Poly EM4 - Lycée François 1er

Chapitre EM4
É QUATIONS
DE
M AXWELL
P ROGRAMME OFFICIEL :
Notions et contenus
Force de L ORENTZ. Équations locales de M AXWELL.
Formes intégrales.
Compatibilité avec les cas particuliers de l’électrostatique
et de la magnétostatique ; compatibilité avec la conservation de la charge.
Linéarité.
Vecteur de P OYNTING. Densité volumique d’énergie électromagnétique. Équation locale de P OYNTING.
ARQS "magnétique".
Capacités exigibles
Utiliser les équations de M AXWELL sous forme locale
ou intégrale. Faire le lien entre l’équation de M AXWELL FARADAY et la loi de FARADAY étudiée en PCSI.
Utiliser une méthode de superposition.
Utiliser les grandeurs énergétiques pour faire des bilans
d’énergie électromagnétique.
Associer le vecteur de P OYNTING et l’intensité utilisée en
optique.
Discuter la légitimité du régime quasistationnaire.
Simplifier les équations de M AXWELL et l’équation de
conservation de la charge et utiliser les formes simplifiées.
Étendre le domaine de validité des expressions des
champs magnétiques obtenues en régime stationnaire.
Table des matières
Introduction
2
I
Équations de Maxwell
2
I.1
Formulation locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
I.2
Formulations intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
~ et équation de Maxwell-Gauss . . . . . .
I.2.a Flux de E
~ et équation de Maxwell-Thomson . . . .
I.2.b Flux de B
~ et équation de Maxwell-Faraday
I.2.c Circulation de E
. . . . . . . . . .
4
. . . . . . . . . .
4
. . . . . . . . . .
5
. . . . . . . . . .
~
Circulation de B et équation de Maxwell-Ampère . . . . . . . . . . .
5
I.2.d
II Aspects énergétiques
7
9
II.1 Densité volumique d’énergie électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
II.2 Vecteur de Poynting et équation de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
III Approximation des Régimes Quasi Stationnaires (ARQS "magnétique")
14
III.1 Définition de l’ARQS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
III.2 Équations de Maxwell dans le cadre de l’ARQS . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
III.3 Conservation de la charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Synthèse
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Introduction
Depuis le temps que l’on en parle, nous y voici enfin...
Vers 1865, Maxwell a réalisé une synthèse des diverses lois expérimentales découvertes
par ses prédécesseurs (lois de l’électrostatique, du magnétisme, de l’induction...). D’abord publiées sous la forme de 20 équations à 20 inconnues, ce n’est que plus tard que les 4 équations
vectorielles aux dérivées partielles que l’on connait maintenant seront écrites par Heaviside.
Depuis des temps immémoriaux, disons depuis dix mille ans, il y a peu de doute
que l’évènement le plus marquant sera pour un temps la découverte (au XIXe siècle)
de Maxwell sur les lois de l’électromagnétisme.
Richard Feynman (prix Nobel de Physique)
I
I.1
Équations de Maxwell
Formulation locale
Les quatre équations de Maxwell constituent les postulats de base de l’électromagnétisme.
On les a déjà écrites dans le cadre des régimes stationnaires. On revient ici au cas général, en
régime dépendant du temps.
Équations de Maxwell
Soit un point M de l’espace où se trouvent :
→ une densité volumique de charge ρ(M, t)
#»
→ une densité volumique de courant j (M, t).
#»
#»
On admet que les champs électrique E(M, t) et magnétique B(M, t) vérifient :

#»

divE = ερ0 Maxwell-Gauss (MG)


#»

# » #»
 rot
B
E = − ∂∂t
Maxwell-Faraday (MF)
#»
 divB = 0 Maxwell-Thomson (MT) ou Maxwell-flux (MΦ)


#»

#»
 # » #»
rotB = µ0 j + µ0 ε0 ∂∂tE Maxwell-Ampère (MA)
Avec µ0 = 4π.10−7 H/m (perméabilité magnétique du vide) et ε0 =
1
36π.109
F/m
(permittivité diélectrique du vide).
Important
Ces équations sont admises et doivent être connues par cœur !
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Remarque : On les appelle équations de Maxwell "dans le vide" car elles s’appliquent dans
un milieu assimilé au vide, c’est-à-dire qui en a les propriétés électromagnétiques (permittivité
diélectrique ε0 et perméabilité magnétique µ0 ), mais dans lequel existent des charges et des
#»
courants : il ne s’agit donc pas réellement du vide (dans le "vrai" vide, on aura ρ = 0 et j = 0).
En fait, dans certains milieux (diélectriques par exemples), elles prennent une forme plus
adaptée qui n’est pas au programme.
Important
Comme on l’a déjà fait remarquer, ces équations sont des équations différentielles
linéaires : il sera souvent commode d’appliquer le principe de superposition.
Lien avec la conservation de la charge : Prenons la divergence de MA :
..........................................................................................
..........................................................................................
Conclusion
Les équations de Maxwell sont bien compatibles avec l’équation de conservation
de la charge.
#»
Remarque : Les équations de Maxwell relient les champs à leurs sources (ρ et j ), donc
par intégration, on doit pouvoir calculer les champs créés par ces sources. Mais on constate de
#»
#»
plus que les champs E et B sont couplés par MF et MA : en régime variable, les deux champs
sont indissociables : c’est pourquoi on parle de champ électromagnétique.
Cas particulier : régime stationnaire
En régime stationnaire, les sources sont indépendantes du temps, donc les champs
également et on retrouve les équations des chapitres précédents :

#»


divE = ερ0



# » #»
 rot
E=0
#»

divB = 0




#»
# » #»
 rot
B = µ0 j
#»
#»
Les champs E et B sont alors découplés.
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Important
On admettra que les propriétés de symétrie vue en statique restent valables, en vertu
du principe de Curie :
#»
→ E est un vecteur polaire ou "vrai" vecteur : il présente les mêmes symétries et
invariances que ses sources ;
#»
→ B est un vecteur axial ou "pseudo-vecteur" : il présente les mêmes invariances que
ses sources, mais les symétries sont inversées (à cause du produit vectoriel dans le
rotationnel, dans MA, notamment).
I.2
Formulations intégrales
I.2.a
~ et équation de Maxwell-Gauss
Flux de E
ρ
#»
divE =
ε0
Maxwell-Gauss (MG)
L’équation de Maxwell-Gauss est la même qu’en électrostatique : on peut donc reprendre
la démonstration déjà vue pour établir le théorème de Gauss. La démonstration consiste à
intégrer l’équation de Maxwell-Gauss sur un volume V délimité par une surface fermée SG
(surface de Gauss).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
Conclusion : Théorème de Gauss
Le flux du champ électrostatique créé par une distribution de
charge à travers une surface fermée orientée vers l’extérieur SG
(appelée surface de Gauss) est égal à la charge contenue à l’intérieur de SG divisée ε0 :
ΦG ,
{ #»
Qint (t)
# »
E(M, t).dSG =
ε0
S
G
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Cas particulier : régime stationnaire
En régime stationnaire, le théorème de Gauss est identique.
~ et équation de Maxwell-Thomson
Flux de B
I.2.b
#»
divB = 0 Maxwell-Thomson (MT) ou Maxwell-flux (MΦ)
L’équation de Maxwell-Thomson ou Maxwell-flux est aussi la même qu’en électrostatique.
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
Conclusion : Conservation du flux du champ magnétique
#»
Le champ magnétique est à flux conservatif : le flux de B à travers
toute surface fermée est nul :
{ #» # »
B.dS = 0
S
#»
Par conséquent, le flux de B à travers toute section d’un tube de champ est conservé.
Cas particulier : régime stationnaire
En régime stationnaire, cette propriété est inchangée.
I.2.c
~ et équation de Maxwell-Faraday
Circulation de E
#»
∂B
# » #»
rotE = −
∂t
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Maxwell-Faraday (MF)
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L’équation de Maxwell-Faraday n’est pas la même qu’en électrostatique : la circulation
#»
de E sur un contour fermé n’est pas nulle en régime variable, c’est pourquoi le
potentiel n’est plus défini comme en électrostatique.
#»
Calculons donc ce que vaut la circulation de E sur un contour fermé :
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
Conclusion : Loi de Faraday
La circulation du champ électrique sur un contour fermé C orienté
arbitrairement indéformable et fixe dans le référentiel d’étude,
sur lequel s’appuie une surface S orientée positivement par rapport
à C, est égale à l’opposé de la dérivée par rapport au temps du
flux du champ magnétique à travers cette surface S :
dΦB (t)
d
#»
#»
=−
E(P ).d`(P ) = −
dt
dt
C
I
x #» # »
B dS(M )
!
S
#»
Remarque : Le flux du champ B n’est pas nul puisque la surface n’est pas fermée.
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Important
#»
La circulation de E sur un contour étant une tension, on retrouve bien un cas particulier de la loi de Faraday vue en PCSI (en fait, on a admis qu’elle était valable
pour des circuits mobiles et déformables également, dans la plupart des cas) :
e=−
dΦB (t)
dt
Cas particulier : régime stationnaire
En régime stationnaire, il reste
H #»
#»
C E(P ).d`(P ) = 0, ce qui permet de construire le
potentiel électrostatique.
#»
Il est important de noter que les effets d’induction (apparition de E dépendant de
#»
#»
B) ne sont possibles qu’en régime variable : ce sont les variations du flux de B qui
créent une fem.
I.2.d
~ et équation de Maxwell-Ampère
Circulation de B
#»
∂E
#»
# » #»
rotB = µ0 j + µ0 ε0
∂t
Maxwell-Ampère (MA)
L’équation de Maxwell-Ampère n’est pas la même qu’en magnétostatique : elle fait in#»
#»
tervenir un second terme dépendant de E. On remarque que ε0 ∂∂tE est homogène à une densité
volumique de courant, c’est pourquoi on définit :
Définition
On appelle vecteur densité volumique de courant de déplacement le vecteur :
#»
∂E
#»
j D = ε0
∂t
#»
Dans le cas où les deux sont présents, pour lever toute ambiguïté, le vecteur j sera
appelé densité volumique de courant de conduction.
Ce vecteur a été introduit par Maxwell afin de vérifier la conservation de la charge.
#»
#»
# » #»
L’équation de Maxwell-Ampère devient alors : rotB(M, t) = µ0 ( j + j D ) .
Cette écriture fait apparaître deux sources de champ magnétique :
#»
• un mouvement réel de charge ou courant de conduction, représenté par j
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#» #»
• une variation du champ électrique, représentée par j D . j D ne correspond pas à un réel
mouvement de charge, mais est un courant fictif : cela signifie qu’un vrai courant de densité
#»
j D créerait le même champ magnétique que la variation du champ électrique. Il s’agit donc
d’un courant équivalent fictif et non d’un courant réel.
De même, si S est une surface orientée, on peut définir 2 intensités à travers S :
s #»
#»
• l’intensité du courant réel, ou de conduction : i = S j (M ).dS
• l’intensité du courant de déplacement (qui est un courant équivalent, mais non un
s #»
#»
courant réel) : iD (t) = S j D (M ).dS.
#»
Calculons alors ce que vaut la circulation de B sur un contour fermé :
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
Conclusion : Théorème d’Ampère généralisé
La circulation du champ magnétique sur un contour fermé est
égale à µ0 multiplié par le courant enlacé total, en tenant compte
du courant de déplacement :
I
CA
avec iD (t) =
#»
#»
B(P ).d`(P ) = µ0 (i(t) + iD (t))enlacés
s
s #»
#»
j
(M
).
dS
=
ε
0
D
S
S
#»
∂E # »
∂t .dS
où S est une surface s’appuyant sur CA .
Cas particulier : régime stationnaire
En régime stationnaire, il n’y a pas de courant de déplacement et il reste
H #»
#»
CA B(P ).d`(P ) = µ0 Ienlacé , soit le théorème d’Ampère classique.
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II
Aspects énergétiques
On a vu au Chapitre EM1 qu’un champ électromagnétique peut servir à accélérer des parti-
cules, donc à leur fournir de l’énergie (formule de Joule pour la puissance volumique reçue par
#» #»
les charges mobiles : pJ = j .E) : c’est donc que le champ EM "contient" une forme d’énergie.
De même, on a vu dans les Chapitres EM2 et EM3 qu’un condensateur et une bobine
pouvaient stocker de l’énergie sous forme électrique ou magnétique, et on avait établi, en régime
stationnaire et dans ces cas particuliers, que par unité de volume, on avait une énergie électrique
#»
#»
ue = 12 ε0 E 2 et une énergie magnétique um = 2µ1 0 B 2 . On va admettre ici une généralisation.
II.1
Densité volumique d’énergie électromagnétique
Définition
#»
#»
La présence des champs E(M, t) et B(M, t) en tout point M de l’espace implique l’existence dans le volume dτ (M ) autour de M d’une énergie électromagnétique élémentaire
dUem = uem (M, t)dτ (M ) , où uem (M, t) est la densité volumique d’énergie
électromagnétique en M .
Cette
énergie
électromagnétique
est
composée
de
2
contributions
:
uem (M, t) = ue (M, t) + um (M, t) où :
• ue (M, t) =
• um (M, t) =
1
2
#»
ε0 [E(M, t)]2 est la densité volumique d’énergie électrique.
1
2µ0
#»
[B(M, t)]2 est la densité volumique d’énergie magné-
tique.
Conséquence
L’énergie électromagnétique contenue dans un volume V macroscopique s’écrit donc :
Uem (t) =
y
uem (M, t)dτ (M )
V
y 1 #»
1 #»
2
2
=
ε0 [E(M, t)] +
.[B(M, t)] dτ (M )
2
2µ0
V
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II.2
Vecteur de Poynting et équation de Poynting
Définition
On appelle vecteur de Poynting associé au champ électromagnétique en un point
M le vecteur :
#»
#»
E(M, t) ∧ B(M, t)
#»
Π(M, t) =
µ0
On admet a que le vecteur de Poynting représente une densité volumique de
flux d’énergie électromagnétique, c’est-à-dire que la puissance électromagnétique
traversant une surface S (puissance rayonnée) est donnée par le flux du vecteur de
Poynting à travers cette surface :
Pray =
x #»
#»
Π(M, t)dS
P ∈S
a. La démonstration est faite plus loin, en option...
Important
Le vecteur de Poynting représentant une énergie transportée par rayonnement, c’est
tout naturellement qu’on l’associera en optique à la notion d’intensité lumineuse (cf
Chapitre O1).
On peut maintenant établir un bilan de puissance électromagnétique sur un volume V, délimité par une surface fermée Σ. L’énergie électromagnétique de ce système n’est pas conservative.
Sa variation est due :
• à un terme d’échange que l’on peut relier au flux du vecteur de Poynting à travers la
surface Σ
• à un terme de création (plus souvent de destruction) due à l’interaction des charges libres
du système avec le champ électrique, selon la formule de Joule.
Système :
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Bilan d’énergie entre t et t + dt :
..........................................................................................
Énergie électromagnétique dans le système à t et variation de Uem (t) :
..........................................................................................
..........................................................................................
Expression de δUem,e :
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
Expression de δUem,c :
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
Bilan :
..........................................................................................
..........................................................................................
Ce bilan est valable pour tout volume V, donc on peut passer au bilan local :
..........................................................................................
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Conclusion : Équation (ou identité) locale de Poynting
En tout point M de l’espace est vérifiée la relation locale :
∂uem (M, t)
∂t
#»
+ divΠ(M, t) = −pJ (M, t)
#»
#»
où pJ (M, t) = j (M, t).E(M, t).
L’identité de Poynting correspond à un bilan local d’énergie électromagnétique.
On a établi l’équation de Poynting à partir d’un bilan, mais en admettant beucoup de
choses. Essayons de la redémontrer à partir des équations de Maxwell, et donc justifier les
#»
#»
expressions de eem et de Π. Pour cela, on calcule la divergence de Π au moyen de la formule
d’analyse vectorielle suivante :
#» #» #» #» #» #»
#»
#»
div U ∧ V = rotU .V − rotV .U
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
Application 1 : Bilan d’énergie sur un conducteur ohmique
Un conducteur infini cylindrique de rayon a de conductivité γ est parcouru par un
#»
courant j uniforme et permanent.
1. Déterminer le champ électromagnétique en tout point du conducteur.
#»
2. Donner l’expression du vecteur de Poynting Π.
3. Quel est le flux du vecteur de Poynting à travers un cylindre d’axe (Oz),
de hauteur h et de rayon r ≤ a ? Quelle interprétation peut-on donner de ce
résultat ? Compléter cette interprétation en calculant la puissance dissipée par
effet Joule dans ce cylindre.
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Schéma :
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
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III
Approximation des Régimes Quasi Stationnaires (ARQS "magnétique")
III.1
Définition de l’ARQS
Les distributions de charge et de courant créent le champ électromagnétique en tout point
de l’espace. Une variation de ces sources induit une variation du champ. Cependant, aux points
suffisamment éloignés de l’espace, les champs ne se modifient pas instantanément, mais avec un
certain retard, dû à la propagation de l’"information".
On verra au Chapitre PO3 que lorsque des sources varient avec le temps, elles créent dans
l’espace une onde électromagnétique, c’est-à-dire une onde dont la grandeur vibrante est le
#» #»
champ électromagnétique (E, B). Dans le vide, cette onde se propage à la vitesse c = 3.108
1
.
m/s et on montrera que c = √
ε0 µ 0
Considérons donc une distribution de sources localisées autour d’un point O. On étudie le
champ électromagnétique créé par ces sources en un point M , placé à une distance L des sources
(OM = L)
Lorsque les sources sont des fonctions variables du temps, de période caractéristique T ,
elles émettent une onde électromagnétique de même période se déplaçant à la vitesse c dans le
vide. Au point M , du fait de la linéarité des équations de Maxwell, les champ E et B varient
avec la même période, mais avec un retard dû à la propagation de l’onde τ =
L
c.
Si τ T , alors, le retard peut être considéré comme négligeable : le champ électromagnétique en M varie presque simultanément avec les sources : le retard n’est pas perceptible.
Cela revient à dire que l’onde se propage avec une vitesse infinie et que tous les points de
l’espace sont frappés par l’onde "en même temps".
Définition
On est dans l’ARQS (Approximation des Régimes Quasi Stationnaires) lorsqu’on peut considérer que les champs ne sont pas en retard par rapport aux sources qui
les créent, donc si on peut négliger le temps de propagation de l’OEM devant
le temps de variation des sources de champ : τ =
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L
c
T ⇔ L cT = λ.
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Ainsi, la cible ne doit pas être trop loin et les sources ne doivent pas varier trop vite.
Ordre de grandeur : pour L = 3 m, τ = 10−8 s. Dans ce cas, la fréquence de variation des
sources doit être faible devant 108 Hz, ce qui reste confortable, en particulier pour les circuits
électriques.
III.2
Équations de Maxwell dans le cadre de l’ARQS
Avec l’approximation ci-dessus, les équations de Maxwell ne changent pas, sauf l’équation
de Maxwell-Ampère qui se simplifie.
On reprend les notations ci-dessus. On note ρ, j, E et B les ordres de grandeur des amplitudes des sources et des champs. Étudions les différents termes de l’équation de MaxwellAmpère en ordre de grandeur :
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
Conclusion
Dans l’Approximation des Régime Quasi Stationnaires, on peut négliger le terme
#»
# » #»
ε0 µ0 ∂∂tE devant rotB dans l’équation de Maxwell-Ampère. Les autres équations
restent inchangées.
Ainsi, dans l’ARQS :
#»
divE = ερ0
#»
# » #»
B
rotE = − ∂∂t
#»
divB = 0
#»
# » #»
rotB = µ0 j
Les équations de Maxwell pour le champ magnétique sont celles de la magnétostatique
(on parle d’ARQS "magnétique"), tandis que pour le champ électrique, on ne peut négliger le
#»
terme de variation du champ B.
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Important
Ça peut paraitre idiot, mais... pour étudier la propagation des OEM (Chapitre
PO3), on ne se place évidemment pas dans l’ARQS !
Par contre, en induction et en électrocinétique, on se place dans ce cadre en
général.
III.3
Conservation de la charge
L’équation de MA est la même qu’en MS, donc, on peut tout de suite écrire :
#»
#»
# » #»
divrotB = 0 = µ0 div j ⇔ div j = 0
Cela revient à négliger
∂ρ
∂t
#»
devant div j .
Conclusion
#»
Dans l’ARQS, l’équation de conservation de la charge s’écrit div j = 0
La conservation de la charge s’écrit comme en MS : les conséquences sont les mêmes, en
particulier la loi des nœuds et la conservation du courant dans une branche.
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S YNTHÈSE
Connaissances
Z Équations de Maxwell locales, avec leurs noms.
Z Énoncer (avec des mots) le théorème de Gauss.
Z Donner la propriété essentielle du champ magnétique en termes de flux.
Z Donner l’expression du théorème d’Ampère généralisé, en indiquant le nom et
l’expression de la grandeur introduite.
Z Énoncer (avec des mots) la loi de Faraday.
Z Donner l’expression de la densité volumique d’énergie électromagnétique en un
~ et un champ un champ B.
~
point où règnent un champ E
Z Définition (formule) du vecteur de Poynting. Lien avec la puissance rayonnée.
Z Équation locale de Poynting et interprétation.
Z Définir le cadre de l’ARQS en termes de propagation.
Z Quelle(s) équation(s) de Maxwell peut-on alors simplifier, et comment ?
Z Comment s’écrit alors la conservation de la charge, et quelles conséquences sont
les conséquences (il y en a 2 !) en électrocinétique ?
Démonstrations et applications
b Équations de Maxwell : formulations locale et globale. Conservation de la
charge.
b Densité d’énergie électromagnétique, vecteur de Poynting et interprétation, démonstration (par un bilan d’énergie normalement) de l’équation de Poynting
(formule à connaître).
b Exercice-type : bilan énergétique sur une portion de conducteur ohmique.
b ARQS : définition en termes de propagation, conséquence sur les équations de
Maxwell (calcul d’ODG), conséquences en termes de conservation de la charge.
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