Td 1

EM TD7 TSI 2015-2016
OEM dans le vide
Exercice 1 : Description des ondes électromagnétiques
dans le vide (**)
A) Du cours, du cours et encore du cours…
1) Rappeler les équations de Maxwell dans le vide.
2) Soit une Oem plane progressive harmonique de
vecteur d’onde  se propageant dans le vide.
Montrer que les champs électrique et magnétique
sont perpendiculaires à  en utilisant la notation
complexe. Montrer également que 
constitue un trièdre orthogonal direct.
3) Donner l’équation de propagation du champ
électrique.
4) Si  , quel est la polarisation
de l’Oem, sa direction et son sens de propagation ?
5) Montrer qu’une OPPH décrite par un champ
électrique donné par  se
propage une vitesse constante pour toute pulsation
en injectant cette solution dans l’équation de
propagation précédente.
B) Description d’une onde plane progressive
On considère la propagation dans le vide de l’onde
électromagnétique suivante décrite dans la base
cartésienne ( et  sont des constantes positives) :
1) Montrer que cette onde est bien une Oem
plane progressive harmonique, préciser sa
direction de propagation et sa polarisation.
Proposer une base (  facilitant la
description d’une telle onde.
2) Ecrire une relation liant  et  (vitesse des
OEM dans le vide)
3) Evaluer le champ magnétique   dans
(
4) Calculer la valeur moyenne du vecteur de
Poynting.
C) Description d’une onde incidente et d’une onde
réfléchie
On considère une onde électromagnétique formée de
deux ondes planes, progressives, harmoniques de même
pulsation , polarisées suivant l’axe , de même
amplitude maximale  se propageant dans un demi-
espace vide  délimité par un plan conducteur
parfaitement réfléchissant placé en :
- L’onde incidente arrive sous une incidence de
45° sur le plan conducteur et se propage
également suivant 
- L’onde réfléchie « repart » à 45° déphasée de
 et se propage également suivant 
Ecrire et décrire le champ électrique résultant
Exercice :
A)
De plus 
Si on injecte l’OPPH dans l’équation de propagation
alors : 
B) S’il s’agit d’une OemPPH alors nous pouvons proposer
une description du type :
 avec 
liée à une direction
Par identification  et 
Cette onde se propage donc dans la direction  .
C’est-à-dire dans la direction donnée par le vecteur
unitaire  et donc 
La direction du champ électrique, donc sa polarisation,
est bien transverse à la direction de propagation :
Nous avons défini l’onde plane comme pouvant être
décrite par une seule variable cartésienne et telle que
ses fronts d’onde soient plans, dans la base (
ce champ est donc bien décrit comme une OemPPH :
La propagation dans le vide impose 

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Le champ électrique reste toujours dans la même
direction car les deux composantes sont en opposition
de phase : il s’agit donc d’une onde polarisée
rectilignement. En prenant un trièdre direct
orthonormé  :
Donc : 
Rq : Dans la base   on retrouve naturellement
le même résultat avec : 
Donc :
Et donc :
C)Dans ces conditions le champ électrique total s’écrit :
Pour l’onde incidente 
 et pour l’onde
réfléchie 
Et 
L’onde obtenue se propage suivant l’axe Oz et présente
une structure d’onde stationnaire suivant Oy.
A noter que la loi de la réflexion sur un métal se
démontre en écrivant la continuité de la composante
tangentielle du champ électrique.
Exercice 2 : Etude énergétique de l’onde lumineuse
On considère une onde lumineuse envoyée par un laser.
Cette onde sera supposée monochromatique et polarisée
rectilignement. L’onde plane progressive harmonique est
donc une bonne candidate pour décrire cette onde
lumineuse. On va donc considérer la propagation d’un
champ électrique donné par : dans
l’air, milieu assimilé à du vide.
1) Donner l’expression du vecteur champ
magnétique  et de son intensité 
2) Donner la définition du vecteur de Poynting  .
3) Exprimer la valeur moyenne temporelle de ce
vecteur en fonction de   et µ
4) Le laser, de puissance moyenne  ,
émet dans un faisceau cylindrique de 4mm de
diamètre. Quelle est l’amplitude du champ
électrique associé ?
1) D’après Maxwell Faraday :
. Donc 
2) Par définition : 
µ
3) Si on utilise la notation complexe :
µ µ µ
Avec la notation réelle   et se ramène
à la valeur moyenne d’un cosinus carré : 
µ
4) On sait que le vecteur de Poynting nous donne
la puissance par unité de surface. Donc en
supposant cette puissance uniformément
répartie sur le pinceau de lumière, on
a :
µ
, Donc : 
µ
 Ce qui est énorme !
Exercice 3 : problème de physique
Le soleil rayonne au niveau de la Terre un champ
électrique d’environ 1000V/m sur des panneaux solaires
dont le rendement est de 20%. Estimer l’énergie
lumineuse récupérable en une journée et la comparer à
la consommation électrique d’une famille
On utilise encore 
Donc pour une maison de 
on perçoit 

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Pour une journée, on trouve à peu près 
Une famille utilisant pendant 12h, 10 appareils
consommant une puissance 1kW chacun (four, lave linge,
sèche linge…) consomme 120kWh : la maison peut être
autonome !
Réflexion des OEM sur conducteur métallique
Pour la toute la suite, et conformément au programme,
on admettra les relations de passage des champs à
l’interface d’une nappe de charges et de courant
surfacique :
Milieu 1 Milieu 2
On a une discontinuité de la composante normale à  du
champ électrique :
soit 
On a une discontinuité de la composante tangentielle à 
du champ magnétique :
soit 
Exercice 4 : Réflexions sur la réflexion sur un
conducteur parfait (*)
Soit le demi-espace  occupé par un conducteur plan
et parfait (pour  le milieu est assimilé à du vide).
On considère la réflexion d’une onde incidente définie
telle que  .
1) Définir puis donner la valeur du coefficient de
réflexion  en amplitude du champ électrique
2) Définir puis donner l’expression du coefficient
de réflexion moyen  de l’énergie
électromagnétique
Avec l’hypothèse du conducteur parfait : .
Ainsi, la continuité de la composante tangentielle
assure :
La structure des ondes incidentes et réfléchies, prises
séparément, est celle d’OemPPH :
et 
Soit  un élément de surface orienté à
l’interface en , le coefficient de réflexion en
énergie est défini par :
Exercice 5 : Energie dissipée par effet Joule dans un
conducteur (*)
Dans un conducteur métallique les électrons libres
(charge , de masse ) de densité volumique  ont une
vitesse d’ensemble  par rapport au réseau cristallin et
sont soumis de la part de ce dernier à « une force de
frottement » en  .
1) Donner l’origine de cette force et interpréter
2) Le métal est mis en régime sinusoïdal forcé
sous l’action d’un champ électrique, qui
localement est décrit par  .
Etablir la loi d’Ohm locale (reliant le vecteur
densité de courant volumique au champ
électrique)  et exprimer la conductivité
complexe  en fonction de  et de 
3) Exprimer la puissance volumique moyenne
 dans les cas  et .
Interpréter.
Exercice :
La force de fluide modélise les pertes énergétiques
occasionnées par les interactions entre électrons
mobiles et les ions du réseau. Classiquement, on peut les
interpréter à des chocs et   traduit un temps
caractéristique entre deux chocs.
Avec la RFD : 
En utilisant la notation complexe : 
On obtient l’expression  et donc 
Surface
chargée (densité
)
et/
ou
siège d’un courant surfacique (vecteur
densité de courant ( )

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La puissance volumique cédée aux charges est donnée
par  et donc la valeur moyenne est obtenue
aussi par 
Avec les résultats précédents : 
Ainsi en hautes fréquences  et les électrons par
leur inertie sont animées d’un mouvement de plus en
plus limité n’engendrant plus la possibilité d’une
collisions et donc de prélèvement d’énergie au champ :
 on parle alors de transparence (typiquement
dans l’UV)
En basses fréquences, la conductivité est réelle et
: de l’énergie est prélevée au champ qui
voit donc son amplitude diminuer.
Exercice 6 : Réflexion sous incidence normale (partie 1)
(**)
On considère un conducteur parfait, plan, occupant le
demi-espace des . Une onde électromagnétique
incidente se propageant dans un milieu assimilé à du
vide est décrite par un champ électrique tel que :
et arrive sous incidence normale.
On admettra que le champ électrique transmis  est
nulle en tout point à l’intérieur du conducteur.On écrit
l’onde réfléchie telle que 
1) Montrer qu’il s’établit des ondes stationnaires
pour le champ électrique.
2) Décrire également le champ magnétique.
Expliquer l’origine d’un courant de surface en
 sur le métal et exprimer le vecteur
densité de courant de surface  associé.
3) Exprimer le vecteur de Poynting  puis
calculer sa valeur moyenne. Conclure
4) Exprimer la densité d’énergie
électromagnétique moyenne. Conclure
On considère un second plan conducteur placé en 
et dans lequel une onde électromagnétique est confinée.
5) Montrer par une analyse qualitative, qu’il y a
sélection de certaines ondes stationnaires et
que cette cavité résonante joue le rôle de
filtre passe haut. Calculer la fréquence à la
première résonance.
Dans le cas d’un conducteur parfait la puissance
dissipée aux charges (pour des fréquences inférieures à
celles de UV) est  . Cependant si 
alors 
 même pour un champ fini ! Pour
répondre à cette situation, nous devons exclure la
possibilité d’avoir un champ électrique à l’intérieur du
conducteur.
La composante tangentielle du champ électrique est
conservée :   ce qui se
traduit par : ainsi le champ électrique total
est :
Donc :  et donc le champ
magnétique total est, d’après MF (et sans utiliser la
notation complexe de l’opérateur nabla réservée aux
OPPH) : 
Le champ électrique incident accélère les charges libres
du conducteur qui rayonnent à leur un champ : le champ
réfléchi. Avec la relation de passage du champ
magnétique et la nullité du champ magnétique dans le
conducteur parfait :
Donc :  , le courant est en phase avec la
champ électrique incident qui en est à l’origine.
Avec les expressions précédentes des champs, on a :
L’énergie ne se propage pas (elle est stationnaire
également), elle reste confinée entre deux nœuds
(électrique et ou magnétique).
Enfin  : l’énergie des ondes incidentes et
réfléchies conduisent à un vecteur de Poynting moyen
nul.
Pour la densité d’énergie électromagnétique :
Donc en moyenne, on a le double d’une seule OemPPH (ce
qui n’était pas évident vu que l’énergie n’est pas une
grandeur linéaire avec le champ) : 

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La présence de deux plans impose la nullité du champ
électrique en  et . Si l’on souhaite superposer
parfaitement les jeux d’ondes stationnaires après
chaque réflexion alors il faut que  avec  . La
longueur d’onde la plus grande (et donc la fréquence la
plus petite) est celle qui vérfie  ainsi  et
.
Plus quantitativement, si l’on suppose que chaque
réflexion est caractérisée par un coefficient de
réflexion amplitude  (donc   après deux
réflexions) en alors l’onde totale se propageant vers
 est donnée par :
L’amplitude d’une telle onde plane est fixée par
et l’intensité du vecteur de Poynting est proportionnel à
son module soit :
Donc un maxima pour les ondes se propageant suivant
les valeurs croissantes pour  soit 
On peut reprendre tous les résultats précédents en
conservant des OPPH :
Il est intéressant de remarquer que le vecteur de
Poynting total instantané est la somme des vecteurs de
Poynting des ondes incidentes et réfléchies (ce qui
n’était pas évident vu que l’énergie est une grandeur
quadratique).
Ces résultats sont généraux à tout système d’ondes
stationnaires (corde, câble coaxial…)
Onde sur une
corde
OEM réfléchie
sur un
conducteur
One
électromagnétique
sur un câble
coaxial
Le PFD conduit
à deux
grandeurs
couplées
Les équation
s
de Maxwell
couplent les
champs
électrique et
magnétique
Lois des mailes et
des nœuds
conduisent au
couplage tension-
courant
Ainsi
:
Donne alors :
Avec
Si
:
Alors
Si
Alors :
La puissance
traversant la
position  à 
est donc :
Dans le cas
d’onde
stationnaire
 et sont
sinusoïdales
ainsi
Le vecteur de
Poynting est
alors donné
par :
Dans le cas
d’onde
stationnaire
 et sont
sinusoïdales
ainsi 
La puissance
traversant la
position  à  est
donc :
Dans le cas d’onde
stationnaire
 et sont
sinusoïdales ainsi
De même :