Henri Poincaré et l`espace-temps conventionnel

Henri Poincaré et l’espace-temps conventionnel
Scott Walter ∗
Cahiers de philosophie de l’Université de Cæn 45/2008, 87–119
Introduction
L’histoire de la philosophie des sciences du XXesiècle a été marquée en profondeur par la
philosophie conventionnaliste de Henri Poincaré. Ernst Cassirer, Moritz Schlick et Hans Rei-
chenbach ont subi son influence dans les années 1910 et 1920, Philipp Frank, Ernest Nagel et
Adolf Grünbaum dans les années 1950 et 1960, Lawrence Sklar, Hilary Putnam, David Mala-
ment, Michael Friedman, Jerzy Giedymin et d’autres dans les années 1970, comme le montre le
livre de Ben-Menahem (2006). La plupart de ces philosophes ont mis en question le caractère
conventionnel de la simultanéité dans la théorie de la relativité restreinte. Poincaré lui-même
s’est peu exprimé sur ce point, même s’il s’intéressait à la définition du temps physique et au
problème de l’espace physique de Riemann-Helmholtz-Lie. A la fin de sa vie, Poincaré a réalisé
une synthèse brillante de ces deux problématiques. À travers une nouvelle analyse du principe
de relativité, qu’il interpréta non plus comme une loi de la nature mais comme une convention,
Poincaré accorda à la mécanique relativiste une valeur épistémique aussi fondamentale que
celle de la mécanique classique. Le présent article propose une reconstruction, selon les trois
étapes suivantes, du chemin intellectuel suivi par Poincaré dans ce cadre : 1) l’élaboration de
la doctrine de l’espace physique (1880–1900) ; 2) l’interférence entre la doctrine et la théorie
de l’électron (1905) ; 3) la dernière conférence sur la relativité, intitulée “L’espace et le temps”
(1912), où Poincaré met en œuvre la nouvelle physique des systèmes de référence inertiels.
1 La doctrine de l’espace physique
La philosophie de la géométrie de Poincaré prend forme lors des débats des années 1870 à pro-
pos de la cohérence logique et la signification physique de la géométrie non euclidienne. Alors
que la réévaluation des fondements de la géométrie des années 1820 et 1830 n’a pas été l’œuvre
de géomètres français, toutefois les idées avancées dans ce domaine par Bernhard Riemann, Eu-
genio Beltrami, et Hermann Helmholtz ont trouvé en France des partisans et des opposants. En
1869 au plus tard, l’élite des mathématiciens français dans sa grande majorité reconnaissait
l’existence des géométries non euclidiennes. Cette année là, l’Académie des sciences publiait
— pour la dernière fois, et malgré l’opposition des membres de la section de géométrie —
une démonstration de l’axiome des parallèles. L’auteur de la démonstration, Joseph Bertrand,
lui-même membre de la section de géométrie, occupait la chaire de physique générale et ma-
thématique au Collège de France, et la chaire d’analyse à l’École polytechnique. Le scandale
∗scott.walter [at] univ-lorraine.fr
1

public qui s’ensuivit l’a contraint d’admettre que sa démonstration ne convainquait pas tout le
monde (Pont 1986, 637 ; Gispert 1987, 80). La géométrie non euclidienne a gagné alors à Paris
le droit de cité.
La statut épistémique de la géométrie non euclidienne est un sujet de débat dans la France des
années 1870 jusqu’au début du XXesiècle. Les échanges les plus vifs ont lieu chez les phi-
losophes, où l’empirisme d’un Paul Tannery rencontre l’opposition des néo-kantiens Charles
Renouvier et Louis Couturat. Selon ces derniers, l’intuition spatiale ne sous-tend que la géo-
métrie euclidienne, ce qui fait d’elle la seule géométrie objective, à la fois science idéale et
exemplaire de la connaissance synthétique a priori (Panza 1995).
Les années 1870 sont également celles de la formation scientifique et des premiers travaux
mathématiques de celui qui allait devenir le plus brillant des mathématiciens français : Henri
Poincaré (1854–1912). Étudiant à l’École polytechnique, Poincaré suit les cours de Charles
Hermite, Henri Résal, et Alfred Cornu. Il intègre ensuite l’École nationale des mines, où le
jeune Henry Le Chatelier enseigne la chimie générale (Bellivier 1956, 172), et obtient son
diplôme d’ingénieur en 1878. L’année suivante Poincaré soutient une thèse sur la théorie géo-
métrique des équations différentielles partielles, et assure, pendant huit mois, l’inspection des
mines dans la région autour de Vesoul, avant d’obtenir un détachement pour enseigner l’analyse
à l’université de Caen (Rollet 2001).
À Caen, Poincaré entame sa carrière d’enseignant, tout en poursuivant ses recherches en ma-
thématiques. Il participe au concours du Grand Prix des sciences mathématiques de l’Académie
des sciences, qui invite les chercheurs à “perfectionner en quelque point important la théorie des
équations différentielles linéaires à une seule variable indépendante” (Comptes rendus hebdo-
madaires de l’Académie des sciences 90, 1880, 850). Son mémoire n’est pas couronné, malgré
sa découverte d’une classe de fonctions automorphes, appelées par lui “fonctions fuchsiennes”
en hommage au mathématicien allemand Lazarus Fuchs.
Les fonctions fuchsiennes se trouvent aux fondements de la philosophie de la géométrie de
Poincaré. Des manuscrits de Poincaré publiés en 1997 montrent que dès 1880, il comprenait la
géométrie comme une application de la théorie des groupes. Poincaré a réalisé que les fonctions
fuchsiennes sont invariantes par rapport à l’action d’une certaine classe de transformations for-
mant un groupe, et que l’étude du groupe en question se réduit à celle du groupe de translation
de la géométrie hyperbolique. 1Le jeune Poincaré définit alors la géométrie dans ces termes :
Qu’est-ce en effet qu’une Géométrie ? C’est l’étude du groupe d’opérations formé
par les déplacements que l’on peut faire subir à une figure sans la déformer. Dans
la Géométrie euclidienne ce groupe se réduit à des rotations et à des translations.
Dans la pseudo-géométrie de Lobachevski il est plus compliqué. (Poincaré 1997,
35)
Une telle réduction de la géométrie à la théorie des groupes fait songer au célèbre Programme
d’Erlangen de Félix Klein, mais il semble que Poincaré n’ait pas eu connaissance de ce pro-
gramme. 2D’où lui vient donc cette idée ? Il disposait de plusieurs sources sur la géométrie non
euclidienne, notamment les traductions françaises des travaux de Beltrami et de Helmholtz. Il
1. Pour définir la nouvelle classe de fonctions, Poincaré se demande comment le quotient zde deux solutions
indépendantes de l’équation différentielle de deuxième ordre d2y/dx2=Qy définit par inversion une fonction
méromorphe de xet z. Il trouve qu’une condition en est l’invariance par rapport aux transformations z0= (az +
b)/(cz +d), où a,b,c,dsont réels, et ad −bc = 1 ; voir Gray & Walter (1997b), et Gray (2000). Pour une
exploration des connections internes entre les fonctions fuchsiennes et la philosophie conventionnaliste de la
géométrie, voir Zahar (1997).
2. Voir Gray (2000, 360). Klein et Poincaré ont échangé 26 lettres dans l’espace de 15 mois, à partir du mois
de juin 1881 ; voir l’analyse de Rowe (1992).
2

se peut par ailleurs que Poincaré ait emprunté à ses professeurs (Hermite, Darboux, Jordan)
l’idée selon laquelle les déplacements d’un corps rigide forment un groupe. Son exposé du mo-
dèle de la géométrie hyperbolique ressemble à celui de Beltrami ; les deux modèles font appel
à la figure du cercle et à la géométrie différentielle, et le seul nom qu’ils mentionnent est celui
de Lobachevski. Le travail de Beltrami a dû l’influencer, même si Poincaré ne mentionne pas
son influence (Gray & Walter 1997b).
La découverte prodigieuse des fonctions fuchsiennes et celle de la théorie qualitative des équa-
tions différentielles placent Poincaré au sommet des mathématiques françaises. 3En 1886, il
est élu président de la Société mathématique de France, et nommé à la chaire de physique
mathématique et calcul des probabilités à la Sorbonne, en remplacement du physicien Gabriel
Lippmann. L’année suivante, Poincaré est proposé en première ligne par la section de géométrie
à l’Académie des sciences pour succéder à Edmond Laguerre (Charle & Telkes 1989, 232).
Une fois installé à l’Académie des sciences, Poincaré publie un premier mémoire sur les fon-
dements de la géométrie, qui montre l’influence des travaux de Sophus Lie. A cette occasion,
il réfléchit sur la relation entre la géométrie, d’une part, et l’espace physique, d’autre part :
[I]l existe dans la nature des corps remarquables qu’on appelle les solides et l’ex-
périence nous apprend que les divers mouvements possibles de ces corps sont liés
à fort peu près par les mêmes relations que les diverses opérations du groupe [eu-
clidien]. [. . .] Ainsi les hypothèses fondamentales de la Géométrie ne sont pas des
faits expérimentaux ; c’est cependant l’observation de certains phénomènes phy-
siques qui les fait choisir parmi toutes les hypothèses possibles. (Poincaré 1887,
91)
Selon Poincaré, la géométrie euclidienne est une science abstraite par essence, puisqu’elle ren-
voie à l’étude les transformations du groupe euclidien. Certes, l’observation du déplacement
des solides nous suggère ces mêmes transformations, mais il ne s’agit là que d’un fait contin-
gent. Concernant le rôle de l’expérience, Poincaré (1903, 424) observera plus tard que celle-ci
n’a joué “qu’un seul rôle, elle a servi d’occasion”. 4
Les remarques de Poincaré cernent le statut formel de la géométrie, sans tirer d’autres consé-
quences épistémologiques. Il réserve l’exposé de ces conséquences à un essai philosophique
sur “les géométries non euclidiennes,” publié dans la Revue générale des sciences pures et ap-
pliquées. Traduit en anglais (Poincaré 1892a), cet article fondateur de la philosophie conven-
tionnaliste étend la renommée de Poincaré bien au-delà de la communauté mathématique, et le
révèle comme un philosophe des sciences du premier plan.
Dans cet essai Poincaré tire de la nature abstraite de la géométrie euclidienne (et de toute autre
géométrie) une première conséquence, qui concerne notre connaissance de la géométrie de
l’espace physique. Il met en avant l’intérêt, pour la stabilité des connaissances scientifiques,
d’une science géométrique coupée du monde sensible :
Si la géométrie était une science expérimentale, elle ne serait pas une science
exacte, elle serait soumise à une continuelle révision. Que dis-je ? Elle serait dès
aujourd’hui convaincue d’erreur puisque nous savons qu’il n’existe pas de solide
rigoureusement invariable. (Poincaré 1891, 773)
Selon une philosophie empiriste de la géométrie, nous rappelle ici Poincaré, la géométrie eu-
clidienne ne saurait être la géométrie de l’espace physique, car l’expérience ne présente pas de
3. Sur la théorie qualitative de Poincaré voir Gilain (1991). Israel & Menghini (1998) font un lien entre cette
théorie et la préférence de Poincaré pour des théories flexibles des phénomènes.
4. A propos de la lecture occasionnaliste de la philosophie de la géométrie de Poincaré, voir Heinzmann
(2006).
3

corps indéformable. 5En partant de cette contradiction entre le comportement des corps solides
réels et la géométrie euclidienne, Poincaré critique l’idée selon laquelle la vérité des axiomes de
la géométrie euclidienne serait “évidente.” Quel est dès lors le véritable statut épistémologique
de ces axiomes ? Ils ne sont rien d’autre que des “définitions déguisées” :
Les axiomes géométriques ne sont donc ni des jugements synthétiques a priori ni
des faits expérimentaux. Ce sont des conventions ; notre choix, parmi toutes les
conventions possibles, est guidé par des faits expérimentaux ; mais il reste libre
et n’est limité que par la nécessité d’éviter toute contradiction. C’est ainsi que les
postulats peuvent rester rigoureusement vrais quand même les lois expérimentales
qui ont déterminé leur adoption ne sont qu’approximatives. En d’autres termes, les
axiomes de la géométrie (je ne parle pas de ceux de l’arithmétique) ne sont que des
définitions déguisées. Dès lors, que doit-on penser de cette question : La géométrie
euclidienne est-elle vraie ? Elle n’a aucun sens. (Poincaré 1891, 773)
Autrement dit, comme le fait justement observer Nabonnand (2000), la vérité des théorèmes de
la géométrie euclidienne ne peut être déterminée par des moyens empiriques, une fois reconnu
que la géométrie est une science abstraite.
Il en va de même, d’ailleurs, pour les axiomes de la géométrie non euclidienne. A ce propos,
Poincaré imagine qu’un jour on observe une parallaxe stellaire négative (comme dans un espace
elliptique), ou bien, que la grandeur de toute parallaxe dépasse une certaine valeur (comme dans
un espace hyperbolique). Dans un cas comme dans l’autre, dit-il, la solution “plus avantageuse”
n’est pas celle qui admet que l’espace est courbe, mais plutôt celle qui dit que la lumière
stellaire ne se propage pas toujours de façon rectiligne (Poincaré 1891, 774). L’argument de
Poincaré admet implicitement qu’une optique non-maxwellienne est possible, d’une part, et
que l’optique maxwellienne s’applique dans l’espace courbe, d’autre part. Il va même plus loin
dans ce sens, en affirmant qu’une même expérience quelconque peut être interprétée en termes
d’espace euclidien et en termes d’espace hyperbolique.
Nous sommes libres de choisir, dans cette expérience de pensée de Poincaré, entre deux couples :
la géométrie euclidienne et l’optique non-maxwellienne, d’une part, et la géométrie hyperbo-
lique et l’optique maxwellienne, d’autre part. Quel que soit notre choix, la géométrie de l’es-
pace physique et les lois de l’optique dépendent d’une convention. Pour l’essentiel, le point
de vue de Poincaré ne se distingue pas de celui de Helmholtz, auquel Poincaré renvoie ses
lecteurs. 6La position de Poincaré préfigure, par ailleurs, la lecture holiste de la structure des
théories physiques, celle que donnera son ancien étudiant Pierre Duhem (1906), qui écarte la
possibilité de réaliser une expérience cruciale dans ce domaine.
Poincaré favorise la géométrie euclidienne au dépens de l’optique maxwellienne (et au-delà, de
toute la physique classique). Sa préférence pour la géométrie euclidienne, “quoiqu’il arrive,”
le sépare des physiciens et géomètres de son temps, et constituerait, selon ses commentateurs,
le “maillon faible” de sa philosophie de la géométrie. 7Torretti (1984, 335) observe que pour
Poincaré, du point de vue algébrique la géométrie euclidienne est la plus simple. À l’intérieur
du groupe euclidien, Poincaré note que certains “déplacements sont interchangeables entre eux,
ce qui n’est pas vrai des déplacements correspondants du groupe de Lobachevski” (Poincaré
1898b, 43). Autrement dit, le groupe euclidien contient un sous-groupe propre normal qui cor-
5. L’absence de solides réels chez Poincaré sera soulignée par Einstein (1949, 677).
6. Sur la philosophie empiriste des mathématiques et de la géométrie de Helmholtz, voir Volkert (1996) et
Schiemann (1997) ; sur la lecture poincaréienne de Helmholtz, voir Heinzmann (2001).
7. Torretti (1984, 256) observe l’échec de la doctrine de Poincaré parmi les scientifiques et philosophes, et
Walter (1997) note que les physiciens et mathématiciens l’ont rejetée. Sur le maillon faible, voir Vuillemin (1972,
179), et Sklar (1974, 93).
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respond aux translations, et selon ce critère de la simplicité, ce groupe est plus simple que le
groupe hyperbolique. Pourtant, d’autres critères de simplicité peuvent être avancés, et Poin-
caré (1898b, 42) admet que nous adopterions une géométrie non euclidienne si les résultats
d’expérience différaient “considérablement” de ceux connus à son époque. On voit donc que la
commodité de la géométrie euclidienne n’est pas un dogme chez Poincaré, mais plutôt une ex-
pression de sa confiance dans la stabilité de la base empirique, et dans la puissance explicative
des principes de la physique classique.
On se demande quel genre d’expérience aurait pu motiver Poincaré à changer de géométrie à la
fin du XIXesiècle, puisqu’il écarte le cas de la parallaxe stellaire anomale. S’il ne le précise pas,
c’est peut-être parce qu’il ne pouvait pas imaginer qu’une telle expérience ait lieu. Il imagine
sans difficulté, en revanche, la possibilité d’élaborer une physique de l’espace hyperbolique. Il
s’agit d’un domaine de recherche peu actif à la fin du XIXesiècle, malgré l’intérêt de quelques
grands mathématiciens comme Eugenio Beltrami, Wilhelm Killing et Rudolf Lipschitz (Walter
1999b, 92). Poincaré considère un choix entre deux géométries : la géométrie euclidienne, et
une certaine géométrie hyperbolique. Si Poincaré a raison dans ce cas restreint, la question de
savoir si le choix d’une géométrie est indifférent à une explication adéquate des phénomènes
naturels reste controversée aujourd’hui. 8
La position de Poincaré à propos de l’équivalence des géométries est elle-même un sujet de
débat. Avec Stump (1991), on doit chercher la signification du célèbre “dictionnaire” de tra-
duction de Poincaré, qui laisse le choix de décrire une même figure géométrique dans un “lan-
gage” euclidien ou non-euclidien. Selon Ben-Menahem (2006, 41), Poincaré aurait cru que tout
théorème de la géométrie euclidienne possède son pendant en géométrie hyperbolique, et vice-
versa. L’équivalence entre théorèmes offrirait alors une espèce de gabarit à celui qui cherche à
réaliser une physique de l’espace hyperbolique. Cependant, comme le reconnaît Torretti (1984,
336), Poincaré ne soutient jamais ce type d’équivalence. Poincaré (1887, 205) affirme seule-
ment qu’en géométrie hyperbolique on dispose d’un “ensemble de théorèmes analogues” à
ceux de la géométrie euclidienne.
En faveur de sa doctrine de l’espace physique, Poincaré propose une expérience de pensée
qui s’inspire d’une idée de Helmholtz. En regardant le monde à travers des lentilles convexes,
écrit Helmholtz (1876), nous pourrions connaître les effets optiques d’un monde où la géomé-
trie naturelle de l’espace ne serait pas euclidienne. Poincaré (1892b) modifie l’expérience de
Helmholtz en imaginant un monde où la géométrie apparente de l’espace serait hyperbolique.
Il re-dirige ainsi l’attention du lecteur de Helmholtz, tournée vers la nature de l’intuition, vers
un autre sujet, celui de la nature conventionnelle des lois de la physique.
Son modèle de l’espace hyperbolique a fasciné ses contemporains. Imaginons une sphère creuse
de rayon R, chauffée de telle sorte que la température absolue à un point séparé du centre par
une distance rsoit proportionnelle à R2−r2, c’est-à-dire, à la différence des carrés. 9Les
corps que contient la sphère ont tous le même coefficient de dilatation thermique, et si on les
déplace ils atteignent l’équilibre thermique instantanément. De plus, l’atmosphère est telle que
l’indice de réfraction est partout proportionnel au réciproque de température. Par conséquent,
la trajectoire d’un rayon lumineux suit un arc de cercle orthogonal à la sphère, la longueur d’un
segment de cet arc étant également la distance la plus courte entre ses extrémités, mesurée par
8. Sur le choix de géométrie chez Poincaré voir Ben-Menahem (2006, 56). Zahar (2001, 102) observe que la
stipulation d’une certaine géométrie riemannienne de l’espace physique pose des contraintes fortes sur le compor-
tement de nos instruments de mesure. En essence, une telle stipulation est une hypothèse physique, qui fait appel
à la confirmation par l’expérience. D’ailleurs, comme le remarque Torretti (1984, 336), le choix entre les espaces
hyperbolique et euclidien suppose que l’espace physique soit homéomorphe à R3.
9. Barankin (1942) décrit en détail une version plane du monde chauffé de Poincaré.
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