Modélisation des amplificateurs optiques `a semi-conducteur

PASCAL LEMIEUX
Modélisation des amplificateurs optiques à
semi-conducteur
Application au traitement des signaux optiques
Mémoire présenté
à la Faculté des études supérieures de l’Université Laval
dans le cadre du programme de maı̂trise en génie électrique
pour l’obtention du grade de Maı̂tre ès Sciences (M.Sc.)
FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE
UNIVERSITÉ LAVAL
QUÉBEC
Août 2006
c
Pascal
Lemieux, 2006
ii
Résumé
Les réseaux de télécommunications optiques métropolitains pourraient bénéficier de
l’utilisation de sources optiques incohérentes à large bande, car elles sont peu coûteuses.
Par contre, leur bruit d’intensité limite les performances des systèmes. Il a été démontré
que l’utilisation d’un amplificateur optique à semi-conducteur (SOA) pour effectuer un
traitement du signal optique à la détection diminue le taux d’erreur. C’est dans ce
contexte que la modélisation des sources optiques incohérentes est étudiée. La distribution de son bruit d’intensité est comparée aux données expérimentales. Par la suite, des
modèles de simulation des SOAs de différents niveaux de complexité sont présentés. En
prenant comme référence un modèle détaillé, un nouveau modèle simplifié est développé.
Des approximations permettent de réduire le système d’équations différentielles partielles du modèle détaillé à une seule équation différentielle ordinaire (ODE) basée sur
une quantité globale, le réservoir. Cette quantité est proportionnelle au nombre total de
porteurs de charge dans l’amplificateur. Les résultats de simulation des quatre modèles
basés sur l’ODE du réservoir sont alors comparés à ceux provenant du modèle détaillé
ainsi qu’à des mesures expérimentales. Le modèle du réservoir permet de diminuer le
temps de calcul du modèle détaillé par un facteur 20, tout en conservant une très bonne
correspondance avec les mesures expérimentales.
Abstract
Optical access networks could benefit from the use of inexpensive broadband incoherent light sources. However, their high level of intensity noise reduces the achievable
level of performance. It was demonstrated that the use of semiconductor optical amplifier (SOA) for signal processing on the receiver side can greatly reduce the bit error rate
(BER). In this context, the modeling of incoherent light sources was studied and their
intensity distribution was compared with experimental data. In addition, various SOA
models of different complexity levels are presented. Taking a detailed space-resolved
model as a reference, a new model was developed. Different approximations are used to
reduce the system of coupled partial differential equations of the detailed model to a
single ordinary differential equation (ODE) describing a global variable called the reservoir. This quantity is proportional to the total number of useful carriers in the amplifier.
Simulation results from four versions of the reservoir model are compared to the results
obtained with the detailed model and with experimental data. While providing a good
match with experimental data, the use of the reservoir model can reduce computation
time by a factor of 20.
iii
Avant-Propos
Je tiens tout d’abord à remercier le Dr Leslie A. Rusch, pour ses conseils avisés
et pour m’avoir donné l’opportunité de travailler dans un environnement dynamique
et stimulant. Je remercie également mes collègues et amis, surtout Walid Mathlouthi
pour avoir rendu mes pauses-café à la fois fructueuses et divertissantes. Je remercie
mes parents et mes amis pour leur soutient inestimable. À titre posthume, je tiens
à remercier spécialement mon père, qui est pour moi une source d’inspiration et de
motivation encore aujourd’hui.
iv
« In the real dark night of the soul it is
always three o’ clock in the morning,
day after day. »
Francis Scott Fitzgerald
Table des matières
Table des matières
v
Liste des tableaux
viii
Table des figures
ix
Liste des acronymes
xi
Liste des symboles
xiii
1 Introduction
1.1 Systèmes de télécommunication optiques . . . . . . . . . . . . . .
1.2 SOA au récepteur d’un système SSWDM . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Performance des systèmes SSWDM utilisant un SOA au récepteur
1.4 Plan du mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Modélisation des sources incohérentes . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Modélisation des SOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Modélisation des sources optiques incohérentes
2.1 Intensité intégrée et SNR selon le modèle de Goodman
2.2 SNR d’une source optique filtrée arbitrairement . . . .
2.3 Distribution de l’intensité intégrée . . . . . . . . . . . .
2.4 Modélisation dans le domaine fréquentiel . . . . . . . .
2.5 Résumé du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
3.1 Schéma de réduction du bruit d’intensité utilisant la XGM . . .
3.2 Fondements physiques des semi-conducteurs . . . . . . . . . . .
3.3 Modèles analytiques des SOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Gain matériel dans le modèle détaillé . . . . . . . . . . .
3.3.2 Équation de propagation du modèle détaillé . . . . . . .
3.3.3 Équation d’évolution du modèle détaillé . . . . . . . . .
3.3.4 Équation d’évolution dans le modèle du réservoir . . . .
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1
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4
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5
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15
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30
30
34
36
37
Table des matières
vi
3.3.5 Équation de propagation dans le modèle du réservoir . . . . . .
3.3.6 ASE dans le modèle du réservoir . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Modèles numériques des SOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Modèle détaillé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Modèle du réservoir sans ASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Modèle du réservoir en cascade avec ASE et pertes de couplage
3.4.4 Modèle du réservoir en cascade avec ASE et pertes intrinsèques
3.4.5 Modèle du réservoir en cascade avec canal d’ASE équivalent . .
3.5 Extraction des paramètres de gain du modèle de simulation . . . . . . .
3.5.1 Homogénéité du gain des SOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Linéarisation du gain matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Choix de la matrice de gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Résumé du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
40
43
43
44
46
48
49
51
51
52
54
56
4 Résultats expérimentaux
4.1 Mesures de BER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Source incohérente accordable en longueur d’onde de largeur spectrale variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 PDFs des sources optiques incohérentes . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Mesures du BER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Extraction des paramètres du modèle numérique de simulation . . . . .
4.2.1 Spectre de l’ASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Dimension du milieu de gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Mesures des cas de figure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Mesure de la saturation du gain . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Mesure du spectre de gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Mesure de la forme d’un pulse optique amplifié . . . . . . . . . .
4.4 Résumé du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
59
5 Résultats de simulation
5.1 Simulation du BER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Ergodicité des sources incohérentes . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Estimation du facteur M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 PDF de l’intensité intégrée paramétrisée par M . . . . . . . . .
5.1.4 BER paramétrisé par M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Modélisation des SOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Modèle détaillé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Modèle du réservoir sans ASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Modèle du réservoir en cascade avec ASE et pertes de couplage
5.2.4 Modèle du réservoir en cascade avec ASE et pertes intrinsèques
5.2.5 Modèle du réservoir en cascade avec canal équivalent . . . . . .
73
73
73
75
76
77
80
81
82
86
89
92
59
60
61
63
65
65
67
67
69
69
71
Table des matières
5.3
5.4
5.2.6 Pulses optiques amplifiés sur quatre canaux WDM . . . . . . . .
Comparaison des modèles de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résumé du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
96
96
99
6 Conclusion
100
Bibliographie
103
A Modélisation des sources avec la décomposition de Karhunen-Loève
A.1 Fondements théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Application au spectre lorentzien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Résultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
107
109
111
B Paramétrisation du modèle détaillé
115
C Liste des publications de l’auteur
116
Liste des tableaux
1
2
3
4
5
6
Acronymes . . . . .
Symboles introduits
Symboles introduits
Symboles introduits
Symboles introduits
Symboles introduits
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. xii
. xiv
. xv
. xvi
. xvii
. xvii
3.1
3.2
3.3
3.4
Masses effectives des porteurs de charge . . . .
Signification physique des termes de l’équation
Modèles de simulation . . . . . . . . . . . . .
Notation des coefficients du gain . . . . . . . .
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d’évolution
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28
36
44
49
4.1
4.2
Correspondance entre les sections des chapitres 3, 4 et 5 . . . . . . . .
Facteurs M obtenus pour les mesures du BER . . . . . . . . . . . . . .
58
61
5.1
5.2
Paramètres de simulation pour le modèle du réservoir sans ASE . . . .
Paramètres de simulation pour le modèle du réservoir en cascade avec
ASE et pertes de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Paramètres de simulation pour le modèle du réservoir en cascade avec
ASE et pertes intrinsèques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Paramètres de simulation pour le modèle du réservoir en cascade avec
canal équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Paramètres de simulation pour le modèle les deux paramétrisations du
modèle du réservoir avec quatre canaux WDM . . . . . . . . . . . . . .
Temps de calcul des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
B.1 Paramétrisations du modèle détaillé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
5.3
5.4
5.5
5.6
. . . . . . . . . . . .
au chapitre 2 . . . .
au chapitre 3 (partie
au chapitre 3 (partie
au chapitre 3 (partie
au chapitre 4 . . . .
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1)
2)
3)
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87
89
92
98
98
Table des figures
2.1
2.2
2.3
Schéma du modèle développé par Duan . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Approximation de l’intensité intégrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distribution de l’intensité en fonction des deux paramètres . . . . . . .
15
18
19
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
Représentation simplifiée de la région active d’un SOA . . . . . . . . .
Modèle schématique de la XGM dans un SOA . . . . . . . . . . . . . .
Modèle des bandes dans un semi-conducteur . . . . . . . . . . . . . . .
Gain matériel et gain pur pour une densité de porteurs fixe . . . . . . .
Schéma structurel du modèle détaillé . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma structurel du réservoir sans ASE . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma structurel du réservoir en cascade avec ASE et pertes de couplage
Schéma structurel du réservoir en cascade avec ASE et pertes intrinsèques
Schéma structurel du réservoir avec un canal d’ASE équivalent . . . . .
Linéarisation du gain gmat (λ, n) à 1550 nm . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrice du coefficient de gain matériel gmat (λ, n) . . . . . . . . . . . . .
Représentation spectrale des paramètres du gain obtenus à l’aide deux
méthodes de linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
26
27
32
44
45
46
49
50
53
54
Montage expérimental utilisé pour obtenir la source large-bande . . . .
Spectres optiques de la source incohérente large-bande . . . . . . . . .
Schéma du montage expérimental utilisé pour la conversion de longueur
d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mesure du BER pour une source optique de 5 GHz . . . . . . . . . . .
Mesure du BER pour une source optique de 10 GHz . . . . . . . . . . .
Mesure du BER pour une source optique de 20 GHz . . . . . . . . . . .
Densité spectrale de puissance de l’ASE du SOA Optospeed . . . . . .
Franges d’interférence observées sur le spectre d’ASE . . . . . . . . . .
Saturation et comportement asymptotique du gain . . . . . . . . . . .
Schéma du montage expérimental utilisé pour les mesures de gain . . .
Spectre de gain à faible signal de l’amplificateur . . . . . . . . . . . . .
Montage expérimental de la mesure des pulses optiques . . . . . . . . .
Pulses mesurés à l’entrée et à la sortie du SOA . . . . . . . . . . . . . .
59
60
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
56
62
63
64
64
65
66
68
69
70
71
72
Table des figures
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
5.21
5.22
Distribution de l’intensité de la source incohérente sans filtrage . . . . .
Distribution de l’intensité du signal amplifié par le modèle du réservoir
Comparaison du spectre optique autocorrélé et de la fonction de transfert
électrique en puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Histogramme normalisé de l’intensité optique d’un signal incohérent sans
modulation (CW) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Histogramme normalisé de l’intensité optique d’un signal incohérent modulé (OOK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simulations du BER pour un système SSWDM utilisant une bande optique de 10 GHz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Saturation du gain obtenue avec le modèle détaillé . . . . . . . . . . . .
Spectre de gain obtenu avec le modèle détaillé . . . . . . . . . . . . . .
Pulse amplifié obtenu avec le modèle détaillé . . . . . . . . . . . . . . .
Saturation du gain obtenue avec le modèle du réservoir sans ASE . . .
Spectre de gain obtenu avec le modèle du réservoir sans ASE . . . . . .
Pulses optiques amplifiés obtenus avec le modèle du réservoir sans ASE
Saturation du gain obtenue avec le modèle du réservoir en cascade (cinq
sections) avec ASE et pertes de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectre de gain obtenu avec le modèle du réservoir en cascade avec ASE
et pertes de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pulse amplifié obtenu avec le modèle du réservoir en cascade avec ASE
et pertes de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Saturation du gain obtenue avec le modèle du réservoir en cascade avec
ASE et pertes intrinsèques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectre de gain obtenu avec le modèle du réservoir en cascade avec ASE
et pertes intrinsèques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pulse amplifié obtenu avec le modèle du réservoir en cascade avec ASE
et pertes intrinsèques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Saturation du gain obtenue avec le modèle du réservoir en cascade avec
canal équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pulse amplifié obtenu avec le modèle du réservoir en cascade avec canal
équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pulses optiques sur quatre canaux WDM obtenus avec le modèle du
réservoir avec pertes intrinsèques (paramètres de l’Optospeed) . . . . .
Pulses optiques sur quatre canaux WDM obtenus avec le modèle du
réservoir avec pertes intrinsèques (paramètres de Connelly) . . . . . . .
A.1 PSD de la source incohérente modélisée à l’aide d’une décomposition de
Karhunen-Loève . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Histogramme normalisé de l’intensité optique de la source incohérente
modélisée à l’aide d’une décomposition de Karhunen-Loève . . . . . . .
x
74
75
77
78
79
80
81
83
83
84
85
86
88
90
90
91
93
93
94
95
97
97
112
113
Liste des acronymes
xii
Liste des acronymes
Acronyme
AC
ASE
BER
BERT
CB
CW
DC
EDFA
FEC
ISI
MGF
OCDMA
ODE
OOK
OSA
PDE
PDF
PON
PRBS
PSD
RE
RIN
SDH
SNR
SOA
SONET
SSWDM
TF
VB
WDM
XGM
Signification (français)
Signification (anglais)
Courant alternatif
Alternating current
Spontaneous amplified emission
Émission spontanée amplifiée
Taux d’erreur binaire
Bit error rate
Équipement de mesure
Bit error rate tester
du taux d’erreur binaire
Bande de conduction
Conduction band
Forme d’onde continue
Continuous waveform
Courant coutinu
Direct current
Amplificateur à fibre
Erbium-doped fiber
dopée à l’erbium
amplifier
Correction d’erreur par codage
Forward error correction
Interférence inter-symbole
Inter-symbol interference
Fonction génératrice des moments
Moment-generating function
Accès multiple
Optical code-division
par codage optique
multiple access
Ordinary differential equation
Équation différentielle ordinaire
Modulation d’amplitude
On-Off keying
binaire
Analyseur de spectre optique
Optical spectrum analyser
Partial differential equation
Équation différentielle partielle
Densité de probabilité
Probability density function
Réseau optique passif
Passive optical network
Séquence pseudo-aléatoire binaire Pseudo-random binary sequence
Densité de puissance spectrale
Power spectral density
Rapport d’extinction
Extinction ratio
Bruit d’intensité relatif
Relative intensity noise
Réseau numérique hiérarchique
Synchronous digital hierarchy
synchrone
Rapport signal à bruit
Signal-to-noise ratio
Amplificateur optique
Semiconductor optical amplifier
à semi-conducteur
Réseau optique synchrone
Synchronous optical networks
Multiplexage en longueur
Spectrum-sliced wavelength
d’onde de sources à large bande
division multiplexing
Transformée de Fourier
Fourier transform
Bande de valence
Valence band
Multiplexage en longueur d’onde Wavelength division multiplexing
Modulation de gain croisée
Cross-gain modulation
Tab. 1 – Acronymes
Liste des symboles
xiv
Liste des symboles
Symbole
Amplitude aléatoire des composants
spectraux du champ électrique
Fonction d’autocorrélation du champ électrique
Fonction d’autocorrélation de l’intensité optique
Degré de cohérence de l’intensité optique
Décroissance de la fonction d’autocorrélation
d’un processus stochastique de spectre lorentzien
Phase aléatoire des composants
spectraux du champ électrique
Variance de l’intensité intégrée
Variables aléatoires gaussiennes
centrées réduites
Temps de cohérence de la source optique
Fonction de la base utilisée lors
de l’expansion de Karhunen-Loève
Valeurs propres associées aux fonctions ξn (t)
dans l’expansion de Karhunen-Loève
αk
ΓE (τ )
ΓI (τ )
γI (τ )
κ
φk
2
σW
ϑk (0, 1)
τc
ξ(t)
ψn
Bo (ω)
Be (ω)
E(t)
I(t)
I
i
i′
i
M
MI (ω)
Nb
P (t)
R
ρ
SASE (ω)
T
To
W (t)
W
Description
Enveloppe du spectre optique
Enveloppe du filtre électrique
en puissance
Champ électrique
Intensité optique
Intensité optique moyenne
(processus ergodique)
Courant du photodétecteur
Courant du photodétecteur filtré électriquement
Courant moyen du photodétecteur
Facteur M (SNR)
Fonction génératrice des moments de l’intensité
Dimension de la base fonctionnelle
Puissance optique
Responsivité du photodétecteur
Degré de polarisation de la
source incohérente
Spectre optique de l’ASE
Période d’intégration du photodétecteur
Période d’observation de la
réalisation temporelle
Intensité intégrée
Intensité intégrée moyenne
Tab. 2 – Symboles introduits au chapitre 2
xv
Liste des symboles
Symbole
Description
0
1
Symbole logique zéro
Symbole logique un
α(n)
Coefficient de pertes par diffusion
Coefficient d’atténuation dans le modèle du
réservoir avec pertes de couplage
Constante de propagation
Pas de discrétisation de l’ASE
en fréquence
Facteur de confinement
Pente du coefficient de gain pur à la
longueur d’onde λj provenant de
la linéarisation de gres (λ, n)
Coefficient d’émission spontanée
Densité de porteurs à la transparence
à la longueur d’onde λk provenant de
linéarisation de gmat (λ, n)
Fréquence optique
Pente du coefficient de gain à la
longueur d’onde λk provenant de
la linéarisation de gmat (λ, n)
Temps de vie équivalent des porteurs
Temps de vie radiatif des porteurs
αs
β
∆νASE
Γ
γj
ηsp
η0,k
ν
σk
τeq
τR
A
ak
c
cadd
cin
cout
d
Ea
Eb
Ef c
Aire de section transverse de la région
active de l’amplificateur
Pente du coefficient de gain à la
longueur d’onde λk provenant de
la linéarisation de gres (λ, n)
Vitesse de la lumière dans le vide
(2.998 · 108 m/s)
Coefficient de couplage intermédiaire du modèle
du réservoir avec pertes de couplage
Coefficient de couplage à l’entrée du SOA
Coefficient de couplage à la sortie du SOA
Dimension de la région active du SOA
perpendiculaire à l’axe de propagation
Niveau d’énergie minimal de
la bande de conduction
Niveau d’énergie maximal de
la bande de valence
Niveau d’énergie de Fermi
de la bande de conduction
Tab. 3 – Symboles introduits au chapitre 3 (partie 1)
xvi
Liste des symboles
Symbole
Ef v
Eg
Eg0
fASE (ν, n)
fc (ǫ)
fv (ǫ)
G
gmat (λ, n)
′
gmat
(λ, n)
′′
gmat (λ, n)
h
~
Ibias
K0
K1
Kg
kB
me
mdh
mhh
mlh
n(z, t)
n1
neq
n0,k
n1,j
Description
Niveau d’énergie de Fermi
de la bande de valence
Énergie de gap à la température Tc
Énergie de gap au zéro absolu
Fonction décrivant la diminution de la
densité de porteur causée par l’ASE dans
le modèle détaillé
Distribution de Fermi-Dirac
pour la bande de conduction
Distribution de Fermi-Dirac
pour la bande de valence
Gain global de l’amplificateur
Coefficient de gain matériel
Coefficient de gain matériel pur
Coefficient d’absorption matérielle
Constante de Planck
(6.626 · 10−34 J·s)
Constante de Planck divisée par 2π
Courant d’injection du SOA
Valeur minimale des pertes
de porteurs par diffusion
Coefficient de variation des pertes
de porteurs par diffusion
Facteur de rétrécissement du gap énergétique
Constante de Boltzmann
(1.381 · 10−23 J/K)
Masse effective de l’électron dans le cristal
Masse effective d’un trou
Masse d’un trou lourd
Masse d’un trou léger
Densité de porteurs moyenne sur le
plan transverse à la propagation
Indice de réfraction intrinsèque
de la région active
Indice de réfraction équivalent
de l’amplificateur
Densité de porteurs à la transparence du gain
matériel à la longueur d’onde λk provenant
de linéarisation de gres (λ, n)
Densité de porteurs à la transparence du gain
pur à la longueur d’onde λj provenant de
linéarisation de gres (λ, n)
Tab. 4 – Symboles introduits au chapitre 3 (partie 2)
xvii
Liste des symboles
Symbole
Nk
Ns
Nz
q
QASE (ν, r)
r
r0
r1
R(r)
Rsp
Tc
Tcoh
V
w
Description
Nombre de photons d’énergie équivalente
à une puissance optique à λk
Nombre de signaux entrant
simultanément dans l’amplificateur
Nombre de sections dans la
modélisation de l’amplificateur
Charge de l’électron
(1.602 · 10−19 C)
Fonction décrivant la diminution de la
densité de porteur causée par l’ASE dans
le modèle du réservoir
Réservoir, relié à la quantité totale de porteurs
de charge dans la région active du SOA
Réservoir à la transparence
Réservoir associé à la transparence du gain pur
Diminution spontanée de la densité de porteurs
Coefficient de génération
de l’émission spontanée
Température du cristal
Temps de vie des interactions cohérentes
entre photons et électrons
Volume de la région active de l’amplificateur
Dimension de la région active du SOA
perpendiculaire à l’axe de propagation
Tab. 5 – Symboles introduits au chapitre 3 (partie 3)
Symbole
Description
Psat
G0
Puissance optique de saturation du SOA
Gain du SOA observé à faible puissance d’entrée
Gain du SOA observé à la puissance de
saturation
Réponse en fréquence du filtre électrique
Gsat
H(ω)
Tab. 6 – Symboles introduits au chapitre 4
Chapitre 1
Introduction
1.1
Systèmes de télécommunication optiques
À l’heure actuelle, les fibres optiques jouent un rôle prédominant dans les communications à haut débit. Plus de 100 millions de kilomètres de fibre optique sont déployés
dans le monde [1] et servent d’épine dorsale à un réseau complexe qui relie les grandes
agglomérations urbaines. Des dizaines de câbles de fibres optiques sont également utilisés pour relier les continents entre eux. Une fibre optique à elle seule peut soutenir
plus de 600 000 communications téléphoniques, ce qui est très loin de la quantité que
peut supporter un câble de cuivre.
Pour pouvoir observer le fulgurant essort des communications optiques à grande
échelle, il a fallu attendre le perfectionnement d’un composant essentiel : l’amplificateur
optique à fibre dopée à l’erbium (EDFA) en 1987 [1]. En effet, malgré l’utilisation de
fibres optiques à faible perte, une distance de propagation maximale de quelques dizaines
kilomètres ne permettait pas le déploiement de réseaux optiques de grande envergure.
Avec l’arrivée des EDFAs, les communications optiques sur de grandes distances sont
devenues possibles, ce qui a provoqué l’essor des réseaux de transfert de données à haut
débit. Cependant, le coût initialement élevé des fibres et des composants optiques n’a
pas facilité le développement des réseaux d’accès. C’est d’ailleurs cette dernière partie du
réseau, située entre le client et le centre local du fournisseur de services Internet, qui est
typiquement le maillon faible de la chaı̂ne. Avec une bande passante permettant un taux
de transfert d’environ 2.5 Mb/s, il s’agit du goulot d’étranglement entre les ordinateurs
personnels qui communiquent à 100 Mb/s ou 1 Gb/s et les réseaux continentaux basés
sur les standards SONET ou SDH à 2.5 et 10 Gb/s [1, 2, 3].
Chapitre 1. Introduction
2
Au cours des dernières années, l’attention du monde des télécommunications s’est
donc tournée vers les réseaux de fibres optiques reliant entre eux les immeubles d’une
même agglomération. Même si le nombre de domiciles connectés par fibre optique dans le
monde est actuellement faible, les grands joueurs de l’industrie des télécommunications
voient la distribution du type triple-jeu comme un marché potentiel important. Selon
ce modèle de distribution, la fibre optique est utilisée pour fournir à la fois un signal de
télévision de haute définition, une ligne téléphonique et un accès rapide à l’internet. Pour
y parvenir, différentes architectures de réseaux optiques passifs (PON) sont actuellement
étudiées.
Lors du déploiment d’un lien d’accès entre un immeuble et le centre de service
du distributeur, une grande partie du coût est attribuable aux différents composants
optiques, comme les sources, les modulateurs, les amplificateurs, etc. L’utilisation de
sources optiques incohérentes présente deux avantages majeurs : elle est moins coûteuse
qu’un laser stable et elle peut être partagée entre plusieurs usagers, ce qui n’est pas le
cas d’une source laser.
De plus, la même source pourrait être utilisée par le centre de service pour envoyer
de l’information à plusieurs domiciles, dans le cadre d’un réseau utilisant des sources à
large bande multiplexées en longueur d’onde (SSWDM) ou d’un réseau d’accès multiplexé par code (OCDMA) [4]. Les sources optiques incohérentes présentent cependant
un inconvénient important : leur niveau de bruit d’intensité élevé. Ce bruit résulte du
battement des composants spectraux du champ électrique. Le bruit de battement, ou
bruit d’intensité, est lié à la photodétection et limite les performances malgré l’augmentation de la puissance optique. Un compromis entre la performance du système SSWDM
et son coût passe peut-être par l’ajout d’un amplificateur optique à semi-conducteur
(SOA) au système.
1.2
SOA au récepteur d’un système SSWDM
En amplifiant le signal optique à l’aide d’un SOA avant la détection, nous pouvons
diminuer le bruit d’intensité et améliorer les performances du système. Il existe plusieurs
méthodes basées sur ce principe : la détection du signal amplifié [5, 6], la détection
de l’émission spontanée amplifiée (ASE) modulée par le passage des données [7], ou
encore la conversion de longueur d’onde du signal incohérent vers un signal cohérent
[4]. Cette dernière solution présente plusieurs avantages. Par exemple, cette technique
est basée sur un phénomène rapide, car la conversion fait appel à la dynamique interne
de l’amplificateur. Il a été démontré expérimentalement qu’un SOA conçu pour cette
Chapitre 1. Introduction
3
application peut changer la longueur d’onde dans un système WDM utilisant des taux
de transmission très élevés, allant même jusqu’à 320 Gb/s [8]. Les systèmes SSWDM
ne sont pas aussi performants, mais des transmissions sans erreur ont été démontrées
à des taux acceptables pour l’accès métropolitain. D’ailleurs, cette technique a permi
d’obtenir des résultats expérimentaux impressionnants pour le SSWDM à des taux de
622 Mb/s, 1.25 Gb/s et 2.5 Gb/s pour une source optique d’une largeur de bande
relativement faible (≤ 100 GHz). La conversion de longueur nous force à reconsidérer
l’efficacité spectrale et le niveau de performance des réseaux SSWDM.
De plus, l’utilisation d’une source laser locale dans un schéma de conversion de
longueur d’onde au détecteur permet de réduire le coût du système. En effet, l’ajout d’un
laser local au récepteur n’engendre pas une augmentation majeure des coûts du système,
car le laser local ne nécessite pas de stabilisation en longueur d’onde. Il peut donc s’agir
d’un laser de faible qualité, contrairement au laser servant comme source lumineuse au
transmetteur, qui doivent être puissants et stables. Ce sont ces différentes raisons qui
nous poussent à continuer l’étude des performances des systèmes de communication
SSWDM avec conversion de longueur d’onde au récepteur.
En effet, l’utilisation de la conversion de longueur d’onde à la détection (décrite à la
section 3.1) améliore substantiellement les performances des systèmes. En particulier, le
taux d’erreur binaire (BER) est diminué par plusieurs ordres de grandeur, passant dans
certains cas de 10−3 à 10−7 . Il s’agit d’un changement significatif, puisqu’un système
dont le BER est de 10−3 supporte difficilement l’utilisation de codes correcteurs d’erreurs (FECC). Après le passage dans le SOA, les FECC pourraient être utilisés pour
augmenter les performances du système encore d’avantage. Par contre, le mécanisme
physique derrière la diminution du taux d’erreur n’est toujours pas parfaitement compris. Ce mémoire présente certains outils analytiques et numériques qui décrivent de la
dynamique interne des SOA et qui permettront peut-être une meilleure compréhension
du phénomène physique menant à l’amélioration du BER.
1.3
Performance des systèmes SSWDM utilisant un
SOA au récepteur
Pour quantifier le changement des performances d’un système SSWDM grâce à
l’utilisant d’un SOA à la détection, il faut disposer de deux modèles. Le premier modèle
sert à décrire la source optique incohérente et le deuxième à décrire le comportement
dynamique du SOA. Lorsque ces deux éléments sont disponibles, il devient possible
Chapitre 1. Introduction
4
d’évaluer en simulation la performance du système avant et après le SOA. Le critère
le plus juste pour évaluer la performance d’un système de communication est le BER,
mais il est difficile à évaluer. Il existe deux façon de procéder :
1. en procédant à l’intégration de la densité de probabilité (PDF) de l’intensité du
signal après la photodétection [3, 9, 10],
2. en employant une simulation entièrement numérique de type Monte-Carlo qui
compte directement les erreurs.
Dans le premier cas, obtenir une expression analytique de la distribution de l’intensité du signal modulé à la sortie du SOA est difficile. Il faudrait être capable de solutionner le système d’équations différentielles partielles (PDE) couplées qui régissent le
comportement dynamique du SOA. La résolution analytique de ce système sans aucune
approximation n’a pas été démontrée à la connaissance de l’auteur. Il est cependant
possible de faire des simplifications, mais la source incohérente à l’entrée du SOA est
décrite par un processus stochastique. Même dans ce cas, la résolution d’une ODE
comprenant une variable de nature aléatoire reste délicate.
L’approche entièrement numérique pour estimer le BER après le SOA est donc
adoptée. Pour quantifier l’amélioration du BER, il faut être capable de l’estimer pour
le système SSWDM normal et pour le système SSWDM après un certain traitement
fait par l’amplificateur. Cependant, il est important de mentionner qu’une simulation
de type Monte-Carlo nécessite le traitement d’un très grand nombre d’échantillons
temporels. En effet, comme le BER attendu est relativement faible (de l’ordre de 10−9 ),
le nombre de bits traités doit être très élevé. De plus, comme chaque bit comporte
plusieurs échantillons temporels, le nombre total de ces derniers devient rapidement très
grand (plusieurs milliards). La rapidité des simulations est donc un critère fondamental
dans l’analyse des différents modèles de SOA.
1.4
1.4.1
Plan du mémoire
Modélisation des sources incohérentes
La première partie de ce mémoire est consacrée à la présentation de la théorie
entourant les sources optiques incohérentes. Notre objectif est d’obtenir un modèle de
la distribution d’intensité (PDF) de ces sources. On propose à la section 2.3 un modèle
simple, basé sur des considérations physiques pour estimer la PDF de l’intensité. D’après
Chapitre 1. Introduction
5
ce modèle, la distribution de l’intensité optique peut être décrite par une loi Gamma,
qui contient deux degrés de liberté. Les deux paramètres de cette loi Gamma ont une
signification physique très importante : ils représentent la moyenne de l’intensité et son
rapport signal-à-bruit (SNR). Donc, avant de présenter la démonstration de la PDF,
on commence par présenter deux approches pour obtenir le SNR après photodétection
qu’on appelle facteur M. À la section 2.1, le modèle de Goodman permet d’obtenir une
expression du SNR optique. Comme cette méthode manque de généralité, il devient
nécessaire d’introduire celle de Duan, à la section 2.2. L’avantage de la méthode de
Duan sur celle de Goodman est qu’elle permet de décrire le SNR d’une source optique
ayant une forme quelconque.
Par la suite, deux méthodes mathématiques permettant de simuler un signal d’intensité d’une source thermique sont présentées, l’une dans le domaine fréquentiel et
l’autre dans le domaine temporel. La première méthode, présentée à la section 2.4,
décrit le champ électrique de la source optique comme une série de composants spectraux discrets ayant certaines propriétés d’amplitude et de phase. Elle utilise ensuite
une transformée de Fourier inverse pour retrouver le champ dans le domaine du temps.
La forme de l’intensité optique I(t) est ensuite obtenue en prenant le module carré du
champ.
La deuxième méthode considère le champ électrique comme un processus stochastique dans le domaine temporel. Le processus est exprimé sur une base de fonctions
orthogonales à l’aide d’une décomposition de Karhunen-Loève [11, 12], tel que présenté
à l’annexe A.1. La projection du processus sur une base de fonctions orthogonales est
similaire à une transformation de Fourier. Cependant, le processus décomposé respecte
le spectre, et donc la fonction d’autocorrélation [13], du processus stochastique original.
Pour certaines applications numériques, manipuler la décomposition peut s’avérer plus
simple que de manipuler l’expression originale du processus.
1.4.2
Modélisation des SOA
Dans un deuxième temps, une description de la modélisation des amplificateurs à
semi-conducteur est présentée au chapitre 3.2. Tout d’abord, la théorie des matériaux
semi-conducteurs est brièvement expliquée. Elle mène directement aux équations du
gain matériel de l’amplificateur, qui sont présentées à la section 3.3.1. Cette description est ensuite utilisée dans un modèle détaillé des SOA. Seuls la phase et quelques
phénomènes ultra-rapides ne sont pas considérés par ce modèle. A priori, l’abandon
de l’information sur la phase est justifiée par le fait que le système utilise une source
incohérente à large-bande. Même s’il serait plus juste de conserver l’information sur
Chapitre 1. Introduction
6
la phase, elle rend les simulations plus longues et la paramétrisation du modèle plus
difficile.
Le modèle détaillé présenté à la section 3.4.1 est le premier des cinq modèles de
SOA étudiés. Diverses approximations relatives à la propagation, aux pertes et à la
distribution des porteurs dans le SOA servent à réduire le système de PDE régissant la
dynamique du SOA. On obtient en définitive une seule équation différentielle ordinaire
(ODE), uniquement fonction d’une variable nommée réservoir. Cette variable globale,
commune à tous les canaux, est proportionnelle à la quantité totale de porteurs de
charge dans le SOA. En utilisant toujours la même ODE, différents modèles numériques
de plusieurs niveaux de complexité et de performance sont mis en place.
Dans la version la plus simple de ces algorithmes, on considère l’amplificateur comme
un seul bloc, un seul réservoir, qui n’émet pas d’ASE (section 3.4.2). Les simulations
indiquent cependant que l’ASE est nécessaire, puisqu’elle introduit une saturation à
faible signal. Pour remédier à cette lacune, deux autres modèles sont introduits aux
sections 3.4.3 et 3.4.4. Ils incluent une description originale de l’ASE qui est calculée à
plusieurs longueurs d’onde. Pour augmenter la fiabilité des simulations, l’amplificateur
est aussi divisé en plusieurs sections, ayant chacune leur propre réservoir de porteurs. La
différence entre ces deux modèles réside dans la description du gain matériel, qui change
le spectre de gain. Finalement, un modèle avec un canal équivalent remplaçant l’ASE
distribuée est présenté à la section 3.4.5. Ce canal fictif remplace l’ASE et est traité
comme un signal à part entière. Ce canal a pour objectif de reproduire la saturation
causée par l’ASE dans le modèle, mais en accélérant le calcul. Le nombre limité de
paramètres de ce dernier modèle a pour avantage de faciliter l’optimisation de leur
valeurs et la rapidité de la simulation.
Même lorsqu’il est discrétisé spatialement, le modèle du réservoir reste toujours
différent du modèle détaillé. En effet, il ne considère jamais les interactions entre les
sections. Il s’agit en réalité d’un modèle s’approchant plus d’une cascade d’amplificateurs, dont le flux de photons est toujours orienté dans la même direction. L’abscence
de rétroaction évite de devoir converger vers une solution globale, où les tranches sont
à l’état d’équilibre les unes avec les autres.
Le développement d’un algorithme basé sur le modèle du réservoir pour les SOA
est une originalité de ce travail. Jusqu’ici, le modèle avait été démontré seulement
pour les EDFA [14]. Il existe cependant une différence majeure entre les EDFA et
les SOA dans le calcul du gain. En effet, le calcul du gain pour un EDFA est basé
sur les sections efficaces d’émission et d’absorption de l’erbium, qui sont des quantités
fixes d’un amplificateur à l’autre. Par contre, pour les semi-conducteurs, le gain est
Chapitre 1. Introduction
7
déterminé par un calcul basé sur les propriétés du milieu de gain. Comme ce sont
des propriétés variables, elles rendent inutilisable l’approche précédente basée sur les
sections efficaces. Une deuxième innovations de ce travail consiste à obtenir la valeur du
gain en se servant de la description du modèle détaillé. Pour respecter les hypothèses
mathématiques du réservoir, le gain matériel est linéarisé à chaque longueur d’onde.
Deux méthodes d’extraction des coefficients du gain sont étudiées, et leur influence sur
la forme du spectre de gain est expliquée. La validité de la majeure partie des résultats
de simulation présentés dans ce mémoire est analysée en prenant comme point de repère
les résultats expérimentaux correspondants.
Chapitre 2
Modélisation des sources optiques
incohérentes
Les systèmes de communication métropolitains par fibres optiques destinés à l’accès
du grand public pourraient bénéficier de l’utilisation de sources optiques peu coûteuses.
Parmi les possibilités se trouvent les sources incohérentes à large bande obtenues à partir du spectre d’ASE d’un amplificateur optique. De telles sources sont peu coûteuses et
peuvent être partagées entre plusieurs usagers. Le désavantage de ces sources optiques
est leur de bruit d’intensité élevé, qui augmente proportionnellement à l’intensité optique.
Les sources optiques incohérentes, considérées comme des sources thermiques [11],
sont obtenues en sélectionnant (filtrant) une partie du spectre d’ASE d’un amplificateur
optique. On traite ici de cohérence temporelle, puisque la source est confinée à une fibre
optique. Comme il est présenté dans ce chapitre, tous les composants spectraux de la
source sont considérés indépendants. Donc, une source plus large spectralement a un
temps de cohérence plus faible. Pour estimer les performance d’un système de communication utilisant une source thermique et un SOA, il faut détenir un modèle décrivant
adéquatement le signal d’intensité I(t) de la source. Cette modélisation doit posséder
deux caractéristiques importantes : le bon spectre et la bonne stastique d’intensité.
Chapitre 2. Modélisation des sources optiques incohérentes
2.1
9
Intensité intégrée et SNR selon le modèle de
Goodman
Lors de la photodétection d’un signal optique, la rapidité des variations mesurables
est déterminée par la bande passante du détecteur. Cette limite dans la réponse en
fréquences du détecteur est équivalente à un filtrage dans le domaine temporel en sinus
cardinal dont la largeur est inversement proportionnelle à la bande passante. L’intensité
intégrée W (t) a l’avantage d’être une quantité mesurable, contrairement à l’intensité
instantanée I(t). Par définition, on écrit
W (t) ,
Z
t+T /2
I(ζ) dζ .
(2.1)
t−T /2
Expérimentalement, il est possible d’obtenir un histogramme de la distribution de
W (t), équivalent à une mesure de sa PDF, ce qui permet une validation de la théorie de
Goodman [11] présentée dans cette section. Comme on suppose que la lumière provient
d’une source thermique, qu’elle est ergodique et stationnaire, un instant arbitraire (dans
ce cas t = 0) est choisi pour évaluer l’intensité intégrée.
W =
Z
T /2
I(ζ) dζ
(2.2)
−T /2
La PDF de W (t) est importante, puisqu’elle donne beaucoup d’information sur le
niveau de bruit du signal, qui influence les performances du système de communication.
En continuant le développement comme en [11], on procède au calcul du rapport signal
à bruit optique (SN Rrms ), qui est défini comme la moyenne du signal divisée par son
écart-type.
SNRrms ,
E [W ]
σW
(2.3)
La moyenne de l’intensité intégrée est obtenue en prenant l’espérance de l’expression
2.2. La moyenne étant la même à tous les instants du temps, on s’accorde le droit de la
calculer à t = 0. De plus, en supposant l’ergodicité du processus on écrit
Chapitre 2. Modélisation des sources optiques incohérentes
W , E [W ] =
Z
10
T /2
Idζ = IT .
(2.4)
−T /2
À l’équation 2.4, on fait l’hypothèse de l’ergodicité du processus stochastique W (t).
L’hypothèse est justifiée dans la mesure où le processus est stationnaire et qu’il est
possible de démontrer en simulation l’ergodicité de la source (voir section 5.1.1). Dans
tous les calculs qui suivent, les moyennes temporelles et d’ensemble sont supposées
équivalentes. On note la moyenne temporelle en surlignant la variable et la moyenne
d’ensemble par l’opérateur espérance noté E. Supposer l’ergodicité est essentiel pour
vérifier la correspondance entre la théorie et les mesures expérimentales. Ces dernières
sont faites en échantillonant l’intensité dans le temps un très grand nombre de fois,
mais pour une seule réalisation du processus. Même en supposant l’étude d’un processus stationnaire, effectuer la même expérience un grand nombre de fois (pour obtenir
plusieurs réalisations) n’est pas possible avec l’équipement expérimental disponible.
L’étape suivante dans le calcul du SNR en moyenne quadratique consiste à obtenir
la variance de l’intensité intégrée. En appliquant la relation
2
σX
, var [X] = E X 2 − (E [X])2
(2.5)
au processus stationnaire W (t) dont la moyenne est constante, on obtient

2
σW
= E
Z
T /2
−T /2
I(ζ − t) dζ
!2 
 − W2
En l’évaluant à t = 0, la variance prend alors la forme
(2.6)
(2.7)
11
Chapitre 2. Modélisation des sources optiques incohérentes

Z
2
σW
= E
=
=
Z
T /2
−T /2
T /2
−T /2
Z T /2
−T /2
Z
T /2
!2 
2
I(ζ) dζ  − W
−T /2
Z T /2
−T /2
I(ζ)I(η) dζdη − W
(2.8)
2
ΓI (ζ − η) dζdη − W
(2.9)
2
(2.10)
où ΓI est la fonction d’autocorrélation de l’intensité optique instantanée I(t). L’intégrand
de l’équation 2.10 est une fonction paire du temps et les deux intégrales sont bornées
sur une période d’observation T . Il est alors possible de récrire l’équation 2.10 comme
[11] :
2
σW
=
Z
∞
−∞
Z
∞
Rect
−∞
t+τ
T
t
2
Rect
ΓI (t, t + τ ) dt dτ − W
T
(2.11)
où la fonction Rect(t/T ) est une fenêtre rectangulaire de durée T centrée à l’origine et
de hauteur unitaire. Comme une fonction triangulaire résulte du produit de convolution
de deux fonction rectangulaires, l’équation 2.10 prend alors la forme
2
σW
=T
Z
∞
Λ
−∞
τ T
ΓI (τ ) dτ − W
2
(2.12)
où la fonction triangulaire Λ(τ /T ) est définie comme
Λ
τ T
=
(
1 − |τ |
0
−T ≤ τ ≤ T
ailleurs
(2.13)
Tel que mentionné par Goodman, la fonction d’autocorrélation de l’intensité est
équivalente à une fonction de cohérence du quatrième ordre des champs électriques
E(t) [11] car par définition I(t) ≡ E(t)E ⋆ (t). La fonction d’autocorrélation de l’intensité
optique s’exprime de manière générale comme
12
Chapitre 2. Modélisation des sources optiques incohérentes
ΓI (τ ) = E [E(t1 )E ⋆ (t2 )E(t3 )E ⋆ (t4 )]
(2.14)
où E ⋆ (t) représente le complexe conjugué du champ électrique E(t). En supposant la
stationarité du processus aléatoire, la fonction d’autocorrélation de l’intensité s’exprime
de manière générale comme
ΓI (τ ) = E [E(t)E ⋆ (t)E(t + τ )E ⋆ (t + τ )] .
(2.15)
Pour une source thermique, les champs électriques sont modélisés par des variables
aléatoires gaussiennes circulaires [11, 12]. Une discussion de la nature de ces variables
est présentée à l’annexe A.1. Le théorème suivant, propres aux variables gaussiennes
[11, 13]
E [E(t1 )E(t2 )E ⋆ (t3 )E ⋆ (t4 )] = ΓE (t1 , t3 )ΓE (t2 , t4 ) + ΓE (t2 , t3 )ΓE (t1 , t4 )
(2.16)
peut être utilisé pour obtenir, dans le cas d’un processus stationnaire,
2
ΓI (τ ) = I 1 + |γ(τ )|2
2
W
=
1 + |γ(τ )|2 .
T
(2.17)
(2.18)
La variable γ(τ ) = ΓE (τ )/ΓE (0) représente le degré de cohérence de l’intensité. Pour
une source parfaitement polarisée, la variance est exprimée par
2
σW
2
= (W )
1
T
Z
∞
−∞
Λ
τ T
2
|γI (τ )| dτ
.
(2.19)
Pour augmenter la généralité de la démarche, il est possible de refaire le développement
dans le cas d’une source partiellement polarisée. Pour y arriver, on décompose l’intensité
sur deux polarisations orthogonales
13
Chapitre 2. Modélisation des sources optiques incohérentes
I(t) = I1 (t) + I2 (t) .
(2.20)
On obtient alors une expression similaire de la variance, qui inclut le degrée de
polarisation noté ρ :
2
σW
Z ∞ τ
1 + ρ2
2
2 1
(W )
Λ
|γI (τ )| dτ .
=
2
T −∞
T
(2.21)
Dans le cas d’une source parfaitement polarisée, ρ = 1 et l’équation 2.21 revient à
l’équation 2.19. Lorsque ρ = 0, on revient à la moitié de l’équation 2.19 car chaque polarisation contient la moitié de la puissance selon l’équation 2.20. La définition du SNR
en moyenne quadratique est présentée de manière explicite aux équations suivantes.
SNR =
W
σW
=r
(2.22)
1+ρ2
(W )2
2
W
h R
∞
1
T
12
2
M
=
1 + ρ2
−∞
Λ
τ
T
|γI (τ )| dτ
i
(2.23)
(2.24)
En obtenant l’expression du SNR, on définit le facteur M, qui a une signification
physique très importante. Sa définition est donnée par
1
M,
T
Z
∞
−∞
Λ
τ T
|γI (τ )| dτ
−1
.
(2.25)
dans le cas d’un filtre électrique intégrateur (integrate and dump). Avec cette définition
il devient possible de relier la distribution d’intensité d’une source, le SNR et M, tant
au niveau expérimental qu’au niveau théorique. On peut alors formuler un estimer de
M pour une source incohérente particulière.
Le facteur M a une interprétation physique importante, qui nous permet à la section
2.3 d’obtenir une approximation de la PDF de l’intensité intégrée W (t). À la prochaine
Chapitre 2. Modélisation des sources optiques incohérentes
14
section, on voit que l’intensité est distribuée selon une loi gamma (sous certaines conditions). Selon [11], le facteur M représente le ratio du temps d’observation T sur le
temps de cohérence de la source. Autrement dit, il s’agit du nombre d’intervalles de
cohérence de la lumière compris dans un intervalle d’observation, qui correspond au
filtrage électrique. Cette interprétation devient claire lorsqu’on observe les deux cas
extrêmes T ≫ τc et T ≪ τc . L’équation 2.25 prend alors les valeurs [11] suivantes
M=
(
T /τc
1
T ≫ τc
T ≪ τc
(2.26)
Le cas où M = 1 signifie que l’intervalle d’observation contient au moins un intervalle
de cohérence de la lumière. Cependant, dans le cadre d’un système SSWDM, les sources
large-bande incohérentes ont un temps de cohérence très court et l’approximation T ≫
τc est valide. Elle provient du fait que l’on traite le temps de cohérence τc comme l’inverse
de la largeur spectrale du filtre optique et le temps d’observation T comme l’inverse de
la largeur du filtre électrique (lui-même déterminée par le taux de transmission). Alors,
le facteur M peut être estimé en utilisant la relation suivante
M≈
Bo
Be
(2.27)
pour les sources optiques non-polarisées avec Bo ≫ Be . À la section 2.2, une équation
alternative est développée pour le SNR d’une source large-bande incohérente qui est
filtrée optiquement, détectée et filtrée électriquement. On se rappelle que l’équation 2.24
développée par Goodman [11] est valide pour un filtre intégrateur, c’est-à-dire un filtrage
en sinus cardinal. À la prochaine section, on développe une expression mathématique
pour le SNR d’une source incohérente qui tient compte d’un filtrage non-idéal. On
développe une expression pour le facteur M basée sur l’équation 2.24 qui dépend seulement du spectre optique de la source large-bande filtrée et de la fonction de transfert
du filtre électrique.
À la section 2.3, on utilise l’interprétation physique de M pour estimer la distribution de W (t) comme une loi Gamma dont les paramètres sont le facteur M et la
moyenne W du processus W (t).
15
Chapitre 2. Modélisation des sources optiques incohérentes
2.2
SNR d’une source optique filtrée arbitrairement
Le SNR est crucial dans l’analyse des sources thermiques et il est indispensable
de pouvoir l’extraire des données expérimentales. L’approche de Duan [15] reprise par
Mathlouthi [16] permet d’obtenir des formulations de la PSD électrique du photocourant
et du facteur M générales et pratiques.
Par construction, on suppose qu’une source large-bande est utilisée pour générer
de l’ASE, par exemple un amplificateur optique sans signal d’entrée. Cette source est
ensuite filtrée optiquement et la sortie du filtre est incidente sur un photodétecteur
sensible à l’intensité de la lumière. On suppose E(t) le champ électrique complexe de la
source filtrée optiquement et E(ω) sa transformée de Fourier.
La puissance optique est
p
reliée au champ électrique E(ω) par la relation E(ω) = S(ω) exp(jφ(ω)) où ω = 2πf .
Le schéma de la figure 2.1 illustre le système tel que décrit par Duan, avec f comme
variable de fréquence.
On fait tout d’abord l’hypothèse que le photocourant i varie linéairement avec la
puissance optique. La constante de proportionnalité R représente la responsivité du
photodétecteur, qui ne fournit aucun courant sans signal lumineux. On fait ici une simplification importante, car en réalité le photocourant dépend de l’efficacité du détecteur
et de son aire efficace. On suppose ici que ces deux quantités sont constantes sur la
plage spectrale d’intérêt et on les inclut dans la responsivité R. Donc, en se basant sur
l’équation 2.17, on obtient l’autocorrélation du photocourant donnée par [15]
2
Γi (τ ) = I R2
"
|ΓE (τ )|2
1 + 2
i
#
(2.28)
où ΓE (τ ) est l’autocorrélation du champ définie comme ΓE (τ ) = E[E(t)E ⋆ (t + τ )].
Duan obtient aussi une expression décrivant la fonction d’autocorrélation de l’intensité
identique à l’expression 2.17. On peut réécrire l’équation 2.28 sous la forme
Source d’ASE
large-bande
Filtre
optique
S ASE ( f )
Filtre
électrique
S ASE ( f ) Bo ( f )
i( f )
Fig. 2.1 – Schéma du modèle développé par Duan
i' ( f )
16
Chapitre 2. Modélisation des sources optiques incohérentes
2
2
Γi (τ ) = I R +
R
2π
2 Z
∞
−∞
Z
∞
SASE (ω)Bo (ω)·
−∞
· SASE (ω ′ )Bo (ω ′ ) exp [j(ω − ω ′ )τ ] dω dω ′ (2.29)
En procédant au changement de variable Ω , ω −ω ′ et en distribuant les constantes,
on obtient
R2
Γi (τ ) = I R +
2π
2
2
Z
∞
−∞
1
2π
Z
∞
−∞
SASE (ω)Bo (ω) ·
· SASE (ω + Ω)Bo (ω + Ω) dω] exp [jΩτ ] dΩ . (2.30)
Pour obtenir la PSD du photocourant à partir de Γi (τ ), il faut donc prendre la
transformée de Fourier de l’équation 2.30. On annulle ainsi la transformée de Fourier
inverse (en Ω) du second terme et la PSD du photocourant Si (Ω) prend alors la forme
R2
Si (Ω) = 2πI δ (Ω) +
2π
2
Z
∞
SASE (ω)Bo (ω) SASE (ω + Ω)Bo (ω + Ω) dω
(2.31)
−∞
où δ(Ω) est la fonction delta de Dirac. Le premier terme de droite est la partie continue
(DC) de la PSD du photocourant, associé au niveau de puissance moyen de l’ASE qui
est dans ce cas notre signal. Le deuxième terme de droite de l’équation 2.31 représente
la puissance du bruit (le contenu AC). Après le filtrage électrique, le contenu AC du
bruit est le produit de la fonction de transfert du filtre Be (Ω) avec le second terme
de l’équation 2.31. La variance du bruit est l’aire sous la PSD du photocourant après
filtrage i′ .
σi2′
R2
=
2π
Z
−∞
∞
Z
∞
−∞
SASE (ω)Bo (ω)SASE (ω + Ω)Bo (ω + Ω)dω Be (Ω) dΩ .
(2.32)
Dans la plupart des cas, la largeur de la source d’ASE SASE (ω) est beaucoup plus
importante que la largeur du filtre optique, déterminée par Bo (ω). On fait donc l’approximation que SASE (ω) est constante sur la largeur du filtre optique Bo (ω), et on
l’évalue à ω = ωc pour la sortir de l’intégrale, ce qui donne
17
Chapitre 2. Modélisation des sources optiques incohérentes
σi2′
=
2
SASE
(ωc )
R2
2π
Z
−∞
∞
Z
∞
Bo (ω)Bo (ω + Ω)dω Be (Ω) dΩ .
−∞
(2.33)
On obtient le SNR du photocourant pour en extraire le facteur M en utilisant une
démarche similaire à celle présentée à la section 2.1. En pratique, le numérateur est le
même que qu’en 2.33, mais sans la dépendance en Ω sur Bo (ω). Comme l’intégrale de la
fonction de trasfert du filtre électrique a une valeur unitaire par définition, on obtient
la définition générale du facteur M présentée à l’équation suivante.
M , R ∞ hR ∞
−∞
hR
∞
−∞
Bo (ω)dω
i2
i
(2.34)
B (ω)Bo (ω + Ω)dω Be (Ω) dΩ
−∞ o
Cette expression de M est la forme générale de l’équation 2.25, car elle est valide
pour des filtres électrique et optique de formes arbitraires. De plus, il est possible
d’obtenir au laboratoire une mesure de la forme du spectre optique Bo (ω) et d’obtenir
une caractérisation de la fonction de transfert en puissance du filtre électrique Be (ω).
Cependant, dans la plupart des cas, on modélise le filtre électrique comme un filtre
Bessel-Thompson de quatrième ordre [9]. Il s’agit d’un modèle de filtre dont la réponse
en fréquence se rapproche de celles des filtres utilisés au laboratoire.
2.3
Distribution de l’intensité intégrée
Cette section présente une méthode pour obtenir la densité de probabilité de l’intensité optique intégrée W (t) des sources incohérentes. Elle est basée sur l’approximation de
l’intensité instantanée I(t) par une série de valeurs discrètes, tel qu’illustré à la figure 2.2.
Cette approche du boxcar averaging divise la période d’observation T en M différentes
sections, de la même manière que le ferait un bloqueur d’ordre zéro (sample and hold ).
Il s’agit du même facteur M développé précédemment. On l’interprète ici comme le
nombre de périodes de cohérence de la source optique dans l’intervalle d’intégration du
photodétecteur.
Comme le champ électrique est supposé gaussien, son module est alors distribué
selon une loi de Rayleigh [13]. L’intensité optique est proportionnelle au module carré
du champ, et donc elle suit une distribution de probabilité de la forme exponentielle
18
Chapitre 2. Modélisation des sources optiques incohérentes
Approximation
de W(t)
I(t)
-T/2
T/2
temps
Fig. 2.2 – Approximation de l’intensité intégrée
négative. Pour faciliter les calculs, l’intensité I(t) est alors décrite par une fonction
continue par parties dont les M sections ont chacune une durée ∆t.
W =
Z
T /2
I(ζ)dζ
(2.35)
−T /2
∼
=
M
X
i=1
M
T X
Ii ∆t =
Ii
M i=1
(2.36)
Le signal est considéré sur l’intervalle [−T /2, T /2], ce qui revient à l’approximation
de la réponse impulsionnelle rectangulaire proposée par Goodman [11]. Comme le filtre
optique est large, le temps de cohérence du champ électrique τc est court et on peut
supposer que l’intégration électrique sur T inclut plusieurs fois le temps de cohérence.
Alors, on suppose qu’il y a M = T /τc segments d’intensités indépendantes Ii sur
[−T /2, T /2].
En connaissant la densité de probabilité de chaque variable aléatoire Ii , on peut
retrouver la distribution de W (t). On fait l’hypothèse que les variables Ii (t) sont
indépendantes et identiquement distribuées suivant une oi exponentielle négative. À
partir de la fonction génératice des moments (MGF), nous pouvons chercher la densité de probabilité de la somme des variables Ii (t). Il est possible de démontrer que la
variable I(t) possède une MGF de la forme [11] :
MGFI (ω) =
1
.
1 − jωI
(2.37)
La MGF d’une somme de variables aléatoires indépendantes est le produit des MGFs,
19
Chapitre 2. Modélisation des sources optiques incohérentes
donc
MGFW (ω) ∼
=
∼
=
"
"
1
1 − jω IT
M
1
W
1 − jω M
#M
(2.38)
#M
(2.39)
En prenant la transformée de Fourier inverse pour retourner au domaine des probabilités, on obtient la distribution de W (t)
M
pw (W ) ∼
=
W
M
W M−1 exp −MW/W
Γ(M)
(2.40)
où Γ(M) est ici la fonction Gamma. Ce résultat est significatif, en ce sens qu’il donne
une description de la PDF de l’intensité d’un signal incohérent de moyenne constante
(CW). La figure 2.3 présente la forme que prend cette expression en fonction des deux
paramètres, la moyenne W et le facteur M. La correspondance entre la théorie et les
données expérimentales est présentée aux figures 5.4 et 5.5. Ces figures indiquent aussi
que pour une moyenne fixe, la PDF se ressère autour de la valeur moyenne lorsque le
facteur M augmente.
0.7
Moy. = 0.7
Moy. = 1
Moy. = 2
Moy. = 3
1
Fréquence Relative
0.8
Fréquence Relative
M=1
M=2
M=5
M = 10
0.6
0.6
0.4
0.5
0.4
0.3
0.2
0.2
0.1
M=2
0
0
1
2
3
4
5
Intensité (U.A.)
(a) Moyenne fixe.
6
7
Moyenne = 2
8
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Intensité (U.A.)
(b) Facteur M fixe.
Fig. 2.3 – Distribution de l’intensité en fonction des deux paramètres
8
Chapitre 2. Modélisation des sources optiques incohérentes
2.4
20
Modélisation dans le domaine fréquentiel
Il existe deux méthodes numériques pour générer une réalisation de l’intensité I(t)
du signal optique émise par une source thermique. La méthode la plus simple pour
générer un signal dont la bande spectrale est parfaitement limitée consiste à construire
le champ électrique dans le domaine des fréquences. Il est alors possible de lui assigner un
spectre strictement limité. On prend ensuite la transformée de Fourier pour retrouver le
champ dans le domaine temporel, puis le module carré du champ pour obtenir le signal
d’intensité I(t).
Goodman suggère une modélisation du champ comme la somme de phaseurs ayant
des amplitudes et des phases aléatoires [11] :
Nb
1 X
αk ejφk .
Ep (ω) = √
Nb k=1
(2.41)
En procédant ainsi, Goodman fait l’hypothèse que tous les composants spectraux
sont à la même fréquence ce qui permet de faire la somme des phaseurs. Pour obtenir
une meilleure signification physique, on introduit un certain étalement spectral, comme
le montre l’équation 2.42. De plus, Goodman pose trois conditions sur les variables
aléatoires αk et φk :
– Les amplitudes et les phases doivent être indépendantes entre elles.
– Les variables αk doivent être identiquement distribuées pour toutes les valeurs des
indices. α est la moyenne et α2 est le moment d’ordre deux des variables αk .
– Les phases φk doivent être uniformément distribuées sur l’intervalle (−π, π).
La modélisation utilisée est en réalité le cas le plus simple qui respecte ces trois propriétés. En prenant les amplitudes constantes, on respecte les conditions sur la moyenne
et le moment d’ordre deux. Selon Goodman, l’utilisation des amplitudes constantes est
justifiée dans la mesure où le nombre de composants spectraux est relativement élevé
[11]. Dans notre modèle fréquentiel, le champ électrique se définit comme
Nb
X
A
√ δ(ω − k∆ω) ejφk
E(ω) =
Nb
k=1
(2.42)
Chapitre 2. Modélisation des sources optiques incohérentes
21
où Nb représente le nombre de fonctions qui forment la base. Les phases φk sont des variables aléatoires indépendantes distribuées uniformément entre −π et π. Cette équation
représente un peigne de fonctions delta de Dirac (assimilées à des lasers) régulièrement
espacées formant une bande optique rectangulaire, puisque l’amplitude est la même
pour toutes les fréquences. On peut aussi adapter la simulation à une autre forme de
filtrage optique, comme par exemple gaussien tronqué ou lorentzien tronqué.
Il ne reste qu’à prendre la transformée de Fourier inverse pour obtenir le signal
temporel E(t) = TF−1 {E(ω)}.
E(t) =
Z
Nb
∞ X
−∞ k=1
A
√ ejφk δ(ω − k∆ω)ejωt dω
Nb
(2.43)
En utilisant les propriétés de la fonction delta et en supposant que l’ordre des opérations
peut être inversé, on obtient
Nb
A X
ejφk ej k∆ω t .
Ep (ω) = √
Nb k=1
(2.44)
En faisant quelques hypothèses [11], on peut supposer que tous les phaseurs sont à la
même fréquence. On obtient donc la correspondance avec le résultat de Goodman, mais
dans un cas particulier très simple
Nb
A X
ejφk .
Ep (ω) = √
Nb k=1
(2.45)
Il s’agit bien d’un cas particulier où les amplitudes ne sont pas aléatoires. Il a été
vérifié à l’aide de simulations numériques que la fonction I(t) = |E(t)|2 ainsi obtenue
respecte la forme de la distribution de l’intensité et la PSD. Une investigation de la
modélisation de ces sources et de l’effet de la distribution de probabilité des variables
aléatoires αk et φk est présentée par Vannucci et Teich [17].
Chapitre 2. Modélisation des sources optiques incohérentes
2.5
22
Résumé du chapitre
Au chapitre 2, une description de l’intensité intégrée d’une source de lumière thermique a été développée en se basant sur la notion d’intensité instantannée. L’intensité
intégrée a l’avantage d’être mesurable au laboratoire, ce qui n’est pas le cas de l’intensité
instantannée. Pour obtenir l’expression de l’intensité intégrée, différentes suppositions
sont faites au sujet de la source. Elle doit être thermique, stationnaire et ergodique.
À partir de cette définition, on peut développer une expression pour le facteur M, le
SNR de la source optique après photodétection. Deux méthodes sont présentées : celle
de Goodman, qui est valide pour un filtre intégrateur, et celle de Duan, qui requière
seulement que les formes de filtres soient intégrables.
Par la suite, une modélisation simple de la source thermique est faite pour obtenir
une distribution de l’intensité intégrée de la source. En supposant que les temps de
cohérence de la source optique sont indépendants et que leurs intensités respectives
sont identiquement distribués selon une loi exponentielle négative, il est possible de
déterminer la distribution de l’intensité d’une source incohérente. Mathématiquement,
on obtient que l’intensité est distribuée selon une loi Gamma dont les paramètres sont
la moyenne et le facteur M.
Dans la dernière section du chapitre, une modélisation numérique de la source incohérente est présentée. La source est modélisée dans le domaine fréquentiel comme
un peigne de fonctions delta de Dirac à des fréquences régulièrement espacées. Toutes
ces fréquences pures ont la même amplitude, mais des phases aléatoires réparties uniformément entre 0 et 2π.
Chapitre 3
Modélisation des amplificateurs
optiques à semi-conducteur
Ce chapitre introduit les principaux concepts utilisés lors de la modélisations des
SOA. Le mécanisme de XGM, à la base de ce travail, est présenté. Puis, on retrouve
une introduction à la physique des solides nécessaire à la compréhension du calcul du
gain matériel de l’amplificateur. Par la suite, cinq modèles de simulations numériques
pour les SOA sont présentés.
Pour simplifier les calculs, la région active du SOA est décrite géométriquement par
un prisme à base rectangulaire. L’aire de section transverse A est donnée par le produit
des dimensions perpendiculaires à l’axe de propagation de la lumière d et w. Selon l’axe
de propagation z, l’amplificateur est de longueur L, tel qu’illustré sur le schéma 3.1.
w
z
L
d
0
Fig. 3.1 – Représentation simplifiée de la région active d’un SOA
Pour raffiner le modèle, il est possible de diviser également la longueur L en Nz
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
24
sections comme illustré à la figure 3.1. La densité de porteurs n(z, t), constante par
parties, peut alors être déterminée pour chaque section. Elle dépend principalement
du pompage de l’amplificateur et des signaux d’entrée du SOA. La densité n(z) est
représentée schématiquement par les zones ombragées sur la figure 3.1. En effet, pour
obtenir un gain sur l’intensité du signal, on force un courant électrique (la pompe) à
passer à travers le SOA. On suppose que la densité de porteurs est uniforme sur la
section transverse, et on utilise une valeur moyenne décrite par
1
n(z, t) =
wd
Z
−d/2
d/2
Z
−w/2
n(x, y, z, t) dx dy .
(3.1)
w/2
Dans les modèles présentés, la densité de porteurs n(z, t) joue un rôle essentiel. Elle
dépend de la puissance des signaux optiques aux instants tn et tn−1 . Le gain des signaux
optiques dépend à son tour de n(z, t), ce qui influence la puissance des signaux optiques.
Le système doit être résolu de manière itérative. Si les signaux entrent par la même
extrémité du SOA, ils sont dits co-propageants. Sinon, ils sont contre-propageants. Pour
harmoniser la notation, l’indice k est utilisé pour identifier les Ns signaux, tandis que
l’indice j réfère aux NASE longueurs d’onde de l’émission spontanée amplifiée (ASE).
3.1
Schéma de réduction du bruit d’intensité utilisant la XGM
Une des caractéristiques les plus prometteuses des SOA en plus de l’amplification
est leur capacité à changer les propriétés du signal optique [6, 18, 19, 20]. On peut s’en
servir pour diminuer le bruit d’intensité des sources incohérentes, et ainsi améliorer
les performances d’un système de communication SSWDM. L’efficacité de plusieurs
techniques a été étudiées, certaines utilisant un SOA au transmetteur [5, 6] et d’autres
au récepteur [4, 7, 21].
Une des méthodes pour exploiter les propriétés des SOA au récepteur est l’utilisation
de la conversion de longueur d’onde en contre-propagation. Elle est étudiée car elle permet d’obtenir une diminution très importante (de plusieurs ordres de grandeur) du BER
par rapport à un système de communication SSWDM simple. Dans cette configuration,
le SOA est utilisé pour changer la longueur d’onde d’un signal de communication optique. Le tranfert des données d’un signal laser à λ1 vers un autre à λ2 a été démontré
expérimentalement [18, 21]. De plus, Menif et al. ont démontré que la conversion de
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
25
longueur d’onde d’une source incohérente vers un laser améliore les performances [4].
C’est le point de départ de l’étude de l’utilisation des SOA pour le traitement du signal optique. Les mesures présentées à la section 4.1.3 montrent les améliorations des
performances obtenues avec ce mécanisme.
Pour effectuer la conversion, il suffit en pratique de faire passer deux signaux de
longueurs d’onde différentes en même temps dans le SOA. Le canal 1, à la longueur
d’onde λ1 contient l’information originale. Ce canal modulé en amplitude (OOK) entre
par un port du SOA et est assez fort pour saturer l’amplificateur. Il est illustré en rouge
sur la figure 3.2. Pour un système SSWDM, il s’agit de la source incohérentes contenant
l’information. Le signal centré sur λ1 peut être soit un laser, soit une source large-bande
que l’on note par sa longueur d’onde centrale pour alléger la notation. La définition du
rapport d’extinction d’un signal modulé par OOK est [3]
RE =
P (1 logique)
.
P (0 logique)
(3.2)
Ce canal saturant d’une puissance optique élevée affecte la dynamique interne de
l’amplificateur. En particulier, le canal 1 affecte la densité de porteurs n(z, t), qui est
commune à tous les canaux. De plus, la section 3.3.1 montre que le gain à n’importe
quelle longueur d’onde G(λ) dépend fortement de n(z, t). Donc, le gain à toutes les longueurs d’onde est affecté par la puissance optique du signal saturant et par sa longueur
d’onde.
Pour pouvoir transférer l’information vers une autre longueur d’onde, on introduit
un deuxième signal à une longueur d’onde λ2 . Ce canal sonde, représenté en bleu sur
la figure 3.2, est initialement continu (CW). Comme il passe dans un amplificateur, sa
puissance de sortie est influencée par le gain, un facteur G(λ2 ). Donc, la puissance de
out
sortie du signal sonde PdB
(λ2 ) est influencée par la puissance du canal saturant grâce
au gain du SOA selon la relation
out
in
in
PdB
(λ2 ) = PdB
(λ2 ) + G0,1
dB (λ2 , P (λ1 )) .
(3.3)
Une augmentation de la puissance optique du signal à λ1 diminue le gain du signal
sonde à λ2 , et vice versa. Comme le canal à λ1 a deux puissances possibles (deux états
logiques), le gain G(λ2 ) prend lui aussi deux valeurs différentes. Elles sont décrites par
26
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
0 1 1 0 1 0
0 1 1 0 1 0
Signal Saturant
(modulé OOK)
Signal Saturant
Amplifié
SOA
Signal Sonde
(modulé par XGM)
Signal Sonde
(CW)
RE
1 0 0 1 0 1
Gain
Gain
1 Logique
RE
Longueur d’onde
0 Logique
Longueur d’onde
Fig. 3.2 – Modèle schématique de la XGM dans un SOA
GdB (λ2 ) =
(
1
GdB
(λ2 )
si P (λ1 ) = P (1 logique)
0
GdB
(λ2 )
si P (λ1 ) = P (0 logique)
(3.4)
où G0 (λ2 ) ≥ G1 (λ2 ). La variation de puissance sur le canal saturant est causée par le
format de modulation employé (OOK).
En observant seulement le canal sonde à λ2 , on peut récupérer les données binaires
initialement présentes sur canal saturant à λ1 . On remarque que le rapport d’extinction
sur le canal 2 dépend de la variation du gain G(λ2 ) entre ses deux états G0 (λ2 ) et
G1 (λ2 ). Les données binaires sont inversées par le processus de conversion de longueur
d’onde.
3.2
Fondements physiques des semi-conducteurs
Ayant décrit l’utilisation spécifique du SOA qui nous intéresse, on procède à l’analyse
nécessaire pour modéliser son comportement. Pour comprendre la modélisation des
SOA, il est nécessaire de présenter les fondements de la physique des solides. Ce survol
rapide permet d’introduire les principales interactions optiques des SOA : l’absorption,
l’émission stimulée et l’émission spontanée.
Les électrons liés à un atome (dans un potentiel constant) occupent uniquement
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
27
certains niveaux d’énergie discrets. L’interaction entre les atomes d’un cristal affecte les
niveaux énergétiques possibles des électrons. La résolution de l’équation de Schrödinger
pour un potentiel périodique montre que les niveaux énergétiques se regroupent pour
former des bandes quasi-continues [22, 23, 24, 25] qui sont schématisées à la figure 3.3.
E
CB
Eb
Efc
Evc
Ea
Trous
lourds
Trous
légers
VB
k
Fig. 3.3 – Modèle des bandes dans un semi-conducteur
Entre ces bandes se trouve un gap énergétique, c’est-à-dire une collection de niveaux
énergétiques qui ne sont pas des solutions acceptables de l’équation de Schrödinger et
qui sont par conséquent interdits. Dans le cas d’un cristal semi-conducteur, les bandes
sont nommées bande de conduction (CB) et bande de valence (VB), cette dernière
contenant les niveaux de moindre énergie. Un électron qui veut passser d’une bande
à l’autre doit nécessairement absorber ou émettre au moins un quanta d’énergie. La
relation entre l’énergie et la fréquence de l’onde optique associée à un photon est donnée
par la relation
E = hν
(3.5)
attribuée à De Broglie. Par définition, les bandes d’un semi-conducteur non-dégénéré
ne se recouvrent pas. Donc, à la température de la pièce les électrons remplissent la
bande de valence presque complètement et peuplent faiblement la bande de conduction
[23]. Pour estimer le nombre d’électrons dans la bande de conduction, on utilise la
distribution développée par Fermi et Dirac. La probabilité de retrouver un électron à
un niveau d’énergie ǫ quelconque est obtenue en évaluant [22, 23, 24]
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
f (ǫ) =
1
e(ǫ−Ef )/kB Tc
28
(3.6)
+1
où kB est la constante de Boltzman et Tc la température du cristal. Dans le cas d’un
semi-conducteur non-dégénéré, le niveau de Fermi Ef se situe à l’intérieur du gap
énergétique, i.e. entre Ea et Eb tel que présenté à la figure 3.3. Le niveau de Fermi
de chaque bande est noté Ef v et Ef c , pour les bandes de valences et de conduction respectivement. On calcule la probabilité de présence d’un trou, c’est-à-dire de l’abscence
d’électron à un niveau d’énergie ǫ de la VB, à l’aide de la relation [23, 24].
1 − fv (ǫ) =
1
e(Ef v −ǫ)/kB Tc
+1
(3.7)
Un électron qui quitte la bande de valence (presque pleine) laisse donc derrière lui
un trou, qui agit comme un porteur de charge à part entière. Seule sa masse effective
n’est pas nécessairement la même que celle de l’électron. Les trous sont divisés en deux
catégories, selon la force de leur interaction avec le réseau. On les nomme trous légers
et trous lourds. Leurs masses ont les mêmes dimensions que la masse de l’électron (kg),
mais elles considèrent l’interaction entre le porteur de charge et le réseau cristallin. La
masse effective des trous, notée mlh ou mhh , peut différer de la masse de l’électron à l’état
libre par un facteur 10. Les masses des porteurs de charges utilisées dans ce mémoire [26]
sont données à la table 3.1. Elles ont été obtenues pour un alliage InGaAsP de manière
expérimentale [26]. Comme nous ne sommes pas capable de mesurer ces valeurs pour
l’alliage utilisé dans notre amplificateur, nous ferons la supposition que la composition
exacte de l’alliage utilisé n’influence pas fortement la valeur des masses effectives.
Tab. 3.1 – Masses effectives des porteurs de charge
Porteur
Électron libre
Électron
Trou léger
Trou lourd
Symbole Masse (10−31 kg)
me
mlh
mhh
9.11
0.41
0.51
4.19
En utilisant une approximation parabolique pour la relation entre l’énergie et le
vecteur d’onde [22], on obtient une expression simple de la valeur du gap énergétique.
Ce dernier est défini comme la différence entre les niveaux Ea et Eb , c’est-à-dire la
différence entre le niveau de la bande de conduction (Eb ) qui est le plus rapproché
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
29
d’un niveau de la bande de valence (Ea ). Dans le cas d’un semi-conducteur à transition
directe, le gap se situe à l’origine du graphique 3.3 car aucun phonon n’est nécessaire
à la transition. Il s’agit d’un des avantages des alliages InGaAsP. Les niveaux Ea et Eb
sont approximés par
mhh
mhh + me
me
Eb = (Eg (n) − ǫ)
mhh + me
Ea = (ǫ − Eg (n))
(3.8)
(3.9)
où l’énergie de gap Eg (n) est une fonction de la densité de porteurs n. Un photon
d’énergie suffisante peut être absorbé par un électron de la VB. L’électron est alors
propulsé dans la CB. Un électron peut aussi émettre un photon en passant de la CB
à la VB, une interaction utilisée pour amplifier les signaux optiques. Il suffit d’avoir
une probabilité supérieure de stimuler la transition vers la VB pour obtenir un gain
sur l’intensité de signal et donc un amplificateur optique. En résumé, ce modèle à deux
bandes suppose l’existence de trois formes d’interaction électron-photon, capables de
créer ou d’annihiler une paire électron-trou.
1. Absorption. Les photons du signal sont absorbés par les électrons de la VB
stimulant ainsi une transition vers la CB.
2. Émission stimulée. Un photon du signal provoque la transition d’un électron
vers la VB. La mécanique quantique nous assure que le photon ainsi émis sera
un clone de celui ayant stimulé la transition. Les deux photons sont cohérents
spatialement et temporellement [27].
3. Émission spontanée. Un électron fait la transition de la CB vers la VB de luimême, générant alors un photon. La phase des composants spectraux du champs
électrique est aléatoire [11, 28].
À cause de l’énergie de gap, il existe une longueur d’onde de coupure [22, 26]. Selon
sa direction, un photon émis spontanément peut être guidé par le semi-conducteur [22].
Ce photon est alors amplifié et c’est ce qui cause l’émission spontanée amplifiée (ASE).
Pour pouvoir amplifier, il faut cependant forcer les électrons vers la CB dans le but
de provoquer des recombinaisons électron-trou radiatives. Pour se faire, on applique une
différence de potentiel sur le cristal. C’est la méthode la plus fréquente pour pomper les
SOA. À fort pompage, le SOA a un gain élevé et peut générer plus de 10 mW d’ASE au
total. Pour éviter l’effet laser, on utilise des cristaux semi-conducteurs dont les facettes
ont une très faible réflectivité.
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
3.3
30
Modèles analytiques des SOA
Cette section présente tout d’abord la formulation du coefficient de gain matériel qui
est utilisé dans tous les modèles présentés. Cette description du gain a été introduite par
Yariv [26, 29] et est utilisée dans le modèle détaillé. Ce modèle est basé sur la résolution
de deux PDEs couplées qui décrivent la propagation du signal optique et l’évolution de
la densité de porteurs. Par la suite, la description du gain est reprise à l’intérieur de
modèles simples basés sur le réservoir. Ces modèles se résolvent rapidement, puisqu’ils
sont basés sur une seule ODE.
3.3.1
Gain matériel dans le modèle détaillé
Le coefficient de gain matériel gmat (λ, n) est la quantité la plus fondamentale d’un
SOA. Il établit la correspondance entre la densité de porteurs et le gain observé par
un signal optique. À partir des probabilités de présence des porteurs, il est possible de
formuler une expression générale pour gmat (λ, n) [26], qui peut être calculée avant même
de connaı̂tre la puissance des signaux optiques. Lors d’une simulation numérique, il est
donc possible de générer préalablement la matrice gmat (λ, n). Elle peut être utilisée
comme une table de référence (lookup table) pour une interpolation, ou elle peut être
linéarisée pour réduire le temps d’exécution.
La première étape du calcul du coefficient de gain matériel consiste à obtenir une
valeur de l’énergie de gap effective. Pour l’obtenir, on introduit une légère correction
sur l’énergie de gap au zéro absolu, comme suggéré par Adachi [25, 26] :
Eg (n) = Eg0 − q Kg n1/3
(3.10)
où q est la charge de l’électron, Eg0 l’énergie de gap au zéro absolu et n la densité
de porteurs de charge. La dépendance de Eg (n) sur la densité de porteurs est faible,
en raison du facteur de rétrécissement du gap Kg (bandgap shrinkage coefficient) qui
est lui-même petit. On calcule ensuite les valeurs des niveaux de Fermi qui servent à
obtenir la probabilité de présence des porteurs dans chacune des bandes. Pour simplifier
les calculs, les relations empiriques de Nilsson [26, 30] sont utilisées
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
h
√ i− 41
kB Tc
Ef c = ln δ + δ 64 + 0.05524 δ (64 + δ)
n
√ − 1 o
Ef v = − ln ǫ + ǫ 64 + 0.05524 ǫ (64 + ǫ) 4 kB Tc
31
(3.11)
(3.12)
Les indices c et v réfèrent aux bandes de conduction et de valence respectivement. Les
variables δ et ǫ sont définies comme δ ≡ n/nc et ǫ ≡ p/nv . Les densités n et p sont celles
des électrons et des trous respectivement, mais en pratique on fait l’approximation que
p∼
= n. Les coefficients de normalisation nc et nv sont décrits par les relations suivantes.
nc = 2
nv = 2
me kB Tc
2π~2
32
mdh kB Tc
2π~2
23
(3.13)
(3.14)
On remarque que la dépendance des niveaux de Fermi par rapport aux masses effectives
(me et mdh ) est inverse, ce qui signifie que l’augmentation du lien entre l’électron et le
réseau cristallin réduit la mobilité des charges (et augmente la masse effective). L’interaction augmente la valeur effective du gap et provoque une réduction de la largeur
du spectre de gain. La variable mdh représente la masse effective de tous les trous de la
VB. Elle s’exprime comme
mdh
2/3
3/2
3/2
= mhh + mlh
.
(3.15)
Les valeurs des masses effectives ont été obtenues expérientalement [26] pour un
crital InGaAsP. Comme l’illustre la figure 3.4, une très faible variation des valeurs
présentées a un impact majeur sur la forme du spectre de gain matériel gmat (λ). La figure
présente le gain matériel pour les masses originales ainsi que pour les mêmes masses augmentées de 20%. Elles ne doivent donc pas être utilisées comme paramètres d’ajustement
servant à faire correspondre les simulations numériques aux mesures expérimentales.
Le coefficient de gain matériel gmat (ν, n) est obtenu à l’aide de la relation suivante,
proposée par Yariv [26, 29]
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
32
4
7
x 10
gmat
6
gmat’
−1
gmat(λ) (m )
5
4
3
me → 120% × me
2
n = 1.5 1024 m−3
1
1400
1450
1500
1550
Longueur d’onde (nm)
1600
Fig. 3.4 – Gain matériel et gain pur pour une densité de porteurs fixe
32
2me mhh
c2
·
gmat (ν, n) = √
4 2π 3/2 n21 τR ν 2 ~(me + mhh )
Z 0r
E
(n)
2T
g
coh
′
′
ν′ −
·
dν ′ (3.16)
(fc (ν ) − fv (ν ))
2 (ν ′ − ν)2
~
1
+
(2πT
)
coh
∞
dans laquelle c est la vitesse de la lumière, n1 l’indice moyen de réfraction du matériau,
τR le temps de vie radiatif des porteurs et Tcoh le temps de vie des interactions cohérentes
entre un électron et un champ monochromatique (de l’ordre de la picoseconde). Les
distributions de la probabilité de présence dans les bandes sont données par les relations
suivantes [26].
−1
Ea − Ef c
+1
fc = exp
kB Tc
−1
Eb − Ef v
+1
fv = exp
kB Tc
(3.17)
(3.18)
Le terme entre parenthèses carrées de l’équation 3.16 a une largeur spectrale beaucoup
plus faible que les autres termes. On fait alors l’approximation
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
2Tcoh
≃ δ(ν − ν ′ )
1 + (2πTcoh )2 (ν ′ − ν)2
33
(3.19)
pour obtenir une expression simplifiée du coefficient de gain matériel
c2
gmat (ν, n) = √
4 2π 3/2 n21 τR ν 2
2me mhh
~(me + mhh )
23 r
Eg (n)
ν−
(fc (ν) − fv (ν)) . (3.20)
~
Pour en extraire le sens physique, on divise l’expression 3.20 en deux parties : le
′′
′
coefficient d’absorption gmat
(λ, n) et le coefficient de gain pur gmat
(λ, n). Le gain pur
représente le gain que verrait un signal si les photons n’avaient pas la possibilité de sti′′
muler une dissociation électron-trou. L’absorption intrinsèque seule, notée gmat
(λ, n),
est l’inverse du gain pur, car elle considère uniquement la possibilité que le photon
stimule une dissociation. Comme le gain matériel considère les deux possibilités (stimuler une recombinaison ou une dissociation), il peut être exprimé par la relation
′
′′
gmat = gmat
− gmat
. Le gain pur seul est défini à l’équation suivante.
c2
′
gmat
(ν, n) = √
4 2π 3/2 n21 τR ν 2
2me mhh
~(me + mhh )
32 r
Eg (n)
fc (ν)(1 − fv (ν)) (3.21)
ν−
~
Tel que mentionné à la section 3.2, la probabilité de présence est importante pour
déterminer si l’amplificateur fournit un gain sur l’intensité du signal. À l’équation 3.21,
on retrouve le produit de la probabilité de présence d’un électron dans la CB fc (ν) et de
la probabilité de présence 1 − fv (ν) d’un trou dans la VB. Ce sont les deux conditions
nécessaires pour que la recombinaison électron-trou soit possible. Par ailleurs, la valeur
′′
du coefficient d’absorption gmat
est décrite par
′′
(ν, n)
gmat
c2
√
=
4 2π 3/2 n21 τR ν 2
2me mhh
~(me + mhh )
23 r
ν−
Eg (n)
fv (ν)(1 − fc (ν)) . (3.22)
~
′
Les coefficients de gain gmat (λ, n) et de gain pur gmat
(λ, n) sont très significatifs. Il sont
reliés au coefficient d’émission spontanée ηsp présenté par Becker et Olsson [1]. Cette
relation est discutée à la section 3.3.6, qui présente la description de l’ASE dans le
modèle du réservoir.
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
3.3.2
34
Équation de propagation du modèle détaillé
Ayant obtenu l’équation du gain matériel gmat , on peut procéder au développement
de l’équation de propagation de la lumière. Elle régit la propagation de la lumière dans
l’amplificateur, en fonction du gain matériel et des pertes de porteurs par diffusion.
Pour débuter, on décompose le champ électrique dans le domaine des fréquences selon
les deux directions de propagation dans l’amplificateur ± z :
E(λk , n(z)) ≡ Ek (z) = E + (λk , z) + E − (λk , z) .
(3.23)
L’indice k réfère aux composantes spectrales du champ aux Ns longueurs d’onde
des signaux entrant dans l’amplificateur et on note E(λk , z) , Ek (z). L’équation de
propagation du champ électrique incluant la phase est donnée pour une longueur d’onde
λk par la relation [26, 31]
1
dEk± (z)
= ∓jβk ± (Γgmat (λk , n) − α(n)) Ek± (z) .
dz
2
(3.24)
Le gain matériel gmat (λ, n) a été obtenu à la section 3.3.1 et la constante de propagation β = 2πneq λk est définie pour un indice de réfraction effectif neq variant faiblement
avec la densité de porteurs. On introduit également à l’équation précédente un facteur
de confinement normalisé Γ similaire à celui utilisé pour les fibres optiques [32, 33].
Le terme de perte par diffusion α(n) dépend de la densité de porteurs, mais il est
′′
différent du coefficient d’absorption gmat
(λ, n) de l’équation 3.22. Il ne considère que les
pertes attribuables à des mécanismes comme la diffusion des porteurs dans le substrat
[34], et n’est pas relié directement à la probabilité de présence. On utilise une description
linéaire des pertes α(n) en fonction de la densité n [26]
α(n) = K0 + ΓK1 n
(3.25)
où K0 et K1 sont les coefficients de la linéarisation en fonction de la densité de
porteurs n. En raison de la nature quantique des interactions photoélectriques, il faut
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
35
établir une équivalence entre le champ électrique Ek de l’onde optique et le nombre de
photons Nk . On utilise la relation suivante [22, 27, 35] pour un signal à une longueur
d’onde w en considérant une surface unitaire et une impédance ajustée
± 2
Ew = hc Nw± = Pw± .
λw
(3.26)
Une simplification importante de tous les modèles étudiés [26, 35, 36] consiste à
considérer seulement le flux de photons. En basant les équations de propagations
sur la
√
relation 3.26, qui suppose qu’il est possible d’écrire le champ comme E = P exp(jφ), il
est possible de séparer 3.24 en une équation pour la puissance et une pour la phase [37].
En procédant ainsi, on obtient donc l’équation différentielle de la puissance suivante
h
i
dPk± (z)
= ± Γgmat (νk , n) − α(n) Pk± (z) .
dz
(3.27)
Dans le modèle détaillé, on néglige implicitement les produits de termes dont les
fréquences sont différentes. La modélisation de l’élargissement spectral lié à la propagation dans le SOA est impossible avec les modèles étudiés. L’approximation de la
puissance s’exprime mathématiquement de la manière suivante
2
X 2 X 2
± 2 X ± X ± E = E ± +
E ± E
+
E
≈
j
j
total
k
k
k
j
k
(3.28)
j
où l’indice k indique les signaux et j les longueurs d’onde d’ASE. Il est important de
noter que la puissance d’ASE obéit à une équation de propagation légèrement différente
de celle des signaux
dPj± (z)
hc
= ± (Γgmat (λj , n) − α(n)) Pj± (z) + Rsp (λj , n)
dz
λj
(3.29)
où le terme Rsp (λj , n) représente les photons générés spontanément dans l’amplificateur. Il s’ajoute directement à l’équation 3.27 décrivant la propagation du signal
amplifié [26, 34]. Il ne contient pas de terme de confinement puisque les photons d’ASE
émis ne sont pas guidés a priori.
36
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
Tab. 3.2 – Signification physique des termes de l’équation d’évolution
Terme de l’équation d’évolution
Signification physique
dn(z, t)/dt
I/qV
R (n(z))
3e terme de droite
fASE (λ, n(z))
3.3.3
variation temporelle de la
densité de porteur au point z
densité de porteurs injectés
par le biais du courant d’injection
décroissance de la densité de porteurs
par les recombinaisons spontanées
(radiatives et non-radiatives)
diminution de la densité de
porteurs causée par l’amplification des signaux
fonction décrivant l’influence de
l’ASE sur la densité de porteurs
(varie selon les modèles)
Équation d’évolution du modèle détaillé
L’équation d’évolution de la densité de porteurs (rate equation) établit la valeur
de la densité n(z, t) en fonction de la puissance des signaux optiques qui entrent dans
l’amplificateur. L’équation d’évolution 3.30 et les équations de propagation 3.27 et 3.29
doivent être résolues simultanément.
N
s
Ibias
ΓX
∂n(z, t)
gmat (νk , n) Nk+ + Nk− − fASE (ν, n)
=
− R (n) −
∂t
qV
A k=1
(3.30)
La signification physique de chacun des termes de l’équation 3.30 est présentée au
tableau 3.3.3. La diminution de la densité de porteurs fASE (ν, n) causée par la puissance
de l’ASE dans le modèle détaillé est décrite par [26, 34]
fASE (ν, n(z)) =
2Γ X
gmat (νj , n(z)) Nj+ (z) + Nj− (z) .
A j
(3.31)
Le facteur 2 de l’équation précédente considère les deux polarisations orthogonales de
la lumière.
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
3.3.4
37
Équation d’évolution dans le modèle du réservoir
Le modèle du réservoir [14] est basé sur une quantité reliée à la quantité totale de
porteurs de charge utiles dans l’amplificateur. Cette valeur est obtenue en intégrant la
densité de porteurs n(z, t) sur la longueur L de l’amplificateur. Le réservoir est donc un
modèle entrée-sortie dans lequel la densité de porteurs selon l’axe z n’est pas recherchée.
En pratique, la densité n(z, t) est supposée moyenne selon les axes x et y et on utilise
la relation
r(t) ,
Z
L
n(z, t) dz = n(t) L .
(3.32)
0
Il s’agit d’un modèle ponctuel, c’est-à-dire qu’il ne considère pas la dimension sur
laquelle s’affectue la propagation. Un tel modèle a déjà été exploré par Genest et Chamberland [38] ainsi qu’Agrawal [37], qui considère cependant le gain intégré comme
quantité intégrée. Le gain intégré n’est pas une quantité physique intéressante pour
les systèmes WDM, en ce sens qu’elle n’est pas commune à tous les canaux. Chaque
canal WDM perçoit un gain différent des autres. Donc, l’approche par la densité de
porteurs totale est intéressante, car il s’agit vraiment d’une quantité commune à toutes
les longueurs d’onde, à tous les canaux.
L’équation 3.30 décrivant l’évolution de n(z, t) dans le modèle détaillé peut être
réécrite en terme de la puissance optique pour devenir
N
s
λk
Ibias
ΓX
∂n(z, t)
=
− R (n(z, t)) −
gmat (λk , z) Pk (z, t)
∂t
qV
A k=1 hc
4Γ X 1
−
gmat (λj , z) PjASE (z) (3.33)
A j hλk
en supposant que la lumière se propage dans une seule direction. Le facteur 2 additionel (qui donne un 4 devant le dernier terme de sommation) est dû aux 2 directions
de propagation. On les traite comme si elles se propageaient dans la même direction
pour faciliter le calcul. Pour obtenir l’équation d’évolution du réservoir r(t), on intègre
l’équation 3.33 sur la longueur de l’amplificateur.
38
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
Z
L
0
∂n(z, t)
dz =
∂t
Z
0
L
Z L
Ibias
R (n(z)) dz−
dz −
qV
0
Z
Ns
λk L
ΓX
gmat (λk , n(z)) Pk (z) dz
A k=1 hc 0
Z
4Γ X λj L
−
gmat (λj , n(z)) PjASE (z) dz . (3.34)
A j hc 0
L’équation d’évolution du réservoir prend alors la forme
N
s
λk
Ibias r(t) Γ X
dr(t)
=
−
−
dt
qA
τeq
A k=1 hc
Z
L
Pk (z, t) gmat (λk , n) dz + QASE (λ, r) .
(3.35)
0
Le quatrième terme de droite est remplacé par QASE , dont la définition est donnée à la
section 3.3.6. Lors de l’intégration, le terme R(n) représentant la diminution spontanée
de la densité de porteurs a été remplacé par une fonction linéaire en r (le réservoir)
dont la pente est l’inverse du temps de vie des porteurs τeq .
Z
0
L
R(n(z)) dz ≈
r
τeq
(3.36)
Même si R(r) est une fonction polynomiale selon le modèle suggéré par Connelly
[26], l’approximation est justifiée dans la mesure où la plage des valeurs physiquement
acceptables de r est restreinte [26, 36]. La valeur de τeq peut être déterminée à l’aide
d’un algorithme d’optimisation numérique.
Des simplifications sont possibles pour les deux derniers termes du côté droit de
l’équation 3.35. La simplification sur le terme exprimant la contribution des signaux est
présentée à la section 3.3.5 tandis que celle s’appliquant sur le dernier terme, décrivant
la génération des photons d’ASE, est présentée à la section 3.3.6.
3.3.5
Équation de propagation dans le modèle du réservoir
Les SOA sont conçus de manière à éviter toute forme de résonnance, qui se traduirait
par un effet laser. Typiquement, la réflectivité des facettes est environ de 10−5 . Le
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
39
modèle du réservoir suppose que les réflexions sont négligeables et que la lumière se
propage dans une seule direction, d’où l’utilisation de l’approximation de l’amplificateur
single-pass. On écrit alors
∂Pk (z, t)
= Γgmat (λk , n(z)) − α(n) Pk (z, t)
∂z
(3.37)
de laquelle on élimine temporairement le terme de perte α(n) puisque les pertes sont
normalement très inférieures au gain dans un amplificateur [36, 37]. Si le terme α(n)
est conservé, la solution de l’équation globale du réservoir ne prend pas une forme aussi
simple. On obtient un terme supplémentaire qu’il faut intégrer numériquement, ce qui
augmente le temps de calcul. Une méthode simple et élégante pour réintroduire les
pertes par diffusion α(n) est introduite à la section 3.5.2. En regroupant les termes de
l’équation 3.37 et en intégrant, on obtient
Γ
Z
L
Pk (z, t) gmat (λk , n(z)) dz =
0
Z
L
∂Pk (z, t) .
(3.38)
0
Pour alléger l’écriture, on écrit désormais gk (z) pour représenter le gain matériel
gmat (λk , n(z)). On constate immédiatement qu’il est possible de remplacer l’intégrale
du gain à l’équation 3.35. Il est possible de réécrire la partie de droite de manière plus
explicite
Γ
Z
0
L
Pk (z) gk (z) dz = Pkout − Pkin
(3.39)
où Pkout , Pk (z = L) représente la puissance du signal à la sortie et Pkin , Pk (z = 0)
la puissance à l’entrée du SOA. En remplaçant l’équation précédente dans l’équation
3.35, on obtient
N
s
dr(t)
λk out
Ibias r(t)
1X
=
−
−
Pk − Pkin + QASE
dt
qA
τeq
A k=1 hc
(3.40)
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
40
Pour obtenir une expression de Pout en fonction du gain, gk (n) ≡ gmat (λk , n) est
supposé linéaire en fonction de la densité de porteurs pour chaque longueur d’onde.
Donc, on pose gk ∼
= ak [n(z, t) − n0,k ] et l’équation 3.39 devient facilement intégrable.
ln
Pout (t)
Pin (t)
= Γak
Z
0
L
n(z) dz + Γ
Z
L
ak n0,k dz
(3.41)
0
Les termes ak et n0,k sont obtenus à la section 3.5.2, où la validité de la linéarisation
de gk (n) est aussi vérifiée. Avec un gain linéaire en n, il devient possible d’écrire
Pkout = Pkin exp [Γak (r(t) − r0,k )] .
(3.42)
Par définition, r0,k = n0,k L représente le réservoir à la transparence, c’est-à-dire
lorsque le gain est unitaire. En utilisant cette relation, l’équation 3.40 prend la forme
Ns
i
λk h Γak (r(t)−r0,k )
dr(t)
Ibias r(t)
1X
=
−
−
e
− 1 + QASE (λ, r) .
dt
qA
τeq
A k=1 hc
(3.43)
Une des faiblesses du modèle du réservoir directement transposé de son équivalent
pour les EDFAs [14] est son incapacité à estimer les valeurs de ak et r0,k . Pour les EDFAs,
le gain est fonction de paramètres mesurables communs à tous les amplificateurs, mais
ce n’est pas le cas des SOA. La section 3.5.2 présente deux méthodes utilisée pour pallier
à cette lacune.
3.3.6
ASE dans le modèle du réservoir
L’émission spontanée amplifiée est un aspect très important des amplificateurs optiques, puisqu’elle introduit une saturation même en l’abscence de signal à l’entrée. La
formulation de l’ASE utilisée dans le modèle du réservoir pour les SOA a été proposée
conjointement avec Mathlouthi [36].
Dans un intervalle de fréquences ∆νASE centré sur νj , la puissance d’ASE pour une
seule polarisation obéit à l’équation de propagation
41
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
dPjASE
hc
= Γgjres (n)PjASE (n) + Rsp (n) .
dz
λj
(3.44)
Le gain gjres (n) ≡ gres (λj , n) peut être séparé en deux parties : le gain pur gj′ et
l’absorption gj′′ comme à la section 3.3.1. On utilise la notation gj′ (n(z)), mais il s’agit
en réalité du gain pur associé à gain contenant les pertes intrinsèques gres (λ, n) (voir
section 3.5.3). On fait ce choix dans la mesure où l’on développe ici une expression
propre au modèle du réservoir [36]. La relation entre Rsp (n) et le coefficient de gain pur
s’exprime à l’aide de [34]
Rsp (n(z)) = gj′ (n(z)) ∆νASE .
(3.45)
L’équation différentielle complète prend la forme
dPjASE
= Γgj (n(z))PjASE (n) + hνj gj′ (n(z)) ∆νASE .
dz
(3.46)
La solution à ce type d’équation différentielle est obtenue analytiquement et prend la
forme suivante [39].
ASE
Pj,out
(n)
= exp
Z
0
L
Γgj (n(z)) dz ·
· hνj ∆νASE
Z
0
L
" Z
gj′ (n(z ′ )) exp −
0
z′
#
Γgj (n(z)) dz dz ′ (3.47)
Pour permettre l’intégration de gj′ (n(z)), on fait l’hypothèse que le coefficient de
gain pur peut être linéarisé selon
gj′ (n(z)) ∼
= γj (n(z) − n1,j ) .
(3.48)
La variable n1,j représente la densité de porteurs à la transparence du coefficient
ASE
de gain pur à la longueur d’onde λj . En utilisant 3.48, la solution pour Pj,out
(n) est
donnée par
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
ASE
Pj,out
(n)
= ΓGj (r)hνj ∆νASE
Z
0
L
γj (n(z ′ ) − n1,j )
dz ′ .
exp {Γaj (r(z ′ ) − r0,j (z ′ ))}
42
(3.49)
où Gj (r) , exp [Γaj (r − r0,j )]. L’équation 3.49 a pour solution
ASE
Pj,out
(r)
γj r − r1,j
=
Gj (r) hνj ∆νASE Gj (r) − 1 .
aj r − r0,j
(3.50)
Parallèlement, en intégrant directement l’équation 3.46 on reconnaı̂t la similitude
RL
du terme 0 Γgjres PjASE dz qu’on isole de l’équation pour obtenir
Γ
Z
L
0
ASE
gjres PjASE dz = Pj,out
(r) − γj (r − r1,j ) hνj ∆νASE .
(3.51)
Le terme du côté gauche de 3.51 est important, car il apparaı̂t à l’équation du
réservoir 3.34. On cherche à l’exprimer d’une manière pratique en remplaçant le premier
terme du côté droit de l’équation par son équivalent obtenu à l’équation 3.50 :
Γ
Z
L
gjres PjASE
0
1
γj r − r1,j
−1
Gj (r) hνj ∆νASE
dz =
aj r − r0,j
Gj (r)
− Γγj (r − r1,j ) hνj ∆νASE (3.52)
Cette équation se simplifie pour donner la forme compacte
Γ
Z
0
L
gjres PjASE
4∆νASE X γj (r − r1,j )
dz =
Gj (r) − 1 − ln(Gj (r)) .
A
a
(r
−
r
)
j
0,j
j
(3.53)
Le facteur 4 considère les deux polarisation, mais aussi les deux directions de propagation de l’ASE émise. En utilisant l’équation 3.53 pour exprimer QASE (λ, n) de l’équation
3.35, on obtient la forme complète de l’ODE du modèle du réservoir :
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
43
Ns
Ibias r(t)
1 X
dr(t)
=
−
−
λk Pkin eak (r−r0,k ) − 1
dt
qA
τ
Ahc k=1
4∆νASE X γj (r − r1,j )
−
[Gj (r) − 1 − ln(Gj (r))] . (3.54)
A
a
(r
−
r
)
j
0,j
j
Par similitude avec la description de l’ASE pour les EDFAs [1], on utilise la notation
suivante pour le coefficient d’émission spontanée.
γj (r − r1,j )
ηsp,j ∼
=
aj (r − r0,j )
(3.55)
En pratique, il est utile de faire l’approximation que la densité à la transparence n0 du
coefficient de gain matériel et celle du coefficient de gain pur n1 ont la même valeur,
c’est-à-dire ηsp,j ≈ γj /aj . La faible variation de la densité de porteurs de charge rend
cette hypothèse acceptable pour la plupart des situations physiques étudiées.
3.4
Modèles numériques des SOA
Plusieurs algorithmes de modélisation des SOA ont fait l’objet d’étude par le passé
[26, 31, 35, 36]. Cette section en présente deux types : d’une part un algorithme de
modélisation détaillé [26] et d’autre part quatre formes d’algorithmes rapides basés sur
le modèle réservoir [36]. La table 3.3 met en évidence les caractéristiques de chaque
modèle.
3.4.1
Modèle détaillé
Le modèle détaillé suggéré par Connelly [26] fournit une méthode pour obtenir une
solution numérique précise de la distribution des porteurs dans l’amplificateur en régime
dynamique et stationnaire. La densité de porteurs est déterminée pour chacune des Nz
sections (tranches) de l’amplificateur. Chaque tranche émet aux longueurs d’onde des
signaux et aux longueurs d’onde d’ASE dans les directions ±z. Il existe une rétroaction
entre les tranches et il faut donc converger vers une solution globale, dans laquelle
44
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
Tab. 3.3 – Modèles de simulation
Modèle
Discrétisation
spatiale (Nz )
ASE
Matrice de
gain matériel
Section
20
1
distribuée
-
gmat (λ, n)
gres (λ, n)
5.2.1
5.2.2
5
distribuée
gmat (λ, n)
5.2.3
5
distribuée
gres (λ, n)
5.2.4
5
1 canal
gres (λ, n)
5.2.5
Détaillé
Réservoir sans ASE
Réservoir avec pertes
de couplage
Réservoir avec pertes
intrinsèques
Réservoir avec canal
équivalent
chaque tranche est en équilibre avec les tranches adjacentes. Les équations de propagation 3.27 et 3.29, ainsi que l’équation d’évolution 3.30 sont résolues simultanément. Le
schéma structurel du modèle détaillé est présenté à la figure 3.5.
P
in
P
…
ASE
-
out
…
n1
nj
nN
Tranche 1
Tranche j
Tranche N
z
z
ASE
+
L
z
Fig. 3.5 – Schéma structurel du modèle détaillé
De plus, des conditions de réflectivité aux facettes sont imposés sur la première et sur
la dernière tranche. La densité de porteurs de chaque tranche doit satisfaire l’équation
d’évolution, en considérant que la tranche reçoit des photons venant des deux directions
(± z). La résolution de ce système d’équations est relativement longue, ce qui est un
problème pour les simulations Monte-Carlo. De plus, la grande quantité de paramètres
du modèle rend difficile d’en estimer correctement les valeurs. Une explication complète
du modèle de simulation détaillé est présentée dans la littérature [26, 34].
3.4.2
Modèle du réservoir sans ASE
Pour simplifier la résolution numérique, une variable globale nommée réservoir a été
introduite. Il s’agit d’une propriété de l’amplificateur commune à tous les canaux, ce qui
la différencie du gain intégré présenté par Agrawal [37]. Elle facilite le développement
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
45
de modèles simples pour décrire les systèmes WDM. En négligeant l’ASE, on procède
à la résolution numérique de l’équation suivante
N
s
dr(t)
Ibias r(t)
1 X
λk Pkin [Gk (r) − 1] .
=
−
−
dt
qA
τeq
Ahc k=1
(3.56)
En régime dynamique, on résoud cette ODE à l’aide d’un algorithme de premier ordre
pour obtenir une comparaison juste avec le modèle détaillé. L’utilisation d’un algorithme
de Runge-Kutta de quatrième ordre est aussi possible, mais elle est un peu plus exigeante
sur le temps de calcul et ne donne pas de résultats très différents. La puissance de sortie
du signal est calculée à chaque instant du temps à l’aide de la relation
Gk = exp [Γak (n(t) − n0,k ) L] .
(3.57)
Les valeurs du gain a et n0 sont obtenue en linéarisant le gain matériel gres . La procédure
est introduite à la section 3.5.3.
Il est important de mentionner que pour les simulations en régime dynamique, la valeur du réservoir au premier échantillon temporel r(t = 0) est obtenue en suivant une
procédure spéciale. On résoud le système en régime stationnaire dr(t)/dt = 0 avec
comme entrée un signal d’une valeur égale à celle du premier échantillon temporel
P (t = 0) [40].
P in
r
Pout +
Tranche Unique
L
z
Fig. 3.6 – Schéma structurel du réservoir sans ASE
46
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
3.4.3
Modèle du réservoir en cascade avec ASE et pertes de
couplage
Le modèle du réservoir en cascade avec pertes de couplage tire son nom de l’utilisation d’un algorithme en plusieurs sections (tranches) sans rétroaction. Entre chaque
tranche, on introduit une perte de couplage αs , c’est-à-dire une diminution de la puissance égale pour toutes les longueurs d’onde qui ne varie pas selon la densité de porteurs.
P
in
P
r1
r2
Tranche 1
Tranche 2
Tranche Nz
L / Nz
L / Nz
L / Nz
…
out
rNz
ASE out
z
Fig. 3.7 – Schéma structurel du réservoir en cascade avec ASE et pertes de couplage
La structure du modèle, illustrée à la figure 3.7, est décrite mathématiquement par
l’équation 3.58. Les zones ombragées représentes les pertes de couplage αs . Les flèches
rouges représentent la propagation du signal. Les flèches doubles bleues représentent
l’amplification de l’émission spontannée et indiquent la génération d’un nouveau composant d’ASE dans la section. Il s’agit de la représentation schématique du terme Rsp
de l’équation 3.29. La modélisation de l’ASE est réalisée sur 20 longueurs d’onde couvrant tout le spectre de gain de l’amplificateur. Comme les réflectivités des facettes sont
nulles, il n’y a aucune rétroaction entre les sections et les flux de photons sont dirigés
dans une seule direction (selon +z).
N
s
Ibias ri (t)
1 X
dri (t)
in
λk Pk,i
[Gk (r) − 1]
=
−
−
dt
qA
τeq
Ahc k=1
NASE
1 X
in
−
λs Ps,i
[Gs (ri ) − 1]
Ahc s=1
NASE
4∆νASE X
−
ηsp,j (ri ) [Gj (ri ) − 1 − ln Gj (ri )] . (3.58)
A
j=1
La sommation supplémentaire (en s) de l’équation 3.58 représente les composants
spectraux d’ASE émis aux sections précédentes et qui sont amplifiés à la section i. Une
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
47
des particularités de ce modèle est d’utiliser la matrice de coefficient de gain gmat (λ, n)
discutée à la section 3.3.1. Les coefficients σ(λ) (la pente) et η0 (λ) (l’abscisse) qui
proviennent de la linéarisation de cette matrice sont utilisés dans la relation suivante
pour obtenir le gain de la section i à la longueur d’onde λk .
Gk,i
Γσk (ni − η0,k )L
= exp
Nz
(3.59)
Il est important de mentionner que les coefficients σk et η0,k sont différents de ceux
utilisés dans le modèle précédent. L’utilisation de ces coefficients est discutée à la section
3.5.3.
Pour pouvoir adapter les résultats de simulation aux données expérimentales, Obermann suggère d’introduire des pertes de couplage entre les sections [35]. En modifiant
légèrement le coefficient de couplage à l’entrée
e
cin =
cin
cadd
(3.60)
et en appliquant une transformation « inverse » à la sortie, incluant un terme de correction supplémentaire
e
cout = cout cadd e−αs L
(3.61)
cadd ≈ e−0.32αs L .
(3.62)
Obermann a démontré de bons résultats [35]. Le paramètre de couplage cadd a été défini
arbitrairement comme
Le paramètre αs est variable, mais Obermann suggère d’utiliser des valeurs du produit αs L inférieures à 4 [35]. Donc, la valeur de la puissance effective entrant dans
l’amplificateur est donnée par
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
cin
Pin
Pein =
cadd
48
(3.63)
et la puissance de sortie de la section i est donnée par
Peiout = cout cadd e−αs L/Nz Piout .
(3.64)
Évidemment, on doit utiliser les valeurs Pein et Peout lors de la résolution de l’équation
3.58, même si les tildes ont été enlevés pour simplifier la notation.
3.4.4
Modèle du réservoir en cascade avec ASE et pertes intrinsèques
Ce modèle est en tous points similaire à celui de la section 3.4.3, sauf pour deux
aspects importants.
– Les pertes de couplages αs ne sont pas introduites.
– Les coefficients a(λ) et n0 (λ) provenant de la linéarisation de gres (λ, n) sont utilisés.
Évidemment, il devient alors nécessaire de calculer le gain en fonction de la densité de
porteurs en utilisant l’équation suivante
Gk,i
Γak (ni − n0,k )L
= exp
Nz
(3.65)
où Nz représente toujours le nombre de sections (tranches) utlilisées dans la modélisation.
En utilisant le gain matériel gres (λ, n), les pertes sont supposées intrinsèques, c’est-àdire qu’elles sont directement inclues dans la matrice de gain. Avant la linéarisation du
gain matériel, on retranche les pertes de diffusion α(n) directement. Le gain gres (λ, n) =
gmat (λ, n)−α(n)/Γ est donc linéarisé pour obtenir les coeficients ak et n0,k . La différence
est marquée au niveau spectrale, comme le montre les résultats de la sections 5.2.3.
La table 3.4 présente la correspondance entre les différentes matrices de gain et les
coefficients de la linéarisation.
49
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
P
in
P
r1
r2
Tranche 1
Tranche 2
Tranche Nz
L / Nz
L / Nz
L / Nz
…
out
rNz
ASE out
z
Fig. 3.8 – Schéma structurel du réservoir en cascade avec ASE et pertes intrinsèques
Tab. 3.4 – Notation des coefficients du gain
Modèle avec
Modèle avec
pertes de couplage pertes intrinsèques
Matrice du coefficient
de gain
Pente du coefficient
de gain
Densité de porteurs
à la transparence
3.4.5
gmat (λ, n)
gres (λ, n)
σk
ak
η0,k
n0,k
Modèle du réservoir en cascade avec canal d’ASE équivalent
L’ASE joue un rôle important dans la modélisation de l’amplificateur, puisqu’elle
affecte son niveau de saturation et sa réponse dynamique. Cependant, modéliser un
ensemble de canaux d’ASE distribués sur tout le spectre optique peut augmenter le
temps de calcul.
Pour accélérer la résolution numérique, on introduit un canal fictif ayant une puissance arbitraire à l’entrée de l’amplificateur. On note à la figure 3.9 que l’ASE distribuée
sur 20 canaux n’est pas calculée dans la simulation. Ce canal a pour but d’augmenter
artificiellement la saturation de l’amplificateur, répliquant ainsi l’effet de l’ASE. Il s’agit
d’une approche similaire à celle utilisée pour les EDFA [41]. Pour une modélisation de
l’amplificateur en plusieurs sections, on résoud l’ODE 3.66 :
50
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
N
s
dri (t)
Ibias ri (t)
1 X
in
λk Pk,i
(t) [G(r) − 1]
=
−
−
dt
qA
τeq
Ahc k=1
−
λASE in
P
[GASE (ri ) − 1]
Ahc ASE,i
(3.66)
où le gain du canal du signal est obtenu en utilisant les coefficients tirés de la linéarisation
de gres (λ, n). En pratique, on utilise l’équation
GASE,i
ΓaASE (ni − n0,ASE )L
= exp
Nz
.
(3.67)
pour obtenir la puissance de sortie du signal après la section i.
P
P in
in
PASE
r1
r2
rNz
Tranche 1
Tranche 2
Tranche Nz
L / Nz
L / Nz
L / Nz
out
out
P ASE
z
Fig. 3.9 – Schéma structurel du réservoir avec un canal d’ASE équivalent
La longueur d’onde utilisée pour la description du canal n’a pas de signification
physique. On la fixe à 1560 nm et on utilise une optimisation numérique pour déterminer
la valeur des paramètres suivants :
in
– la puissance d’entrée PASE
,
– le gain (à travers aASE et r0,ASE )
– le coefficient de couplage à la sortie cout .
En pratique, on utilise un algorithme qui ajuste un ensemble de paramètres pour
minimiser le carré de la différence entre le vecteur de sortie d’une fonction et un vecteur
de référence. Les résultats expérimentaux servent de référence dans la plupart des cas,
sauf lorsqu’il n’y a pas de mesures disponibles. Dans ce cas, on utilise le modèle détaillé
pour générer une référence pour l’optimisation. La fonction de minimisation est donnée
à l’équation 3.68. Cet algorithme utilise une méthode de Newton réflective, qui permet
de borner la valeurs des paramètres x. Cette condition s’est montrée nécessaire pour
assurer la convergence.
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
51
m
1X
1
(F (x, xdata,i ) − ydata,i )2
min |F (x, xdata ) − ydata |2 =
x 2
2 i=1
(3.68)
En particulier, le vecteur des x est formé à partir des paramètres qui doivent être
in
optimisés, c’est-à-dire {PASE
, aASE , n0,ASE , cout }. Les vecteurs de données d’entrée et
de sortie du modèle, respectivement xdata et F (x, xdata ), sont comparés au vecteur des
données de référence ydata . La référence choisie est la forme du pulse optique, puisqu’elle
contient à la fois des informations sur le gain en régime permanent et sur la réponse
dynamique. Donc, le vecteur des xdata contient la forme du pulse optique mesuré à
l’entrée du SOA. Le vecteur F (x, xdata ) donne l’estimé du pulse amplifié (par le modèle
du réservoir) et il est comparé au vecteur ydata qui contient la forme du pulse optique
amplifié mesurée expérimentalement.
3.5
Extraction des paramètres de gain du modèle
de simulation
On présente dans cette section les méthodes numériques utilisées pour déterminer la
valeur de certains paramètres de simulation. Tout d’abord la méthode de linéarisation
de la matrice du coefficient de gain est expliquée. Ensuite, le choix d’inclure (ou non)
les pertes par diffusion dans cette matrice est discuté.
3.5.1
Homogénéité du gain des SOA
Avant d’entreprendre la description des techniques utilisées pour décrire le gain
mathématiquement, il importe de discuter l’homogénéité de celui-ci. Les amplificateurs optiques à semi-conducteurs sont généralement considérés comme des matériaux
donnant un gain très homogène [26, 34, 37]. Expérimentalement, cette homogénéité a
également été vérifiée dans plusieurs conditions pour l’amplificateur optique à semiconducteur qui a été utilisé principalement pour ce travail. En particulier, nous avons
étudié l’influence d’un signal laser CW à une longueur d’onde fixe sur la saturation du
gain aux longueurs d’onde d’intérêt, en considérant différents espacements spectraux.
L’homogénéité du gain des SOA est une des propriétés physiques importantes dans
cette étude. En effet, cette caractéristique est essentielle, puisqu’elle permet de relier
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
52
directement le gain à n’importe quelle longueur d’onde à une seule quantité : le nombre
de porteurs de charge. Le modèle du réservoir suppose un gain parfaitement homogène,
puisqu’un signal affecte complètement tous les autres signaux à travers la quantité de
porteurs disponibles pour leur amplification. Dans le modèle du réservoir, l’espacement
des canaux n’a aucune importance, seul le gain observé par les canaux est important.
3.5.2
Linéarisation du gain matériel
Le modèle du réservoir a été développé initialement pour modéliser les EDFA [14].
Son équivalent pour les SOA est sensiblement différent, surtout en ce qui concerne la
description du gain de l’amplificateur. Le gain de l’erbium peut être calculé à partir des
section efficaces qui sont des paramètres mesurés et tabulés [1, 32, 41, 42]. Ce sont des
propriétés intrinsèques de l’erbium qui ne changent pas d’un amplificateur à l’autre. Le
gain des semi-conducteurs ne peut pas être décrit de la même façon.
Une expression du gain matériel a été présentée à la section 3.3.1. Elle provient du
modèle suggéré par Connelly [26, 34] et on souhaite l’appliquer au modèle du réservoir.
On ne peut cependant pas transposer directement cette description du gain vers le
modèle du réservoir, car le gain est non-linéaire ce qui contredit les hypothèses faites à
la section 3.3.5. Le gain a été supposé linéaire en n dans le modèle du réservoir pour
nous permettre d’obtenir l’équation 3.54.
La solution adoptée est simple : utiliser la formulation du gain proposée à la section
3.3.1 pour obtenir gmat (λ, n), puis linéariser numériquement le gain à chaque longueur
d’onde. On obtient ainsi les vecteurs de la pente du coefficient de gain σ(λ) et l’abscisse à
l’origine η0 (λ) qui sont utilisés à l’équation 3.59 pour résoudre l’équation 3.58. L’abscisse
à l’origine a pour signification physique la densité de porteurs à la transparence η0 (λk ) =
η0,k qui rend le gain gmat (λk , n) nul.
gmat (λk , η0,k ) , 0
(3.69)
Il est supposé que l’estimé des η0,k (λ) provenant de la linéarisation est adéquat pour
décrire la densité de porteurs à la transparence. On peut constater à la figure 3.10 la
très bonne correspondance entre l’approximation linéaire et le gain original gmat (λ, n)
à 1550 nm. Dans les calculs qui suivent, on utilise toujours l’estimé η0,k .
Pour le calcul du gain, il est nécessaire de travailler avec n, puisque les équations
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
53
20
Approximation linéaire
Directement du modèle détaillé
10
4
−1
gmat (10 m )
15
1
10
5
0
10
σk
0
η0,k
−5
1
1
1.5
2
2
2.5
3
3
3.5
Densité de porteurs (10 24 m−3)
Fig. 3.10 – Linéarisation du gain gmat (λ, n) à 1550 nm
décrivant gmat (λ, n) ne sont pas définies fonction du réservoir. L’équation 3.32 est utilisée
pour établir la correspondance entre les deux, c’est-à-dire r(t) = n(t) · L. En pratique,
il faut aussi déterminer une plage des valeurs de n sur laquelle linéariser le gain. Pour
que la linéarisation soit en général valide, on détermine les valeurs extrêmes nmin et
nmax correspondant aux deux situations suivantes :
1. une puissance d’entrée (-40 dBm) donnant une densité de porteurs élevée (nmax ),
2. une puissance d’entrée (0 dBm) donnant une densité de porteurs faible (nmin ).
La figure 3.11 illustre les deux valeurs de la densité de porteurs spécifiées sur la
matrice du gain matériel gmat (λ, n). La densité de porteurs est commune à toutes les
longueurs d’onde, et ce sont donc les mêmes bornes pour chacune d’elles.
La linéarisation du gain présente deux avantages majeurs. Tout d’abord, elle accélère
la résolution numérique de l’ODE du réservoir (équation 3.54). Il n’est pas nécessaire
d’interpoler dans la table gmat (λ, n) de la figure 3.11 pour des valeurs de λ et n arbitraires. Le calcul direct de Gk = exp(Γak (n − n0,k )) est plus rapide. Ensuite, elle permet
de respecter les hypothèses fondamentales du modèle du réservoir.
54
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
6
g mat (10 4 m -1 )
4
2
0
n max
1.8
De 1.6
ns
it é
de
1600
n min
1.4
po
r te
1.2
u rs
(1 02 4
m -3
)
1540
1
1520
1560
o
r d’
u eu )
g
n
Lo
( nm
1580
n de
Fig. 3.11 – Matrice du coefficient de gain matériel gmat (λ, n)
3.5.3
Choix de la matrice de gain
Cette section présente deux techniques permettant de réintroduire les pertes α(n)
dans l’amplificateur sans les inclure directement à l’équation de propagation 3.37. Même
dans un modèle simple, il est intéressant de considérer les pertes pour pouvoir observer
certains effets reliés à la XGM [43]. Le problème est donc de demeurer dans les limites
fixées par les hypothèses initiales du réservoir. On se propose d’étudier l’efficacité des
deux approches suivantes.
1. Pertes de couplage (section 3.4.3). Cette méthode consiste à linéariser la matrice de gain gmat (λ, n) provenant du modèle détaillé pour en extraire σ(λ) et
η0 (λ).
2. Pertes intrinsèques (section 3.4.4). L’alternative est de soutraire les pertes directement du gain pour obtenir gres (λ, n) et d’en extraire a(λ) et n0 (λ).
À l’aide d’une grande quantité de données expérimentales, il aurait été possible
de déterminer les valeurs des vecteurs de coefficients (ak , n0,k ) ou (σk , η0,k ) à l’aide
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
55
d’une optimisation numérique. L’utilisation d’une approche aussi directe pour estimer
séparément chaque paramètre s’avère cependant trop lourde pour être envisageable. On
doit donc se résoudre à utiliser l’une ou l’autre des méthodes.
1. Pertes de couplage
Il s’agit du traitement direct de la matrice de gain gmat (λ, n) obtenue à la section
3.3.1. Après chaque tranche du SOA de la figure 3.7, la puissance optique est multipliée
par une constante comprise entre 0 et 1 (les pertes de couplage αs ) à la sortie de la
tranche. Des simulations utilisant cette méthode ont été réalisées suivant l’algorithme
avec pertes de couplage présenté à la section 3.4.3. Les résultats présentées à la section
5.2.3 montrent la mauvaise correspondance entre la mesure et la simulation du spectre
de gain.
2. Pertes intrinsèques
La deuxième méthode tente de compenser pour l’abandon des pertes à l’équation
3.37 en générant une nouvelle matrice de gain gres (λ, n) définie comme
gres (λ, n) , gmat (λ, n) −
α(n)
Γ
(3.70)
Cette méthode pour considérer les pertes a des conséquences différentes sur les deux
vecteurs de coefficients a(λ) et n0 (λ).
– La pente du coefficient de gain matériel. Comme les pertes sont linéaires, la
différence entre les pentes pour le gain matériel (ak ) provenant des deux méthodes
est la valeur de K1 , de telle sorte que ak = σk − K1 (voir équation 3.25).
– La densité de porteurs à la transparence. En appliquant la transformation
3.70, on change la courbe de croisement tracée par l’intersection de gmat (λ, n) et
du plan xy. Par le fait même, on change la forme spectrale des coefficients n0 (λ).
En réalité les pertes α(n) ne sont pas linéaires en n et la plus grande conséquence
de l’équation 3.70 est de changer l’estimé de la densité de porteurs à la transparence.
On présente à la figure 3.12 les vecteurs a(λ) et n0 (λ) extraits en utilisant directement
gmat (carrés rouges) ou en linéarisant gres (cercles bleus).
56
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
12
σ(λ) : linéarisation de gmat
pente (10−20 m2)
11
10
9
σ(λ)
8
7
a(λ)
6
5
4
1530
1540
1550
1560
1570
1580
1590
longueur d’onde (nm)
(a) Pente du gain matériel
densité à la transparence (1024 m−3)
1.5
a(λ) : linéarisation de gres
1.4
1.3
n0(λ)
1.2
η0(λ)
1.1
1
0.9
n0(λ) : linéarisation de gres
η0(λ) : linéarisation de gmat
0.8
1530
1540
1550
1560
1570
1580
1590
longueur d’onde (nm)
(b) Densité à la transparence
Fig. 3.12 – Représentation spectrale des paramètres du gain obtenus à l’aide deux
méthodes de linéarisation
Tel que prévu, la forme de la courbe a(λ) ne change pas, elle est simplement abaissée
par la constante K1 . Par contre, la forme de la courbe n0 (λ) change considérablement.
Puisque le changement des a(λ) est constant spectralement, la différence de courbure
des n0,k explique le décalage spectral du gain observé à la figure 5.14. On y constate
aussi que n0 (λ) > η0 (λ), ce qui signifie que le gain du modèle utilisant gmat (λ, n) est
plus important. L’application des pertes de couplage αs est alors justifiée pour ramener
le gain à un niveau plus réaliste.
3.6
Résumé du chapitre
Au chapitre 3, la modélisation des SOA a été mise en contexte. Il a été expliqué que
les SOA sont étudiés pour leur propriété de réduction du bruit d’intensité des sources
optiques décrites au chapitre précédent. Leur application dans un système SSWDM,
principalement au niveau de la conversion de longueur d’onde, a été discutée.
De plus, les fondements physiques et la théorie des bandes des matériaux semiconducteurs ont permi d’obtenir une description du gain matériel des SOA. Cette approche permet d’obtenir une matrice de gain, c’est-à-dire une valeur du gain matériel
pour une densité de porteurs et une longueur d’onde fixe.
Par la suite, les équations décrivant la dynamique des SOA, à savoir les équations
d’évolution de la densité de porteurs et l’équation de propagation, ont été réduites à une
Chapitre 3. Modélisation des amplificateurs optiques à semi-conducteur
57
seule équation différentielle ordinaire. Cette ODE forme la base du modèle du réservoir.
Ce chapitre présente différentes versions de ce modèle qui ont été implémentées. Le gain
matériel qui est utilisé dans le modèle du réservoir est obtenu plus tard dans le chapitre,
en procédant à la linéarisation de l’expression du gain matériel formulée précédemment.
Chapitre 4
Résultats expérimentaux
Les mesures expérimentales présentées dans ce chapitre visent à valider les modèles
de simulation présentés au chapitre 3. Chacune des sections de ce chapitre correspond
directement à une section du chapitre des résultats de simulation. Les relations entre
les sections sont présentées à la table suivante.
Tab. 4.1 – Correspondance entre les sections des chapitres 3, 4 et 5
Section des
Section des
résultats
résultats
expérimentaux de simulation
BER
Extraction des paramètres
Cas de figure
4.1
4.2
4.3
5.1
3.5
5.2
Les mesures du BER sont la motivation principale de l’étude des SOA. Elles ont
été prises avec des sources thermiques de différentes largeurs spectrales et à plusieurs
taux de transmission. Le mécanisme de conversion de longueur d’onde par XGM a été
présenté à la section 3.1, tandis que les résultats de simulations du BER des sources
thermiques seules sont présentés à la section 5.1.4.
D’autres mesures servent à estimer la valeur de certains paramètres du modèle
détaillé et du modèle du réservoir. Il est parfois possible de déterminer directement
la valeur des différents paramètres à l’aide de mesures expérimentales.
La dernière section de ce chapitre porte sur la mesure des cas de figure. Ce sont des
caractéristiques clés du SOA (gain statique, réponse dynamique, etc.) qui servent de
59
Chapitre 4. Résultats expérimentaux
balises pour évaluer l’exactitude des modèles de simulation. Une description plus étoffée
des ces critères est présentée à la section 4.3.
Sauf indication contraire, tous les résultats expérimentaux sont obtenus avec un
SOA de la compagnie « Optospeed » de modèle « 1550MRI X1500 ». Il est contrôlé en
température et son courant d’injection est toujours fixé à 500 mA.
4.1
Mesures de BER
4.1.1
Source incohérente accordable en longueur d’onde de
largeur spectrale variable
Dans le but de connaı̂tre les performances d’un système SSWDM, il faut être capable de produire au laboratoire une source optique incohérente accordable en longueur
d’onde. On veut également une source de largeur spectrale variable, mais relativement
faible pour faciliter les simulations Monte-Carlo. Pour obtenir cette source, on utilise
le montage présenté à la figure 4.1. Les deux EDFA servent à augmenter la puissance
de sortie, car la source large-bande initiale ne donne pas une densité de puissance très
élevée sur tout le spectre. Les filtres optiques intermédiaires servent quant à eux à
concentrer le gain des EDFA sur la région spectrale d’intérêt. Ils sont tous deux accordables et centrés à la même longueur d’onde que le monochromateur, c’est-à-dire
1550 nm. Ce sont les filtres JDS Uniphase TB9 de 0.25 nm et JDS Uniphase TB15B
de 1.2 nm qui ont été utilisés lors de l’expérience. Le monochromateur est en fait un
analyseur de spectre optique (OSA) de marque Hewlett-Packard et de modèle 70951A
qui peut être utilisé comme une filtre accordable d’une très faible largeur spectrale.
Source
large-bande
Filtre
accordable
1.2 nm
EDFA
Monochromateur
EDFA
Filtre
accordable
0.25 nm
Fig. 4.1 – Montage expérimental utilisé pour obtenir la source large-bande
Il est possible de remarquer deux étages d’amplification optique à la figure précédente.
Ils servent à augmenter la puissance de la source, mais n’influencent pas sensiblement
ses propriétés statistiques. En effet, les amplificateurs EDFA utilisés ont un temps de
réponse très lent (de l’ordre de la milliseconde) par rapport aux variations très rapides
de la sources elle-même (de l’ordre de la nanoseconde). Le gain est donc très linéaire
pour la source originale et ses propriétés statistiques ne sont pas affectées.
60
Chapitre 4. Résultats expérimentaux
Les spectres optiques obtenus dépendent du monochromateur, mais aussi du filtre
de sortie. Dans le système, seul le le monochromateur a une largeur spectrale variable.
La largeur des spectres obtenus (à 3 dB) est d’environ 5, 10 et 20 GHz. Ces spectres
sont présentés à la figure suivante.
0
5 GHz
10 GHz
20 GHz
PSD (dBm/nm)
−5
−10
−15
−20
−25
−30
−20
−15
−10
−5
0
5
10
Fréquence référencée à 1550 nm (GHz)
15
20
Fig. 4.2 – Spectres optiques de la source incohérente large-bande
4.1.2
PDFs des sources optiques incohérentes
La première mesure expérimentale a pour but de vérifier la distribution d’intensité
des sources incohérentes proposée par Goodman [11] et présentée à la section 2.3. On
utilise la source représentée à la figure 4.1 pour générer un signal optique qu’on détecte
à l’aide d’un photodétecteur Agilent 86105A. Un oscilloscope Agilent 86100A sert à
faire l’acquisition des échantillons temporels de W (t) dont l’histogramme donne une
approximation de la PDF. Deux histogrammes sont présentés aux figures 5.4 et 5.5
du chapitre suivant (section 5.1.3) parce qu’ils contiennent également des résultats de
simulations.
61
Chapitre 4. Résultats expérimentaux
4.1.3
Mesures du BER
Des mesures expérimentales du taux d’erreur ont été réalisées avec les combinaisons
formées à partir de trois bandes optiques Bo et de trois bandes électriques Be . Ces
combinaisons donnent quatre valeurs du rapport Bo /Be distinctes, qui sont présentées à
la table 4.1.3. En pratique, la bande électrique est déterminée par le taux de transmission
des données, car le filtre électrique est toujours sélectionné pour que sa largeur à 3 dB
corresponde à environ 70 % de ce taux.
Tab. 4.2 – Facteurs M obtenus pour les mesures du BER
Facteur M
M ≈ Bo /Be
5.4
10.7
21.4
42.8
Bo
Be
5 GHz 933 MHz
10 GHz 1.87 GHz
5 GHz 467 MHz
10 GHz 933 MHz
20 GHz 1.87 GHz
10 GHz 467 MHz
20 GHz 933 MHz
20 GHz 467 MHz
Ces trois formes de spectre optique combinées aux trois largeurs de filtre électrique
donnent des valeurs de M comprises entre 5 et 43. Ce sont des valeurs significatives,
puisqu’elles correspondent à différents régimes. Lorsque M est faible (≈ 5), le signal
est très dégradé et le BER est élevé. Par contre, lorsque M est élevé (≈ 43), le BER
est assez faible et la distribution de l’intensité tend vers le cas gaussien. On considère
généralement acceptable l’approximation gaussienne de la PDF lorsque M approche
100. Ces combinaisons ont été sélectionnées dans le but d’avoir un BER élevé, puisqu’il
est plus facile de faire des simulations de type Monte-Carlo lorsque les performances
sont mauvaises. Les erreurs sont plus fréquentes et le nombre de bits requis pour obtenir
un nombre fixe d’erreurs est donc moins élevé (en probabilité).
Les mesures de BER sont prises avec un signal SSWDM à 1550 nm seul et en conversion de longueur d’onde vers un signal cohérent à 1521 nm. Le montage expérimental
de la figure 4.3 utilise un laser Agilent 8164A, un photodétecteur Agilent 11982A. Le
système BERT Agilent 70004A comprend un générateur de signal Agilent 70340A et
un détecteur d’erreurs Agilent 70843C. Des filtres électriques Picosecond Pulse Labs
à 467 MHz (5915-100-467MHz), 933 MHz (5915-110-933MHz) et 1.87 GHz (5915-110187GHz) ont été utilisés. Exceptionnellement, un pré-amplificateur optique à semi-
62
Chapitre 4. Résultats expérimentaux
Contrôleur de
polarisation
Atténuateur
variable
Modulateur
EO
1
2
3
Filtre optique
0.25 nm @ 1521 nm
Source
incohérente
@ 1550 nm
Générateur
PRBS 2 15 -1
SOA
Courant:
130 mA
Laser
accordable
@1521 nm
Photodiode
Filtre
Électrique
0.7 x Taux
Mesure du
BER
Électrique
Oscilloscope
Optique
Fig. 4.3 – Schéma du montage expérimental utilisé pour la conversion de longueur
d’onde
conducteur de marque Kamelian a été utilisé pour les mesures de BER au lieu du
modèle de SOA Optospeed utilisé pour toutes les autres expériences. Il s’agissait du
seul amplificateur disponible au moment où ces mesures ont été faites.
Les figures 4.4 à 4.6 ont été tracées de manière à faciliter l’interprétation en terme
de spectre optique et de taux binaire. Pour chaque taux, la courbe du haut (noire) est
mesurée avec la source incohérente seule et la courbe du bas (rouge) est mesurée avec
un schéma de conversion de longueur d’onde. Les courbes à 622 Mb/s sont représentées
par des triangles, à 1.25 Gb/s par des carrées et à 2.5 Gb/s par des cercles. Dans un
contexte de communications numériques, on peut faire l’interprétation suivante :
1. Pour une même bande optique : le BER croı̂t avec le taux de transmission,
car en augmentant la bande électrique on laisse passer plus de bruit.
2. Pour une même bande électrique : le BER diminue si on augmente la bande
optique, car le facteur M augmente aussi.
Comme il est possible de le constater en observant les distributions de probabilité
de la figure 2.3, plus les sources incohérentes ont un spectre étroit, plus elles sont
bruyantes puisque leur facteur M associé diminue. Il est donc raisonnable d’obtenir de
moins bonnes performances pour la source optique de 5 GHz que pour la source de 20
63
Chapitre 4. Résultats expérimentaux
−1
10
−2
10
−3
BER
10
−4
10
BR = 1.25 Gb/s
−5
10
−6
10
BR = 622 Mb/s
−7
10
−20
−18
−16
−14 −12 −10
−8
Puissance Optique (dBm)
−6
−4
−2
Fig. 4.4 – Mesure du BER pour une source optique de 5 GHz
GHz ceteris paribus. À la figure 4.4, on remarque l’abscence de la courbe de 2.5 Gb/s,
qu’il n’a pas été possible d’obtenir expérimentalement étant donné le niveau de bruit
élevé. Les performances (i.e. le BER) étaient trop mauvaises pour être adéquatement
mesurées.
On remarque que le BER est amélioré par le schéma de conversion de longueur
d’onde par près de quatre ordres de grandeurs dans certains cas. Cette amélioration
ouvre la voie à différentes solutions pour augmenter encore davantage les performances,
comme par exemple l’utilisation de certains codes correcteurs.
4.2
Extraction des paramètres du modèle numérique
de simulation
On présente dans cette section les mesures faites pour déterminer la valeur de certains paramètres physiques utilisés dans les différents modèles de simulations.
64
Chapitre 4. Résultats expérimentaux
0
10
−2
BR = 2.5 Gb/s
10
−4
BER
10
BR = 1.25 Gb/s
−6
10
−8
10
−10
BR = 622 Mb/s
10
−12
10
−20
−15
−10
−5
Puissance optique (dBm)
0
5
Fig. 4.5 – Mesure du BER pour une source optique de 10 GHz
0
10
−2
10
BR = 2.5 Gb/s
−4
10
−6
BER
10
BR = 1.25 Gb/s
−8
10
−10
10
−12
10
BR = 622 Mb/s
−14
10
−20
−15
−10
−5
Puissance Optique (dBm)
0
5
Fig. 4.6 – Mesure du BER pour une source optique de 20 GHz
65
Chapitre 4. Résultats expérimentaux
4.2.1
Spectre de l’ASE
Pour pouvoir caractériser l’ASE émise par l’amplificateur, une mesure de son spectre
de puissance a été effectuée à l’aide d’un OSA Ando AQ6317B. Il s’agit d’une mesure
simple à réaliser qui permet d’obtenir la distribution de puissance totale à la sortie
de l’amplificateur. La mesure permet aussi de connaı̂tre la puissance de l’ASE émise
en l’abscence de signal, soit l’intégrale de la PSD. On obtient des puissances de 7.0 et
7.2 dBm à chacune des sorties du SOA Optospeed. La figure 4.7 montre la distribution
spectrale de la puissance de l’ASE.
0
−5
Puissance (dBm/nm)
−10
−15
1560 1560.5 1561
−20
−25
−30
−35
−40
−45
1500
1520
1540
1560
1580
Longueur d’onde (nm)
1600
1620
Fig. 4.7 – Densité spectrale de puissance de l’ASE du SOA Optospeed
4.2.2
Dimension du milieu de gain
La mesure du spectre d’ASE permet d’obtenir un estimé de la longueur du milieu de gain de l’amplificateur. En effet, il subsiste toujours une légère résonnance à
l’intérieur du milieu actif malgré l’utilisation de couches anti-reflets. Par analogie avec
un résonateur de type Fabry-Pérot, il est possible de déduire la longueur de la cavité.
Pour la mesure des dimensions d’un résonateur passif, on peut utiliser une source de
lumière large-bande pour éclairer la cavité. Le spectre de la lumière à la sortie de la cavité comporte des franges causées par l’interférence à certaines longueurs d’onde. Dans
66
Chapitre 4. Résultats expérimentaux
le cas du SOA, la source de lumière large-bande est interne : c’est l’ASE générée par le
milieu actif qui éclaire la cavité. On estime la dimension optique du milieu de gain en
observant l’espacement des franges d’interférence sur le spectre présenté à la figure 4.8.
L’encadré est un agrandissement d’une portion du spectre et sert à identifier clairement
les franges.
−4.85
−4.9
Puissance (dBm/nm)
−4.95
∆λ
−5
−5.05
−5.1
−5.15
−5.2
1560
1560.15
1560.3
1560.45
1560.6
Longueur d’onde
1560.75
1560.9 1561
Fig. 4.8 – Franges d’interférence observées sur le spectre d’ASE
Pour obtenir la longueur de la cavité, il faut déterminer l’espacement en fréquence
des maxima locaux du spectre. Comme ce dernier est présenté sur une échelle de longueur d’onde, il suffit de différencier la relation de dispersion de la lumière c0 = λν
pour obtenir
|∆ν| =
c0 |∆λ|
λ2
(4.1)
On remplace alors cette équation dans la relation classique décrivant l’interférence dans
une cavité Fabry-Pérot [22]
∆ν =
c
c0 /neq
=
2L
2L
(4.2)
67
Chapitre 4. Résultats expérimentaux
où la vitesse de la lumière dans le vide c0 est divisée par l’indice de réfraction moyen neq
du milieu de gain. On obtient donc la relation entre l’espacement en longueur d’onde
et la longueur optique de la cavité :
L=
λ2
.
2 ∆λ neq
(4.3)
En utilisant 0.2 nm comme valeur d’espacement spectral, la longueur du chemin optique est estimée à environ 1.9 mm. Par contre, une erreur de 0.05 nm sur l’espacement
entraı̂ne une erreur de 0.47 mm sur la longueur optique de la cavité. Divisé par l’indice
de réfraction moyen, la longueur de la cavité L est estimée à 0.9 mm. La meilleure correspondance entre les données expérimentales et les résultats de simulation est obtenue
avec une valeur de L = 1.3 mm.
4.3
Mesures des cas de figure
On présente les mesures réalisées pour obtenir les trois figures de mérite fixées comme
balises dans l’analyse des modèles de simulations. Ces résultats sont repris à la section
5.2 pour valider les simulations numériques.
Les mesures expérimentales faites avec un signal dont l’intensité est constante dans
le temps sont dites statiques. Il s’agit de la saturation du gain (section 4.3.1) et du
spectre de gain (section 4.3.2).
Les formes d’un pulse optique, avant et après son amplification par le SOA, ont aussi
été mesurées. Il s’agit de mesures dynamiques visant à valider la réponse du modèle
aux variations brusques de puissance optique du signal à l’entrée. Les résultats sont
présentés à la section 4.3.3.
4.3.1
Mesure de la saturation du gain
La courbe de saturation du gain présente le gain global de l’amplificateur G(Pk , λk )
pour plusieurs puissances optiques fixes. Typiquement, la courbe comporte deux asymptotes lorsqu’elle est tracée en échelle logarithmique :
68
Chapitre 4. Résultats expérimentaux
– Faible Signal. Lorsque le signal d’entrée a une puissance très faible, le gain est
presque constant autour d’une valeur G0 . Il s’agit du gain à faible signal.
– Fort Signal. Dans le cas où la puissance d’entrée est très élevée, la puissance de
sortie tend vers une valeur fixe [27].
La figure 4.9 présente la courbe de gain obtenue expérimentalement à 1560 nm. Les
deux asymptotes décrites précédemment y sont représentées.
32
30
28
26
Gain (dB)
24
Gain à faible signal
22
20
18
16
Diminution du gain à fort signal
14
12
10
−50
λ = 1560 nm
−40
−30
−20
−10
0
P in (dBm)
opt.
Fig. 4.9 – Saturation et comportement asymptotique du gain
Pour réaliser la mesure du gain à une longueur d’onde précise, il est impératif d’utiliser une source optique de faible largeur spectrale (quelques MHz). Dans ce cas, un
laser Agilent 8164A est utilisé.
Les mesures de puissance des signaux d’entrée et de sortie se font à l’aide du même
instrument de manière à conserver la référence de puissance. On utilise un analyseur de
spectre optique (OSA) Ando AQ6317B. Cet instrument permet de mesurer le niveau
du bruit (ASE) autour de la longueur d’onde du signal à la sortie du SOA. On se
sert de cette valeur pour éliminer l’effet du bruit (ASE) et ainsi obtenir le gain à
la longueur d’onde du signal [44]. La correction est importante lorsque la puissance du
signal d’entrée est faible, car la puissance d’ASE est alors élevée. Le schéma expérimental
est illustré à la figure 4.10.
69
Chapitre 4. Résultats expérimentaux
Atténuateur
variable
Laser
Accordable
Contrôleur de
polarisation
SOA
OSA
Isolateur
Fig. 4.10 – Schéma du montage expérimental utilisé pour les mesures de gain
La courbe de saturation du gain donne accès à une valeur importante : la puissance
de saturation Psat de l’amplificateur. En pratique, on la définit comme la puissance
optique d’entrée qui observe un gain équivalent à la moitié du gain à faible signal.
Autrement dit, G(Psat ) , G0 /2. Dans toutes les mesures, la polarisation est ajustée de
manière à maximiser le gain.
4.3.2
Mesure du spectre de gain
Le spectre de gain G(λ) est obtenu en mesurant le gain à plusieurs longueurs d’onde
en gardant la puissance optique à l’entrée du SOA fixe. La méthode de mesure, le
montage et les instruments sont les mêmes que pour la saturation du gain. Le spectre
de gain présenté à la figure 4.11 a été obtenu pour une puissance d’entrée de -25 dBm.
4.3.3
Mesure de la forme d’un pulse optique amplifié
Le critère choisi comme élément de comparaison en régime dynamique est la forme
d’un pulse optique après son passage dans l’amplificateur. Bien que cette mesure ne
soit pas représentative du régime dynamique complet, elle a l’avantage d’être facile à
réaliser au laboratoire.
La mesure de la forme temporelle du pulse amplifié faite au laboratoire utilise un
oscilloscope à échantillonnage Agilent 86100A. On fait cette mesure à la sortie de l’amplificateur, mais également à l’entrée de ce dernier pour différents niveaux de puissance.
La mesure du pulse à l’entrée est importante, car les échantillons temporels obtenus
servent de signal d’entrée aux modèles de simulation.
En pratique, le montage présenté à la figure 4.12 comprend un laser accordable
Agilent 8164A, centré à une longueur d’onde de 1560 nm. Le signal est modulé de
manière interférométrique (modulateur électro-optique du type Mach-Zender). Le rap-
70
Chapitre 4. Résultats expérimentaux
30
25
Gain (dB)
20
15
10
5
Poptique = −25 dBm
0
1530
1540
1550
1560
Longueur d’onde (nm)
1570
1580
Fig. 4.11 – Spectre de gain à faible signal de l’amplificateur
port d’extinction obtenu est d’environ 10 dB après le filtre électrique, mais il varie
légèrement avec les différents niveaux de puissance comme il est possible de le constater à la figure 4.13. On détecte le signal avec une photodiode Agilent 11982A et on
enregistre la forme à l’aide d’un oscilloscope à échantillonnage Agilent 86100A dont la
bande passante est supérieure à 20 GHz.
Les pulses sont mesurés aux quatre puissances (moyennes temporelles) suivantes :
– une puissance supérieure à la puissance de saturation (Pin = −9dBm > Psat ),
– une puissance comparable à la puissance de saturation (Pin = −13dBm ≈ Psat ),
– deux puissances inférieures (Pin = {−18, −22} dBm < Psat ).
Un filtre électrique est placé entre le modulateur et le générateur de patrons pseudoaléatoires. Il sert à éliminer les oscillations rapides introduites sur les données binaires
par le système de mesure (BERT) lors des transitions (0 vers 1 et 1 vers 0). Ces
oscillations proviennent des harmoniques du signal d’horloge et sont problématiques
lors de la modélisation. Les transitions du signal électrique envoyées au modulateur sont
moins franches, mais elles ne comportent pas d’oscillations parasites. Même si le filtre
électrique réduit la largeur de bande du stimulus envoyé au SOA, l’objectif premier de
cette expérience est d’obtenir un modèle adéquat pour les systèmes de communications
métropolitains. Nous estimons qu’en ce sens, utilisé un pulse filtré est représentatif de
71
Chapitre 4. Résultats expérimentaux
Atténuateur
variable
Contrôleur
de polarisation
LASER
@ 1560 nm
Isolateur
Optique
EO
Modulateur
Filtre
Électrique
SOA
Photodiode
Oscilloscope
(trigger)
PRBS 2 7 -1
@ 1 Gb/s
Liens électriques
Liens optiques
Fig. 4.12 – Montage expérimental de la mesure des pulses optiques
la fiabilité du modèle. On remarque également sur le montage de la figure 4.12 qu’il
n’y a pas de filtrage optique avant le photodétecteur. Un tel filtrage est problématique
pour deux raisons :
1. Le niveau d’ASE est important pour valider les simulations numériques. Filtrer
pour ne conserver que le signal ne permettrait pas d’obtenir une grande certitude
quand à la modélisation de l’ASE dans les simulations numériques.
2. Ajouter un filtre optique modifie la forme des pulses optiques enregistré par le
photodétecteur. Les SOA introduisent un glissement de fréquence ou chirp important sur le signal de sortie [45]. Utiliser un filtre introduit une distortion du
pulse, un phénomène comparable à la démodulation d’un signal FM [8, 44, 46].
La plus grande subtilité de cette mesure est d’identifier correctement le pulse sur la
séquence binaire pseudo-aléatoire (PRBS) de 127 bits. Pour que les effets dus au patron
soient les mêmes à l’entrée et à la sortie, il faut mesurer le bit au même endroit de la
séquence dans les deux mesures. En pratique, on choisit un pulse isolé, c’est-à-dire un
1 précédé et suivi de plusieurs 0.
4.4
Résumé du chapitre
Au chapitre 4, différents aspects expérimentaux sont présentés. Tout d’abord, les
mesures de la forme spectrale de la source incohérente sont présentées. De plus, la
72
Chapitre 4. Résultats expérimentaux
12
Pmoy = −9.1 dBm
11
−5
10
Pmoy = −13.1 dBm
9
Popt. (dBm)
Popt. (dBm)
−10
Pmoy = −17.8 dBm
−15
Pmoy = −22.1 dBm
−20
8
7
6
Pmoy = −8.2 dBm
Pmoy = −13.1 dBm
5
−25
Pmoy = −17.8 dBm
4
−30
0
0.5
1
temps (ns)
(a) À l’entrée
1.5
2
3
Pmoy = −22.1 dBm
0
0.5
1
1.5
2
temps (ns)
(b) À la sortie
Fig. 4.13 – Pulses mesurés à l’entrée et à la sortie du SOA
distribution d’intensité de la source est présentée. Ensuite, des mesures du taux d’erreur
binaires sont présentées pour différentes bandes optiques.
Par la suite, des mesures du spectre d’ASE émise par le SOA sont présentées. Elles
sont utilisées pour obtenir des informations sur les dimensions physiques des SOA,
spécialement la longueur optique de la région active.
En dernier lieu, on présente trois types de mesures servant de points de repère pour
la comparaison des modèles de simulation. Ces mesures sont la saturation du gain, le
spectre de gain et la réponse à un pulse. La comparaison des résultats de simulation
avec ces trois mesures est faite au chapitre suivant.
Chapitre 5
Résultats de simulation
Dans le but d’estimer les performances d’un système de communication SSWDM
utilisant la conversion de longueur d’onde à la réception, il est nécessaire de modéliser
correctement la source incohérente et le SOA. Tout d’abord, les propriétés statistiques
des sources incohérentes ont été étudiées et les résultats obtenus servent à développer un
modèle semi-analytique pour estimer le BER. Ensuite, la correspondance des résultats
de simulation avec les résultats expérimentaux sont étudiées pour les cinq modèles
numériques de SOA introduits au chapitre 3.
5.1
Simulation du BER
Cette section porte sur la modélisation des sources incohérentes. On vérifie d’abord
que le modèle théorique est adéquat en comparant les histogrammes expérimentaux
aux PDFs prédites par le modèle. On étudie également certaines propriétés statistiques des modèles de sources thermiques. Par la suite, on utilise ce résultat pour
estimer le taux d’erreur associé à l’utilisation d’une source incohérente dans le contexte
d’un système de communication. Ce modèle semi-analytique est ensuite validé avec les
courbes expérimentales du BER qui ont été présentées à la section 4.1.3.
5.1.1
Ergodicité des sources incohérentes
On se propose tout d’abord de vérifier l’ergodicité du processus lorsqu’on utilise
le modèle fréquentiel pour décrire les sources incohérentes. Lors du développement
74
Chapitre 5. Résultats de simulation
présenté à la section 2.1, l’espérance mathématique a été interchangée librement avec la
moyenne temporelle. Même s’il est impossible de le faire au laboratoire, on peut facilement vérifier numériquement l’ergodicité du processus I(t). En simulation, il est facile
de réaliser la même expérience un grand nombre de fois. On utilise le modèle présenté
à la section 2.4 pour obtenir des échantillons de deux manières différentes :
1. Statistiques temporelles. La distribution de l’intensité est obtenue sur une
seule réalisation en considérant tous les échantillons.
2. Statistiques d’ensemble. La distribution de l’intensité est formée d’échantillons
obtenus à un seul instant du temps pour un grand nombre de réalisations du
processus W (t).
La figure 5.1 compare les deux hypothèses précédentes. D’une part, elle montre la
distribution de l’intensité obtenue en présumant l’ergodicité pour 100 000 échantillons
temporels. D’autre part, la figure montre les distributions prises à trois différents instants d’échantillonnage (ts = 150, 250 et 450) en supposant la deuxième hypothèse. Les
trois instants d’échantillonnage ont été choisis arbitrairement pour vérifier que le comportement statistique est le même sur tout l’intervalle. Ce devrait être le cas, puisque
la modélisation est en partie basée sur la stationnarité de la source. La figure en échelle
logarithmique montre des effets de discrétisation pour les événements rares. Un plus
grand nombre d’échantillons est requis pour obtenir un histogramme plus lisse à des
fréquences relatives faibles.
3
1000
10
900
ts = 150
ts = 250
ts = 250
ts = 450
ts = 450
supposant erg.
700
600
500
400
300
2
Fréquence Relative
800
Fréquence Relative
ts = 150
supposant erg.
10
1
10
0
10
200
100
0
−1
0
0.002
0.004
0.006
Intensité (W)
(a) Échelle linéaire
0.008
0.01
10
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
Intensité (W)
(b) Échelle logarithmique
Fig. 5.1 – Distribution de l’intensité de la source incohérente sans filtrage
La figure 5.1 montre une très bonne correpondance entre les deux hypothèses. On
peut aller encore plus loin dans la vérification et montrer qu’en simulation, le signal
amplifié semble aussi ergodique. Ce résultat est présenté à la figure 5.2. Évidemment,
75
Chapitre 5. Résultats de simulation
cette démonstration de l’ergodicité est limitée au modèle numérique, en l’occurrence le
modèle du réservoir. La démonstration de l’ergodicité du processus, du moins selon les
simulations numériques, pourrait faciliter une approche analytique du problème. Elle
donne une certaine confiance en l’hypothèse de l’ergodicité du processus à la sortie du
SOA.
3
120
10
ts = 150
ts = 150
ts = 250
100
10
Fréquence Relative
ts = 450
Fréquence Relative
ts = 250
2
Ergodique
80
60
40
ts = 450
Supposant erg.
1
10
0
10
−1
10
20
0
−2
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
10
0.03
0
0.005
Intensité (W)
0.01
0.015
0.02
0.025
Intensité (W)
(a) Échelle linéaire
(b) Échelle logarithmique
Fig. 5.2 – Distribution de l’intensité du signal amplifié par le modèle du réservoir
5.1.2
Estimation du facteur M
Pour obtenir une description complète du bruit d’intensité selon le modèle proposé
par Goodman, il faut détenir deux informations : la moyenne de l’intensité et le facteur
M. La moyenne est facile à obtenir, mais ce n’est pas le cas du facteur M du signal.
On utilise la définition proposée à la section 2.2 :
M = R ∞ hR ∞
−∞
−∞
hR
∞
−∞
Bo (ω)dω
i2
i
Bo (ω)Bo (ω + Ω)dω Be (Ω)dΩ
Le spectre optique de la source incohérente est utilisé pour extraire le facteur M
et ainsi déduire la PDF de l’intensité. La puissance du signal (au numérateur) et celle
du bruit (au dénominateur) sont calculées indépendamment en utilisant la procédure
suivante.
1. Puissance du signal :
Chapitre 5. Résultats de simulation
76
(a) La PSD mesurée de la source est convertie en échelle linéaire pour obtenir
SASE (λc )Bo (λ).
(b) La PSD SASE (λc )Bo (λ) est ensuite convertie dans le domaine des fréquences
pour obtenir SASE (ωc )Bo (ω).
(c) La PSD est ensuite recentrée sur la fréquence optique correspondant à son
maximum (ωc ) pour obtenir Bo (ω).
(d) La puissance totale du signal est obtenue en intégrant la PSD finale.
2. Puissance du bruit :
(a) L’axe des fréquences optiques est interpolé sur un vecteur linéaire pour faciliter le calcul de la fonction d’autocorrélation.
(b) On détermine une fonction de transfert électrique Bessel-Thompson de quatrième ordre notée H(ω) [9]. Cette forme de filtre est choisie parce qu’elle
approxime corectement le filtre utilisé dans le montage de la figure 4.3.
(c) La fonction d’autocorrélation du spectre optique est multipliée par le filtrage
en puissance Be (ω) = |H(ω)|2 .
(d) Une intégration numérique de l’étape précédente permet d’obtenir la puissance du bruit.
3. Le facteur M est obtenu en divisant la puissance du signal par celle du bruit,
suivant l’équation 2.2.
On présente à la figure 5.3 un exemple comparatif de la largeur de la fonction d’autocorrélation du filtre optique (en bleu) et du module carré de la réponse en fréquence (en
noir) de la fonction de transfert du filtre électrique. Pour un facteur M faible (environ
5), la forme de la bande optique est relativement importante, même si le résultat du produit (cercles rouges) ne s’écarte pas beaucoup de la réponse Be (ω) du filtre électrique
(trait plein noir). Il semble évident que pour une bande optique suffisamment large,
seule la valeur du DC de l’autocorrélation du filtre optique est réellement importante.
La valeur du facteur M est déterminée principalement par la forme du filtre électrique.
5.1.3
PDF de l’intensité intégrée paramétrisée par M
Pour en vérifier l’exactitude du modèle proposé par Goodman [11], on réalise un
histogramme de l’intensité intégrée W (t) du signal. On présume de manière implicite l’ergodicité du processus puisque les échantillons sont recueillis les uns après les
autres pour une seule réalisation. L’histogramme normalisé est obtenu avec la source
de 5 GHz donnant un facteur M ≈ 5.7 lorsqu’elle est employée avec un filtre électrique
de 933 MHz.
77
Chapitre 5. Résultats de simulation
1
Auto−corr.
|H(f)|2
0.9
Acorr ⋅ |H|2
0.8
Réponse (u.a.)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−6
−4
−2
0
2
Fréquence (GHz)
4
6
Fig. 5.3 – Comparaison du spectre optique autocorrélé et de la fonction de transfert
électrique en puissance
Pour obtenir la correspondance de la figure 5.4, il faut cependant tenir compte
des diverses sources de bruit à la détection. La somme des bruits de détection est
modélisée comme une seule variable aléatoire gaussienne de moyenne nulle dont la
variance est obtenue expérimentalement. L’expression théorique de la PDF (équation
2.40) est convoluée avec la PDF de la variable gaussienne représentant les bruits de
détection.
Pour faire la transposition des signaux continus vers les signaux modulés OOK
utilisés dans les systèmes SSWDM, il faut faire l’hypothèse que l’approche théorique
tient toujours pour les niveaux logiques 0 et 1 pris indépendamment. La moyenne
de chacun des niveaux est mesurée sur l’histogramme directement. Il est possible de
constater à la figure 5.5 que l’extension de la théorie de Goodman vers les signaux
modulés OOK semble adéquate.
5.1.4
BER paramétrisé par M
En prenant pour hypothèse que les sources thermiques modulées OOK peuvent
être décrites par le modèle présenté à la section 2.3 [11], il est alors possible d’estimer
78
Chapitre 5. Résultats de simulation
1
10
simulation
expérimental
0
Fréquence relative
10
−1
10
−2
10
−3
10
−4
10
M ≈ 5.7
P
= − 5.5 dBm
−5
10
moy
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Puissance optique (mW)
Fig. 5.4 – Histogramme normalisé de l’intensité optique d’un signal incohérent sans
modulation (CW)
numériquement le BER. La procédure décrite plus bas consiste à utiliser la PDF de
l’intensité sur les niveaux logiques 0 et 1 indépendamment. On introduit ensuite les
bruits de détection et on obtient le BER en intégrant numériquement l’intersection des
deux PDFs. La procédure est détaillée plus bas.
1. Structure des données. Pour tenir compte de l’interférence inter-symbol (ISI)
engendrée par le filtrage électrique, nous supposons un canal avec une mémoire
de deux bits. On génère huit vecteurs de trois bits à 40 échantillons par bit,
correspondant aux 23 combinaisons possibles des symboles logiques [3].
2. Filtrage électrique. Pour obtenir la forme des séquences de données après filtrage, on filtre les séquences de bits de l’étape précédente.
3. Distribution d’intensité des niveaux logiques. Chacune des huit séquences
de bits a une moyenne différente, mais le même facteur M. On calcule la PDF de
chaque séquence en utilisant comme moyenne sa valeur au moment d’échantillonnage.
On désire obtenir deux PDFs : une sur le niveau logique 1 et une sur le niveau
logique 0. Pour ce faire, on moyenne la PDF de chacune des quatre séquences sur
le 0 et sur le 1, c’est-à-dire
79
Chapitre 5. Résultats de simulation
−2
10
Mesure
Simulation 0 logique
Simulation 1 logique
−3
Férquence relative
10
−4
10
−5
10
−6
10
−7
10
M ≈ 6.55
Taux binaire = 2.5 Gb/s
−8
10
0
500
1000
1500
2000
2500
Puissance optique (µW)
Fig. 5.5 – Histogramme normalisé de l’intensité optique d’un signal incohérent modulé
(OOK)
4
1 X
p0,j (W )
p0 (W ) = 2
2 j=1
p1 (W ) =
(5.1)
4
1 X
p1,j (W ) .
22 j=1
(5.2)
4. Autres sources de bruit. La PDF moyennée de chaque niveau logique est multipliée par la responsivité mesurée du détecteur, puis convoluée avec la distribution
gaussienne du bruit du photocourant. On fait la supposition que la somme des
bruits peut être représentée par une variable gaussienne indépendante du signal
optique.
5. Calcul du BER. Une fois que la PDF finale a été déterminée pour chacun des
niveaux logiques, le BER est calculé à partir de la définition pour une modulation
de type OOK [3, 9, 10] :
1
BER =
2
Z
0
Ith
1
p1 (ζ) dζ +
2
Z
∞
Ith
p0 (ζ) dζ
(5.3)
80
Chapitre 5. Résultats de simulation
−1
10
BER
Le modèle permet de prédire
un plancher de bruit à 4 ⋅ 10−3
−2
10
Modèle semi−analytique
Données expérimentales
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
Puissance optique (dBm)
Fig. 5.6 – Simulations du BER pour un système SSWDM utilisant une bande optique
de 10 GHz
où Ith , R · Wth est le seuil de décision du photocourant. Ces simulations permettent
de prédire les planchers de bruit, qui ne sont pas toujours faciles à mesurer. Le choix
des paramètres de cette simulation (un M ≈ 5 et un taux de transmission de 2.5 Gb/s)
a été fait de manière à obtenir des taux d’erreur élevés, comme l’indique la figure 5.6
qui illustre les résultats obtenus avec ce modèle semi-analytique.
La différence observée à faible puissance entre la prédiction du modèle et la mesure
expérimentale s’explique principalement par le manque de précision de la mesure à
faible puissance. Lorsque le taux d’erreur est très élevé, le BERT ne parvient plus à
donner une mesure fiable puisqu’il perd sa synchronisation. Le taux d’erreur devrait,
tel que prédit par le modèle, tendre vers 0.5 puisque la probabilité a priori d’obtenir
un des deux symboles est 0.5.
5.2
Modélisation des SOA
Dans cette section, on présente les résultats de simulation obtenus avec le modèle
détaillé (section 3.4.1) et avec les quatre variantes du modèle du réservoir (sections 3.4.2
81
Chapitre 5. Résultats de simulation
à 3.4.5). Pour comparer la validité des modèles, on fixe trois différents cas de figure [36] :
1. La saturation du gain (statique)
2. Le spectre de gain (statique)
3. La réponse à un pulse (dynamique)
On compare les résultats de simulation avec les résultats expérimentaux de la section
4.3 pour chacun des trois cas de figure.
5.2.1
Modèle détaillé
Saturation du gain
Le modèle détaillé suggéré par Connelly, présenté à la section 3.4.1, permet d’obtenir
une correspondance fidèle avec les mesures de saturation du gain de la section 4.3.1. La
comparaison est présentée à la figure 5.7. Les valeurs des paramètres du modèle sont
listées par Mathlouthi [36] et répétées en annexe.
32
λ = 1560 nm
30
28
26
Gain (dB)
24
22
20
18
16
14
12
10
−50
modèle détaillé
mesures
−40
−30
−20
P
opt.
−10
0
(dBm)
Fig. 5.7 – Saturation du gain obtenue avec le modèle détaillé
Chapitre 5. Résultats de simulation
82
Spectre de gain
Comme le montre la figure 5.8, le modèle détaillé prédit bien le spectre de gain. Il est
cependant important de mentionner que le modèle a été développé pour la modélisation
des amplificateurs en régime stationnaire [26]. Son extension vers le régime dynamique
a déjà été réalisée [34].
Pulse optique amplifié
La plus grande difficulté avec le modèle détaillé réside dans l’estimation de la valeur
des paramètres de simulation. La figure 5.9 montre que le modèle prédit très bien les
valeurs expérimentales aux niveaux de puissance P1 et P0 = P1 /RE, où RE est le
rapport d’extinction. On définit le niveau P1 comme la puissance de sortie du SOA
après le régime transitoire (le surdépassement), c’est-à-dire la valeur du plateau tel
qu’indiquée sur la figure 5.9 qui correspond au 1 logique. La puissance P0 est la puissance
équivalente, mais sur le niveau logique 0. La puissance moyenne est définie par la relation
Pmoy , (P1 + P0 )/2.
On constate que la correspondance est relativement bonne sur le surdépassement, au
début du pulse. Cependant, le modèle ne tient pas compte des effets ultra-rapides qui se
font principalement sentir principalement à ce moment [47]. Pour simuler numériquement
les communications à des taux binaires relativement faibles (inférieurs à 10 Gb/s), le
modèle est suffisamment précis.
5.2.2
Modèle du réservoir sans ASE
Saturation du gain
Dans cette section, on examine la version du modèle du réservoir qui néglige l’ASE.
On constate que l’ASE est essentielle à la bonne description de la saturation du gain.
À faible signal, l’ASE provoque une saturation auto-induite (self-saturation) de l’amplificateur. En utilisant un modèle sans ASE, la prédiction du gain à faible signal est
beaucoup trop élevée, comme on l’indique la figure 5.10.
La matrice de gain gres (λ, n) linéarisée a été utilisée dans ce cas, et les paramètres
d’optimisations sont présentés à la table 5.1. Les coefficients listés dans la table pour
83
Chapitre 5. Résultats de simulation
30
25
Gain (dB)
20
15
10
5
modèle détaillé
mesures
0
1530
1540
1550
1560
1570
1580
1590
longueur d’onde (nm)
Fig. 5.8 – Spectre de gain obtenu avec le modèle détaillé
9
8
Popt. (mW)
7
P0
6
P1
5
4
mesure
modèle détaillé
3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
temps (ns)
Fig. 5.9 – Pulse amplifié obtenu avec le modèle détaillé
84
Chapitre 5. Résultats de simulation
32
30
P
Pulse avec
= −9 dBm
moy
28
P0
26
P1
Gain (dB)
24
22
20
P0
18
Pulse avec
P
= −18
16
moy
dBm
14
12
10
−50
P1
rsvr sans ASE, 1 section
mesures
−40
−30
−20
P
opt.
−10
0
(dBm)
Fig. 5.10 – Saturation du gain obtenue avec le modèle du réservoir sans ASE
a(λ) et n0 (λ) sont des constantes qui multiplient les vecteurs de la figure 3.12 obtenus
lors de la linéarisation de la matrice du coeffcient de gain matériel.
Tab. 5.1 – Paramètres de simulation pour le modèle du réservoir sans ASE
Paramètre
Valeur
section
τeq
a
n0
cout
αs L
ηsp
1
305 ps
1.000×
0.965×
0.400
-
Spectre de gain
En observant la figure 5.11, on constate que le spectre de gain est surestimé par le
modèle sans ASE. Il aurait été possible de le déduire directement de la figure 5.10 en
observant le gain à faible signal, qui est lui aussi surestimé. En effet, le spectre de gain
85
Chapitre 5. Résultats de simulation
30
P = −27 dBm
in
25
Gain (dB)
20
15
10
5
rsvr sans ASE, 1 section
mesures
0
1530
1540
1550
1560
1570
1580
1590
longueur d’onde (nm)
Fig. 5.11 – Spectre de gain obtenu avec le modèle du réservoir sans ASE
a été mesuré pour une puissance de -27 dBm qui est nettement inférieure à la puissance
de saturation. Malgré le fait qu’il soit trop élevé, le spectre de gain du modèle sans ASE
a un maximum près de 1560 nm, comme celui de la courbe de gain expérimentale.
Pulse optique amplifié
On présente les résultats de simulation pour l’amplification de pulses optiques avec le
modèle sans ASE. Pour examiner l’influence de la puissance du signal sur la saturation,
on considère deux régimes d’opération : à faible puissance optique et à forte puissance
optique. L’abscence de l’ASE introduit une déviation majeure entre les résultats de
simulation et les données expérimentales. Le pulse de droite de la figure 5.12 illustre
bien le phénomène pour deux raisons. Tout d’abord, son rapport d’extinction est trop
élevé. Ensuite, les niveaux logiques sont tous deux décalés vers les bas, ce qui s’explique
par l’abscence de la puissance d’ASE.
On constate à la partie gauche de la figure 5.12 qu’à plus forte puissance optique,
la correspondance avec les données expérimentales est meilleure. Cet effet s’explique
par le fait que la puissance de l’ASE est moins élevée lorsque l’amplificateur est saturé.
On surestime toutefois légèrement le niveau du 1 logique, comme l’indique la flèche à
86
Chapitre 5. Résultats de simulation
16
9
mesure
rsvr sans ASE
14
mesure
rsvr sans ASE
8
7
12
Popt (mW)
Popt (mW)
6
10
8
6
5
4
3
4
2
2
1
Pmoy = −9 dBm
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
temps (ns)
(a) Pmoy = −9 dBm
1.8
2
0
0.2
Pmoy = −18 dBm
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
temps (ns)
(b) Pmoy = −18 dBm
Fig. 5.12 – Pulses optiques amplifiés obtenus avec le modèle du réservoir sans ASE
l’extrême droite de la figure 5.10.
Ce comportement peut être expliqué à l’aide de la figure 5.10, qui montre aussi les
excursions de puissance (de P0 à P1 ) pour deux pulses d’entrée ayant comme puissance
moyenne -9 et -18 dBm. Ces deux formes de pulse, présentés à la figure 5.12, illustrent
bien l’influence de l’ASE sur le niveau de saturation. Les paramètres de simulation
ayant servis à générer la figure 5.10 ont été ajustés pour minimiser l’erreur dans la
région entre -15 et -25 dBm. C’est dans cette région que se situe la puissance du pulse
(Pmoy = -18 dBm) servant à la comparaison de tous les modèles [36]. Il s’agit d’une
faiblesse du modèle sans ASE, qui ne parvient pas à faire correspondre à la fois le gain
à forte et à faible puissance optique.
5.2.3
Modèle du réservoir en cascade avec ASE et pertes de
couplage
Pour augmenter la correspondance entre les simulations numériques et les données
expérimentales, un modèle avec ASE est développé. Il utilise plusieurs sections d’amplification et introduit des pertes entre chacune d’elles, tel que décrit à la section 3.4.3. Ce
modèle a de particulier qu’il utilise les coefficients provenant de la matrice gmat (λ, n).
Les paramètres de simulations sont données à la table 5.2.
87
Chapitre 5. Résultats de simulation
Tab. 5.2 – Paramètres de simulation pour le modèle du réservoir en cascade avec ASE
et pertes de couplage
Paramètre
Valeur
sections
τeq
σ
η0
cout
αs L
ηsp
5
320 ps
1.050×
0.965×
0.175
1.000
0.500×
Saturation du gain
La saturation du gain est adéquatement modélisée par le simulateur avec pertes
de couplages. Il est possible d’ajuster la valeur des pertes en fonction du nombre de
sections pour obtenir une très bonne correspondance à 1560 nm, comme le montre la
figure 5.13 réalisé en utilisant un modèle à 5 sections.
Spectre de gain
À la figure 5.14, on présente le spectre de gain du modèle avec pertes de couplage
pour une et cinq sections. En linéarisant la matrice du coefficient de gain gmat (λ, n),
on obtient un spectre de gain qui ne correspond pas aux mesures expérimentales. En
effet, le spectre est fortement décalé en longueur d’onde, comme le montre la figure
5.14. L’encadré de la figure montre le gain en échelle linéaire et illustre l’importance
de la différence entre la valeur mesurée et la valeur simulée. On constate que pour
toutes les longueurs d’onde supérieures à 1560 nm, le gain modélisé est beaucoup trop
important. L’ASE émise à ces longueurs d’onde est donc trop puissante, ce qui sature
le SOA indûment.
Le spectre de gain est faiblement affectée par l’utilisation d’un modèle utilisant une
propagation en plusieurs étapes (en cascade). On constate que le niveau de saturation
estimé pour une seule (longue) section est légèrement différent de celui estimé sur chacune des cinq sections utilisées pour cette simulation. C’est ce qui explique la différence
sur le niveau du gain G(λ) aux bords du spectre.
88
Chapitre 5. Résultats de simulation
32
λ = 1560 nm
30
28
26
Gain (dB)
24
22
20
18
16
14
12
10
−50
rsvr avec gmat(λ,n), 5 sections
mesures
−40
−30
−20
P
opt.
−10
0
(dBm)
Fig. 5.13 – Saturation du gain obtenue avec le modèle du réservoir en cascade (cinq
sections) avec ASE et pertes de couplage
Il est important de noter qu’en utilisant seulement la courbe de saturation du gain
à la longueur d’onde du signal (à 1560 nm) comme critère, il aurait été impossible de
détecter le décalage du gain. En effet, les ajustements font en sorte que les courbes
expérimentales et numériques se croisent à 1560 nm. Le fait de diviser l’amplificateur
en plusieurs sections ne déplace pas le spectre.
Cette différence du spectre vient de la manière dont le modèle du réservoir avec
pertes de couplage prend en considération les pertes par diffusion. Le modèle introduit
des pertes indépendantes de la longueur d’onde et de la densité de porteurs, ce qui
n’est pas très physique. En utilisant le modèle du réservoir avec pertes intrinsèques,
les pertes de diffusion sont calculées selon la densité de porteurs pour chaque longueur
d’onde et les résultats obtenus sont plus réalistes. Il aurait été possible de changer la
valeur du gap énergétique pour déplacer artificiellement le spectre de gain, mais cela
aurait eu pour effet de changer complètement le gain gmat (λ, n) du SOA. Nous tenions
à conserver la paramétrisation du SOA qui donne un gain matériel acceptable et de
bons résultats avec le modèle détaillé.
89
Chapitre 5. Résultats de simulation
Pulse optique amplifié
À la figure 5.15, on présente la forme du pulse amplifié prédite par le modèle du
réservoir avec pertes de couplage. La figure présente la contribution à la longueur d’onde
du signal (losanges), l’ASE totale émise sur les 20 canaux (tirets) et la somme des deux
qui représente le signal total incident sur la photodiode (cercles). Ce dernier est comparé
aux valeurs expérimentales (trait plein).
Les résultats de simulation pour le régime dynamique sont également affectés par
l’ASE émise aux longueurs d’onde supérieures à 1560 nm. Malgré l’ajustement du coefficient d’émission spontanée ηsp à la moitié de sa valeur originale, l’ASE est toujours
dominante. La forme du pulse présenté à la figure 5.15 illustre également que l’amplificateur est saturé. En effet, contrairement aux résultats obtenus avec les autres modèles,
le pulse ne présente pas de surdépassement lors de la transition du niveau logique 0
vers le niveau logique 1.
5.2.4
Modèle du réservoir en cascade avec ASE et pertes intrinsèques
Dans le but de corriger la forme du spectre de gain et la puissance trop élevée
de l’ASE, on utilise les coefficients du gain provenant de la matrice gres (λ, n). L’algorithme utilise le modèle en cascade (plusieurs sections) présenté à la section 3.4.4. Les
paramètres de simulations sont présentés à la table 5.3.
Tab. 5.3 – Paramètres de simulation pour le modèle du réservoir en cascade avec ASE
et pertes intrinsèques
Paramètre
Valeur
sections
τeq
a
n0
cout
αs L
ηsp
5
320 ps
1.050×
0.965×
0.230
0.700×
90
Chapitre 5. Résultats de simulation
50
rsvr avec gmat(λ,n) 1 section
40
rsvr avec gmat(λ,n) 5 sections
mesures
30
Gain (dB)
20
10
1500
0
1000
−10
500
−20
0
−30
1530
1540
1550
1530
1560
1560
1570
1590
1580
1590
longueur d’onde (nm)
Fig. 5.14 – Spectre de gain obtenu avec le modèle du réservoir en cascade avec ASE et
pertes de couplage
12
10
Popt (mW)
8
6
4
experimental
ASE only
signal only
total signal
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
temps (ns)
Fig. 5.15 – Pulse amplifié obtenu avec le modèle du réservoir en cascade avec ASE et
pertes de couplage
91
Chapitre 5. Résultats de simulation
Saturation du gain
Pour toutes les variantes du modèle du réservoir incluant l’ASE, la saturation du
gain à faible signal est correctement modélisée. On remarque à la figure 5.16 que la
saturation du gain prédite par le modèle du réservoir avec pertes intrinsèques à cinq
sections est comparable à celle observée expérimentalement. Elle se compare aussi très
bien à la saturation prédite par le modèle détaillé de la figure 5.7.
32
λ = 1560 nm
30
28
26
Gain (dB)
24
22
20
18
16
14
12
rsvr avec gres(λ,n), 5 sections
mesures
10
−50
−40
−30
−20
P
opt.
−10
0
(dBm)
Fig. 5.16 – Saturation du gain obtenue avec le modèle du réservoir en cascade avec
ASE et pertes intrinsèques
Spectre de gain
Comme le montre la figure 5.17, la correspondance du spectre de gain est meilleure
lorsque la matrice gres (λ, n) est utilisée. Le spectre de gain est correctement positionné
et le niveau d’ASE est acceptable.
On constate que le nombre de sections d’amplification affecte les bord du spectre.
En effet, comme le gain est faible dans ces zones, la justesse de l’estimation du niveau
de saturation devient plus importante. Cette déviation aux abords du spectre ne joue
cependant pas un grand rôle, puisque la majeure partie de la puissance d’ASE est
concentrée autour de 1560 nm.
92
Chapitre 5. Résultats de simulation
Pulse optique amplifié
L’introduction d’un modèle utilisant 20 canaux d’ASE (distribués de 1530 nm à 1590
nm) et une propagation sur cinq tranches permet d’obtenir une bonne correspondance
avec les données expérimentales. On constate que le signal à λ = 1560 nm représenté
par des losanges sur la figure 5.18 est similaire à celui de la figure 5.12. Par contre, en
lui additionnant la puissance de l’ASE provenant des 20 canaux, on obtient un pulse
dont la forme correspond à celle du pulse expérimental.
D’une part, la simulation décrit à la fois des niveaux moyens (0 et 1 logiques)
représentatifs des courbes statiques du gain (saturation et spectre). D’autre part, elle
permet également de décrire le surdépassement d’une manière qui se compare avantageusement à celle du modèle détaillé.
5.2.5
Modèle du réservoir en cascade avec canal équivalent
Dans le but d’accélérer la résolution de l’ODE du réservoir, il est possible de remplacer les 20 longueurs d’onde d’ASE par un seul canal équivalent doté d’une puissance
à l’entrée fixe. La table 5.4 présente les paramètres utilisés lors de la simulation. Les
constantes PASE , aASE et n0,ASE sont optimisées numériquement tandis que le nombre
de sections et la constante de temps sont fixés pour permettre la juste comparaison avec
les autres modèles.
Tab. 5.4 – Paramètres de simulation pour le modèle du réservoir en cascade avec canal
équivalent
Paramètre
Valeur
sections
τeq
PASE
aASE
n0,ASE
cout
αs L
ηsp
5
320 ps
-5.54 dBm
5.937 · 10−20 m2
1.341 · 1024 m−3
0.201
-
93
Chapitre 5. Résultats de simulation
30
25
Gain (dB)
20
15
10
rsvr avec gres(λ,n), 1 section
5
rsvr avec gres(λ,n), 5 sections
mesures
0
1530
1540
1550
1560
1570
1580
1590
longueur d’onde (nm)
Fig. 5.17 – Spectre de gain obtenu avec le modèle du réservoir en cascade avec ASE et
pertes intrinsèques
9
signal
signal + ASE
ASE
expérimental
8
7
Popt (mW)
6
5
4
3
2
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
temps (ns)
Fig. 5.18 – Pulse amplifié obtenu avec le modèle du réservoir en cascade avec ASE et
pertes intrinsèques
94
Chapitre 5. Résultats de simulation
Saturation du gain
On présente à la figure 5.19 la courbe de saturation du gain obtenue avec ce modèle.
Le choix de la longueur d’onde du canal équivalent, fixée à 1560 nm, n’influence pas
la courbe de saturation du gain. En effet, changer la longueur d’onde change le flux
de photons à travers la relation PASE = hc Nk /λASE . Cependant, comme la puissance
PASE est ajustée arbitrairement, une variation du choix de λASE est compensée par
l’algorithme d’optimisation.
32
λ = 1560 nm
30
28
26
Gain (dB)
24
22
20
18
16
14
12
10
−50
mesures
rsvr avec canal équivalent d’ASE, 5 sections
−40
−30
−20
P
opt.
−10
0
(dBm)
Fig. 5.19 – Saturation du gain obtenue avec le modèle du réservoir en cascade avec
canal équivalent
Il apparaı̂t clair que la courbe de saturation ne permet par d’obtenir une très bonne
correspondance avec les données expérimentales pour toutes les puissances. Il faut donc
fixer une région de travail et ajuter les propriétés du canal équivalent en conséquence.
Dans le cas présent, l’optimisation a été faite pour la plage -15 à -25 dBm.
Spectre de gain
Lors du développement de l’algorithme utilisant un canal équivalent présenté à la
section 3.4.5, l’accent a été mis sur la rapidité de simulation. Les valeurs de a(λ) et
95
Chapitre 5. Résultats de simulation
de n0 (λ) qui n’étaient pas nécessaires n’ont pas été inclues dans le modèle. Pour cette
raison, le spectre de gain a été volontairement omis.
Pulse optique amplifié
La puissance du canal équivalent est fixée par l’algorithme d’optimisation présenté
à la section 3.4.5. À l’entrée elle est d’environ -6 dBm et la longueur d’onde λASE est
fixée arbitrairement à 1560 nm. L’algorithme numérique converge vers un ensemble de
valeurs qui donnent un résultat physiquement acceptable.
9
signal
signal + canal eq.
canal equivalent
expérimental
8
7
Popt (mW)
6
5
4
3
2
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
temps (ns)
Fig. 5.20 – Pulse amplifié obtenu avec le modèle du réservoir en cascade avec canal
équivalent
Il est rassurant de noter que la puissance du canal équivalent amplifié de la figure
5.20 a la même forme et les mêmes valeurs que la somme des 20 canaux d’ASE de
la figure 5.18. A priori, l’utilisation d’un canal équivalent (semblable à un laser) peut
paraı̂tre étrange, car l’ASE est par nature très bruyante. Par contre, comme on considère
une très grande largeur spectrale, la variance de l’intensité de l’ASE est somme toute
faible. Avec une bande optique de près de 60 nm, le facteur M est très élevé et cette
modélisation semble adéquate.
Chapitre 5. Résultats de simulation
5.2.6
96
Pulses optiques amplifiés sur quatre canaux WDM
Des simulations supplémentaires ont été réalisées pour vérifier la validité du modèle
pour le cas de quatre canaux multiplexés en longueur d’onde (WDM). La vérification
est cependant sommaire : les canaux sont modulés simultanément et seule la séquence
logique 010 a été étudiée.
Aucune mesure expérimentale n’a été faite et ce sont les résultats de simulation
du modèle détaillé (courbes noires) qui servent de référence au modèle du réservoir
(courbes bleues). L’algorithme du réservoir avec pertes intrinsèques a été utilisé pour
les simulations. Le modèle du réservoir utilisé comprend 20 canaux d’ASE distribués
de 1530 nm à 1590 nm et les longueurs d’onde des canaux WDM sont 1550, 1553, 1556
et 1559 nm. Les valeurs des paramètres de simulation utilisés sont présentées à la table
5.5. La puissance moyenne est toujours de -18 dBm, mais elle est répartie également
sur les quatre canaux.
Pour étudier l’effet du choix de la matrice de gain, on présente deux ensembles
de courbes aux figures 5.21 et 5.22. Il s’agit de deux paramétrisations différentes. Les
résultats pour les paramètres correspondants au SOA Optospeed sont présentés à la
figure 5.21 tandis que ceux correspondants aux paramètres de l’article de Connelly [26]
sont présentés à la figure 5.22.
Le résultat est significatif, puisqu’il indique que l’utilisation de la matrice gres (λ, n) ≡
gmat (λ, n) − α(n)/Γ n’est pas limitée au cas du SOA étudié. La correspondance entre les
modèles du réservoir et détaillé est très bonne pour les deux ensembles de paramètres,
tant au niveau des plateaux que des surdépassements (overshoots). La méthode semble
assez robuste pour décrire des amplificateurs ayant des dimensions et des propriétés
physiques différentes.
5.3
Comparaison des modèles de simulation
À partir des résultats présentés pour chacun des modèles aux sections 5.2.1 à 5.2.5,
il est possible de constater que certains modèles sont plus réalistes que d’autres. On
élimine d’emblée le modèle sans ASE, car il ne modélise pas correctement le rapport
d’extinction en régime dynamique. L’ASE ne doit donc pas être négligée.
Dans le cas du modèle avec pertes de couplage, la dépendance du gain en longueur
97
Chapitre 5. Résultats de simulation
1.4
λ = 1559 nm
Popt (mW)
1.2
1
λ = 1556 nm
0.8
λ = 1553 nm
0.6
λ = 1550 nm
0.4
0.2
Paramètre de l’Optospeed
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
temps (ns)
Fig. 5.21 – Pulses optiques sur quatre canaux WDM obtenus avec le modèle du réservoir
avec pertes intrinsèques (paramètres de l’Optospeed)
1.4
λ = 1559 nm
1.2
Popt (mW)
1
λ = 1556 nm
0.8
λ = 1553 nm
0.6
0.4
λ = 1550 nm
0.2
Paramètre de Connelly
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
temps (ns)
Fig. 5.22 – Pulses optiques sur quatre canaux WDM obtenus avec le modèle du réservoir
avec pertes intrinsèques (paramètres de Connelly)
98
Chapitre 5. Résultats de simulation
Tab. 5.5 – Paramètres de simulation pour le modèle les deux paramétrisations du
modèle du réservoir avec quatre canaux WDM
Paramètre
Paramétrisation de Paramétrisation de
l’Optospeed
Connelly
section
τeq
a
n0
cout
αs L
ηsp
1
320 ps
1.020×
0.964×
0.180
1.000×
1
320 ps
1.010×
0.963×
0.188
1.010×
d’onde est incorrecte. Le gain d’un signal à une longueur d’onde autre que 1560 nm n’est
pas décrit adéquatement. De plus, le spectre de gain influence la puissance d’ASE émise,
ce qui rend difficile (voir même impossible) de modéliser correctement l’amplification
des signaux optiques modulés.
Tab. 5.6 – Temps de calcul des modèles
Nombre
de points
Modèle
détaillé
(s)
1350
(rapidité relative)
50 000
(rapidité relative)
11.95
(1.00×)
432.54
(1.00×)
Modèle du réservoir
Modèle du réservoir
avec pertes intrinsèques avec canal équivalent
(s)
(s)
4.26
(2.81×)
196.51
(2.20×)
2.75
(4.35×)
94.89
(4.56×)
Pour différencier les trois modèles restant, il faut introduire un critère de plus. On
choisit le temps de calcul, puisqu’il s’agit d’une donnée imporante pour les simulations
Monte-Carlo. Pour un nombre fixe d’échantillons temporels, on compare le temps de
calcul requis par chacun des modèles. Les résultats sont présentés à la table 5.6.
On constate que les temps de calcul augmentent linéairement avec le nombre de
points pour tous les modèles. De plus, les deux variantes du modèle du réservoir
montrent une amélioration au niveau du temps de calcul qui varie entre 2.20× et 4.55×
par rapport au modèle détaillé. Cependant, pour accélérer encore davantage le calcul, il
est possible de réduire le nombre de sections utilisées dans le modèle du réservoir avec
canal d’ASE équivalent. En utilisant une seule section, les résultats sont relativement
similaires. Par contre, le temps de calcul chute à 19 secondes pour 50 000 points, ce qui
Chapitre 5. Résultats de simulation
99
est 22.7× plus rapide que le modèle détaillé. Ces modèles simples ouvrent la voie à des
simulations Monte-Carlo impossibles à réaliser avec le modèle détaillé.
5.4
Résumé du chapitre
Au chapitre 5, des résultats de simulations sur la distribution d’intensité des sources
incohérentes seules (sans SOA) ont été présentés. Par la suite, une technique permettant
d’estimer le facteur M d’une source optique à partir de mesures expérimentales est
utilisée pour prédire le taux d’erreur d’une source d’ASE modulée (dans un système
SSWDM par exemple).
Par la suite, les résultats de simulation pour cinq modèles de SOA sont présentés. On
constate qu’un modèle complet, en l’occurence celui proposé par Connelly [26], donne
d’excellent résultats. Cependant, il est difficile de déterminer la valeurs des nombreux
paramètres que le modèle considère.
Les quatre versions du modèle du réservoir sont ensuite comparées aux résultats
expérimentaux. Pour un modèle à un seul étage (une seule section) sans ASE, le
gain à faible signal est surestimé. L’ASE est ensuite considérée dans les modèles suivants sous différentes formes. Tout d’abord, le modèle avec ASE et pertes de couplage
donne de bons résultats pour la saturation du gain, mais il donne un spectre de gain
décalé en longueur d’onde. Un nouveau modèle est alors introduit, soit le modèle du
réservoir avec ASE et pertes intrinsèques. Les résultats sont aussi bons que ceux du
modèle complet, mais sa paramétrisation est plus facile. Pour simplifier encore davantage la paramétrisation et accélérer les calculs, le modèle du réservoir avec canal
d’ASE équivalentest introduit. Il s’agit d’une manière différente de traiter l’ASE, en la
considérant comme un canal distinct ce qui prend en compte l’effet de saturation dû à
l’ASE. Ce dernier modèle donne également de bons résultats.
Le modèle du réservoir est ensuite comparer à celui de Connelly pour un système
WDM et les résultats sont très similaires. Pour raffiner encore davantage la comparaison,
on utilise un critère supplémentaire : le temps de calcul. Les différentes versions du
réservoir sont beaucoup plus rapides, spécialement le modèle du réservoir avec canal
d’ASE équivalent. Ce modèle peut être rendu plus de 20 fois plus rapide que le modèle
détaillé.
Chapitre 6
Conclusion
Les résultats présentés dans ce travail ont deux principaux objectifs. Le premier
objectif est la vérification de la modélisation des sources optiques incohérentes. Le
second objectif est d’étudier la performance de certains algorithmes rapides servant à la
modélisation dans le régime dynamique des amplificateurs optiques à semi-conducteur.
Dans les deux cas, on vérifie la modélisation en comparant les résultats numériques avec
les résultats expérimentaux.
Dans un premier temps, il a été démontré qu’il était possible de prédire la distribution d’intensité des sources optiques incohérentes temporellement avec un modèle
théorique, non seulement pour les signaux CW mais aussi pour les signaux modulés
OOK. Ces résultats ont été utilisés pour développer un modèle semi-analytique permettant de prédire le BER des sources incohérentes, estimant ainsi les performances d’un
système SSWDM. Les résultats de simulation concordent avec les données expérimentales.
Pour faire la modélisation des sources incohérentes, deux approches ont été étudiées.
La première utilise une description dans le domaine fréquentielle. Il a été démontré
qu’il s’agit d’un cas particulier d’un modèle proposé dans la littérature [11]. Une étude
approfondie de la modélisation de ces sources est requise, surtout au niveau de l’influence
de la distribution de la phase et de l’amplitude des champs électriques. Une seconde
méthode basée sur une décomposition de Karhunen-Loève a également été présentée. La
description temporelle pourrait s’avérer rapide pour les simulations utilisant un grand
nombre de réalisations du même processus stochastique.
Le second objectif principal de ce mémoire est de transposer la méthode du réservoir
développée pour les EDFA [14] vers les SOA [36]. La correspondance entre les résultats
numériques et expérimentaux a été vérifiée pour les trois critères servant à valider les
Chapitre 6. Conclusion
101
algorithmes : la saturation du gain, le spectre de gain et la forme d’un pulse optique
amplifié.
Comme le modèle du réservoir ne contient pas de description du gain matériel des
semi-conducteurs, on utilise la description du gain matériel proposée par Yariv [?, Yariv]
Deux méthodes sont été étudiées pour déterminer la manière dont on linéarise ce gain
matériel, en conformité avec les hypothèses du modèle du réservoir.
La première méthode utilise une linéarisation du gain matériel tel que décrit par
Yariv. Cette paramétrisation est implantée dans un algorithme avec pertes de couplage
et donne un spectre décalé en longueur d’onde. Cette méthode ne permet pas non plus
une modélisation adéquate de la saturation du SOA introduite par l’ASE. La deuxième
méthode, originale à ce travail et propre au modèle du réservoir, soustrait les pertes
de diffusion du gain matériel, ce qui donne un spectre de gain correct. Cependant, le
modèle avec pertes de couplage ne doit pas être éliminé d’emblée. Il pourrait être utile
lors de l’étude de l’influence de la modulation de gain croisée. Il a été suggéré dans la
littérature que les pertes de couplage sont nécessaires à une bonne description de ce
mécanisme [43].
À travers l’étude des différentes variantes du modèle du réservoir, il a aussi été
démontré que l’ASE est indispensable non seulement à la modélisation du régime statique, mais aussi à la modélisation de la dynamique temporelle du SOA. Une description
nouvelle de l’ASE a été proposée [36], posant l’hypothèse de la linéarité du coefficient
de gain matériel et du coefficient de gain pur. En utilisant cette description, il a été
démontré que le modèle du réservoir avec ASE sur 20 canaux permet de décrire le comportement du SOA selon les critères fixés préalablement. De plus, ce modèle se compare
avantageusement au modèle détaillé au niveau du temps de calcul.
Pour augmenter encore davantage la rapidité des simulations, la description de l’ASE
a été modifiée. Un canal équivalent doté d’une puissance d’entrée fixe remplace l’ASE
sur 20 canaux. Il a été démontré que cette description est adéquate pour les trois cas
de figure utilisés, mais que sa description des phénomènes dans le domaine spectral est
assez limitée.
Évidemment, tous ces modèles ne considèrent que l’intensité du signal optique. Du
travail reste à faire pour vérifier l’effet de la phase dans la modélisation des SOA.
L’analyse des modèles de sources incohérentes suggère que la description de la phase
est une propriété cruciale. Si l’on cherche à prédire les propriétés des sources thermiques
amplifiées par les SOA, il faut s’assurer que la phase du signal ne joue effectivement
aucun rôle majeur. Sinon, un nouveau modèle introduisant la phase devra être mis en
Chapitre 6. Conclusion
102
place pour bien modéliser le phénomène physique. L’étude du chirp à la sortie du SOA
pourrait permettre l’estimation de certains paramètres propres à la propagation des
champs électriques [18, 31].
Le modèle du réservoir ouvre également la voie à une approche analytique. En
réduisant les PDE couplées des SOA à une seule ODE, le modèle du réservoir rend possible l’utilisation de méthodes mathématiques. Il serait intéressant de tenter la résolution
de l’équation différentielle selon une approche stochastique, même si des approximations
supplémentaires sont requises. Déterminer analytiquement la distribution d’intensité du
signal incohérent amplifié serait utile pour la prédiction de l’amélioration du BER.
Bibliographie
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and uncertainty – ii”, Bell System Technical Journal, vol. 40, pp. 65–84, 1961.
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and uncertainty – iii : The dimension of the space of essentially time- and bandlimited signals”, Bell System Technical Journal, vol. 41, pp. 1295–1336, 1962.
Annexe A
Modélisation des sources avec la
décomposition de Karhunen-Loève
A.1
Fondements théoriques
Une méthode alternative pour générer une réalisation du processus d’intensité I(t)
consiste à décomposer le champ électrique E(t) sur une base de Nb fonctions temporelles
orthogonales. Travailler avec le champ électrique est plus pratique, et il est facile de
retrouver l’intensité optique I(t) en prenant le module carré du champ électrique E(t).
L’aspect aléatoire du processus est contenu dans le poids que l’on accorde à chaque
fonction de la base, car il est multiplié par une variable aléatoire gaussienne [12, 48].
L’utilisation d’une expansion de Karhunen-Loève est justifiée pour la modélisation d’un
processus aléatoire circulaire gaussien [11]. Un tel processus aléatoire a pour propriété
d’être distribué selon une symmétrie circulaire, c’est-à-dire que le contour de probabilité
constante ne dépend que du module de la somme des variables au carré. Par exemple,
en deux dimensions la relation s’exprime comme [13]
f (x, y) = g(r)
(A.1)
p
x2 + y 2 . Sachant que les variables
où x et y sont des variables aléatoires et r =
aléatoires sont indépendantes, un tel processus est nécessairement conjointement gaussien de moyenne nulle [13]. Le champ électrique d’une source optique thermique est
circulaire gaussien [11]. Dans ce cas, nous somme assurés de l’existence d’une base or-
Annexe A. Modélisation des sources avec la décomposition de Karhunen-Loève
108
thogonale et le processus E(t) peut être décomposé sur une base qui respecte les deux
propriétés suivantes :
1. La base doit être construite de manière à respecter la fonction d’autocorrélation
du processus aléatoire [11, 12].
2. Les poids des fonctions de la base doivent être aléatoires et indépendants. Il est
inutile de devoir générer des coefficients corrélés.
On nomme {ξ1 (t), ξ2 (t), . . . , ξn (t), . . . } la base des fonctions orthogonales qui décrivent
le processus, tel que
E(t) = lim
Nb →∞
Nb
X
bn ξn (t)
(A.2)
n=1
pour un temps t compris dans l’intervalle [−To /2, To /2] où To est la période sur laquelle
on observe le processus. En pratique, on utilise une base de dimension finie respectant
le critère de l’équation A.17. Pour une base orthogonale, nous avons
Z
To /2
−To /2
ξm (t)ξn⋆ (t) dt = δmn
(A.3)
où δmn est le delta de Kroenecker défini par l’expression suivante.
δmn =
(
1
0
si m = n
si m 6= n
(A.4)
Le poids bn associé à la fonction de la base ξn est obtenu en faisant la projection du
processus E(t) sur la fonction ξn⋆ , c’est-à-dire
bn =
Z
To /2
−To /2
E(t)ξn⋆ (t) dt .
(A.5)
Annexe A. Modélisation des sources avec la décomposition de Karhunen-Loève
109
L’espérance de chaque coefficient s’exprime alors comme la partie de l’espérance du
champ électrique E(t) attribuée à chacune des fonctions ξn (t) :
E [bn ] =
Z
To /2
−To /2
E [E(t)] ξn⋆ (t) dt = 0
(A.6)
L’espérance de chaque bn est nulle étant donnée l’espérance nulle du processus stochastique lui-même. Il ne s’agit pas d’une condition très restreignante, puisqu’on modélise
le champ électrique d’une onde optique. Donc, par définition
E [bn b⋆m ]
=
=
Z
To /2
Z
To /2
E [E ⋆ (t1 )E(t2 )] ξn⋆ (t2 )ξm (t1 ) dt1 dt2
−To /2 −To /2
#
"Z
Z
To /2
−To /2
To /2
−To /2
ΓE (t1 , t2 )ξm (t1 ) dt1 ξn⋆ (t2 ) dt2
(A.7)
(A.8)
où ΓE (t1 , t2 ) = E [E ⋆ (t1 )E(t2 )] est l’autocorrélation du champ. Lorsque la décomposition
existe, les valeurs propres ψm sont données par la relation suivante
Z
To /2
ΓE (t1 , t2 )ξm (t1 ) dt1 = ψm ξm (t2 ) .
(A.9)
−To /2
Alors, l’espérance des bn prend la forme
E [bn b⋆m ] = ψm δmn .
(A.10)
et il est possible de vérifier la solution en insérant l’équation A.9 dans l’équation A.8.
A.2
Application au spectre lorentzien
En pratique, pour pouvoir utiliser une expansion de Karhunen-Loève, il faut être
capable de décrire les fonctions de base et d’obtenir les valeurs propres. Une forme de
Annexe A. Modélisation des sources avec la décomposition de Karhunen-Loève
110
spectre très utile et simple à représenter est le spectre lorentzien, qui apparaı̂t dans
les systèmes utilisant une cavité Fabry-Pérot [48] comme filtre optique. Ce spectre est
décrit par la relation suivante [12, 22, 27]
E(ω) =
2κP
.
ω 2 + κ2
(A.11)
où κ et P sont des paramètres de largeur et d’amplitude respectivement. Pour un processus aléatoire stationnaire de spectre lorentzien, la fonction d’autocorrélation prend
la forme suivante [12, 13]
ΓE (τ ) = P exp (−κ |τ |) .
(A.12)
En observant la forme de l’équation différentielle qui est le résultat de la dérivée seconde
de l’équation intégrale du kernel A.9, les ξn (t) doivent être de forme harmonique [12]
tel que
ξ(t) = c1 ejbt + c2 e−jbt .
(A.13)
Il est possible de montrer que les poids bn des fonctions ξn (t) sont déterminés à partir
de l’équation transcendentale suivante [12]
b
tan bTo +
κ
κ
tan bTo −
=0
b
(A.14)
ce qui impose en définitive la forme suivante aux produits des fonctions par les poids.
bn · ξn (t) =





1
1/2
To
1/2
cos(bn t)
si n impairs
1/2
sin(bn t)
si n pairs
(1+ sin2b2bTn To )
n o
1
1/2
To
(1− sin2b2bn TnoTo )
(A.15)
Annexe A. Modélisation des sources avec la décomposition de Karhunen-Loève
111
Jusqu’ici, tout le traitement est déterministe. Pour donner un caractère aléatoire à la
réalisation de E(t), on multiplie chaque coefficient bn par une réalisation ϑ d’une variable
aléatoire gaussienne centrée réduite [48]. Les projections de E(t) sur les fonctions ξn (t)
sont données par ϑn bn ξn (t) et la solution globale est donc
E(t) = lim
N →∞
N
X
ϑk bk ξk (t) .
(A.16)
k=1
Il est important de mentionner que le nombre de fonctions propres formant la base varie
selon la période d’observation du signal To et selon sa largeur spectrale Bo . Le nombre
de fonctions de base Nb requis est donné par la relation [12]
Nb ≥ 2Bo To + 1
(A.17)
dans certains cas particuliers. On considère toutefois cette relation comme un estimé fiable du nombre de fonctions requises. Le cas du filtrage optique rectangulaire,
équivalent à la modélisation en fréquences de la section 2.4, n’est pas présenté. Il
nécessite une base difficile à manipuler : les fonctions prolates sphéroı̈dales. Une introduction à cette famille de fonctions est présentée par Van Trees [12] et Goodman [11],
qui se basent tous deux sur une série d’articles de Slepian, Landau et Pollak [49, 50, 51].
A.3
Résultats de simulation
Cette section présente la méthode utilisée pour générer plusieurs réalisations du
processus I(t) ainsi que quelques résultats de simulation. La procédure pour obtenir
une réalisation du processus se divise en cinq étapes :
1. Déterminer la dimension Nb de la base de fonctions nécessaire pour décrire adéquatement
le processus stochastique à l’aide de l’équation A.17.
2. Calculer les valeurs propres associées à la forme du spectre du processus.
3. Sauvegarder les valeurs propres dans un fichier.
4. Multiplier chacune des projections du processus par une réalisation d’une variable
aléatoire gaussienne centrée réduite.
Annexe A. Modélisation des sources avec la décomposition de Karhunen-Loève
112
5. Prendre le module carré de la somme des champs électriques pour obtenir l’intensité optique.
Pour obtenir une réalisation différente, il est nécessaire de répéter les étapes 4 et 5
seulement, ce qui est très rapide. La partie la plus longue, l’étape 2, est la résolution
numérique de l’équation transcendantale A.14 servant à obtenir les valeurs propres.
Cette approche peut s’avérer plus rapide que de prendre à répétition la transformée de
Fourier de longs vecteurs (section 2.4), mais les formes de filtrage possibles sont plus
limitées. En effet, déterminer les fonctions de base et les valeurs propres ne sont pas
des opérations triviales.
PSD de la source
La figure A.1 montre la PSD de l’intensité optique obtenue avec cette méthode
pour une base de 1000 fonctions et une bande Bo de 10 GHz. La durée de l’intervalle
d’observation To est de 40 ns. Dans ce cas, l’équation A.17 nous indique que la dimension
de la base est adéquate, comme le montre le calcul suivant.
PSD
Moyenne locale
0
PSD (dB/nm)
−20
−40
−60
−80
−100
−120
−5
0
Fréquence (Hz)
5
10
x 10
Fig. A.1 – PSD de la source incohérente modélisée à l’aide d’une décomposition de
Karhunen-Loève
113
Annexe A. Modélisation des sources avec la décomposition de Karhunen-Loève
Nb ≥ 2Bo To + 1
≥ 2 (1 · 1010 ) (4 · 10−8 ) + 1
≥ 801
On observe sur la figure A.1 que le spectre lorentzien n’est pas strictement limité, et
que sa largeur dépasse la dimension initiale de 10 GHz. Une discussion sur la dimension
de la base Nb nécessaire à la modélisation dans le cas des systèmes en bande passante
strictement limitée (ou non) est proposée par Landau et Pollak [51].
Distribution de l’intensité intégrée
La distribution d’intensité est aussi en accord avec la théorie de la source incohérente
sans filtrage (temps d’intégration nul). La figure A.2 compare la distribution théorique
(exponentielle négative) avec l’histogramme obtenu numériquement. La correspondance
est excellente, ce qui signifie qu’on respecte la distribution de l’intensité.
1
0
10
numérique
théorique
0.9
Log ( fréquence relative )
Fréquence relative
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
numérique
théorique
−1
10
−2
10
0.1
0
−3
0
1
2
3
4
5
Intensité (mW)
(a) Échelle linéaire
6
7
10
0
1
2
3
4
5
6
7
Intensité (mW)
(b) Échelle logarithmique
Fig. A.2 – Histogramme normalisé de l’intensité optique de la source incohérente
modélisée à l’aide d’une décomposition de Karhunen-Loève
La distribution d’intensité du signal obtenue avec cette méthode respecte la distribution théorique, mais les propriétés spectrales de ce modèle restent toujours à valider.
Pour le moment, le spectre obtenu avec cette méthode n’est pas strictement limité ce
qui rend délicate la comparaison avec la modélisation en fréquence présenté au chapitre
2. Il existe cependant une base de fonctions qui permet la description d’un spectre
Annexe A. Modélisation des sources avec la décomposition de Karhunen-Loève
114
strictement limité : les fonctions prolates sphéroı̈dales. Il serait intéressant d’exploiter la décomposition de Karhunen-Loève sur cette base pour obtenir une comparaison
formelle entre les approches temporelle et fréquentielle.
Annexe B
Paramétrisation du modèle détaillé
Symbole
L
d
w
Kg
R1
R2
K0
K1
Arad
Brad
Anrad
Bnrad
Caug
Eg0
Paramètres
Valeur
Optospeed
Longueur de la région active (µm)
1300
Largeur de la région active (µm)
0.7
Épaisseur de la région active (µm)
0.7
Rétrécissement du gap (eVm)
0.1 · 10−10
Réflectivité de la facette d’entrée
0.9 · 10−6
Réflectivité de la facette de sortie
0.5 · 10−6
Pertes de diffusion indépendantes (m−1 )
6000
−24 2
Pente des pertes de diffusion (10 m )
6000
Recombinaison linéaire
3.5 · 108
radiative (s−1 )
Recombinaison bimoléculaire
4.0 · 10−16
radiative (m3 s−1 )
Recombinaison linéaire
7.5 · 108
non-radiative (s−1 )
Recombinaison bimoléculaire
7.5 · 10−16
non-radiative (m3 s−1 )
Recombinaison Auger (m6 s−1 )
0.2 · 10−42
1.237 · 10−19
Énergie de gap (Joules)
Tab. B.1 – Paramétrisations du modèle détaillé
Valeur
de Connelly
600
0.4
0.4
0.9 · 10−10
5 · 10−5
5 · 10−5
6200
7500
1.0 · 107
5.6 · 10−16
3.5 · 108
0
3 · 10−41
1.245 · 10−19
Annexe C
Liste des publications de l’auteur
1. P. Lemieux, W. Mathlouthi, M. Salsi, L. A. Rusch, A. Bononi et A. Vannucci,
« New Gain Parameterization for Fast Semiconductor Optical Amplifier Model »,
SPIE Photonics North, Québec, en attente de publication, 2006.
2. M. Salsi, A. Vannucci, A. Bononi, W. Mathlouthi, P. Lemieux et L. A. Rusch,
« A Reservoir Dynamic Model for Linear Optical Amplifiers », LEOS, Montréal,
soumis pour publication, 2006.
3. W. Mathlouthi, P. Lemieux, M. Salsi, L. A. Rusch, A. Bononi et A. Vannucci,
« A Novel Model for SOAs in WDM Networks », LEOS, Montréal, soumis pour
publication, 2006.
4. W. Mathlouthi, P. Lemieux et L. A. Rusch, « Optimal SOA-based Noise Reduction Schemes for Incoherent Spectrum-Sliced PONs », European Conference on
Communications (ECOC), Cannes, en attente de publication, 2006.
5. W. Mathlouthi, P. Lemieux, M. Salsi, L. A. Rusch, A. Bononi et A. Vannucci,
« Fast and Efficient Dynamic Semiconductor Optical Amplifier Model for Metro
Access », IEEE Journal of Lightwave Technology, en attente de publication, 2006.
6. M. Abtahi, P. Lemieux, W. Mathlouthi et L. A. Rusch, « Suppression of Turbulence Induced Noise on Free-space Communication Systems using Saturated
Optical Amplifiers », IEEE Journal of Lightwave Technology, en attente de publication, 2006.
Annexe C. Liste des publications de l’auteur
117
7. P. Lemieux, W. Mathlouthi, M. Roy and L. A. Rusch, « Noise Reduction in
an Incoherent-to-Coherent Wavelength Conversion using SOA », International
Conference on Sciences of Electronics, Telecommunications and Information Technologies (SETIT), Tunis, 2005.
8. M. Menif, W. Mathlouthi, P. Lemieux, L. A. Rusch et M. Roy, « Error-free
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