05 cours 4OS Ampère Biot

Loi d'Ampère et de Biot-Savart
Pour calculer la champ magnétique produit par un courant électrique continu nous disposons de
deux lois:
- La loi d'Ampère, établie expérimentalement par trois expériences critiques et un raisonnement
théorique donné par Ampère. Cette loi s'applique dans les situations géométriques présentant une
symétrie spatiale.
-La loi de Biot-Savart permet le calcul du champ magnétique produit par des géométries de
courants électriques plus complexes.
♦ Loi ou théorème d'Ampère
La circulation ΛB du champ magnétique, sur un chemin fermé, est égale à
ΛB =
r
r
∫ B ⋅ dr = µ
o
⋅ Iencl
c
où
Iencl = somme algébrique des courants encerclés par le chemin.
µο = 4π.10-7 [Vs/Am] permittivité magnétique du vide.
Exemple: Calcul du champ magnétique produit par un courant rectiligne
Calcul de l'intensité du champ magnétique
produit à l'extérieur du fil donc pour:
r > R: c = cercle centré sur le fil
∫
c
B parallèle à dr et constant sur c
r r
B• dr = B • dr = B dr = B ⋅ 2πr = µ o I
∫
∫
c
c
→B=
µo I
2 πr
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Calcul du champ magnétique produit à l'intérieur
même du fil conducteur donc pour:
πr 2
r2
I=
I
πR 2
R2
si I uniforme sur la section du conducteur
r < R:
I int =
→ B ⋅ 2 πr = µ
µ I
r2
I → B(r) = o r
o R2
2πR2
♦ Loi de Biot-Savart
De même qu'en électrostatique nous avions décomposé une distribution de charges en charges
élémentaires dq produisant chacune un champ électrique élémentaire dE:
r
dE =
r
dq r
4πε o r3
→
r
E =
r
d
E
∫ =
Q
r
1
r
dq
∫
4πε o r3
Il est possible de décomposer un courant électrique en portions de courant élémentaires Idl
produisant chacun un champ magnétique élémentaire. Le champ magnétique résultant est obtenu
en faisant l'intégrale des champs élémentaires sur la longueur totale du courant.
Le champ magnétique élémentaire produit par une longueur infinitésimale de courant Idl
en un point de l'espace est donné par:
r
r µ I (d l × rr )
o
dB =
3
4π
r
Le champ magnétique résultant:
r r
r
r
µo I d l × r
B = ∫ dB =
4π ∫l r 3
l
Exemple: Calcul du champ magnétique au centre d'une spire parcourue par un courant I
Chaque élément de courant produit un champ magnétique
élémentaire perpendiculaire au plan de la spire donc parallèle
à l'axe z.
µ o I r ⋅ dl ⋅ sin 90° µo I dl
=
4π
r3
4π R2
µI
µ I
Bz = o 2 ∫ dl = o 2 2π R
4 πR l
4 πR
dBz =
→ Bz =
µo I
2R
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Remarque:
Le flux magnétique Φe sur une surface fermée est nul, car il n'existe pas de
charge magnétique au même titre que la charge électrique. Les lignes du champ
magnétique sont toujours fermées, il n'existe pas de point source de champ
magnétique.
r r
Φ B = ∫ B • ds = O
s
♦ Résumé des lois de l'électrostatique et du magnétisme des courants
continus:
Electrostatique
Flux des
champs
r
r Q
Φ e = ∫ E • d s = int
εo
s
Magnétostatique
r r
Φ B = ∫ B • ds = 0
s
théorème de Gauss
Circulation
des champs
r r
Λ e = ∫ E • dr = 0
c
r r
Λ B = ∫ B • d r = µ o Iint
c
théorème d'Ampère
Champs
élémentaires
Forces
produites par
les champs
r
dE =
dq r
3 r
4πε o r
r
r
F e = qE
r
µI r r
dB = o 3 d l × r
4πr
(
(
)
)
r
r r
Fm = q v × B
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Forces entre
charges et
entre courants
Fe =
1 q 1q 2
2
4πε o r
loi de Coulomb
FL =
µ o L I1 I2
2π d
loi de Laplace
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