temporelle est
la suivante:
1- On introduit un échelon de tension de temps de montée très bref (20 à 30 ps), dans
une ligne coaxiale adaptée terminée par l’échantillon à caractériser. Le changement
d’impédance causé par l’échantillon entraînera une réflexion.
2- Un dispositif de mesure )tête d’échantillonnage( convertit la somme des signaux
incident et réfléchi en un signal basse fréquence qui sera visualisé sur l’écran d’un
oscilloscope à échantillonnage.
3- Ce signal à nature temporelle sera enregistré sur un calculateur (PC) puis traité afin
d’obtenir les informations recherchées. Une suite de traitement est nécessaire afin d’arriver
aux résultats désirés, les sections suivantes vont traiter les différents traitements utilisés dans
ce travail.
3.4.2.1 Traitement des signaux TDR
A ce niveau, on possède déjà un signal temporel issu de l’oscilloscope numérique à
échantillonnage, et qui représente la réponse du système TDR à l’échantillon testé. Lorsqu’on
a exposé les méthodes expérimentales, on a vu que la grandeur sur laquelle tous les calCuls
sont basés est bien le coefficient de réflexion. Donc la première opération à faire c’est
l’extraction de ce paramètre à partir des données expérimentales.
74
3.4.2.2 Calcul du coefficient de reflexion
Ce paramètre est le rapport entre le signal réfléchi et le signal incident, pour le calculer il faut
avoir d’abord ces deux signaux. On procède de la manière suivante :
Extraction du signal réfléchi
Le signal mesuré est la tension instantanée sur la ligne de transmission. Cette tension est la
somme de deux signaux : réfléchi et incident. Ce signal s’écrit donc :
V (t )ech / m  V (t )ech _ r / m  V (t )i / m
(3.1)
V (t )i / m  V (t )ca / m
(3.2)
Sachant que :
Où : V (t ) ca / m est la réponse du système dans le cas d’une charge adaptée )sans échantillon(,
qu’on peut facilement mesurer.
V (t ) ech _ r / m  V (t ) ech / m  V (t ) ca / m
(3.3)
3.4.2.3 La fonction d’appareil
Le signal mesuré reflète l’image du signal réel vue par l’instrumentation de mesure.
En langage mathématique, c’est le résultat d’une convolution entre le signal réel et la fonction
de l’appareil de mesure [11, 11]. On exprime cette relation par l’expression:
V (t ) / m  V (t )  h(t )
(3.4)
Où l’indice « m » désigne la valeur « mesurée ».
Dans notre cas, on aura :
V (t )ech _ r / m  V (t )ech _ r  h(t )
(3.5)
75
Où V (t ) ech _ r est le signal « réel » qu’on cherche.
Pour obtenir ce signal, il faut faire une dé convolution. Afin d’éviter cette étape, et en utilisant
une des propriétés de la transformée de Fourier, qui est connue par «le théorème de
convolution» [34], on peut facilement arriver à ce but.
Ainsi, on a :
V (t )  A(t )  H (t )  V ()  A()  H ()
(3.6)
Dans le but de contourner cette fonction d’appareil h(t ) )qu’on appelle «fonction de
transfert» dans le domaine fréquentiel), on fait recours à une charge de référence dont on
connaît sa réponse théorique [23, 26]. On utilise généralement un court-cirCuit dont le
coefficient de réflexion théorique est égal à –1. On écrit alors:
V (t )ech _ r / m  V (t )ech _ r  h(t )  V ()ech _ r / m  V ( )ech _ r  H ( )
(3.7)
V (t )cc _ r / m  V (t )cc _ r  h(t )  V ( )cc _ r / m  V ( )cc _ r  H ()
(3.8)
On remarque que le signal V(t)cc_r/m est obtenu de la même façon que V(t)ech_r/m :
V (t )cc / m  V (t )cc _ r / m  V (t )i / m  V ( )cc _ r / m  V ( )cc / m  V ( )ca / m
(3.9)
On divise maintenant les deux équations par V ( ) ca (qui représente le signal incident réel),
puis on divise ces deux équations terme par terme. Sachant que: R( ) cc  1 (coefficient de
réflexion théorique pour un court-cirCuit), on parvient à :
76
R( ) ech  
V ( ) ech _ r / m
V ( ) cc _ r / m
(3.10)
Remarque:
Pour des raisons de lisibilité, on note par la suite R( )  R( ) ech .
Le calcul de la TFD est réalisé en utilisant la méthode de Samulon qu’on va aborder dans une
prochaine section.
3.4.2.4 Calcul de l'admittance
On calcule l'admittance Y ( ) à partir de la valeur du coefficient de réflexion R( ) en
utilisation la relation suivante:
Y ( ) 
1  R( )
1  R( )
(3.11)
3.4.2.5 Calcul de la permittivité complexe
La relation entre la permittivité complexe d’un milieu matériel )l’échantillon dans
notre cas) et de son admittance réduite peut être déterminée de la façon suivante:
Sachant que:
R( ) 

(1  e 2 d )
et
1  2  e 2 d

1 r
1 r
En employant l’indice de réfraction du milieu concerné, définit par:
n  r
(3.12)
D'après l'équation (3-11) on trouve:
77



1  n  tanh( j   d  n) 
c

y ( )  n  

tanh( j   d  n)  n
c
(3.13)
La résolution de cette équation donne la valeur de la permittivité complexe   .
3.4.2.6 Calcul de la transformée de Fourrier discrète (TFD)
On veut calculer la transformée de Fourier discrète d’un signal numérique définit par
ses N échantillons. L’application directe de la TFD devient efficace lorsque le signal
numérique présente des valeurs initiale et finale nulles, ce qui n’est pas le cas pour notre
signal qui appartient aux signaux dits: «Step-Like».
Plusieurs auteurs ont proposés différentes méthodes pour calculer la TFD de ce type
de signaux, on peut par exemple appliquer des fenêtres temporelles telles que celle de
Hamming, Hanning, Von Hann ou Blackman. En plus de ces fenêtres, Gans, Nicolson et
Samulon ont proposé chacun sa propre méthode de calcul de la TFD, qui aboutit finalement
au même résultat. Ces méthodes sont plus faciles à mettre en œuvre et à l’opposé des fenêtres
temporelles qui introduisent des lobes, d’amplitudes importantes, dans le spectre du signal,
elles donnent de meilleurs résultats.
Pour notre travail, on va se contenter de la méthode de Samulon qui est la plus facile à
mettre en œuvre et donne des résultats équivalents à ceux donnés par les deux autres
méthodes.
Méthode de Samulon [47]
Pour calculer la TFD d’un signal numérique composé de N échantillons, Samulon a proposé
une méthode qui aboutit à la TFD de ce signal en passant par la TFD de sa dérivée temporelle.
Cette méthode est plus connue sous le nom de «la méthode de la courbe dérivée».
78
Le Calcul de la dérivée la fonction dérivée est définie par l’expression:
V (k  t )  V (k  t )  V ((k 1)  t )
(3.14)
Avec k compris entre 1 et N .
- Calcul de la TFD.
La TFD d’un signal V (k  t ) est donnée par l’expression :
N
V (i  t )  t  V (k  t )  e  jkt
(3.15)
k 1
En utilisant la méthode de Samulon, on écrit :
N
TFDV (k  t )  t  V (k  t )  e  jkt
(3.16)
k 1
N
V (i  f )  t  V (k  t )  e  jkt
(3.17)
k 1
Où:
f 
1
N  t
(3.18)
Le développement de la somme donnée par l’équation )1-17) aboutit à :
79
V (i  f )
 (1  e  jt )  TFDV (k  t )
t
(3.19)
(1  e  jt )
 V (i  f )
t
(4.1)
TFDV (k  t ) 
Donc à la place de la TFD directe on va calculer les TFDs des dérivées temporelles de chaque
signal (échantillon et court-circuit). On aura donc :
V ( )ech _ r / m
(1  e  jt )

 V (i  f )ech _ r / m
t
(3.2)
(1  e  jt )
 V (i  f )cc _ r / m
t
(3.18)
V ( )cc _ r / m 
(1  e  j t )
 V (i  f )ech _ r / m
t
R( )  
(1  e  j t )
 V (i  f )cc _ r / m
t
R( )  
V (i  f )ech _ r / m
V (i  f )cc _ r / m
(3.19)
(3.20)
Avec: i = 1 : N/2.
Afin de réduire le bruit au maximum dans le spectre calculé, on commence tout d’abord par :
- Choisir lors de l’acquisition du signal temporel, un premier canal utile qu’on note PCU sur
le pallier du signal incident et qui sera le point le plus proche du début du signal réfléchi.
80
- De même, on définit un autre canal DCU (Dernier Canal Utile) à partir duquel le signal
réfléchi atteint sa valeur asymptotique.
- On calcule par la suite la dérivée du signal limité dans le temps par PCU et DCU. Ce calcul
est fait pour les deux cas : échantillon et court-circuit.
- On cherche par la suite, les points nuls qui sont en coïncidence pour chacune des deux
dérivées. On définit alors de nouvelles valeurs pour PCU et DCU.
- La définition de cette fenêtre temporelle de travail permet de minimiser considérablement le
bruit dans le signal. Néanmoins, un mauvais choix des limites de cette fenêtre conduira à une
perte d’informations utiles, ce qui va altérer les résultats finaux.
La fenêtre d’observation est choisie telle que :
V ( PCU  t )  V ( DCU  t )  0
(3.21)
Le calcul de la TFD est de toute façon réalisé sur la totalité des N échantillons. Cependant, les
valeurs des échantillons qui sont en dehors de la fenêtre [PCU, DCU] sont remplacées par des
valeurs nulles
3.5
RESULTATS EXPERIMENTAUX
3.5.1 Introduction
Dans cette partie expérimentale du travail, l’importance est portée sur l’investigation
du changement diélectrique que doit produire un des 3 oxydes choisis à savoir le ZnO, le
CaO et le MnO2 ,dans des compositions ternaires à base de titanates de baryum , de calcium,
et de magnésium . Ces titanates sont en effet des systèmes de type pérovskite et ilménite pour
le TMgO et disposent de constantes diélectriques très élevées dans leur état de poudre. Parmi
les paramètres diélectriques à étudier, on cite la constante diélectrique et le coefficient de
pertes diélectriques dont l’exploration s’étale sur une large dispersion spectrale allant du
statique jusqu’à des fréquences de l’ordre de quelques giga Hertz.
3.5.2 Effet des Oxydes sur le Titanate de Barium
Le graphe sur la figure 3.20 montre la variation de la permittivité diélectrique du
composite à base de résine époxy (RE) et de titanate de barium (BT) soit RE.BT mélangé
81
respectivement aux oxydes CaO, ZnO et MnO2. Il ressort de ce graphe que la permittivité
diélectrique du composite RE.BT.MnO1 croit avec l’augmentation de la fraction volumique
de l’oxyde. La valeur la plus élevée est atteinte avec une concentration de 11% de MnO1 et
elle est de 8. Avec cette fraction volumique, le composite est plutôt binaire. Il en découle que
le processus de percolation concernant ce composite dépend de l’inclusion de plus en plus
croissante du Mno2 qui contribue à une importante élévation de la permittivité diélectrique.
Par contre l’inclusion des autres oxydes à savoir le CaO et le ZnO, provoque le
phénomène inverse. En d’autres termes, l’inclusion en quantité croissante de l’un de ces deux
oxydes entraine la décroissance de la permittivité diélectrique pour atteindre une valeur
proche de celle de la résine époxy.
L’autre effet remarquable est la décroissance des constantes diélectriques des deux
composites résultants lorsque les fractions volumiques de ces deux oxydes croissent. Cet effet
est aussi caractérisé, dans le cas de ces deux oxydes, non seulement par la même cadence de
variation des constantes diélectriques des composites résultants mais aussi par leurs valeurs
très proches. Cette situation pourrait être due aux constantes diélectriques du ZnO et du CaO
qui sont très proches d’une part et de leur comportement semi -conducteur d’autre part.
82
9
P
E
R
M
I
T
T
I
V
I
T
E
8
7
6
5
4
3
2
RE-BaTiO3-MnO2
1
RE-BaTiO3-ZnO
% oxydes
RE-BaTiO3-CaO
0
0
5
7
10
15
20
22
25
30
Fig. 3.20 Variation expérimentale de es du composite RE-BT-Ox
en fonction des fractions volumiques d'oxydes
3.5.3 Effet des Oxydes sur le Titanate de Calcium
Dans la figure 1.11, on reporte l’effet que produit les oxydes )Ox( sur la permittivité
diélectrique du composite ternaire à base de Résine époxy (RE) et de titanate de calcium
(TC).
On note que le MnO2, pris
comme 3ième élément de ce composite, affecte
la
permittivité diélectrique du mélange résultant et ce de la même façon qu’il l’a fait avec le
RE-TBa-MnO2 : une croissance de ce paramètre dans le sens croissant des concentrations du
MnO2. Cette croissance suit plutôt une tendance linéaire.
83
9
8
P
E
R
M
I
T
T
I
V
I
T
E
7
6
5
4
3
RE-CaTiO3-MnO2
2
RE-CaTiO3-ZnO
1
RE-CaTiO3-CaO
% oxydes
0
0
5
7
10
15
20
22
25
30
Fig. 3.21 Variation expérimentale de s du composite RE-TCOx en fonction des fractions volumiques d'oxydes
On note que le MnO2, pris
comme 3ième élément de ce composite, affecte
la
permittivité diélectrique du mélange résultant et ce de la même façon qu’il l’a fait avec le
RE-TBa-MnO2 : une croissance de ce paramètre dans le sens croissant des concentrations du
MnO2. Cette croissance suit plutôt une tendance linéaire.
Cependant, les autres oxydes, ZnO et CaO agissent de la même façon sur le
comportement diélectrique du composite auquel ils sont associés individuellement.
Les courbes caractérisant la constante diélectrique des deux mélanges résultants, RETC-ZnO et RE-TC-CaO sont juxtaposées, indiquant une décroissance non-linéaire de la
constante diélectrique pour les quantités croissantes d’oxydes incluses.
3.5.4 Effet Des Oxydes sur le Titanate de Magnésium
Le graphe de la figure 3.22 se rapporte aux résultats obtenus à partir des mesures de
permittivité diélectrique sur des échantillons du composite à base de résine époxy (RE) et de
titanate de magnésium (TM)
associés aux oxydes CaO, MnO2 et ZnO.
En l’absence
84
d’oxydes, l’effet diélectrique du composite RE-TM est moins important en comparaison avec
celui des composites RE-TC et RE-TB. L’inclusion de quantités croissantes de MnO2 dans le
mélange contribue à une nette augmentation de la permittivité diélectrique.
La courbe tracée pour le mélange RE-TM-MnO2 présente une concavité différente de celles
obtenues pour les composites RE-TB-MnO2 et RE-TC-MnO2. Ceci s’explique par le type de
structure cristalline qui est différente pour chacun de ces 3 matériaux composites.
L’effet des autres oxydes , le ZnO et le CaO sur le mélange contenant le TMg,
s’illustre par une décroissance de la permittivité diélectrique dans le sens des proportions
d’oxydes croissantes mais au rythme lent si on le compare à celui observé chez les deux
autres composites ternaires a base de TBa et TCa. L’effet significatif est celui de l’inclusion
du CaO dans ce mélange la qui se traduit une autre fois par le comportement linéaire de la
permittivité diélectrique en terme de proportion d’oxyde.
9
8
P
E
R
M
I
T
T
I
V
I
T
E
7
6
5
4
3
RE-MgTiO3-MnO2
2
RE-MgTiO3-ZnO
1
RE-MgTiO3-CaO
% oxydes
0
0
5
7
10
15
20
22
25
30
Fig. 3.22 Variation expérimentale de s du composite RE-TMg-Ox
en fonction des fractions volumiques d'oxydes
85
3.6
Effet des oxydes sur la conductivité du composite ternaire
Le graphe de la figure 3.23 montre la variation de la conductivité du mélange à une
fréquence de 500 Hz pour un composite ternaire (résine, titanate, oxyde).
Un effet
remarquable de l’influence des oxydes )CaO et ZnO) sur cette conductivité statique du
mélange se trouve dans le cas d’un mélange ternaire contenant soit du BaTiO3 ou du CaTiO3.
La valeur de la conductivité diminue avec l’inclusion de proportions croissantes d’oxydes et
atteint sa plus faible valeur de 4.090 x 10-3/(m) avec 30% de ZnO dans une composition
(70-00-30) qui est un mélange binaire. Pour ces deux oxydes, un point pertinent à relever du
graphe est le comportement linéaire de la conductivité avec les mélanges RE-TC-ZnO,
RE -TM-CaO et RE-TC-CaO.
RE-TCA-ZnO
30
RE-TCA-CaO
RE-TCA-MnO2
25
C
O
N
D
U
C
T
A
N
C
E
20
15
10
5
% oxydes
0
7
15
22
0
30
Fig. 3.23 Variation de la conductivité  dans les composites ternaires en
fonction d’oxydes.
de fractions volumiques d'oxydes
86
Cependant un effet contraire de l’oxyde sur la conductivité statique est observé avec
l’inclusion du MnO2 et ce dans tous les mélanges de titanates mentionnés précédemment : une
importante augmentation de la valeur de la conductivité est enregistrée lorsque la proportion
d’oxyde est augmentée.
Une valeur maximale de 30 x 10-3 /(m) est obtenue avec un mélange sans titanate
(70-00-30). Cette hausse de la conductivité en fonction de la concentration du dioxyde de
manganèse est décrite par une famille de courbes où chacune est associée à un type de
mélange approprié (RE-TC-MnO2, RE-TM-MnO2 ou RE-TB-MnO2).
Elles montrent
différentes concavités avec différentes valeurs minimales de conductivités qui peuvent être
attribuées à de possibles états de percolation. Le minimum le plus bas est (7.017x10-3 /(m))
calculé pour une proportion de 7,5% de MnO2 dans le composite RE-TM-MnO2 soit (7022.5-7.5).
Un autre effet marquant de cet oxyde (MnO2) sur la conductivité du mélange est le
comportement linéaire du mélange ternaire contenant du titanate de calcium.
3.7
Processus de Modélisation
Dans le processus de modélisation basé sur la loi de Lichtenecker modifiée, il est
essentiel de rechercher les facteurs de forme associés à chacun des composites ternaires
formés à partir d’oxyde, de titanate et de résine époxy. Ces facteurs doivent être en bonne
cohérence avec l’utilisation de la loi aux limites supérieure et inférieure de Wiener d’une part
et d’obtenir un modèle qui décrit avec précision le comportement diélectrique du mélange
d’autre part. Chacun de ces facteurs est déterminé de façon similaire de l’équation (15) qui
est dérivée de la loi généralisée de Lichtenecker qui peut être écrite pour un composite RETB-Ox comme suit :
(s)L(RE-TB-Ox) = (BL)Ox . x1RE .y2TB . z 3Ox,
(3.22)
Où (BL)Ox est le facteur de forme lié au type de titanate (TB) et d’oxyde selon la loi de
Lichtenecker modifiée.
Les termes (s)L,
x1RE , y2TB , z 3Ox de l’équation sont les
permittivités respectives du composite et de ses constituants dont les concentrations sont x,y
et z.
Ces facteurs de formes nommés (ML)Ox, (CL)Ox , (BL)Ox par rapport à leurs types de
composites respectifs RE-TM-Ox, RE-TC-Ox, et RE-TB-Ox, ont été évalués pour différentes
proportion de titanates allant de 0% à 30%. Leur comportement en termes de ces
87
concentrations est donné en figures 3.24, 3.25 et 3.26. Chacune d’elles expose l’effet du
dopage en oxyde du composite à base d’un titanate particulier (TM,TC ou TB) sur ce facteur.
En figure 3.24, l’évolution des facteurs de forme (BL)Ca, (BL)Mn, (BL)Zn est identique
et présente une concavité caractérisée par un maximum pour une concentration de TB située
autour de 20%. La valeur de ce maximum est de 0,81. Elle est la même pour
le RE-TB-Mn
et leRe-TB-Zn et légèrement différente (0,79) pour le RE-TB-Ca. Les courbes de ces
facteurs ont tendance à se superposer au delà d’une concentration de 15% de TB.
1,1
(BL)Zn
1
(BL)Mn
0,9
(BL)Ca
0,8
0,7
%BaTiO3
0,6
0
5
10
15
20
25
30
Fig. 3.24 Variation des facteurs de forme (BL)Ca, (BL)Mn, (BL)Zn en fonction
de la concentration du BaTiO3.
de fractions volumiques d'oxydes
Pour le composite à base de titanate de calcium, les facteurs de forme (CL)Ca,
(CL)Mn, et (CL)Zn liés respectivement aux oxydes, CaO, MnO2 et ZnO présentent des
courbes de tendance en terme de concentration du TCa comme le montre la figure 3.24.
De ces courbes on note deux faits importants de la variation de ces facteurs : une convergence
des valeurs des ces paramètres pour de fortes concentrations de TCa d’une part et une
divergence entre le facteur de forme (CL)Zn et les deux autres pour de fortes concentrations
d’oxydes d’autre part.
88
Le même maximum égal à 0,87 est obtenu pour les trois facteurs pour une concentration de
30% de TCa. A ces étapes, les trois composites RE-TC-Ca,RE-TC-ZnO et RE-TC-MnO2,
sont réduits à un composite binaire, nommément RE-TC. Cependant, les évolutions des
facteurs de forme (CL)Ca et (CL)Mn suivent une même courbe de tendance et présentent
une valeur minimale identique de 0,75.
1,1
(CL)Ca
1
(CL)Zn
(CL)Mn
0,9
0,8
0,7
% CaTiO3
0,6
0
5
10
15
20
25
30
Fig. 3.25 Variation des facteurs de forme (CL)Ca, (CL)Mn, (CL)Zn en fonction
de la concentration du CaTiO3. de fractions volumiques d'oxydes
89
(ML)Ca
1,1
(ML)Zn
1
(ML)Mn
0,9
0,8
0,7
% MgTiO3
0,6
0
5
10
15
20
25
30
Fig. 3.26 Variation des facteurs de forme (ML)Ca, (ML)Mn, (ML)Zn en fonction
de la concentration du MgTiO3.
de fractions volumiques d'oxydes
Comme indiqué en figure 3.25 ci-dessus, le dernier composite contenant le TM
associés à ces mêmes oxydes laisse apparaitre un comportement de facteur de forme
totalement différent de celui obtenu avec les composites précédents. Ceci reflète un écart
important entre le facteur (ML)Zn du composite RE-TM-Zn et ceux des composites RE-TMCa et RE-TM-Mn02 pour des concentrations croissantes de TM jusqu’à 15%. Au delà de
cette concentration,
l’écart entre les valeurs de (ML)Ca , (ML)Mn et (ML)Zn se réduit
considérablement pour atteindre ‘1’ à une concentration de 11% de TM. La valeur du facteur
atteinte pour cette proportion représente un maximum égal à 1,07.
Les courbes correspondantes à ces mélanges laissent apparaitre des différences d’allure
entre elles qui pourrait s’expliquer par le comportement plus semi conducteur du ZnO par
rapport aux autres oxydes. De plus et par comparaison, ces composites à base de TM
fournissent des courbes à tendance différentes de celles obtenues pour les composites à base
de TC et de TB et qui pourraient être justifiées par la différence entre leurs structures
cristallines.
90
3.8
Etude Comparative entre les Résultats Expérimentaux et les
Résultats Théoriques
Dans ce comportement diélectrique, une étude comparative de composants
ternaires est basée sur l’association de titanates et d’oxydes. L’objectif étant de rechercher
une bonne concordance entre les résultats expérimentaux et ceux théoriques du modèle la loi
modifiée de Lichtenecker. Ceci réside dans le bon choix de la valeur du facteur de forme
pour chaque composite. Comme le montrent les figures ci-dessous, ces valeurs de facteurs
varient d’une fraction volumique de titanate ou d’oxyde à une autre à cause de la nature
aléatoire des mélanges. En conséquence, la moyenne de ces valeurs pour chaque mélange a
permis un meilleur lissage des courbes expérimentales et théoriques. La valeur moyenne du
facteur obtenu de chaque composite est située entre ses valeurs maximale et minimale telle
que donnée par le tableau 3.1.
Composite
RE-TM-Ox
RE-CT-Ox
RE-TB-Ox
Oxyde (Ox)
Tableau 3.1
Facteur de
forme
Valeur min
Valeur max
CaO
MnO2
ZnO
CaO
MnO2
ZnO
CaO
MnO2
ZnO
(ML)CaO
(ML)MnO2
(ML)ZnO
(CL)CaO
(CL)MnO2
(CL)ZnO
(BL)CaO
(BL)MnO2
(BL)ZnO
0.747
0.752
0.853
0.747
0.759
0.836
0.747
0.752
0.683
1.062
1.073
1.073
0.882
0.867
0.919
0.829
0.816
0.829
La figure 3.27 décrit comparativement l’évolution de la permittivité statique du
composite à base de titanate de Baryum associé au ZnO, MnO2 ou CaO selon le modèle de la
loi modifiée de Lichetenecker et les résultats expérimentaux. Une bonne concordance entre
les courbes résultantes apparait
après utilisation de lois de modélisation
aux limites
inferieures et supérieures du comportement de Wiener pour toutes les fractions de titanate de
Baryum associés à l’oxyde de Zinc ou de Calcium. Cependant, l’inclusion du MnO1 dans le
composite conduit à une divergence entre les valeurs théorique et expérimentale pour une
concentration de 30% de TBa.
91
Fig. 3.27 Courbes expérimentales+ Courbes
du modèle Lichtnecker modifié du mélange RE-TB avec
les oxydes MnO2, CaO et ZnO.
9
P
E
R
M
I
T
T
I
V
I
T
E
8
7
6
5
4
3
2
1
% oxydes
0
0
5
7
10
15
20
22
25
30
Dans le cas du composite contenant le TC et un des oxydes précités, on remarque à
travers la figure 3.28, une compatibilité entre les lois de modélisation
et les résultats
expérimentaux. Ceci dépend clairement du type d’oxyde inclus. Par exemple la présence du
ZnO dans le mélange a conduit à une meilleure concordance entre les valeurs théoriques et
pratiques qui est justifiée par la juxtaposition des courbes correspondantes.
92
Fig. 3.28: Courbes expérimentales+ Courbes
du modèle Lichtnecker modifié du mélange RE-TC
avec les oxydes MnO2, CaO et ZnO.
10
P
E
R
M
I
T
T
I
V
I
T
E
9
8
7
6
5
4
RTCaMnO
3
2
RTCAMnOLic
h
1
%oxydes
0
0
5
7
10
15
20
22
25
30
Des résultats convergents sont obtenus pour de faibles concentrations de MnO2
incluses dans le mélange exprimant ainsi une bonne consistance de la loi de modélisation à la
limite inferieure du comportement de Wiener. Par contre , l’effet inverse est observé par
l’inclusion de CaO dans le mélange : une meilleure consistance du modèle a été atteinte pour
de fortes fractions de cet oxydes à la limite supérieure du comportement de Wiener.
En figure 3.29, les courbes du comportement diélectrique du composite à base de titanate
de magnésium associé au ZnO ou au CaO montrent une concordance aussi bien théorique
qu’expérimentale
identique à celle obtenue
avec le mélange ternaire à base de TCa.
Seulement, une divergence est observée entre les valeurs théoriques et expérimentales de la
permittivité statique pour de faibles concentrations de MnO2.
93
Fig. 3.29 Courbes expérimentales+ Courbes
du modèle Lichtnecker modifié du mélange RE-TMg
avec
les oxydes MnO2, CaO et ZnO.
10
P
E
R
M
I
T
T
I
V
I
T
E
9
8
7
6
5
4
RE-MgTiO3-MnO2
3
2
RE-MgTiO3-MnO2Lich
1
% oxydes
0
0
3.9
5
7
10
15
20
22
25
30
Coefficients de perte diélectrique dans les mélanges ternaires
3.9.1 Coefficient de perte pour le mélange à base de titanate de barium
Les figures présentent 3.30, 3.31 et 3.32 présentent
la variation du coefficient de
pertes diélectriques sur une plage de fréquence atteignant 1Ghz pour la composition à base de
TBa avec des inclusions d’oxydes selon différentes fractions volumiques. Ce paramètre est un
critère primaire pour un diélectrique considéré comme un matériau isolant. Ce coefficient de
perte ,connu aussi comme facteur de dissipation, peut être exprimé selon l’équation comme :
tg δ =
Comme il est souhaitable d’avoir
une constante
;
diélectrique élevée, il est également
important d’avoir une faible valeur de ce paramètre ci. Les résultats tracés pour ces mélanges
additionnés à différents types de charges d’oxydes montrent une décroissance non linéaire du
facteur de dissipation pour les basses fréquences. Cette décroissance pourrait être attribuée à
une présence de porosité croissante ou à une absorption d'humidité.
Autre fait
indiqué sur ces courbes concerne des valeurs élevées de ce facteur pour
certaines compositions centésimales (70-10-20,70-0-30, 70-0-30) des mélanges respectifs
Re-TB-Mn, Re-TB-Zn, Re-TB-Ca. La valeur la plus élevée correspond au dernier mélange
qui est un binaire fait uniquement de résine et d’oxyde de calcium. Ceci explique
effectivement un faible comportement diélectrique.
94
Coefficient de perte dielectrique e"/e'
4
e"/e' (30TBMn)
e"/e' (22TBMn)
e"/e' (15TBMn)
e"/e' (7TBMn)
e"/e' (0TBMn)
3
2
1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
-1
Fréquence (GHz)
Figure 3.30: Coefficient de perte dans le composite titanate de baryum avec le dioxyde
de Manganèse
Coefficient de perte dielectrique
3,5
e"/e' (30TBZnO)
e"/e' (22TBZnO)
e"/e' (15TBZnO)
e"/e' (7TBZnO)
e"/e' (0TBZnO)
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Fréquence (GHz)
Figure 3.31: Coefficient de perte dans le composite titanate de baryum avec l'Oxyde de
Zinc
95
Coefficient de perte dielectrique e"/e'
10
e"/e' (30TBCa)
e"/e' (22TBCa)
e"/e' (15TBCa)
e"/e' (7TBCa)
e"/e' (0TBCa)
e"/e' (30TBCa)
e"/e' (22TBCa)
e"/e' (15TBCa)
e"/e' (7TBCa)
e"/e' (0TBCa)
8
6
Fig. 4
4
2
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
Fréquence (GHz)
Figure 3.32: Coefficient de perte dans le composite titanate de baryum avec l'Oxyde de
calcium
Comme il est souhaitable d’avoir une constante diélectrique élevée, il est également
important d’avoir une faible valeur de ce paramètre ci. Les résultats tracés pour ces mélanges
additionnés à ces différents types de charges d’oxydes
montrent une décroissance non
linéaire du coefficient de dissipation pour les basses fréquences. Cette décroissance pourrait
être attribuée à une présence de porosité croissante ou à une absorption d'humidité.
Autre fait indiqué sur ces courbes concerne des valeurs élevées de ce coefficient pour
certaines compositions centésimales (70-10-20,70-0-30, 70-0-30) des mélanges respectifs
Re-TB-Mn, Re-TB-Zn, Re-TB-Ca. La valeur la plus élevée correspond au dernier mélange
qui est un binaire fait uniquement de résine et de l’oxyde de calcium. Ceci explique
effectivement un faible comportement diélectrique.
Dans cette gamme de fréquence, on remarque bien la dépendance éminente du coefficient
de perte en termes de concentration d’oxydes. Pour des faibles fréquences inferieures à
0,1GHz, certains mélanges oxydés ont un comportement plus conducteur que d’autres et qui
pourrait être justifié par la dominance de la conductivité statique
sur la permittivité
diélectrique imaginaire. Cette dominance a tendance à s’affaiblir pour le reste des mélanges
pour ces mêmes fréquences laissant place à un comportement plus diélectrique du composite
et plus précisément le Re-TBa-MnO2 dont la concentration de l’oxyde est de 11% et 11%.
96
Pour les fréquences les plus élevées, les oxydes inclus dans ces mélanges avec différentes
concentrations contribuent nettement à la préservation du comportement diélectrique du
composite et à l’abaissement du coefficient de perte. La plus faible valeur enregistrée de
0.0012 est obtenue avec le mélange Re-TBa-MnO2 où l’oxyde est d’une concentration de
30%.
3.9.2 Coefficient de perte pour le mélange à base de titanate de calcium.
Le coefficient de perte diélectrique diélectrique tgδ, a été évalué pour le mélange ReTCa additionné aux 3 oxydes précités selon différentes concentrations et sur une gamme de
fréquences allant jusqu’à 1GHz. Les graphes associés à ces oxydes, illustrés par les figures
3.33, 3.34 et 3.35 mettent en évidence deux comportements diélectriques différents dépendant
en fréquence et en concentration volumique des oxydes. Le coefficient de perte est de plus en
plus important quand il s’agit de basses fréquences s’approchant 1.1GHz. ceci traduit bien le
comportement ohmique du matériau dominée par une conductivité statique relativement forte.
Seulement, cette importance reste sujette du type d’oxyde inclus dans le composite, a titre
d’exemple , la plus forte valeur )tgδ>10) de ce coefficient est enregistrée pour le Re-TCaCaO. D’autre part, pour un même oxyde, ce comportement conducteur subit un changement
plus ou moins important selon la quantité d’oxyde incluse dans ce composite. A cet effet, Il
est a mentionner que la valeur maximale la plus basse de ce coefficient de perte (0.2) a été
enregistrée avec le Re-TCa-MnO2 pour une composition 70-20-10.Une fois de plus , il
s’avère que l’inclusion du MnO1 dans le composite à base de TCa rend ce dernier plus
diélectrique qu’avec celle des autres oxides(ZnO et CaO).
97
Coefficient de perte dielectrque e"/e'
14
e"/e' (0TCCa)
e"/e' (7TCCa)
e"/e' (15TCCa)
e"/e' (22TCCa)
e"/e' (30TCCa)
e"/e' (0TCCa)
e"/e' (7TCCa)
e"/e' (15TCCa)
e"/e' (22TCCa)
e"/e' (30TCCa)
12
10
8
6
4
2
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Fréquence (GHz)
Figure 3.33: Coefficient de perte dans le composite titanate de Calcium avec l'Oxyde de
Calcium
Coefficient de perte dielectrique e"/e'
3
e"/e' (30TCMn)
e"/e' (22TCMn)
e"/e' (15TCMn)
e"/e' (7TCMn)
e"/e' (0TCMn)
e"/e' (15TCMn)
e"/e' (7TCMn)
e"/e' (0TCMn)
Figure 7:
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Fréquence (GHz)
Figure 3.34: Coefficient de perte dans le composite titanate de calcium avec le dioxyde
de manganèse
98
e"/e' (30TCZn)
e"/e' (22TCZn)
e"/e' (15TCZn)
e"/e' (7TCZn)
e"/e' (0TCZn)
e"/e' (30TCZn)
e"/e' (22TCZn
e"/e' (15TCZn)
e"/e' (7TCZn)
e"/e' (0TCZn)
Coefficient de perte dielectrique e"/e'
10
8
6
4
2
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Fréquence (GHz)
Figure 3.35 : Coefficient de perte dans le composite titanate de Calcium avec l'Oxyde
De Zinc
Le deuxième comportement est fortement diélectrique et commence à apparaitre au
delà de la fréquence de 0.2GHz. il est caractérisé par de très faibles valeurs du coefficient
tangent de perte dont la plus basse est enregistrée pour une concentration de 70-20-10 du
mélange Re-TCa-MnO2. Ce changement de comportement diélectrique entre les deux
gammes de fréquences (basses et hautes fréquences) est peut être due aux effets de processus
de percolation qui survient chez le composite.
3.9.3 Coefficient de perte pour le mélange à base de titanate de magnésium
Pour une dispersion spectral à une fréquence de 1GHz , le composite contenant le
TMg expose des pertes diélectriques qui dépendent aussi bien de la fréquence mais aussi du
type d’oxyde associé comme l’indiquent les figures 3.36, 3.37 et 3.38. Celles-ci présentent
pour chaque oxyde, une famille de courbes de tendance diélectrique dont chacune d’elles
corresponde
une concentration fixe de ce composant. Les valeurs les plus fortes du
coefficient de perte diélectriques sont enregistrées pour une fréquence nulle et constitue
chacune le maximum de la courbe. La valeur haute de ces maximums varie selon le type de
l’oxyde et sa concentration. A titre d’exemple, il est enregistré une valeur de tgδ supérieure à
10 pour le composite Re-TM-CaO ayant une composition centésimale 70-0-30. Par contre, la
99
valeur basse du maximum obtenue est proche de 0.1 et elle concerne les composites ReTM-MnO2 et Re-TM-CaO avec les compositions centésimales respectives de 70-30-0 et 7030-0.
Le point le plus significatif
de cette analyse consiste en l’aspect conductif fort
éminent en basses fréquences pour certaines proportions d’oxyde et 11 fois moins pour autres
concentrations. Cet effet a tendance à décroitre d’une façon non linéaire pour des fréquences
croissantes pour atteindre un comportement diélectrique fort impressionnant caractérisé par
un très faible coefficient de perte. Il est indiqué graphiquement qu’au de-là d’une fréquence
de 0.2 GHz, ce comportement diélectrique se stabilise autour de valeurs très basses du
coefficient. Cet effet est remarqué pour n’importe quel oxyde associé au composite à base de
TMg dont le minimum de ces valeurs est de 0.03 atteint avec le mélange Re-TM-MnO2 pour
une composition centésimale de 70-0-30.
Coefficient de perte dielectrique e"/e'
6
e"/e' (22TMMn)
e"/e' (15TMMn)
e"/e' (30TMMn)
e"/e' (7TMMn)
e"/e' (0TMMn)
e"/e' 22TMMn
e"/e'15TMMn
e"/e'30TMMn
e"/e'/7TMMn
e"/e'0TMMn
5
4
3
2
1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Fréquence (GHz)
Figure 3.36: Facteur de perte dans le composite titanate de magnésium avec
le dioxyde de manganèse
100
Coefficient de perte dielectrique e"/e'
12
e"/e' (30TMCa)
e"/e' (22TMCa)
10
e"/e' (15TMCa)
8
e"/e' (7TMCa)
e"/e' (0TMCa)
6
4
2
0
0
0,2
0,4
-2
0,6
0,8
1
Fréquence (GHz)
Figure 3.37: Coefficient de perte dans le composite titanate de magnésium avec
l'oxyde de calcium
3,5
e"/e' (30TMZn)
e"/e' (22TMZn)
e"/e' (15TMZn)
e"/e' (7TMZn)
e"/e' (0TMZn)
Puissance (e"/e' (30TMZn))
Puissance (e"/e' (22TMZn))
Puissance (e"/e' (15TMZn))
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Figure 3.38: Coefficient de perte dans le composite titanate de magnésium avec
l'oxyde de zinc
101
3.10 Conclusion
Dans ce chapitre Le dispositif expérimental est exposé. Les matériaux utilisés dans le
cadre de cette thèse sont présentés. Nous avons également décrit les modes et phases de
préparation des échantillons. Les procédés et méthode de caractérisation des échantillons ont
été traités dans ce chapitre. La caractérisation a été opérée sur la base de la réflectométrie
temporelle. Dans ce chapitre nous avons relevé les résultats expérimentaux et toutes les
mesures effectuées ont été exploitées et exprimées sous forme de courbes et ce après usage de
logiciels appropriés de traitement et calcul.
102
CONCLUSION GENERALE.
103
CONCLUSION GENERALE.
Le travail, objet de cette thèse, a porté sur les propriétés diélectriques de nouveaux
matériaux hétérogènes et plus particulièrement sur des matériaux composites ternaires.
L’intérêt a été fixé plus particulièrement sur la permittivité effective complexe. Les matériaux
auxquels nous nous sommes intéressés se composent essentiellement de matériaux
diélectriques à base de titanates mélangés à différents oxydes dans différentes proportions et à
de la résine époxyde. Dans ce travail trois titanates (BaTiO3, CaTiO3 et MgTiO3) en
combinaison avec trois oxydes (CaO, ZnO et MnO2) ont été utilisés.
L‘importance ici est focalisée sur l’obtention de constante diélectrique élevée et de
coefficient tangent de perte diélectrique faible sur un large spectre de dispersion. ces deux
caractéristiques représentent des critères de sélections de matériaux pour une meilleure
performance dans certaines applications spécifiques telles que les circuits à micro-ondes.
Cependant des difficultés apparaissent aussi bien sur le plan de mesure directes des ces
propriétés
que sur le plan théoriques pour la prédiction
précise du comportement
diélectrique.
Pour remédier à ce problème de mesure expérimentale, un système de mesure dont le principe
de fonctionnement est basé sur la réflectométrie temporelle utilisant la méthode de la ligne
adapté, est employé pour la mesure des permittivités diélectriques réelle et imaginaire. Cette
mesure s’est faite à partir d’une dispersion spectrale du diélectrique obtenue à partir du
signal temporel dans une gamme de fréquences allant jusqu’à une dizaine de GHz. la
connaissance de ces deux paramètres à conduit à la déduction d du coefficient de pertes qui
ne manque pas d’importance par rapport au précédent.
Un autre problème difficile dans la conception des matériaux diélectriques est lié au choix des
matériaux qui composent le mélange dont la nature est hétérogène. Celle ci bien sûre conduit
à une distribution non uniforme et aléatoire de grains dans une structure volumique et une
présence de bulles d’air. De plus, les propriétés diélectriques de ces éléments inclus
pourraient avoir des effets aussi bien négatifs que positifs sur les performances diélectriques
du composite résultant.
L’outil théorique est alors considéré aussi important que l’expérimental et sa contribution est
fort éminente dans la phase de conception. Il
sert à la prédiction du comportement
diélectrique de tels mélanges, chose qui reste délicate dans ce processus. Plusieurs techniques
104
numériques furent développées mais ont toutes rencontrées des restrictions liées à la
dépendance du milieu de tailles des grains ou de leurs formes.
Ce travail a pour intérêts de voir l’effet d’oxydes sur les paramètres diélectriques dans des
structures ternaires renfermant de matériaux céramiques. D’autres parts, il s’agit d’une
validation du modèle théorique basé
sur les lois de mélange à partir des résultats
expérimentaux obtenus par la méthode de réflexions multiples dans le domaine temporel,
communément nommée TDR.
L’emploi de différents oxydes vise l’amélioration des paramètres diélectriques :
augmentation de la permittivité diélectrique et faible coefficient de perte sur une gamme de
fréquences assez larges que possible. Ceci s’inscrit dans le cadre de réponse aux besoins
incessants des domaines des technologies des télécommunications et de la microélectronique
en matière de performance diélectriques en hautes fréquences.
Notre contribution réside dans l’effet remarquables de ces oxydes sur le comportement
diélectriques des composites à base de résines et de titanates TCa TM et TBa
furent
enregistrés et qui s’illustrent par une croissance de permittivité dans le cas de la présence du
MnO2 selon des fractions volumiques croissantes. L’effet inverse fut par contre constaté lors
d’inclusion des autres oxydes tels que le CaO et le ZnO. en fraction volumiques croissantes.
Cet effet est traduit par un affaiblissement de la permittivité diélectrique du composite lors de
substitution des charges de titanates par un de ces derniers dopants d’oxydes. Une variation
linéaire de ce paramètre est apparue pour une présence d’une de ces charges d’oxyde en
termes de fraction volumique de ce composant.
Un modèle théorique basé sur les lois de mélanges modifiées s’est établi pour une éventuelle
prédiction du comportement diélectrique. Dans notre cas d’étude, Il s’est montré en bonne
concordance avec les résultats expérimentaux si le facteur de forme, paramètre important de
ces lois, est choisi avec une valeur moyenne. Seule la restriction est apparue pour le
composite renfermant le ZnO comme charge avec des concentrations extrêmes et qui se
traduit par une divergence entre les courbes expérimentale et théorique
L’étude a montrée aussi une décroissance fort éminente du paramètre de perte diélectrique
dans le sens des fréquences croissante pour se stabiliser vers une faible valeur d’environ de
10-3 à partir d’une fréquence de 111MHz. Ces faibles valeurs sont aussi dépendantes des
concentrations de charges d’oxydes. Des perspectives de ce travail peuvent être accées sur les
mélanges frittés.
105
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