Probabilités - Rorthais

1e S - programme 2011 – mathématiques – ch.10 – cahier élève
Page 1 sur 14
Ch.10 : Probabilités
Exercice n°A page 310 : Probabilités
Vrai ou faux ?
On place dans un sac six jetons de même forme et de même taille : trois rouges, deux bleus et un vert.
On tire au hasard un jeton du sac.
Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1) Il y a équiprobabilité de tirage de chacun des six jetons.
2) Les événements « obtenir un jeton rouge » et « obtenir un jeton vert » sont équiprobables.
3) La probabilité de tirer un jeton bleu est égale à
1
.
3
4) L'événement « obtenir un jeton rouge » et son événement contraire ont la même probabilité.
Exercice n°B page 310 : Décrire des événements — Utiliser des formules
Une urne contient trente-quatre billes indiscernables au toucher, vingt sont blanches et numérotées de 1 à 20, quatorze
sont rouges et numérotées de 1 à 14. On tire au hasard une bille de l'urne.
On considère les événements suivants :
A : « obtenir une bille blanche » ; B : « obtenir une bille numérotée 1 » ; C : « obtenir une bille qui porte un numéro
pair ».
1) Déterminer p(A), p( A ), p(B) et p(C).
2)
3)
4)
5)
Définir par une phrase chacun des deux événements suivants A  B et A  C.
Calculer p(A  B) et p(A  C).
Déterminer l'événement B  C. Que peut-on en déduire concernant les événements B et C ?
Calculer p(B  C).
p(A) =
10
17
p( A ) =
7
17
p(B) =
1
17
p(C) =
AB
1
2
1
AC
p(A  B) =
1
34
p(A  C) =
27
34
BC
1
B
p(B  C) = p(B) + p(C) =
C
2 17 19
+
=
34 34 34
Exercice n°C page 310 : Associer un nombre à un événement
Une roue de loterie est partagée en dix secteurs de quatre couleurs différentes (bleu, rouge,
vert et rose), comme représenté sur la figure ci-contre.
Quand on lance cette roue, elle tourne, puis s'arrête librement devant le repère (sur la figure cicontre, la couleur de sortie est le rose).
On suppose que tous les secteurs ont la même probabilité de s'arrêter devant le repère.
1) Calculer la probabilité d'obtenir chacune des quatre couleurs.
2) Pour jouer à cette loterie, on mise 5 €, puis on fait tourner la roue.
Si la couleur de sortie est le bleu, on perçoit 15 €, si c'est le rose, on perçoit 10 €, si c'est le
rouge, on perçoit 2 € et si c'est le vert, on ne perçoit rien.
Montrer que la probabilité d'avoir un gain global de 10 € en jouant une fois à la loterie est égale à 0,1.
3) Marie affirme : « Si je joue une fois à cette loterie, j'ai moins d'une chance sur trois de gagner de l'argent, alors je ne
jouerai pas ». A-t-elle raison ? Justifier.
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes)
http://rorthais.math.free.fr
1e S - programme 2011 – mathématiques – ch.10 – cahier élève
B R V
p(B) =
1
10
p(R) =
3
10
p(V) =
4
10
–5
5
Page 2 sur 14
S
p(S) =
2
10
X
10
–3
p(X = 10) = P(B) = 0,1
p(B) + p(S) = 0,3 <
1
3
1. VARIABLE ALÉATOIRE ET LOI DE PROBABILITÉ
On appelle  l'univers fini associé à une expérience aléatoire, c'est-à-dire l'ensemble de tous les résultats possibles
pour cette expérience.
1.1 Variable aléatoire discrète
DÉFINITION 1
Une variable aléatoire discrète sur  est une fonction X de  dans IR qui à tout élément de  fait
correspondre un réel.
Notation :
Si x1 , x2 , … , xk sont les images par X des éléments de , alors pour tout entier i tel que 1  i  k, on note
(X = xi) l'ensemble des éléments de  qui ont pour image xi par X.
Ainsi (X = xi) est l'événement formé de tous les résultats possibles dont l'image est xi .
Exemple :
Une urne contient neuf jetons indiscernables au toucher numérotés de 1 à 9.
Un joueur participe à une loterie gratuite qui suit la règle suivante :
 il prélève au hasard un jeton de l'urne ;
 si le numéro est pair, il gagne 1 €, s'il prélève le jeton n°1 ou le jeton n°9,
il gagne 10 € ; dans tous les autres cas, il perd 3 €.
On définit une variable aléatoire X sur  = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9} égale
« au gain algébrique » (positif ou négatif) du joueur.
Les valeurs prises par cette variable aléatoire sont 1, 10 et –3. On a :
(X = 1) = {2 ; 4 ; 6 ; 8} ; (X = 10) = {1 ; 9} ; (X = –3) = {3 ; 5 ; 7}.
Exercice n°1 page 334
Un sondage dans un lycée concernant la première langue
Anglais Allemand
vivante étudiée est résumé dans le tableau suivant.
80
35
Filles
1) Recopier le tableau et compléter les cases vides.
60
40
Garçons
2) On rencontre un élève au hasard dans ce lycée. Calculer
Total
la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « l'élève est un garçon » ;
B : « l'élève étudie l'allemand »
3) Quel est l'événement A  B ?
Quelle est sa probabilité ?
4) Quel est l'événement A  B ?
Quelle est sa probabilité ?
5) On rencontre une fille. Quelle est la probabilité qu'elle étudie l'espagnol ?
6) On rencontre un élève qui étudie l'anglais. Quelle est la probabilité que ce soit un garçon ?
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes)
Espagnol
Total
30
55
http://rorthais.math.free.fr
1e S - programme 2011 – mathématiques – ch.10 – cahier élève
80
35
30
145
60
40
55
155
140
75
85
300
p(A) =
155 31
=
300 60
p(B) =
75
1
=
300 4
Page 3 sur 14
AB
p(A  B) =
40
2
=
300 15
AB
p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B) =
31 1 2
19
+ –
=
60 4 15 30
30
6
=
145 29
60
3
=
140 7
Exercice n°2 page 334
On considère deux événements A et B liés à une expérience aléatoire.
On donne p(A) = 0,45 ; p(B) = 0,7 et p(A  B) = 0,3.
( A ) et p( A  B).
Calculer p
( ) = 1 – p(A) = 1 – 0,45 =
p A
0,55
p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B) = 0,45 + 0,7 – 0,3 = 0,85
Exercice n°3 page 334
Deux événements A et B sont incompatibles. On donne p(A) = 0,63 et p(A  B) = 0,8.
(B)
Calculer p(B) et p
A
B
p(B) = p(A  B) – p(A) = 0,8 – 0,63 = 0,17
( ) = 1 – p(B) =
p B
0,83
Exercice n°4 page 334 Calculs de probabilités avec un arbre
Une agence de voyages propose à ses clients des circuits passant par trois capitales européennes : Paris, Rome et
Londres que l'on notera respectivement P, R et L.
Le client choisit l'ordre dans lequel il désire visiter ces capitales. Par exemple R, L, P constitue un circuit dans lequel on
visite dans l'ordre Rome, Londres et Paris.
1) Réaliser un arbre représentant les différents circuits possibles.
2) Combien de circuits différents l'agence peut-elle proposer ?
3) Un client indécis prend un circuit au hasard. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « le circuit commence par Paris » ;
B : « le circuit se termine par Londres » ;
C : « le circuit passe par Rome avant Londres » ;
D : « le circuit passe par Rome juste avant de passer par Londres ».
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes)
http://rorthais.math.free.fr
1e S - programme 2011 – mathématiques – ch.10 – cahier élève
Page 4 sur 14
6
1
3
p(A) =
p(B) =
1
3
p(C) =
1
2
p(D) =
1
3
Exercice n°5 page 334 Encore avec un arbre
Une urne contient cinq boules dont deux sont blanches et trois sont rouges.
On prélève une boule de l'urne, on note sa couleur et on la remet dans l'urne.
On prélève une deuxième boule et on note sa couleur.
1) Modéliser la situation à l'aide d'un arbre (on pourra noter B1 , B2 les deux boules blanches,
R1 , R2 , R3 les trois boules rouges.
2) Calculer la probabilité que les deux boules soient rouges.
3) Calculer la probabilité que les deux boules soient de couleurs différentes.
25
5
22
2
5
B
R
3
5
9
25
2
6
12
=
25 25
1.2 Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète
DÉFINITION 2
Soit  l'univers sur lequel a été définie une loi de probabilité P.
On considère une variable aléatoire discrète X sur , prenant les valeurs {x1 ; x2 ; … ; xk}.
Définir la loi de probabilité de X, c'est donner la valeur de P(X = xi), pour tout i, avec 1  i  k.
Remarques :

On adopte souvent une présentation sous forme de tableau.
Valeur xi prise par X
Probabilité pi

p1 + p2 + … + pk =
k
x1
x2
xk
…
p1 = p(X = x1) p2 = p(X = x2) … pk = p(X = xk)
k
 pi =
 p(X = xi) = 1.
i=1
i=1
Pour info. :
En mathématiques, l'adjectif « discret » désigne les ensembles dont on pourrait énumérer les éléments.
Ici, la variable aléatoire est « discrète », car elle prend un nombre fini de valeurs.
Exemple :
Dans l'exemple du paragraphe précédent, la loi de probabilité de
Valeur prise par X (€) 1 10 –3
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes)
http://rorthais.math.free.fr
1e S - programme 2011 – mathématiques – ch.10 – cahier élève
Page 5 sur 14
la variable aléatoire X est égale au gain algébrique, en euros ;
Probabilité
elle est donnée par le tableau :
Exercice corrigé : Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire
Un joueur lance deux dés tétraédriques équilibrés.
1) On définit la variable aléatoire X égale à la somme des deux
résultats.
4
9
2
9
3
9
a) Quelles sont les valeurs prises par X ?
b) En utilisant un tableau à double entrée, déterminer la loi de
probabilité de X.
Résultat : 1 (bleu) et 4 (vert)
2) On décide de jouer au jeu suivant : si le nombre obtenu est multiple de 3, le joueur gagne,
sinon il perd. En utilisant la variable aléatoire X, déterminer la probabilité que le joueur
gagne.
Solution :
1)
a) On va déterminer l'ensemble des sommes possibles, avec deux dés
tétraédriques :
L'ensemble des valeurs prises par X est {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8}.
b) Ce tableau permet de se ramener à une situation d'équiprobabilité.
La variable aléatoire X suit donc la loi de probabilité donnée par le
tableau ci-dessous :
xi
2
3
4 5 6 7 8
1
3 4 3 2 1
p(X = xi)
2/16
16
16 16 16 16 16
1
2
3
4
3
2
1 16
On a bien :
+
+
+ +
+
+
= = 1.
16 16 16 16 16 16 16 16
2) Appelons G l'événement : « le joueur gagne ».
On a : p(G) = p(X = 3) + p(X = 6) =
2
3
5
+ =
.
16 16 16
La probabilité que le joueur soit gagnant est donc égale à
5
.
16
Méthode :
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
Le tableau permet de se
ramener à une situation
d'équiprobabilité. En effet,
les 16 cases du tableau
correspondent à des
lancers équiprobables.
On vérifie que la somme
des probabilités est bien
égale à 1.
Les événements (X = 3)
et (X = 6) sont disjoints et
leur réunion est égale à
l'événement G.
Exercice n°2 page 315
On considère à nouveau l'expérience qui consiste à lancer deux dés cubiques équilibrés.
On définit la variable aléatoire X égale à 1 si les nombres obtenus sont premiers entre eux, à 0 sinon.
Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire.
1
2
3
4
5
6
1
0
0
0
0
0
0
2
0
0
1
0
1
0
3
0
1
0
1
1
0
4
0
0
1
0
1
0
5
0
1
1
1
0
1
6
0
0
0
0
1
0
X
X
0 1
24 12
36 36
Exercice n°1 page 315
On
On
1)
2)
considère l'expérience qui consiste à lancer deux dés cubiques équilibrés.
définit la variable aléatoire X égale au produit des deux résultats obtenus.
Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
X
1
1 1
2 2
3 3
2
2
4
6
3
3
6
9
4 5 6
4 5 6
8 10 12
12 15 18
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes)
http://rorthais.math.free.fr
1e S - programme 2011 – mathématiques – ch.10 – cahier élève
Page 6 sur 14
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36
X
1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 16 18 20 24 25 30 36
1 2 2 3 2 4 2 1 2 4 2 1 2 2 2 1 2 1
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
Exercice n°3 page 315
On donne la loi de probabilité d'une variable aléatoire dans le tableau ci-contre.
1 2 3 4
Déterminer les réels p1 , p2 , p3 , p4 sachant qu'ils sont en progression arithmétique de raison 0,1.
p1 p2 p3 p4
 p2 = p1 + 0,1

 p3 = p2 + 0,1 = p1 + 0,2
 p4 = p3 + 0,1 = p1 + 0,3
p1 + p2 + p3 + p4 = 1
p2 = p1 + 0,1 = 0,2
p1 + (p1 + 0,1) + (p1 + 0,2) + (p1 + 0,3) = 4
p3 = p1 + 0,2 = 0,3
4p1 + 0,6 = 1
p1 = 0,1
p4 = p1 + 0,3 = 0,4
Exercice n°4 page 315
On lance deux fois consécutivement un dé tétraédrique équilibré. Si on obtient deux résultats identiques, on marque 1
point, sinon on marque 0 point.
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire égale au nombre de points marqués.
X
X 0 1
3 1
4 4
Exercice n°7 page 318
probabilité
Effectuer une simulation sur tableur – Déterminer une loi de
On rappelle que la distance entre deux réels a et b est définie par le réel a – b : c'est la différence
entre le plus grand et le plus petit des deux nombres a et b.
On lance deux dés à six faces parfaitement équilibrés. On s'intéresse à la variable aléatoire X égale
à la distance entre les deux nombres sortis.
1) Quelles sont les valeurs prises par cette variable aléatoire ?
2) À l'aide d'un tableur, simuler 1 000 lancers de ces deux dés.
Faire apparaître les distances entre les nombres sortis et les fréquences d'obtention de ces
valeurs. Quelle semble être la plus fréquente ? La moins fréquente ? (On pourra utiliser la touche F9 pour simuler
d'autres expériences.)
3) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X (on pourra utiliser un tableau à double entrée). Quelle est la
valeur de la variable aléatoire X la plus probable ? La moins probable ?
1) L'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X est : Les valeurs prises par X vont de 0 (dans le cas où
{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}.
les deux chiffres sortis sont égaux) à 5 (dans le cas
où on obtient 6 et 1 ou 1 et 6).
2) Sur cet extrait de feuille de calcul, où 1 000 lancers ont été simulés, on peut
conjecturer
Dans la cellule A2 on tape
que la distance
= ALEA.ENTRE.BORNES (1 ; 6)
la plus
que l'on recopie vers le bas.
fréquente est
Dans la cellule C3 on tape = ABS
1, la moins
(A2 – B2) que l'on recopie vers le
fréquente est
bas.
5.
3) 
Dans le tableau suivant, on fait apparaître les résultats des deux dés et la
distance entre les deux chiffres sortis :
1 2 3 4 5 6 1er dé
1
0 1 2 3 4 5
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes)
Chacune des 36 cases de ce
tableau correspond à un couple
(a ; b) de sorties du dé. Tous ces
couples de résultats sont
http://rorthais.math.free.fr
1e S - programme 2011 – mathématiques – ch.10 – cahier élève
2
3
4
5
6
2e dé
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
1
0
1
2
3
2
1
0
1
2
3
2
1
0
1
Page 7 sur 14
équiprobables.
4
3
2
1
0
6
10
8
6
4
2
; p(X = 1) =
; p(X = 2) =
; p(X = 3) =
; p(X = 4) =
; p(X = 5) =
.
36
36
36
36
36
36
 La loi de probabilité de la
On vérifie que la somme des
Valeur de X 0 1 2 3 4 5
probabilités est égale à 1.
variable aléatoire X est donnée
1 5 2 1 1 1
Probabilité
par le tableau ci-contre.
6 18 9 6 9 18
La valeur de X la plus probable est 1, la moins probable est 5. On confirme la conjecture faite en 2).
Exercice n°15 page 324 Vrai ou faux ?
Voici le tableau donnant la loi de probabilité d'une variable aléatoire X égale au
xi (en €) 1
2
3 4
gain, en euros, obtenu à un jeu. Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou
pi
0,2 0,3 0,4 a
p(X = 0) =
fausses.
a) p(X = 2} = 0,3.
b) a = 0,1.
c) La probabilité de gagner strictement moins de 4 € à ce jeu est égale à 0,4.
d) On a une chance sur deux de gagner strictement plus de 2 € à ce jeu.
e) On a moins d'une chance sur quatre de gagner 1 € à ce jeu.
2. ESPÉRANCE, VARIANCE, ÉCART TYPE
Dans toute cette page, on considère une variable aléatoire discrète X définie
sur un univers  et dont la loi de probabilité est donnée par :
Valeur
x1 x2 … xn
Probabilité p1 p2 … pn
2.1 Définitions
DÉFINITIONS 3

L'espérance mathématique de la variable aléatoire X est le réel noté E(X) défini par :
E(X) = x1 p1 + x2 p2 + … + xn pn =
n
 xi pi .
i=1

La variance de la variable aléatoire X est le réel positif noté V(X) défini par :
V(X) = p1[x1 – E(X)]2 + p2[x2 – E(X)]2 + … + pn[xn – E(X)]2 ;
n
V(X) =
 pi [xi – E(X)]2.
i=1

L'écart type  est défini comme la racine carrée de la variance :
 = V(X).
Remarque :
Le calcul de l'espérance est à rapprocher de celui de la moyenne d'une série statistique calculée avec les
fréquences. C'est l'un des outils de base de l'assureur, du banquier, mais aussi du joueur de poker averti.
Remarque :
Résultat admis
n
La variance peut s'écrire sous la forme : V(X) =
 pi xi2 – [E(X)]2 (théorème de König-Huygens).
i=1
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes)
http://rorthais.math.free.fr
1e S - programme 2011 – mathématiques – ch.10 – cahier élève
Page 8 sur 14
Exercice n°25 page 326
Calculer l'espérance mathématique, la variance et l'écart type de la variable
aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :



xi –4 –1 1 2 4 5
1 3 5 4 2 1
pi
16 16 16 16 16 16
1
3
5
4
2
1 –4 – 3 + 5 + 8 + 8 + 5 19
E(X) = –4  + (–1)  + 1  + 2  + 4  + 5 
=
= = 1,1875
16
16
16
16
16
16
16
16
2
1
3
5
4
2
1
19
16 + 3 + 5 + 16 + 32 + 25 361
V(X) =
 (–4)2 +  (–1)2 +  12 +  22 +  42 +
 52 –   =
–
=
16
16
16
16
16
16
16
256
16
97 361 1 552 – 361 1 191
–
=
=
 4,65
16 256
256
256
=
1 191
=
256
1 191
 2,16
16
Exercice n°29 page 326
Déterminer les valeurs des réels x et p pour que le tableau suivant
définisse la loi de probabilité d'une variable aléatoire dont l'espérance
mathématique vaut 0,5 :
Valeur
Probabilité
–2 –1
1
2 x
0,1 0,25 0,4 0,2 p
p = 1 – (0,1 + 0,25 + 0,4 + 0,2) = 0,05
E(X) = 0,05x – 0,2 – 0,25 + 0,4 + 0,4 = 0,05x + 0,35
0,05x + 0,35 = 0,5
x=
0,15
= 3
0,05
Exercice n°30 page 326
L'espérance mathématique de la variable aléatoire X dont la loi de probabilité est
donnée dans le tableau suivant vaut 5,6 :
Calculer p et q.
0,2 + p + q + 0,1 = 1
4,4

 3q
1 5 8 10
0,2 p q 0,1
p + q = 0,7
1  0,2 + 5p + 8q + 10  0,1 = 5,6
 p + q = 0,7

 5p + 8q = 4,4

 p = 0,7 – q  p = 0,4
 p = 0,7 – q

 5(0,7 – q) + 8q =
Valeur
Probabilité
5p + 8q = 4,4

 q = 0,3
= 0,9
Exercice n°34 page 326 Gain à une loterie
La loi de probabilité ci-contre décrit le gain possible à une loterie
5 10 100
500
Gain (en €) 0
sans tenir compte du prix du billet :
Probabilité 0,6 0,2 0,1 0,075 0,025
On appelle G la variable aléatoire égale au gain du joueur.
1) L'événement « le joueur gagne 5 € » est noté (G = 5). Comment peut-on noter l'événement « le joueur gagne au
moins 5 € » ? Calculer sa probabilité.
2) Calculer p(G  100) ; p(G  10).
3) Déterminer la probabilité de l'événement : (G  100)  (G  10).
4) L'organisateur du jeu prévoit de fixer le prix du billet à 15 €. Quel avenir peut-on lui prédire ?
(G  5)
5€
p(G  5) = 1 – p(G = 0) = 1 – 0,6 = 0,4
P(G  100) = 1 – p(G = 500) = 1 – 0,025 = 0,975
p(G  10) = p(G = 10) + p(G = 100) + p(G = 500) = 0,2
P(10  G  100) = 0,1 + 0,075 = 0,175
H
H –15 –10
0,6
0,2
–5
85
485
0,1 0,075 0,025
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes)
http://rorthais.math.free.fr
1e S - programme 2011 – mathématiques – ch.10 – cahier élève
H
Page 9 sur 14
7€
E(H) = 7
Exercice n°47 page 329 Jeu de dés (Partie 2)
Un jeu consiste à lancer deux dés cubiques non truqués et à faire la somme des deux résultats
sortis :
 si la somme est paire, on perd 1 € ;
 si la somme est impaire, soit c'est un nombre premier et on gagne 2 €, soit on gagne 5 €.
Pour participer à ce jeu, on paie une mise de 2 €.
On appelle G la valeur du gain algébrique, en euros, obtenu après le lancer des deux dés.
1) Déterminer la loi de probabilité de G.
2) Calculer l'espérance mathématique de cette variable aléatoire. Interpréter ce résultat.
G
–3
18 1
p(G = –3) =
=
36 2
14 7
p(G = 0) =
=
36 18
4 1
p(G = 3) =
=
36 9
–3 3 –21 –7
E(G) =
+ =
=
2 9 18
6
0
3
1,17 €
Déterminer une espérance et une variance à l'aide de la calculatrice Utiliser les propriétés du cours
Exercice n°8 page 319
Une chaîne de grands magasins a lancé sur le
marché des chèques cadeaux d'une valeur
comprise entre 5 et 40 euros.
Elle mène une enquête auprès d'un échantillon
représentatif de clients pour connaître le chèque
cadeau qu'ils seraient le plus susceptibles
d'acheter.
En voici le résultat :
5 € 10 € 15 € 20 €
Chèque
Fréquence 0,16 0,28 0,18 0,13
25 € 30 € 35 € 40 €
Chèque
Fréquence 0,08 0,08 0,05 0,04
On s'intéresse à un client pris au hasard. On
suppose que le nombre de clients de l'enquête est
assez grand pour qu'on puisse considérer les
fréquences obtenues comme des probabilités.
On définit alors la variable aléatoire X égale à la
somme que le client est prêt à dépenser en bons
d'achats.
1) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ?
2) Déterminer à l'aide de la calculatrice l'espérance E et l'écart type  de la variable aléatoire X.
3) Le directeur marketing estime qu'en dépensant 100 000 euros de publicité, on pourra attirer ainsi 20 000 clients à
acheter chacun un bon d'achat.
Le chiffre d'affaire ainsi réalisé est assimilé à une variable aléatoire Y = 20 000X – 100 000.
Déterminer l'espérance de la variable aléatoire Y.
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes)
http://rorthais.math.free.fr
1e S - programme 2011 – mathématiques – ch.10 – cahier élève
Page 10 sur 14
1) L'ensemble des valeurs prises par X est
Ici, on n'a pas donné le choix aux clients de répondre : « aucun chèque
ne m'intéresse ». La variable X ne peut donc pas prendre la valeur 0.
{5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; 35 ; 40}.
2)  On entre les valeurs comme s'il s'agissait d'effectifs et de fréquences
La valeur de l'effectif (n = 1)
statistiques, puis on utilise les fonctions statistiques :
permet de vérifier que la somme
des probabilités est bien égale à
1.
L'espérance est donc la moyenne de la série : E = 16,65 €.
 L'écart type est égal à :  = 9,72.
3) On utilise la formule du cours :
E(Y) = 20 000  E(X) – 100 000 = 125 000.
Y est de la forme Y = aX + b. On
a donc E(Y) = aE( X) + b.
Exercice n°5 page 317
On considère la loi de probabilité d'une variable aléatoire X :
1) Calculer p et q sachant que l'espérance de cette variable aléatoire est égale à 2,6.
2) Calculer la variance et l'écart type de cette variable aléatoire.
 p + q + 0,6 = 1

 p + 2q + 1,5 + 0,4 = 2,6
p = 0,1
V(X) = 0,64
p

p
1 2 3
4
p q 0,5 0,1
+ q = 0,4
+ 2q = 0,7
q = 0,3
 = 0,8
Exercice n°12 page 323 Q.C.M.
On considère une variable aléatoire définie sur l'univers  = {a ; b ; c ; d ; e ; f ; g ; h ; i}.
On suppose que la loi de la probabilité p définie sur  est équirépartie.
On définit la variable aléatoire X par : X(a) = X(b) = 5 ; X(c) = –2 ; X(d) = X(e) = X(f) = 0 ; X(g) = X(h) = 3 ; X(i) = 7.
Dans chacun des cas suivants, indiquer la (ou les) bonne(s) réponse(s).
1) p({d ; e ; f}) =
a) 0
2) p(X = 7) =
a)
3) p(X = –5) =
a) p(X = 3)
4) L'espérance mathématique de X est : E(X) =
a)
5) L’écart type est :  =
1
5
1
9
11
a)
3
3
9
1
b)
7
2
b)
9
c) p({a ; b ; c})
b) 0
c) –5a – 5b – 2c + 3g + 3h + 7i
b)
b)
8 17
9
1
9
2
c)
5
c)
c)
1 088
81
.
Exercice n°13 page 323 Vrai ou faux ?
On lance un dé à six faces parfaitement équilibré deux fois de suite. On note les résultats sortis
et on définit le jeu suivant.
Règle du jeu
Si le premier résultat sorti est inférieur ou égal au second, on ne gagne rien, sinon, on soustrait
le second résultat au premier et on gagne, en euros, le résultat de cette différence.
On appelle X la variable aléatoire égale au gain algébrique à l'issue des deux lancers.
Dans chacun des cas suivants, indiquer l'unique bonne réponse.
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes)
http://rorthais.math.free.fr
1e S - programme 2011 – mathématiques – ch.10 – cahier élève
1) L'ensemble des valeurs prises par X est :
2) p(X = 0) =
3) E(X) =
4) Ce jeu est :
a) {1 ; 2 ; 3 ;
b) {1 ; 2 ; 3 ;
4 ; 5 ; 6}
7
a)
12
35
a)
36
4 ; 5}
1
b)
6
56
b)
36
a) équitable
5) Une personne joue 500 fois à ce jeu :
a) elle peut
espérer
gagner
plus de
1 000 €
1
2
3
4
5
6
1 2 3
1 2 3
2 4 6
3 6 9
4 8 12
5 10 15
6 12 18
4
4
8
12
16
20
24
5
5
10
15
20
25
30
Page 11 sur 14
c) {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
c)
15
36
c) 0
b) défavorable
au joueur
b) elle peut
espérer
gagner
plus de
c) favorable au joueur
c) elle peut espérer gagner plus
de 2 000 €
450 €
6
6
12
18
24
30
36
Exercice n°21 page 325 Fabriquer des mots
On écrit les lettres du mot MATHS sur cinq cartons. On met
ces cartons dans une boîte et on prélève au hasard trois
cartons en remettant à chaque fois le carton dans la boîte. On
appellera « mot » une succession de trois lettres, ayant un
sens ou non.
1) Combien de « mots » différents peut-on obtenir ainsi ?
2) Quelle est la probabilité d'obtenir le mot « AAA » ?
3) Quelle est la probabilité que le mot commence par A ?
4) On appelle V la variable aléatoire dénombrant le nombre de voyelles par mot.
Déterminer la loi de probabilité de V.
5  5  5 = 125
1
125
1
5
24
125
4  3  2 = 24
Exercice n°24 page 325
On considère une variable aléatoire X égale au gain algébrique, en euros, pour une loterie ; elle prend ses valeurs dans
l'ensemble {–10 ; –5 ; 0 ; 2 ; 10 ; 15}.
La loi de probabilité de X est donnée par :
xi –10 –5 0
2 10 15
Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
pi 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 0,1
1) E(X) = 0,4.
2) La probabilité de gagner au moins deux euros à cette loterie est égale à 0,6.
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes)
http://rorthais.math.free.fr
1e S - programme 2011 – mathématiques – ch.10 – cahier élève
Page 12 sur 14
3) La probabilité de perdre de l'argent à cette loterie est égale à 0,4.
4) Si le joueur joue 1 000 fois à cette loterie, l'espérance de gain est 400 €.
5) La probabilité de gagner moins de 10 à cette loterie est égale à 0,9.
Exercice n°27 page 326
Déterminer la valeur de x pour que l'espérance de la variable aléatoire dont la loi
est définie dans le tableau suivant soit égale à 1 :
xi –2 –1
1
2
x
pi 0,15 0,2 0,25 0,3 0,1
E(X) = (–2)  0,15 + (–1)  0,2 + 0,25 + 2  0,3 + 0,1x = 0,35 + 0,1x
E(X) = 1
0,35 + 0,1x = 1
x = 6,5
Exercice n°32 page 326 Un dé truqué (Partie 1)
Un joueur lance un dé à 6 faces qui a été truqué de la façon suivante :
 la probabilité de sortie du 6 est le double de celle obtenue dans le cas d'équiprobabilité ;

On
1)
2)
3)
les probabilités de sortie des cinq autres résultats sont égales.
appelle X la variable aléatoire égale au résultat sorti.
Déterminer la loi de probabilité de X.
Quel est le résultat dont la sortie est la plus probable ? Expliquer.
Calculer E(X).
p(X = 6) =
2
6
p(X = 1) = p(X = 2) = p(X = 3) = p(X = 4) = p(X = 5) = a
1
2
=1
6
4
2
a= =
30 15
5a +
5a =
4
6
X
x
1 3 3 4 5 6
2 2 2 2 2 2
p(X = x)
15 15 15 15 15 6
6
2 5
=
6 15
E(X) = 4
Exercice n°38 page 327 Avocat
Un client intente un procès qui, s'il le gagne, lui rapportera la somme de 100 000 €.
Il a le choix entre deux avocats. Le premier réclame des honoraires fixes de 12 000 €. Le second réclame 30 % de la
somme si le procès est gagné et rien sinon.
Chacun des deux avocats assure que le client a 75 % de chances de gagner le procès.
En se basant sur l'espérance de gain dans chaque cas, conseiller le client dans son choix de l'avocat.
X

X
x
88 000 –12 000
p(X = x) 0,75
0,25
E(X) = 0,75  88 000 – 0,25  12 000 = 63 000

X
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes)
http://rorthais.math.free.fr
1e S - programme 2011 – mathématiques – ch.10 – cahier élève
Page 13 sur 14
x
70 000
0
p(X = x) 0,75 0,25
E(X) = 0,75  70 000 – 0,25  0 = 52 500
2.2 Propriétés de l'espérance et de la variance
DÉFINITION ET PROPRIÉTÉ 1

a et b sont deux réels quelconques.
La variable aléatoire Y, dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant, est notée aX + b.
Valeur de Y

ax1 + b ax2 + b … axn + b
p1
p2
pn
…
Probabilité
On note Y = aX + b.
On a : E(aX + b) = aE(X) + b.
Démonstration :
E(aX + b) = p1(ax1 + b) + p2(ax2 + b) + … + pn(axn + b)
= a(p1 x1 + p2 x2 + … + pn xn) + b(p1 + p2 + … + pn)
= aE(X) + b.
PROPRIÉTÉ 2
Soit X une variable aléatoire et a un réel quelconque :
V(aX) = a2 V(X).
Idée de démonstration :
V(aX) = i = 1;n;pi [axi – E(aX)]2.
Avec la propriété 1 : E(aX) = a E(X).
On factorise alors a2 dans chaque terme de la somme.
Exercice corrigé : Calculer l'espérance d'une variable aléatoire, sa variance et son écart type
Un jeu consiste à lancer trois fois une pièce de monnaie
bien équilibrée.
Chaque sortie de pile P rapporte 3 points, chaque sortie
de face F fait perdre 2 points. On considère la variable
aléatoire X égale au nombre (positif ou négatif) de points
obtenus après les trois lancers.
1) Déterminer l'ensemble des valeurs prises par X et la
loi de probabilité de X.
2) Calculer l'espérance E(X), la variance V(X) et l'écart type .
Solution :
Méthode :
1) On construit un arbre qui décrit les trois lancers successifs :
Issue Gain (points)
PPP
PPF
PFP
PFF
FPP
FPF
FFP
FFF


9
4
4
–1
4
–1
–1
–6
L'ensemble des valeurs prises par X est donc {9 ; 4 ; –1 ; –6}.
Le tableau permet de compter le nombre d'issues correspondant à chaque
(X = 4) = {PPF ; PFP ; FPP}.

9 4 –1 –6
Valeur
D'où la loi de probabilité donnée
1 3 3 1
Probabilité
par le tableau ci-contre :
8 8 8 8
valeur de X. Par exemple,
Compte tenu de
l'hypothèse de « bon
équilibre » de la pièce,
toutes ces issues sont équiprobables. Comme elles sont au nombre de 8, chacune
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes)
http://rorthais.math.free.fr
1e S - programme 2011 – mathématiques – ch.10 – cahier élève

2) E(X) = 9 
Page 14 sur 14
1
d'elles a donc une probabilité égale à .
8
(X = 4) est l'événement formé des issues constituées de deux « pile » et un « face ».
1
3
3
1 12
+ 4  + (–1)  + (–6)  =
= 1,5 ;
8
8
8
8 8
1
3
3
1
V(X) =  (9 – 1,5)2 +  (4 – 1,5)2 +  (–1 – 1,5)2 +  (–6 – 1,5)2
8
8
8
8
75
soit V(X) =
= 18,75.
4
75 5 3
 = V(X) =
=
( 4,33 à 10–2 près).
4
2
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes)
n
E(X) =
 xi pi ;
i=1
n
V(X) =
 pi [xi – E(X)]2.
i=1
http://rorthais.math.free.fr