Magnétostatique (SPE)

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Magn´ etostatique
Forces magn´ etiques
•Force de Lorentz La force agissant sur une particule de charge qmobile `a la vitesse −→ vdans un champ ´electro-magn´etique (−→ E , −→ B)
(−→ Bcr´e´e par toutes les autres charges que q) vaut −→ F=q(−→ E+−→ v∧−→ B
•´ El´ ement de courant Soit un ´el´ement de longueur dld’un circuit Corient´e dans le mˆeme sens que le courant Iqui circule dans C.
On appelle ´ el´ ement de courant le vecteur −→ dC=I−→ dl
•Loi (force) de Laplace Soit un ´el´ement de longueur dld’un conducteur parcouru par Iconstant. La force de Laplace subie par dl
vaut (dans le cas o`u −→ Bne varie pas trop le long de dl) : −→ dF=−→ C∧−→ B=I−→ dl∧−→ BOn d´eduit de cette expression que :
–−→ dFest perpendiculaire au plan form´e par −→ dlet −→ B;
– le tri`edre (−→ dF , −→ dl, −→ B)est direct;
– le module de la force ´el´ementaire de Laplace vaut dF=IdlB sin αo`u αest l’angle form´e par −→ dlet −→ B;
– la force de Laplace ´el´ementaire a bien un sens : il est possible d’isoler un ´el´ement de circuit dlle long duquel −→ Breste constant, et de
mesurer la force ´el´ementaire agissant dessus.
•Densit´ e de courant Soit ρla densit´e volumique de charges mobiles contenues dans l’´el´ement de conducteur dV=Sdl. La charge
mobile et la densit´e volumique de charges mobiles sont reli´es par ρ=dQ
dVet on d´efinit la densit´
e de courant −→ j=ρ−→ v(avec −→ v
vitesse moyenne des porteurs de charge mobiles suppos´ee uniforme dans dV). On a donc aussi −→ j=dQ
dV
−→
v
On peut ´ecrire la relation I−→ dl=−→ vdQcar I=dQ
dtet donc −→
vdQ=−→ v Idt=I−→ dl. Autrement dit, une charge dQen mouvement est
´
equivalente ` a un ´ el´ ement de courant I−→ dl.
•Densit´ e volumique de force magn´ etique (i.e. de force de Laplace) En utilisant la densit´e de courant, on a donc −→ dF=I−→ dl∧−→ B=
−→
vdQ∧−→ Bd’o`u −→ dF= (−→ j∧−→ B) dV
La quantit´e
−→
dF
dV=−→
j∧−→ Best appel´ee densit´ e volumique de force man´ etique.
Champ magn´ etique
•Loi de Biot et Savart Le champ magn´etique ´el´ementaire d−→ Bcr´e´e par un ”´el´ement de courant” I−→ dlen Mvaut
−→
dB=µ0
4πI−→
dl∧
−−→
P M
P M3=µ0 4πI
−→
dl∧−→ u
P M2avec µ0= 4π10−7SI (ou H·m−1) : perm´
eabilit´ e magn´ etique absolue du vide.
−→
dBest un vecteur axial!
Physiquement, le champ magn´etique ´el´ementaire −→
dBcr´e´e par un ´el´ement de courant Idln’a aucun sens! En effet, il est impossible
d’isoler un tel ´el´ement Idlet de mesurer le champ ´el´ementaire −→ dB: il existe toujours des fils de d´epart et d’arriv´ee en dlqui cr´eent un
champ qui se superposent `a −→ dB. Seul a donc un sens physique le champ total cr´e´e par un circuit macroscopique.
•Champ cr´ e´ e par une charge en mouvement On a vu qu’une charge qanim´ee d’un mouvement de vitesse −→ vest ´equivalent `a un
´el´ement de courant I−→ dl:q−→ v=I−→ dl, d’o`u le champ cr´e´e en un point Mde l’espace par la charge qplac´ee au point Panim´ee d’une
vitesse −→ v:−→ B=µ0
4π
q−→ v∧−−→ P M
P M3
NB : Pour une charge seule, k−→ Bkest extrˆemement faible...
•D´ efinition de l’amp` ere L’amp`ere est d´efini comme l’intensit´e du courant qui doit circuler dans le mˆeme sens dans deux fils rectilignes
infinis parall`eles plac´es `a une distance a= 1 m l’un de l’autre tels qu’une portion de fil de longueur l= 1 m cr´ee un champ magn´etique
−→
Bdonnant naissance sur l’autre fil `a une force de Laplace dont le module est ´egal `a 2·10−7N. (Ce qui revient `a prendre µ0= 4π·10−7
SI exactement.)
N.B. : µ0= 4π·10−7N·A−2.

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•Th´ eor` eme d’Amp` ere Sur un contour ferm´e Cenlac¸ant un certain nombre de fils de courants et orient´e. On oriente la nor-
male `a Cconform´ement `a l’orientation de Cet on compte positivement les courants qui ont mˆeme sens que cette normale. Alors
I(C)
−→
B .−→ dl=µ0X
C
εiIio`u εi=±1selon l’orientation du courant Ii.
•Conservation du flux magn´ etique Le champ magn´etique −→ Best `a flux conservatif, i.e. le flux de −→ B`a travers toute surface ferm´ee S
est nul : ZZS
−→
B .−→ dS= 0 , ce qui se traduit par l’´equation locale : div −→ B= 0 .
•Potentiel vecteur du champ magn´ etique Comme div (−→ rot −→ f) = 0 quel que soit le champ −→ f, il existe un vecteur −→ Adit potentiel
vecteur du champ magn´ etique, d´efini `a un gradient pr`es (car −→ rot (−−→ grad f) = −→ 0pour toute fonction f) tel que −→ B=−→ rot −→ AOn a
l’expression ´el´ementaire −→ dA=µ0I−→
dl
4πr Pour un circuit filiforme, on obtient −→
Aen int´egrant : −→ A=µ0I
4πI(C)
−→
dl
P M
Enfin, on a div −→ A= 0 :jauge de Coulomb, et donc −→ rot −→ B=−∆−→ A.
•Expression locale du th´ eor` eme d’Amp` ere On a −→ rot −→ B=µ0
−→
jet pour le potentiel vecteur : ∆−→ A+µ0
−→
j=−→ 0
Dipˆ ole magn´ etique
•circuit filiforme dans un champ magn´ etique constant Soit (C)un circuit filiforme ferm´e (boucle de courant) parcouru par un
courant Iplac´e dans un champ magn´etique ext´erieur −→ Buniforme. La force de Laplace agissant sur (C)vaut −→ F=I(C)
−→
dF=
I(C)
I−→ dl∧−→ B=I I(C)
−→
dl!∧−→ B=−→ 0car l’int´egrale est nulle (contour ferm´e). Ainsi : le torseur des forces de Laplace agissant sur
un circuit ferm´ e plac´ e dans un champ −→ Bext´ erieur uniforme est ´ equivalent ` a un couple.
•Moment magn´ etique Le moment magn´ etique d’une boucle de courant (C)de surface Sest −→ M=I−→ S(en A·m2).
C’est un vecteur axial!
•Couple exerc´ e sur une boucle de courant par un champ magn´ etique constant La force de Laplace s’exerc¸ant sur la boucle (C)
´etant nulle, on a un couple Γ0=−→ M ∧ −→ B.
NB : Cas d’un circuit non filiforme. Dans ce cas, on d´ecompose le circuit en circuits filiformes et l’on somme sur cette d´ecomposition
en utilisant l’identit´e I−→ dl=−→ jdV.
•Champ magn´ etique ` a grande distance cr´ e´ e par un dipˆ ole magn´ etique On admet que le potentiel vecteuracr´e´e `a grande dis-
tance par un dipˆole magn´etique de moment magn´etique −→ Mvaut −→ A=µ0
4π
−→
M ∧ −→ r
r3et le champ magn´etique vaut (en coordonn´ees
sph´eriques) : Br=µ0Mcos θ
2πr3Bθ=µ0Msin θ 4πr3Bϕ= 0 On peut mettre le champ sous la forme intrins`eque (cf. moment dipo-
laire) : −→ B=µ0
4π
3(−→ M.−→ v ur)−→ v ur −−→ M
r3.
Remarque : comparaison des dipˆ oles ´ electrostatique et magn´ etostatique. Les expressions des composantes radiales et orthoradiales `a
grande distance des champs −→ Eet −→ Bissus de dipˆoles ont les mˆemes formes, ce qui permet d’affirmer que les cartes des champs ` a grande
distance seront les mˆemes. Cependant, `a courte distance (au voisinage du dipˆole, i.e. entre les charges ´electrostatiques ou dans la boucle
magn´etique), les topographies sont radicalement diff´ erentes. On retrouve le fait que les lignes de champ −→ Evont d’une charge `a l’autre
tandis que les lignes de champ −→ Bpassent dans la spire sans jamais toucher le courant.
a. Unique sous la condtion de jauge de Lorentz, qui se simplifie en magn´etostatique en div
−→
A= 0.
•Action d’un champ magn´ etique uniforme sur un dipˆ ole Elle est donn´ee par la relation Γ = −→ M ∧ −→ B(`a grande distance), qui
caract´erise l’action d’un champ ext´erieur sur un dipˆole.
•´ Energie potentielle d’un dipˆ ole magn´ etique dans un champ ext´ erieur uniforme On a Ep=−−→ M.−→ BEn cons´equence, le travail
des forces magn´etiques pour un dipˆole se d´eplac¸ant d’une r´egion o`u le champ est −→ B1en une r´egion o`u le champ est −→ B2vaut W=
−−→ M.(−→ B1−−→ B2).