Alg`ebre tensorielle des complexes 1 Alg`ebre tensorielle classique

Alg` ebre tensorielle des complexes
Soit Aun anneau commutatif unitaire, qui est anneau de base dans toute la suite de sorte
que nous l’omettons fr´ equemment des notations. Avant de commencer, une seule observation
qui sera tr` es importante dans la suite. Dans la philosophie des cat´ egories d´ eriv´ ees, on consid` ere
que, du point de vue (co)homologique, un module est mieux repr´ esent´ e par une quelconque
de ses r´ esolutions. Il se trouve que dans les cat´ egories de complexes, il est ´ egalement crucial
d’associer aux ensembles de morphismes Hom(M•, N•)(qui sont naturellement des modules)
des complexes qui les r´ esolvent. Par ailleurs, l’existence d’une structure naturelle de complexe
sur les Hom est plus ou moins ´ equivalente ` a l’existence de produits tensoriels, puisqu’une des
fac¸ons de d´ efinir · ⊗ Mest comme adjoint de Hom(M, ·)(1).
1 Alg`ebre tensorielle classique
Notons A-Mod, ou plus simplement Mod, la cat´ egorie des A-modules.
1.1 Sommes et produits dans Mod.Soit Iun ensemble et (Mi)une famille de A-modules.
Rappelons que dans la cat´ egorie Mod un produit direct QMiest compos´ e de vecteurs quel-
conques x= (xi)alors qu’une somme directe ⊕Miest compos´ ee de vecteurs avec un nombre
fini de composantes non nulles. Ainsi les sommes directes finies sont isomorphes aux produits
directs finis, alors qu’on n’a qu’une injection stricte ⊕Mi,→QMisi Iest infini.
1.2 Produits tensoriels. On consid` ere la mˆ eme famille (Mi)de A-modules. ´ Etant donn´ e un
autre A-module P, on dit qu’une fonction
f:Y
i∈I
Mi→P
est multilin´ eaire ssi ` a chaque fois qu’on fixe toutes les variables sauf la i0-` eme, l’application
restreinte
f(xi)i6=i0:Mi0→P
est lin´ eaire. Le produit tensoriel des Miest source universelle des fonctions multilin´ eaires
QMi→P. Pour le construire on part de la somme directe S=⊕Aindex´
ee par l’ensemble
QMi. Un ´
el´ ement de cette somme est une combinaison lin´ eaire finie Paxδxo` uδxest un
g´ en´ erateur du facteur direct d’indice x= (xi)dans S, ou encore, une fonction ` a support fini si
on voit δxcomme l’indicatrice de x. On quotiente ensuite Spar le sous-module Lengendr´ e par
les relations de lin´ earit´ e, i.e., pour tous x, y tels que xi=yisauf pour un indice i0:
(i) δx+y−δx−δy, et
(ii) δy−aδxsi de plus yi0=axi0pour un a∈A.
On d´ efinit le produit tensoriel et l’application multilin´ eaire universelle par
O
i∈I
Mi=S/L et ⊗:Y
i∈I
Mi→O
i∈I
Mi
1Si Aest un corps on peut aussi invoquer l’isomorphisme Hom(M, N) = M∗⊗Npour justifier ce point, mais
en g´ en´ eral la fl´ eche naturelle M∗⊗N→Hom(M, N)n’est ni injective ni surjective.
1

Celle-ci envoie xsur l’image de δxdans S/L, not´ ee ⊗
i∈I
xiou ⊗x.
V´ erifions rapidement la propri´ et´ e universelle (PU). Soit f:QMi→Pmultilin´ eaire, on
d´ efinit f:S→Ppar f(Paxδx) = Paxf(x). Par lin´ earit´ e de fcette fonction fest nulle sur les
relations de lin´ earit´ eLdonc se factorise en
˜
f:⊗Mi→P.
On observe que dans ⊗Miun tenseur irr´ eductible ⊗xest produit tensoriel d’´ el´ ements de
Mi, en nombre ´ eventuellement infini si Iest infini. A contrario, on sait que le produit tensoriel
d’une infinit´ e de A-alg` ebres Mi, limite directe des produits tensoriels ⊗J⊂IMjsur les sous-
ensembles finis J⊂I, est constitu´ e de (sommes finies de) tenseurs d’un nombre fini d’´ el´ ements
des Mi. En particulier un produit tensoriel infini d’alg` ebres n’a pas pour module sous-jacent
le produit tensoriel infini des modules sous-jacents.
Faire un petit r´ecapitulatif - cf Eisenbud - des conditions sous lesquelles une limite directe d’alg`ebres
est repr´esentable : ¸ca ne marche pas pour la somme directe infinie.
2 Alg`ebre tensorielle des modules gradu´es
2.1 Modules gradu´es. Soit Gr la cat´ egorie des A-modules Z-gradu´ es (2). Un module gradu´ e
est not´ eM•=⊕Miou parfois simplement M, comme son module non gradu´ e sous-jacent. Par
translation de la graduation, on d´ efinit un module M(n)•=⊕Mi+n. Un ´ el´ ement x∈Miest
dit homog`ene de degr´e iet on note |x|:= i.
Soient M•et N•deux modules gradu´ es. On dit qu’un morphisme de A-modules f:M→N
est de degr´e isi f(Mj)⊂Ni+jpour tout j∈Z. On d´ efinit le module Hom gradu´e par
Hom(M, N)•=M
dmorphismes f:M→Nhomog`
enes de degr´ ed
Par d´ efinition un morphisme de A-modules gradu´es est un ´ el´ ement de Hom(M, N)0:
Hom
Gr (M, N)d´
ef
=Hom(M, N)0
On remarque qu’un morphisme de A-modules homog` ene de degr´ eid´ efinit donc un mor-
phisme de A-modules gradu´ es M→N(i). On peut donc retourner la notation et ´ ecrire
Hom(M, N)i=Hom
Gr (M, N(i)).
2.2 Sommes et produits dans Gr.La somme directe M⊕Nest le module ⊕(Mi⊕Ni)gradu´ e
comme indiqu´ e. Le produit direct ordinaire M×Nest isomorphe ` aM⊕N, il fait donc aussi
office de produit direct gradu´ e avec la graduation juste d´ ecrite.
Pour une somme directe infinie on a ⊕s∈S(Ms)•=⊕i∈Z⊕s∈S(Ms)icomme pour les
sommes finies. En revanche, pour un nombre quelconque de modules gradu´ es Ms,s∈S,
on n’a en g´ en´ eral qu’une injection
M
i∈ZY s∈S
Ms,i ,→Y
s∈SM i∈Z
Ms,i
2On peut s’interroger sur les raisons du choix de Zcomme groupe naturel de la graduation. Il se trouve
que les graduations par N(complexes positifs ou n´ egatifs), par Z2(complexes doubles auxquels correspond
l’hypercohomologie) voire Z3(...) apparaissent aussi.
2

et c’est le module de gauche (naturellement gradu´ e) qui incarne le produit direct gradu´ e. Une
autre fac¸on de le d´ ecrire, comme sous-ensemble du module de droite, est :
Y
s∈S
Ms• := x= (xs)∈Y
s∈S
Ms
∃I⊂Zfini,∀s∈S, xs∈Ms,I 
(on a not´ eMs,I ⊂Msla somme des Ms,i pour i∈I). On peut d´ ecrire de la mˆ eme fac¸on les
limites projectives arbitraires.
2.3 Modules bigradu´es. Il est souvent utile de faire intervenir des modules multigradu´es, par
exemple, d` es qu’interviennent des produits tensoriels ou morphismes de modules gradu´ es.
Parlons pour simplifier de la cat´ egorie des modules bigradu´es not´ ee Bigr. Un tel module est
not´ eM•• =⊕Mi,j et un ´ el´ ement de Mi,j est dit homog`ene de bidegr´e (i, j). Comme ci-dessus on
d´ efinit ce que sont le module M(i, j), un morphisme de A-modules f:M→Nde bidegr´ e(i, j),
et un morphisme de A-modules gradu´ es (i, j) = (0, 0).
Un exemple est le produit bigradu´e (M×N)•• de deux modules gradu´ es M•et N•d´ efini par
(M×N)i,j =Mi×Nj. De mani` ere analogue on d´ efinit le produit tensoriel bigradu´e (M⊗N)••
par (M⊗N)i,j =Mi⊗Nj. Cela donne lieu ` a deux foncteurs naturels Gr ×Gr →Bigr.
2.4 Produits tensoriels. On peut introduire le produit tensoriel ` a partir des applications bili-
n´ eaires. La notion d’application multilin´eaire gradu´ee n’a de sens que pour un nombre fini n
de variables, et on ne perd donc pas de g´ en´ eralit´ e` a consid´ erer n=2. Soient M, N, P des
A-modules gradu´ es. On dit qu’une application bilin´ eaire
f:M×N→P
est gradu´ee ssi ` a chaque fois qu’on fixe un ´ el´ ement homog` ene x∈Mde degr´ ei, l’application f
d´ efinit une application lin´ eaire de degr´ ei
f(x, ·): N→P
et sym´ etriquement en l’autre variable. Noter qu’une application bilin´ eaire envoie un cou-
ple (x, y)d’´ el´ ements homog` enes de mˆ eme degr´ eidans P2i, alors qu’une application lin´ eaire
l’enverrait dans Pi.
Faisons apparaˆ ıtre le produit tensoriel. Soit f:M×N→Papplication bilin´ eaire gradu´ ee.
Elle induit un morphisme de modules bigradu´ es (M×N)•• →P]o` uP]est le module bigradu´ e
antidiagonal ayant pour composant de bidegr´ e(i, j)
P]
i,j =Pi+j
Ce morphisme induit ` a son tour un morphisme (M⊗N)•• →P]. Le foncteur (·)]:Gr →Bigr
a un adjoint ` a gauche qui est le complexe total associ´e
Tot:Bigr →Gr
N7→Tot(N)
avec Tot(N)i=⊕j+k=iNj,k. Revenant ` af, par la propri´ et´ e d’adjonction on obtient une fl` eche
Tot((M⊗N)••)→Pet donc le complexe total est le produit tensoriel gradu´ e recherch´ e. Ex-
plicitement,
(M⊗N)•=M
i∈ZM j+k=i
Mj⊗Nk
3

2.5 Produit tensoriel et Hom gradu´e. On peut aussi introduire le produit tensoriel comme
adjoint de Hom gradu´ e, par la propri´ et´ e
Hom
Gr (M⊗N)•, P•=Hom Gr M•, Hom(N, P)•
C’est ce point de vue que nous allons utiliser pour les complexes.
3 Alg`ebre tensorielle des complexes
Un complexe (cohomologique) est un module gradu´ eM•muni d’une diff´erentielle, c’est-` a-dire
un morphisme de modules dde degr´ e1tel que d2=0(3)(4). Un bord est un ´ el´ ement de ker(d),
un cycle est un ´ el´ ement de im(d). On prolonge l’op´ erateur de translation aux complexes en
d´ efinissant la diff´ erentielle de M(i)•par dM(i):= (−1)idM. Enfin, on note que tout module
ordinaire Mpeut ˆ etre vu comme un complexe concentr´ e en degr´ e0, avec diff´ erentielle nulle
(un complexe avec d=0est parfois qualifi´ e de cyclique).
3.1 Complexe Hom. Soient M•et N•deux complexes. Pour munir le module Hom gradu´ e
d’une diff´ erentielle naturelle, on s’inspire du cas de M=Hom(A, M)•pour lequel une bonne
candidate de diff´ erentielle serait d(f) = d◦f, et de celui de M∗=Hom(M, A)•avec candidate
d(f) = f◦d. Revenant ` aHom(M, N)•, il semble judicieux de d´ efinir d(f) = d◦f+f◦dmais
il se trouve que si on fait cela la relation d2=0n’est pas v´ erifi´ ee. Le coup de g´ enie est de faire
intervenir un signe et de d´ efinir dsur les morphismes homog`enes par
d(f) = d◦f− (−1)|f|f◦d
Ceci pos´ e corrigeons l’expression ci-dessus pour le dual M∗: on a dM∗(f) = −(−1)|f|f◦dM.
On r´ eserve un nom sp´ ecial, venu de la topologie, aux bords d’un complexe Hom : ce sont les
homotopies. (Le plus souvent, le terme n’est utilis´ e que pour les homotopies de degr´ e0i.e. les f
tels qu’il existe h∈Hom(M, N)−1tel que f=d◦h+h◦d.)
3.2 Cat´egories de complexes. On va d´ efinir la cat´egorie des complexes C=C(A)et la cat´egorie des
complexes `a homotopie pr`es K=K(A), qui diff` erent seulement par les ensembles de morphismes.
Dans la cat´ egorie Cles morphismes entre M•et N•sont les cycles de degr´ e0de Hom(M, N)•
c’est-` a-dire les f:M→Nde degr´ e0tels que d◦f=f◦d. Dit autrement ce sont les ´ el´ ements
du H0du complexe positif Hom(M, N)≥0. La cat´ egorie Cest ab´ elienne.
Dans la cat´ egorie Kles morphismes sont les ´ el´ ements de H0(Hom(M, N)•), le complexe
tout entier cette fois, c’est-` a-dire les fde degr´ e0tels que d◦f=f◦dmodulo les homotopies.
La cat´ egorie Kest seulement une cat´ egorie additive.
Il y a un point ` a pr´ eciser pour justifier que la composition des morphismes passe au quotient
dans K. Soit I(M, N)•⊂Hom(M, N)•le sous-complexe form´ e des homoth´ eties de tous degr´ es.
Il n’est autre que im(d), et poss` ede la propri´ et´ e importante d’ˆ etre un id´eal dans ker(d). Ceci
veut dire que si
ϕ∈Hom(M, N)•∩ker(d)et ψ∈Hom(N, P)•∩ker(d)
3Le terme ´
equivalent de module diff´erentiel gradu´e est aussi utilis´ e, mˆ eme si on pourrait lui pr´ ef´ erer celui de module
gradu´e diff´erentiel car il faut avoir un module gradu´ e pour pouvoir parler de diff´ erentielle.
4Un usage pratique est de noter toutes les diff´
erentielles par la mˆ eme lettre d; on ´ ecrit dMlorsqu’il faut clarifier.
4

sont composables, alors d` es que l’un est une homotopie, il en va de mˆ eme du compos´ eψ◦ϕ. On
v´ erifie qu’alors, la composition des morphismes passe au quotient, ce qui au passage fournit
des complexes Hom dans K,` a diff´ erentielle nulle :
Hom
K(M, N)•=HHom C(M, N)•
3.3 Produits tensoriels. Le produit tensoriel des complexes M•et N•dans Cou dans Kest
solution du probl` eme universel
Hom
Cou K(M⊗N)•, P•=Hom Cou KM•, Hom(N, P)•
Il est imm´ ediat de calculer qu’on fait du module gradu´ e(M⊗N)•un produit tensoriel dans C
en d´ efinissant
d(x⊗y) = dx ⊗y+ (−1)|x|x⊗dy
En fait c’est ´ egalement un produit tensoriel dans K, ce que l’on voit en relevant aux complexes
Hom la correspondance Hom((M⊗N)•, P•)•=Hom(M•, Hom(N, P)•)•. Comme cette corre-
spondance est un isomorphisme de complexes, elle ´ echange les homotopies.
3.4 Applications bilin´eaires de complexes. On peut a posteriori d´ efinir la notion d’application
bilin´eaire de complexes : c’est une application bilin´ eaire gradu´ ee f:M×N→Ptelle que
d(f(x, y)) = f(dx, y) + (−1)|x|f(x, dy)
3.5 Sym et ∧.Il y a un isomorphisme de sym´ etrie σ:M⊗N→N⊗Mqui est d´ efini sur les
tenseurs d’´ el´ ements homog` enes x, y par
σ(x⊗y) = (−1)|x|·|y|y⊗x
Consid´ erons le cas N=M. On dit qu’une application bilin´ eaire de complexes f:M×M→P
est sym´etrique resp. antisym´etrique, si l’application induite
˜
f:M⊗M→Pv´ erifie
˜
f◦σ=
˜
fresp.
˜
f◦σ= −
˜
f .
Elle se factorise dans ce cas automatiquement par le produit sym´etrique S2(M)resp. le produit
ext´erieur ∧2(M), quotient de M⊗Mpar le sous-complexe engendr´ e par les expressions
x⊗y− (−1)ij y⊗xresp. x⊗y+ (−1)ij y⊗x
avec x, y homog` enes et i:= |x|,j:= |y|. Pour les puissances sym´ etriques et ext´ erieures d’ordre
sup´ erieur, on dit qu’une application bilin´ eaire est sym´ etrique ssi pour tout ion a
˜
f◦σi=
˜
fo` u
σiest l’automorphisme du produit M⊗M⊗ · · · ⊗ Mcorrespondant ` aσsur les facteurs iet
i+1, et laissant les autres facteurs inchang´ es.
Explicitons Sn(M•)et ∧n(M•). On part du produit tensoriel M⊗M⊗ · · · ⊗ M, et plus
pr´ ecis´ ement de son composant de degr´ ei, somme de facteurs
Mj1⊗Mj2⊗ · · · ⊗ Mjn(j1+· · · +jn=i).
Utilisant les relations de sym´ etrie impos´ ees, on peut “permuter les facteurs d’indices distincts”
et ne conserver que les facteurs du type
M⊗n1
i1⊗M⊗n2 i2⊗ · · · ⊗ M⊗nk ik(n1i1+· · · +nkik=i),
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