La méthode d`al-Khuwarizmi

La méthode d'al-Khuwarizmi
1- Le mathématicien arabe al-Khuwarizmi (IXème siècle) cherchait la longueur x telle que l'aire du
rectangle AEFD ci-dessous soit égale à 21.
a) Vérifier que -7 est solution de l'équation x² = -4x + 21
b) Voici les courbes d'équations y = x² et y = -4x + 21 à l'écran d'une calculatrice.
Sachant que la fenêtre graphique montre des valeurs de x dans
l'intervalle [-8 ; +8], proposer une résolution graphique de cette
équation.
Valider par le calcul les solutions proposées.
c) Pour résoudre son problème al-Khuwarizmi a eu l'idée de découper
BEFC en deux rectangles de mêmes dimensions (x et 2) et de former le
grand carré ci-contre.
Recopier et compléter l'égalité : x² + 4x = (x + 2)² - …..
d) En déduire la résolution algébrique de l'équation et le nombre
de solutions du problème d'al-Khuwarizmi.
di)
2- En utilisant l'égalité de la question 1.c) résoudre algébriquement les équations :
a) x² = -4x + 3 ; b) x² + 4x = -1 ; c) x² + 4x = -5

La méthode d'al-Khuwarizmi
1- Le mathématicien arabe al-Khuwarizmi (IXème siècle) cherchait la longueur x telle que l'aire du
rectangle AEFD ci-dessous soit égale à 21.
a) Vérifier que -7 est solution de l'équation x² = -4x + 21
Pour x = -7, x² = (-7)² = 49 et -4x + 21 = -4 ×(-7) + 21 = 28 + 21 = 49,
on a donc bien x² = -4x + 21.
b) Voici les courbes d'équations y = x² et y = -4x + 21 à l'écran d'une calculatrice.
Sachant que la fenêtre graphique montre des valeurs de x dans
l'intervalle [-8 ; +8], proposer une résolution graphique de cette
équation.
Les courbes ont deux points communs qui sont les points
d'abscisse -7 et 3 ; l'équation semble donc avoir deux solutions, -7 et 3.
Valider par le calcul les solutions proposées.
La solution -7 a été vérifiée au a).
Pour x = 3, x² = 9 et -4x + 21 = -12 + 21 = 9, on a donc bien
x² = -4x + 21
c) Pour résoudre son problème al-Khuwarizmi a eu l'idée de découper
BEFC en deux rectangles de mêmes dimensions (x et 2) et de former le
grand carré ci-contre.
Recopier et compléter l'égalité : x² + 4x = (x + 2)² - …..
x² + 4x = (x + 2)² – 4, car (x + 2)² = x² + 4x + 4
d) En déduire la résolution algébrique de l'équation et le nombre de solutions du problème d'al-
Khuwarizmi.
Le problème d'al-Khuwarizmi revient à résoudre l'équation x² + 4x = 21
Cette équation est équivalente à x² = -4x + 21, ce qui explique la résolution graphique.
Algébriquement, x² + 4x = 21 est équivalent à (x + 2)² – 4 = 21, soit (x + 2)² = 25.
Il y a deux solutions :
- soit x + 2 = 5, donc x = 3
- soit x + 2 = -5, donc x = -7
On retrouve les deux solutions obtenues graphiquement.
2- En utilisant l'égalité de la question 1.c) résoudre algébriquement les équations :
a) x² = -4x + 3 ; b) x² + 4x = -1 ; c) x² + 4x = -5
a) x² = -4x + 3 ⇔ x² + 4x = 3 ⇔ (x + 2)² – 4 = 3 ⇔ (x + 2)² = 7
Il y a deux solutions :

soit x + 2 =
√
7
donc x = - 2 +
√
7
soit x + 2 = -
√
7
donc x = -2 -
√
7
b) x² + 4x = -1 ⇔ (x + 2)² – 4 = -1 ⇔ (x + 2)² = 3
Il y a deux solutions :
soit x + 2 =
√
3
donc x = -2 +
√
3
soit x + 2 = -
√
3
donc x = -2 -
√
3
c) x² + 4x = -5 ⇔ (x + 2)² – 4 = -5 ⇔ (x + 2)² = -1
Il n'y a pas de solution car un carré est toujours positif.