Colle de Mathématiques : Semaine du 10 / 10 / 2016

Colle de Mathématiques : Semaine du 10 / 10 / 2016
Espace vectoriel - Famille de vecteurs
1. Généralités sur les Espaces Vectoriels.
Structure d'espace vectoriel.
Exemples d'espaces vectoriels : R, Mn,p (R), Rn , R[X], RN , RI .
Calculs dans un R-espace vectoriel.
Combinaison linéaire.
Sous-espaces vectoriels d'un R-espace vectoriel. Caractérisation par la stabilité des opérations.
Exemples importants de sous-espaces vectoriels : Rn [X], C 0 (I, R), C n (I, R) , ...
Ensemble des solutions d'un système d'équations linéaires homogène.
I Proposition 1. L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène à n inconnues est un sous-espace vectoriel du
R-espace vectoriel Rn .
(Preuve)
Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs.
I Proposition 2. Soient (e1 , · · · , ep ) une famille nie de vecteurs d'un R-espace vectoriel E .
V ect(e1 , · · · , ep ) est un sous-espace vectoriel de E .
(Preuve)
Intersection de sous-espaces vectoriels
I Proposition 3. Toute intersection de deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel
de E .
2. Famille libre. Famille liée
Dénitions. Propriétés.
3. Familles génératrices.
Dénition. Opérations sur une famille génératrice.
I Proposition 4. Soit (e1 , e2 , . . . , en ) une famille génératrice de E .
Si :
(a)
(b)
(c)
(d)
on change l'ordre des vecteurs de la famille (e1 , e2 , . . . , en )
ou l'on ajoute à un vecteur de (e1 , e2 , . . . , en ) une combinaison linéaire des autres
ou l'on multiplie un vecteur de (e1 , e2 , . . . , en ) par un scalaire non nul
ou l'on enlève de (e1 , e2 , . . . , en ) un de ses vecteurs qui serait lui-même une combinaison linéaire des autres
Alors chacune de ces nouvelles familles est encore une famille génératrice de E .
4. Bases d'un espace vectoriel.
Une base est une famille libre et génératrice. Caractérisation d'une base.
Exemples classiques. Bases canoniques de Rn , de Rn [X], de Mn,p (R).
5. Dimension d'un espace vectoriel.
On dit que E est de dimension nie s'il possède une famille génératrice de cardinal ni .
Toutes les bases de E ont le même nombre de vecteurs : ce nombre est appelée la dimension de l'espace.
Propriétés de la dimension. Théorème de la base incomplète.
I
Proposition 5. Soit E un espace vectoriel de dimension nie n.
(a) Toute famille libre possède au plus n éléments.
(b) Toute famille libre de n vecteurs est une base de E .
(c) Toute famille de p vecteurs avec p > n n'est pas libre, elle est donc liée.
(a) Toute famille génératrice possède au moins n vecteurs.
(b) Toute famille génératrice de n vecteurs est une base de E .
(c) Toute famille de p vecteurs avec p < n n'est pas génératrice.
I
Proposition 6.
E est un R−espace vectoriel de dimension n. On note F une famille de vecteurs de E .
(F une base de E) ⇐⇒ (F est libre et de cardinal n) ⇐⇒ (F est génératrice de E et de cardinal n) .
6. Rang d'une famille de vecteurs.
Dénition : rg(x1 , x2 , . . . , xn ) = dim (V ect(x1 , x2 , . . . , xn )).
On a rg(x1 , x2 , . . . , xn ) 6 n
Exemples.
7. Dimension d'un sous-espace vectoriel d'un espace de dimension nie.
I Proposition 7. Soient E un espace vectoriel de dimension nie, et F un sous-espace vectoriel de E .
Alors F est de dimension nie et : dim(F ) 6 dim(E).
De plus, si dim(F ) = dim(E) alors F = E .
-
Variables Aléatoires discrètes.
1. Variables aléatoires. Dénitions.
2. Loi de probabilité et fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle discrète.
3. Moments d'une variable aléatoire réelle discrète.
(a) Espérance.
Dénition. Propriétés.
(b) Moment d'ordre r.
(c) Variance et écart-type.
Dénition. Formule de Koenig-Huygens (Preuve en admettant l'existence).
Formule : V (aX + b) = a2 V (X) (Preuve en admettant l'existence)
4. Lois discrètes usuelles.
(a) Loi uniforme. Dénition. Espérance et variance (Preuves).
(b) Loi de Bernoulli. Dénition. Espérance et Variance (Preuves).
(c) Loi binomiale. Dénition. Espérance (Preuve). Variance.
(d) Loi géométrique. Dénition. Espérance (Preuve). Variance.
(e) Loi de Poisson. Dénition. Espérance et Variance (Preuves).
Exemples à maîtriser
(ils pourront faire l'objet de la question de cours ) :
99K Montrer que ((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)) est une famille libre de R3 .
99K Montrer que X 3 , X 2 + X + 1, X 3 + X + 1 est une famille libre de R[X]..
99K On note f1 : x 7→ exp(x), f2 : x 7→ exp(2x) et f3 : x 7→ exp(3x).
Montrer que la famille (f1 , f2 , f3 ) est une famille libre de vecteurs de C ∞ (R, R).
99K Montrer que F = {(x; y; z) ∈ R3 / x + y + z = 0} est un R−espace vectoriel et en déterminer une base.
99K Soit F = {P ∈ R2 [X], P (1) = 0}. Vérier que F est bien un espace vectoriel. Trouver une base de F .
a+b
b
2
99K Montrer que F2 =
avec (a, b) ∈ R est un espace vectoriel sur R et en déterminer une base.
a
a−b
n
1
(n + 1) 34 . Vérier que X est bien dénie.
99K On considère la variable aléatoire X avec X(Ω) = N et pour tout n ∈ N, P (X = n) = 16
1
99K Soit Z la variable aléatoire telle que Z(Ω) = N et pour n dans N, P (Z = n) = n+1 . Calculer, si possible, l'espérance de Z .
2
99K Calculer l'espérance de la variable aléatoire Z(Z − 1) avec Z dénie à la question précédente.
-
Question de cours : La colle commencera systématiquement par une question de cours dont l'exposé ne devra pas excéder 10 minutes.
Un élève qui ne connaît pas son cours n'a pas la moyenne.
Une question de cours peut être une dénition, un théorème (ou une propriété) avec ou sans sa démonstration dans le cas où celle-ci a été
étudiée, des formules à énoncer etc...