Probabilités - Rorthais

1e S - programme 2011 – mathématiques – ch.10 – cahier élève Page 1 sur 14
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes) http://rorthais.math.free.fr
Ch.10 : Probabilités
Exercice n°A page 310 : Probabilités
Vrai ou faux ?
On place dans un sac six jetons de même forme et de même taille : trois rouges, deux bleus et un vert.
On tire au hasard un jeton du sac.
Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1) Il y a équiprobabilité de tirage de chacun des six jetons.
2) Les événements « obtenir un jeton rouge » et « obtenir un jeton vert » sont équiprobables.
3) La probabilité de tirer un jeton bleu est égale à 1
3 .
4) L'événement « obtenir un jeton rouge » et son événement contraire ont la même probabilité.
Exercice n°B page 310 : Décrire des événements — Utiliser des formules
Une urne contient trente-quatre billes indiscernables au toucher, vingt sont blanches et numérotées de 1 à 20, quatorze
sont rouges et numérotées de 1 à 14. On tire au hasard une bille de l'urne.
On considère les événements suivants :
A : « obtenir une bille blanche » ; B : « obtenir une bille numérotée 1 » ; C : « obtenir une bille qui porte un numéro
pair ».
1) Déterminer p(A), p( A ), p(B) et p(C).
2) Définir par une phrase chacun des deux événements suivants A B et A C.
3) Calculer p(A B) et p(A C).
4) Déterminer l'événement B C. Que peut-on en déduire concernant les événements B et C ?
5) Calculer p(B C).
p(A) = 10
17 p( A ) = 7 17 p(B) = 1 17 p(C) = 1 2
A B 1
A C
p(A B) = 1
34 p(A
C) = 27
34
B C 1
B C
p(B C) = p(B) + p(C) = 2
34 + 17 34 = 19 34
Exercice n°C page 310 : Associer un nombre à un événement
Une roue de loterie est partagée en dix secteurs de quatre couleurs différentes (bleu, rouge,
vert et rose), comme représenté sur la figure ci-contre.
Quand on lance cette roue, elle tourne, puis s'arrête librement devant le repère (sur la figure ci-
contre, la couleur de sortie est le rose).
On suppose que tous les secteurs ont la même probabilité de s'arrêter devant le repère.
1) Calculer la probabilité d'obtenir chacune des quatre couleurs.
2) Pour jouer à cette loterie, on mise 5 €, puis on fait tourner la roue.
Si la couleur de sortie est le bleu, on perçoit 15 €, si c'est le rose, on perçoit 10 €, si c'est le
rouge, on perçoit 2 € et si c'est le vert, on ne perçoit rien.
Montrer que la probabilité d'avoir un gain global de 10 € en jouant une fois à la loterie est égale à 0,1.
3) Marie affirme : « Si je joue une fois à cette loterie, j'ai moins d'une chance sur trois de gagner de l'argent, alors je ne
jouerai pas ». A-t-elle raison ? Justifier.

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B R V S
p(B) = 1
10 p(R) = 3 10 p(V) = 4 10 p(S) = 2 10
X
10
–3
–5
5
p(X = 10) = P(B) = 0,1
p(B) + p(S) = 0,3 < 1
3
1. VARIABLE ALÉATOIRE ET LOI DE PROBABILITÉ
On appelle  l'univers fini associé à une expérience aléatoire, c'est-à-dire l'ensemble de tous les résultats possibles
pour cette expérience.
1.1 Variable aléatoire discrète
DÉFINITION 1
Une variable aléatoire discrète sur  est une fonction X de  dans IR qui à tout élément de  fait
correspondre un réel.
Notation :
Si x1 , x2 , … , xk sont les images par X des éléments de , alors pour tout entier i tel que 1  i  k, on note
(X = xi) l'ensemble des éléments de  qui ont pour image xi par X.
Ainsi (X = xi) est l'événement formé de tous les résultats possibles dont l'image est xi .
Exemple :
Une urne contient neuf jetons indiscernables au toucher numérotés de 1 à 9.
Un joueur participe à une loterie gratuite qui suit la règle suivante :
 il prélève au hasard un jeton de l'urne ;
 si le numéro est pair, il gagne 1 €, s'il prélève le jeton n°1 ou le jeton n°9,
il gagne 10 € ; dans tous les autres cas, il perd 3 €.
On définit une variable aléatoire X sur  = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9} égale
« au gain algébrique » (positif ou négatif) du joueur.
Les valeurs prises par cette variable aléatoire sont 1, 10 et –3. On a :
(X = 1) = {2 ; 4 ; 6 ; 8} ; (X = 10) = {1 ; 9} ; (X = –3) = {3 ; 5 ; 7}.
Exercice n°1 page 334
Un sondage dans un lycée concernant la première langue
vivante étudiée est résumé dans le tableau suivant.
1) Recopier le tableau et compléter les cases vides.
2) On rencontre un élève au hasard dans ce lycée. Calculer
la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « l'élève est un garçon » ;
B : « l'élève étudie l'allemand »
Anglais
Allemand
Espagnol
Total
Filles
80
35
30
Garçons
60
40
55
Total
3) Quel est l'événement A B ?
Quelle est sa probabilité ?
4) Quel est l'événement A B ?
Quelle est sa probabilité ?
5) On rencontre une fille. Quelle est la probabilité qu'elle étudie l'espagnol ?
6) On rencontre un élève qui étudie l'anglais. Quelle est la probabilité que ce soit un garçon ?

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80
35
30
145
60
40
55
155
140
75
85
300
p(A) = 155
300 = 31 60
p(B) = 75
300 = 1 4
A B
p(A B) = 40
300 = 2 15
A B
p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) = 31
60 + 1 4 – 2 15 = 19 30
30
145 = 6 29
60
140 = 3 7
Exercice n°2 page 334
On considère deux événements A et B liés à une expérience aléatoire.
On donne p(A) = 0,45 ; p(B) = 0,7 et p(A B) = 0,3.
Calculer p( ) A et p( A B).
p( ) A = 1 – p(A) = 1 – 0,45 = 0,55
p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) = 0,45 + 0,7 – 0,3 = 0,85
Exercice n°3 page 334
Deux événements A et B sont incompatibles. On donne p(A) = 0,63 et p(A B) = 0,8.
Calculer p(B) et p( ) B
A B
p(B) = p(A B) – p(A) = 0,8 – 0,63 = 0,17
p( ) B = 1 – p(B) = 0,83
Exercice n°4 page 334 Calculs de probabilités avec un arbre
Une agence de voyages propose à ses clients des circuits passant par trois capitales européennes : Paris, Rome et
Londres que l'on notera respectivement P, R et L.
Le client choisit l'ordre dans lequel il désire visiter ces capitales. Par exemple R, L, P constitue un circuit dans lequel on
visite dans l'ordre Rome, Londres et Paris.
1) Réaliser un arbre représentant les différents circuits possibles.
2) Combien de circuits différents l'agence peut-elle proposer ?
3) Un client indécis prend un circuit au hasard. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « le circuit commence par Paris » ;
B : « le circuit se termine par Londres » ;
C : « le circuit passe par Rome avant Londres » ;
D : « le circuit passe par Rome juste avant de passer par Londres ».

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6
p(A) = 1
3p(B) = 1 3p(C) = 1 2p(D) = 1 3
Exercice n°5 page 334 Encore avec un arbre
Une urne contient cinq boules dont deux sont blanches et trois sont rouges.
On prélève une boule de l'urne, on note sa couleur et on la remet dans l'urne.
On prélève une deuxième boule et on note sa couleur.
1) Modéliser la situation à l'aide d'un arbre (on pourra noter B1 , B2 les deux boules blanches,
R1 , R2 , R3 les trois boules rouges.
2) Calculer la probabilité que les deux boules soient rouges.
3) Calculer la probabilité que les deux boules soient de couleurs différentes.
25 5
2  2 B R
2
53 5
9
25
2  6
25 = 12 25
1.2 Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète
DÉFINITION 2
Soit  l'univers sur lequel a été définie une loi de probabilité P.
On considère une variable aléatoire discrète X sur , prenant les valeurs {x1 ; x2 ; … ; xk}.
Définir la loi de probabilité de X, c'est donner la valeur de P(X = xi), pour tout i, avec 1  i  k.
Remarques :
 On adopte souvent une présentation sous forme de tableau.
Valeur xi prise par X
x1
x2
…
xk
Probabilité pi
p1 = p(X = x1)
p2 = p(X = x2)
…
pk = p(X = xk)
 p1 + p2 + … + pk = 
i = 1
k pi = 
i = 1
k p(X = xi) = 1.
Pour info. :
En mathématiques, l'adjectif « discret » désigne les ensembles dont on pourrait énumérer les éléments.
Ici, la variable aléatoire est « discrète », car elle prend un nombre fini de valeurs.
Exemple :
Dans l'exemple du paragraphe précédent, la loi de probabilité de
Valeur prise par X (€)
1
10
–3

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la variable aléatoire X est égale au gain algébrique, en euros ;
elle est donnée par le tableau :
Probabilité
4
9
2
9
3
9
Exercice corrigé : Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire
Un joueur lance deux dés tétraédriques équilibrés.
1) On définit la variable aléatoire X égale à la somme des deux
résultats.
a) Quelles sont les valeurs prises par X ?
b) En utilisant un tableau à double entrée, déterminer la loi de
probabilité de X.
Résultat : 1 (bleu) et 4 (vert)
2) On décide de jouer au jeu suivant : si le nombre obtenu est multiple de 3, le joueur gagne,
sinon il perd. En utilisant la variable aléatoire X, déterminer la probabilité que le joueur
gagne.
Solution :
Méthode :
1)
a) On va déterminer l'ensemble des sommes possibles, avec deux dés
tétraédriques :
L'ensemble des valeurs prises par X est {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8}.
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
b) Ce tableau permet de se ramener à une situation d'équiprobabilité.
La variable aléatoire X suit donc la loi de probabilité donnée par le
tableau ci-dessous :
xi
2
3
4
5
6
7
8
p(X = xi)
1
16
2/16
3
16
4
16
3
16
2
16
1
16
Le tableau permet de se
ramener à une situation
d'équiprobabilité. En effet,
les 16 cases du tableau
correspondent à des
lancers équiprobables.
On a bien : 1
16 + 2 16 + 3 16 + 4 16 + 3 16 + 2 16 + 1 16 = 16 16 = 1.
On vérifie que la somme
des probabilités est bien
égale à 1.
2) Appelons G l'événement : « le joueur gagne ».
On a : p(G) = p(X = 3) + p(X = 6) = 2
16 + 3 16 = 5 16 .
La probabilité que le joueur soit gagnant est donc égale à 5
16 .
Les événements (X = 3)
et (X = 6) sont disjoints et
leur réunion est égale à
l'événement G.
Exercice n°2 page 315
On considère à nouveau l'expérience qui consiste à lancer deux dés cubiques équilibrés.
On définit la variable aléatoire X égale à 1 si les nombres obtenus sont premiers entre eux, à 0 sinon.
Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire.
1
2
3
4
5
6
1
0
0
0
0
0
0
2
0
0
1
0
1
0
3
0
1
0
1
1
0
4
0
0
1
0
1
0
5
0
1
1
1
0
1
6
0
0
0
0
1
0
X
X
0
1
24
36
12
36
Exercice n°1 page 315
On considère l'expérience qui consiste à lancer deux dés cubiques équilibrés.
On définit la variable aléatoire X égale au produit des deux résultats obtenus.
1) Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
2) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
X
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
8
10
12
3
3
6
9
12
15
18