Magnétostatique (SPE)
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1 Magnétostatique Forces magnétiques − → − → → • Force de Lorentz La force agissant sur une particule de charge q mobile à la vitesse − v dans un champ électro-magnétique ( E , B ) − → − → − → → − → ( B créé par toutes les autres charges que q) vaut F = q( E + − v ∧B • Élément de courant Soit un élément de longueur dl d’un circuit C orienté dans le même sens que le courant I qui circule dans C. −→ − → On appelle élément de courant le vecteur dC = I dl • Loi (force) de Laplace Soit un élément de longueur dl d’un conducteur parcouru par I constant. La force de Laplace subie par dl −→ − − → − − → → − → → vaut (dans le cas où B ne varie pas trop le long de dl) : dF = C ∧ B = I dl ∧ B On déduit de cette expression que : −→ − → − → – dF est perpendiculaire au plan formé par dl et B ; −→ − → → − – le trièdre ( dF , dl, B ) est direct ; − → − → – le module de la force élémentaire de Laplace vaut dF = I dlB sin α où α est l’angle formé par dl et B ; − → – la force de Laplace élémentaire a bien un sens : il est possible d’isoler un élément de circuit dl le long duquel B reste constant, et de mesurer la force élémentaire agissant dessus. • Densité de courant Soit ρ la densité volumique de charges mobiles contenues dans l’élément de conducteur dV = S dl. La charge dQ − → → → mobile et la densité volumique de charges mobiles sont reliés par ρ = et on définit la densité de courant j = ρ− v (avec − v dV dQ − − → → v vitesse moyenne des porteurs de charge mobiles supposée uniforme dans dV ). On a donc aussi j = dV − → − → → dQ → → On peut écrire la relation I dl = − v dQ car I = et donc − v dQ = − v Idt = I dl. Autrement dit, une charge dQ en mouvement est dt − → équivalente à un élément de courant I dl. −→ − → − → • Densité volumique de force magnétique (i.e. de force de Laplace) En utilisant la densité de courant, on a donc dF = I dl ∧ B = −→ − → → − → − − → v dQ ∧ B d’où dF = ( j ∧ B ) dV La quantité −→ dF → − → − = j ∧ B est appelée densité volumique de force manétique. dV Champ magnétique − → − → • Loi de Biot et Savart Le champ magnétique élémentaire d B créé par un ”élément de courant” I dl en M vaut − → → −−→ −→ µ0 − → PM µ0 dl ∧ − u dB = I dl ∧ = I avec µ0 = 4π10−7 SI (ou H·m−1 ) : perméabilité magnétique absolue du vide. 3 2 4π PM 4π P M −→ dB est un vecteur axial ! −→ Physiquement, le champ magnétique élémentaire dB créé par un élément de courant I dl n’a aucun sens ! En effet, il est impossible −→ d’isoler un tel élément I dl et de mesurer le champ élémentaire dB : il existe toujours des fils de départ et d’arrivée en dl qui créent un −→ champ qui se superposent à dB. Seul a donc un sens physique le champ total créé par un circuit macroscopique. → • Champ créé par une charge en mouvement On a vu qu’une charge q animée d’un mouvement de vitesse − v est équivalent à un − → − − → → élément de courant I dl : q v = I dl, d’où le champ créé en un point M de l’espace par la charge q placée au point P animée d’une −−→ → − → µ0 q − v ∧ PM → vitesse − v : B = 4π P M 3 − → NB : Pour une charge seule, k B k est extrêmement faible... • Définition de l’ampère L’ampère est défini comme l’intensité du courant qui doit circuler dans le même sens dans deux fils rectilignes infinis parallèles placés à une distance a = 1 m l’un de l’autre tels qu’une portion de fil de longueur l = 1 m crée un champ magnétique − → B donnant naissance sur l’autre fil à une force de Laplace dont le module est égal à 2 · 10−7 N. (Ce qui revient à prendre µ0 = 4π · 10−7 SI exactement.) N.B. : µ0 = 4π · 10−7 N·A−2 . 2 • Théorème d’Ampère Sur un contour fermé C enlaçant un certain nombre de fils de courants et orienté. On oriente la normale à C conformément à l’orientation de C et on compte positivement les courants qui ont même sens que cette normale. Alors I X → − →− B . dl = µ0 εi Ii où εi = ±1 selon l’orientation du courant Ii . (C) C − → − → • Conservation du flux magnétique Le champ magnétique B est à flux conservatif, i.e. le flux de B à travers toute surface fermée S ZZ − → − → −→ est nul : B . dS = 0 , ce qui se traduit par l’équation locale : div B = 0 . S → − → − → −→ − • Potentiel vecteur du champ magnétique Comme div (rot f ) = 0 quel que soit le champ f , il existe un vecteur A dit potentiel − → − → → − → − →− → f) = − vecteur du champ magnétique, défini à un gradient près (car rot (− grad 0 pour toute fonction f ) tel que B = rot A On a − → − → I −→ µ0 I dl − → − → µ0 I dl l’expression élémentaire dA = Pour un circuit filiforme, on obtient A en intégrant : A = 4πr 4π (C) P M − → → − → − →− Enfin, on a div A = 0 : jauge de Coulomb, et donc rot B = −∆ A . → − → − → − → − → −→ − • Expression locale du théorème d’Ampère On a rot B = µ0 j et pour le potentiel vecteur : ∆ A + µ0 j = 0 Dipôle magnétique • circuit filiforme dans un champ magnétique constant Soit (C) un circuit filiforme fermé (boucle de courant) parcouru par un I −→ − → − → courant I placé dans un champ magnétique extérieur B uniforme. La force de Laplace agissant sur (C) vaut F = dF = (C) ! I I − → − − → → − → − → I dl ∧ B = I dl ∧ B = 0 car l’intégrale est nulle (contour fermé). Ainsi : le torseur des forces de Laplace agissant sur (C) (C) − → un circuit fermé placé dans un champ B extérieur uniforme est équivalent à un couple. − → − → • Moment magnétique Le moment magnétique d’une boucle de courant (C) de surface S est M = I S (en A·m2 ). C’est un vecteur axial ! • Couple exercé sur une boucle de courant par un champ magnétique constant La force de Laplace s’exerçant sur la boucle (C) − → − → étant nulle, on a un couple Γ0 = M ∧ B . NB : Cas d’un circuit non filiforme. Dans ce cas, on décompose le circuit en circuits filiformes et l’on somme sur cette décomposition − → − → en utilisant l’identité I dl = j dV . On admet que le potentiel vecteur a créé à grande dis− → → − → − → µ0 M ∧ − r tance par un dipôle magnétique de moment magnétique M vaut A = et le champ magnétique vaut (en coordonnées 3 4π r µ0 M cos θ µ0 M sin θ sphériques) : Br = Bθ = Bϕ = 0 On peut mettre le champ sous la forme intrinsèque (cf. moment dipo2πr3 4πr3 − →→ − − → − → µ0 3(M.− v ur)→ v ur − M laire) : B = . 4π r3 Remarque : comparaison des dipôles électrostatique et magnétostatique. Les expressions des composantes radiales et orthoradiales à − → − → grande distance des champs E et B issus de dipôles ont les mêmes formes, ce qui permet d’affirmer que les cartes des champs à grande distance seront les mêmes. Cependant, à courte distance (au voisinage du dipôle, i.e. entre les charges électrostatiques ou dans la boucle − → magnétique), les topographies sont radicalement différentes. On retrouve le fait que les lignes de champ E vont d’une charge à l’autre − → tandis que les lignes de champ B passent dans la spire sans jamais toucher le courant. • Champ magnétique à grande distance créé par un dipôle magnétique → − a. Unique sous la condtion de jauge de Lorentz, qui se simplifie en magnétostatique en div A = 0. • Action d’un champ magnétique uniforme sur un dipôle caractérise l’action d’un champ extérieur sur un dipôle. − → − → Elle est donnée par la relation Γ = M ∧ B (à grande distance), qui − →− → • Énergie potentielle d’un dipôle magnétique dans un champ extérieur uniforme On a Ep = −M. B En conséquence, le travail − → − → des forces magnétiques pour un dipôle se déplaçant d’une région où le champ est B 1 en une région où le champ est B 2 vaut W = − → − → − → −M.( B 1 − B 2 ).
