Poly EM4 - Lycée François 1er

ÉQUATIONS DE MAXWELL
Chapitre EM4
PROGRAMME OFFICIEL :
Notions et contenus Capacités exigibles
Force de LORENTZ. Équations locales de MAXWELL.
Formes intégrales.
Compatibilité avec les cas particuliers de l’électrostatique
et de la magnétostatique ; compatibilité avec la conserva-
tion de la charge.
Utiliser les équations de MAXWELL sous forme locale
ou intégrale. Faire le lien entre l’équation de MAXWELL-
FARADAY et la loi de FARADAY étudiée en PCSI.
Linéarité. Utiliser une méthode de superposition.
Vecteur de POYNTING. Densité volumique d’énergie élec-
tromagnétique. Équation locale de POYNTING.
Utiliser les grandeurs énergétiques pour faire des bilans
d’énergie électromagnétique.
Associer le vecteur de POYNTING et l’intensité utilisée en
optique.
ARQS "magnétique". Discuter la légitimité du régime quasistationnaire.
Simplifier les équations de MAXWELL et l’équation de
conservation de la charge et utiliser les formes simplifiées.
Étendre le domaine de validité des expressions des
champs magnétiques obtenues en régime stationnaire.
Table des matières
Introduction 2
I Équations de Maxwell 2
I.1 Formulationlocale .................................. 2
I.2 Formulationsintégrales................................ 4
I.2.a Flux de ~ Eet équation de Maxwell-Gauss ................ 4
I.2.b Flux de ~ Bet équation de Maxwell-Thomson .............. 5
I.2.c Circulation de ~ Eet équation de Maxwell-Faraday .......... 5
I.2.d Circulation de ~ Bet équation de Maxwell-Ampère ........... 7
II Aspects énergétiques 9
II.1 Densité volumique d’énergie électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II.2 Vecteur de Poynting et équation de Poynting ................. 10
III Approximation des Régimes Quasi Stationnaires (ARQS "magnétique") 14
III.1Définitiondel’ARQS................................. 14
III.2 Équations de Maxwell dans le cadre de l’ARQS . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
III.3 Conservation de la charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Synthèse 17
PC - Lycée François 1er - Le Havre 1/17 2016-2017

Introduction
Depuis le temps que l’on en parle, nous y voici enfin...
Vers 1865, Maxwell a réalisé une synthèse des diverses lois expérimentales découvertes
par ses prédécesseurs (lois de l’électrostatique, du magnétisme, de l’induction...). D’abord pu-
bliées sous la forme de 20 équations à 20 inconnues, ce n’est que plus tard que les 4 équations
vectorielles aux dérivées partielles que l’on connait maintenant seront écrites par Heaviside.
Depuis des temps immémoriaux, disons depuis dix mille ans, il y a peu de doute
que l’évènement le plus marquant sera pour un temps la découverte (au XIXe siècle)
de Maxwell sur les lois de l’électromagnétisme.
Richard Feynman (prix Nobel de Physique)
I Équations de Maxwell
I.1 Formulation locale
Les quatre équations de Maxwell constituent les postulats de base de l’électromagnétisme.
On les a déjà écrites dans le cadre des régimes stationnaires. On revient ici au cas général, en
régime dépendant du temps.
Soit un point Mde l’espace où se trouvent :
→une densité volumique de charge ρ(M, t)
→une densité volumique de courant #» j(M, t).
On admet que les champs électrique #» E(M, t)et magnétique #» B(M, t)vérifient :
div#» E=ρ
ε0
Maxwell-Gauss (MG)
# »
rot#» E=−∂
#»
B
∂t Maxwell-Faraday (MF)
div#» B= 0 Maxwell-Thomson (MT) ou Maxwell-flux (MΦ)
# »
rot#» B=µ0
#»
j+µ0ε0∂
#»
E
∂t Maxwell-Ampère (MA)
Avec µ0= 4π.10−7H/m (perméabilité magnétique du vide) et ε0=1
36π.109F/m
(permittivité diélectrique du vide).
Équations de Maxwell
Ces équations sont admises et doivent être connues par cœur !
Important
PC - Lycée François 1er - Le Havre 2/17 2016-2017

Remarque : On les appelle équations de Maxwell "dans le vide" car elles s’appliquent dans
un milieu assimilé au vide, c’est-à-dire qui en a les propriétés électromagnétiques (permittivité
diélectrique ε0et perméabilité magnétique µ0), mais dans lequel existent des charges et des
courants : il ne s’agit donc pas réellement du vide (dans le "vrai" vide, on aura ρ= 0 et #» j= 0).
En fait, dans certains milieux (diélectriques par exemples), elles prennent une forme plus
adaptée qui n’est pas au programme.
Comme on l’a déjà fait remarquer, ces équations sont des équations différentielles
linéaires : il sera souvent commode d’appliquer le principe de superposition.
Important
Lien avec la conservation de la charge : Prenons la divergence de MA :
..........................................................................................
..........................................................................................
Les équations de Maxwell sont bien compatibles avec l’équation de conservation
de la charge.
Conclusion
Remarque : Les équations de Maxwell relient les champs à leurs sources (ρet #» j), donc
par intégration, on doit pouvoir calculer les champs créés par ces sources. Mais on constate de
plus que les champs #» Eet #» Bsont couplés par MF et MA : en régime variable, les deux champs
sont indissociables : c’est pourquoi on parle de champ électromagnétique.
En régime stationnaire, les sources sont indépendantes du temps, donc les champs
également et on retrouve les équations des chapitres précédents :
div#» E=ρ
ε0
# »
rot#» E= 0
div#» B= 0
# »
rot#» B=µ0
#»
j
Les champs #» Eet #» Bsont alors découplés.
Cas particulier : régime stationnaire
PC - Lycée François 1er - Le Havre 3/17 2016-2017

On admettra que les propriétés de symétrie vue en statique restent valables, en vertu
du principe de Curie :
→
#»
Eest un vecteur polaire ou "vrai" vecteur : il présente les mêmes symétries et
invariances que ses sources ;
→
#»
Best un vecteur axial ou "pseudo-vecteur" : il présente les mêmes invariances que
ses sources, mais les symétries sont inversées (à cause du produit vectoriel dans le
rotationnel, dans MA, notamment).
Important
I.2 Formulations intégrales
I.2.a Flux de ~ Eet équation de Maxwell-Gauss
div#» E=ρ
ε0
Maxwell-Gauss (MG)
L’équation de Maxwell-Gauss est la même qu’en électrostatique : on peut donc reprendre
la démonstration déjà vue pour établir le théorème de Gauss. La démonstration consiste à
intégrer l’équation de Maxwell-Gauss sur un volume Vdélimité par une surface fermée SG
(surface de Gauss).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
Le flux du champ électrostatique créé par une distribution de
charge à travers une surface fermée orientée vers l’extérieur SG
(appelée surface de Gauss) est égal à la charge contenue à l’inté-
rieur de SGdivisée ε0:
ΦG,{
SG
#»
E(M, t).
# »
dSG=Qint(t)
ε0
Conclusion : Théorème de Gauss
PC - Lycée François 1er - Le Havre 4/17 2016-2017

En régime stationnaire, le théorème de Gauss est identique.
Cas particulier : régime stationnaire
I.2.b Flux de ~ Bet équation de Maxwell-Thomson
div#» B= 0 Maxwell-Thomson (MT) ou Maxwell-flux (MΦ)
L’équation de Maxwell-Thomson ou Maxwell-flux est aussi la même qu’en électrosta-
tique.
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
Le champ magnétique est à flux conservatif : le flux de #» Bà travers
toute surface fermée est nul :
{
S
#»
B.
# »
dS= 0
Par conséquent, le flux de #» Bà travers toute section d’un tube de champ est conservé.
Conclusion : Conservation du flux du champ magnétique
En régime stationnaire, cette propriété est inchangée.
Cas particulier : régime stationnaire
I.2.c Circulation de ~ Eet équation de Maxwell-Faraday
# »
rot#» E=−∂
#»
B
∂t
Maxwell-Faraday (MF)
PC - Lycée François 1er - Le Havre 5/17 2016-2017