modelisation et simulation d`une commande directe

6e Conférence Francophone de Modélisation et SIMulation – MOSIM’06 – du 3 au 5 avril 2006 –Rabat – Maroc
« Modélisation, Optimisation et Simulation des Systèmes : Défis et Opportunités »
- MODELISATION ET SIMULATION D’UNE COMMANDE DIRECTE DU
COUPLE APPLIQUEE A LA MACHINE ASYNCHRONE ( DTC )
H .YANTOUR, J.SAADI
Laboratoire d’automatique et de productique
E.N.S.E.M BP : 8118 oasis Casablanca
[email protected], [e-mail]
A.KHOUMSI
Département de génie électrique
et de génie informatique
Université de Sherbrooke, Canada
[e-mail]
RESUME : La commande directe du couple (en anglais, Direct Torque Control (DTC)) est une technique de plus en
plus utilisée pour la commande de l’association onduleur de tension-machine asynchrone. Ce système peut être considé-
ré comme un système dynamique hybride dont la composante continue est la machine asynchrone et la composante
discrète, l’onduleur de tension. Dans cet article, nous proposons une modélisation de cet ensemble par un système à
événements discrets pur décrit par un automate à états finis. Ce modèle est ensuite simulé sur Matlab/Simulink.
MOTS-CLES : commande directe de couple (DTC), machine asynchrone, modèle événementiel, système à événements
discrets (SED), automate à états fini (AEF), commande supervisée de SED.
1. INTRODUCTION
Grâce à son faible coût et sa simplicité de construction,
conjugués aux techniques de variation de vitesse, la
machine asynchrone s’impose de plus en plus dans les
domaines De l’entraînement à vitesse variable.
La technique de commande directe du couple (Direct
Torque Control ou DTC) introduite en 1985 par
TAKAHASHI [1, 2] utilise une approche séduisante de
part son efficacité et sa simplicité de mise en œuvre.
Plusieurs travaux ont permis une modélisation rigou-
reuse de cette approche [2, 12]. Cette technique permet
de calculer les grandeurs de contrôle que sont le flux
statorique et le couple électromagnétique à partir des
mesures de courants statoriques sans utilisation de cap-
teurs mécaniques. Dans la structure DTC, la machine
asynchrone commandée par l’onduleur de tension est un
système dynamique hybride, dont la partie continue est
la machine asynchrone et la partie discrète, l’onduleur de
tension.
Pour modéliser ce type de système, trois approches sont
utilisées :
*Approche événementielle [13]
*Approche continue [14]
*Approche mixte [14]
Approche événementielle : l’espace d’état de la partie
continue est partitionné en régions séparées par des
seuils, ce qui revient à approximer la partie continue par
un système à événements discrets (SED) dont les évé-
nements correspondent aux franchissements des frontiè-
res des régions. Comme la partie discrète (c-à-d.-
l’onduleur de tension) constitue en elle-même un SED,
le système hybride dans son ensemble est approché par
un SED. Le modèle couramment utilisé est l’automate à
états finis (AEF).
Approche continue : le système hybride est approché par
un modèle continu contenant des sauts qui correspondent
aux discontinuités.
Approche mixte : les deux composantes, continues et
discrète, sont prises en compte sans approche. Le modèle
le plus utilisé est l’automate hybride.
Dans cet article, on adopte l’approche événementielle
pour modéliser la commande DTC de la machine asyn-
chrone. Les dynamiques continues sont approximées par
un SED. L’ensemble onduleur de tension -machine
asynchrone peut alors être approximé par un SED et
modélisé par un automate à état fini (AEF). On peut
alors lui appliquer la théorie de la commande supervisée
des SED [3], dont l’objectif de base est de concevoir un
contrôleur tel que le procédé couplé au contrôleur res-
pecte un ensemble de spécifications logiques décrivant le
fonctionnement du système global.
La commande supervisée des SEDs a subi un grand
essor ces dernières années et a donné lieu à diverses
extensions de la théorie de base [6].
Dans cette approche les grandeurs flux statorique et
couple électromagnétique sont calculées uniquement à
partir des seules grandeurs liées au stator sans
l’intervention de capteur mécanique. De plus cette com-
mande ne nécessite pas l’application d’une commande à
modulation de largeur d’impulsion (MLI) sur l’onduleur,
ce qui améliore nettement les performances dynamiques
des grandeurs contrôlées. De même, il n’est pas néces-
saire de connaître la position angulaire du rotor car seule
la position du flux statorique est utilisée ( zones) pour
changer le vecteur tension à appliquer à la machine. La
non nécessité du découplage des courants par rapport
aux grandeurs de commande offre un avantage par rap-
port à la commande vectorielle classique.

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Dans cet article, nous commençons par exposer dans la
section 2 un rappel du principe de la DTC. La section 3
est consacrée à la modélisation événementielle de la
machine asynchrone commandée par DTC. Dans la
section 4, nous présentons une méthode de commande en
boucle fermée fondée sur la théorie de la commande
supervisée des SED. Les modèles obtenus ont été simu-
lés à l’aide de Matlab/Simulink, et les résultats de cette
simulation sont présentés dans la section 5, avant de
conclure en section 6.
2. RAPPELS SUR LA COMMANDE DIRECTE
DU COUPLE
2.1. Schéma de commande
Le contrôle dynamique du couple de la machine asyn-
chrone peut être mis en évidence par le modèle vectoriel
de la machine asynchrone.
Dans le référentiel (d,q) lié au stator, on peut écrire:
Côté stator : Vs=Rs.Is+dt
dφs (2-a)
Côté rotor : Vr=0=Rr.Ir+dt
dφr -jω.φr (2-b)
Avec:
d : axe direct dans le repère dq
q : axe en quadrature dans le repère dq
Vs : tension statorique
Vr : tension rotorique
Rs : résistance statorique
Is : courant statorique
φs : flux statorique
dq : système diphasé produisant le même champ magné-
tique dans l’entrefer que le système triphasé.
Le vecteur tension Vs délivré par un onduleur de tension
triphasé [figure 1] est représenté en théorie par 3 gran-
deurs booléennes de commande Sj (j = a, b, c) telles
que :
Sj (j=a, b, c) =1 : interrupteur Haut Fermé et interrupteur Bas
Ouvert.
Sj(j=a, b, c) =0 : interrupteur Haut Ouvert et interrupteur
Bas Fermé.
Figure 1 : Machine asynchrone commandée
par l’onduleur de tension
Ihaut : Interrupteur haut Ibas : Interrupteur bas
Le vecteur tension Vs peut s’écrire sous la forme :
Vs=3/2 .Uo[Sa+Sb. ej2π/3+Sc.ej4π/3 ] (2.c)
Les combinaisons des 3 grandeurs (SaSbSc) permettent de
générer 8 positions du vecteur Vs dont 2 correspondent
au vecteur nul : (SaSbSc)=(000) ou (111) comme le mon-
tre la figure2.
2.2 Contrôle du flux statorique et du couple électro-
magnétique
A partir de l’expression (2.a), on peut écrire :
φs=φs0+Vs.t-Rs
∫
Is dt .
Avec l’hypothèse que Rs reste constante et que le terme
(Rs.Is) est négligeable devant la tension Vs. Dans un
intervalle de temps Te, l’extrémité du vecteur φs se dé-
place sur une droite dont la direction est donnée par Vs
[figure 2].
En choisissant une séquence correcte de vecteurs Vs sur
des intervalles de temps successifs de durée Te, on peut
faire suivre à l’extrémité du vecteur φs la trajectoire
désirée. Pour atteindre cet objectif, le correcteur utilisé
pour la commande DTC est un correcteur à hystérésis à
deux niveaux. Avec ce type de contrôleur, on peut faci-
lement maintenir l’extrémité du vecteur flux φs dans une
couronne quasi circulaire.
Figure 2 : Évolution de l’extrémité du vecteur φs
Les variations du couple électromagnétique peuvent être
contrôlées uniquement à partir de la vitesse de rotation
du vecteur flux φs. Le tableau 1 montre l’évolution des
deux grandeurs flux et couple pour chacun des quatre
vecteurs Vi+1, Vi+2 , Vi-1 , Vi-2 qu’on peut appliquer dans
la zone Zi. Les vecteurs tension à appliquer dé
pendent de la zone où se trouve le vecteur flux. Les pa-
ramètres z1, z2, z3, z4, z5, z6 (figure 3) représentent les
six zones possibles du fonctionnement.
q
φ
s0 (t=0)
Vs=V3
φ
s
t=Te
Ws
V2
V3
V4
V5 V6
d
V
1
Sa
Sb
Sc
E
E
MAS
Ihaut
Ibas

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Vecteur Vk
Vi+1 Vi+2 Vi-1 Vi-2
φs
Te
Tableau 1 : Evolution des grandeurs flux et couple en
fonction du vecteur Vk appliqué dans la zone Zi.
k=( i-1, i-2 , i+1 , i+2 )
Figure 3 . Répartition des zones
3. MODELISATION EVENEMENTIELLE DE LA
COMMANDE DIRECTE DU COUPLE
3.1. Approximation événementielle
Dans cette approche nous approximons l’évolution
continue de la machine asynchrone par une évolution
événementielle, grâce à une partition de l’espace d’état.
Le système hybride dans son ensemble est alors appro-
ché par un SED et peut donc être modélisé par un auto-
mate à états finis (AEF).
L’avantage de cette approche événementielle est que
l’on peut contrôler notre procédé en utilisant la com-
mande supervisée des SED [3], dont le principe de base
consiste à concevoir un contrôleur (appelé aussi supervi-
seur) qui, en interagissant avec le procédé, force celui-ci
à respecter une spécification décrivant le fonctionnement
désiré du système global. La commande DTC corres-
pond parfaitement à ce schéma.
3.2. Partition de l’espace d’état
3.2.1 Partition selon le flux et le couple
Pour maintenir l’extrémité du vecteur flux statorique
dans une couronne circulaire, on utilise un comparateur à
hystérésis à deux niveaux. Les deux seuils du
comparateur sont choisis suivant l’ondulation tolérée sur
le flux statorique (largeur de l’hystérésis = ∆φs=(φsmax-
φsmin )). Le flux statorique peut être dans l’une des trois
régions suivantes :
Région f1 : φs <φsmin
Région f2 : φsmin < φs <φsmax
Région f3 : φs > φsmax
Pour le contrôle du couple, on utilise aussi un
comparateur à deux niveaux ( un seul sens de rotation de
la machine asynchrone), la largeur de l’hystérésis
correspond à l’ondulation sur le couple. On obtient trois
régions pour le couple.
Région c1 : Te < Temin
Région c2 : Temin < Te < Temax
Région c3 : Te > Temax
L’évolution des deux grandeurs flux et couple détermine
donc 9 régions fi-cj (pour i, j = 1 à 3) que nous
désignerons par R0 , R1 , …….. R8 (voir la figure 4).
Le franchissement des seuils de l’hystérésis permet de
générer des événements qu’on définit de la façon
suivante :
σ1+ , σ2+ : événements générés lorsque le flux statorique
dépasse respectivement φsmin et φsmax.
σ1- , σ2- : événements générés lorsque le flux statorique
devient inférieur à, respectivement φsmin et φsmax.
σ3+ , σ4+ : événements générés lorsque le couple
électromagnétique Te dépasse respectivement Temin
et Temax.
σ3- , σ4- : événements générés lorsque le couple
électromagnétique Te devient inférieur
à, respectivement Temin et Temax.
Figure 4. Découpage de l’espace d’état continu
3.2.2 Partition selon le vecteur de commande
D’après l’équation (2.c) la tension appliquée à la
machine asynchrone est un signal constant par morceau à
huit valeurs possibles (chaque valeur correspond à une
combinaison des variables Sc Sb Sa). Le sens d’évolution
du flux statorique est donné par la direction du vecteur
Vs [figure 5]. Le choix de ce vecteur dépend de la
position angulaire du flux statorique [figure 5], le
vecteur OA représente le flux φs à un instant donné dans
d
Z2
Z3
Z4
Z5
Z1
Z6
30
0
330
0
90
0
150
0
210
0
270
0
q
Γe
R
4
Φs
Région représentant le point
de fonctionnement
R
0
R
1
R
2
R
5
R
3
R
6
R
7
R
8
φ
smax
φ
smin
Γemax
Γemin

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la zone z1, l’application du vecteur V2 permet l’évolution
de l’extrémité du flux suivant la direction du vecteur V2
[figure 5], ce qui donne le vecteur flux OB.
L’application du vecteur V6 permet un changement de
sens de rotation de la machine asynchrone (sens 2).
Le vecteur appliqué et la position angulaire du flux
détermine un état de la machine, on a alors pour un
fonctionnement libre 6x8=48 états qui correspondent à 8
vecteurs de tension et 6 zones.
Les six vecteurs de tensions non nuls sont espacés de
60°. On définit la zone comme étant l’espace angulaire
de 60° contenant en son centre chacun des vecteurs non
nuls (30° avant et 30° après), le nombre de zone est
alors donné par le nombre de vecteurs non nuls qui est
de six
Le passage d’une zone à l’autre permet de générer un
événement qu’on définit de la façon suivante : la
transition de la zone i vers la zone (i+1) génère
l’événement δi, les six événements étant générés
séquentiellement.
L’application d’une tension d’entrée Vj à la place d’une
tension Vi est caractérisée par la génération d’un
événement αj. Donc huit événements αj (j=1 à 8)
peuvent être générés.
Figure 5. Evolution du flux dans la zone z1 pour deux
vecteurs différents
Sur la figure 5, Sens 1 et Sens 2 indiquent le sens de
rotation de la machine asynchrone
3.3 MODELISATION DU PROCEDE PAR UN AEF
L’ensemble {onduleur de tension, machine asynchrone,
comparateur à hystérésis} peut être modélisé par un
automate à état fini (AEF) où chaque état est défini par :
- une région parmi 9 (section 3.2.1),
- un vecteur d’entrée parmi 8 (section 3.2.2), et
- une zone parmi 6 (section 3.2.2).
Le nombre total d’états de l’AEF est donc égal
à 9x8x6=432. Cet AEF est formellement défini par
A= (E, ∑ , eo , £ , Em) où :
E: Ensemble des états de l’AEF
Em :ensemble d’états marqués
∑ : Ensemble des événements pouvant être générés
eo : état initial
£ : fonction de transition Ex∑
Æ E avec :
E= (Eijk)[i=0…8 ; j=1..6 ; k=0..7]
i : indique la région ( 9 régions)
j :indique la zone ( 6 zones)
k :indique le vecteur d’entrée ( 8 vecteurs)
∑={ δ1 , δ2 ,δ3 , δ4 , δ5 , δ6 , σ1
+, σ1 - , σ2 +, σ2 - , σ3 +, σ3 - ,
σ4
+ , σ4 - , α0,, α1 , α2 , α3 , α4 , α5 , α6 , α7 }
e0 : E010 (région E0 ,zone 1 , vecteur v0 )
Initialement le flux et le couple se trouvent dans la ré-
gion R0 et la zone z1.
Em ={E4jk} (région 4).
L’état marqué représente l’état objectif et correspond à
la région R4. En effet, à partir de n’importe quel état de
départ, le point de fonctionnement doit aboutir à cette
région dans laquelle (φsmin < φs <φsmax et Temin < Te <
Temax). En régime permanent, si le point de fonctionne-
ment tente de quitter cette région, le superviseur réagit
(aux événements qui apparaissent en sortie du procédé)
et applique une commande via l’onduleur de tension
pour ramener le système à nouveau dans la région R4.
Le langage de l’AEF A, noté L(A), est constitué par
l’ensemble des séquences d’événements acceptées par
A . Nous définissons aussi le langage marqué de A, noté
Lm(A), constitué des chaînes de L(A) qui atteignent un
état marqué.
Pour des raisons de clarté, nous ne représentons pas
l’AEF de 432 états sur une seule figure. Au lieu de cela,
nous le représentons d’une manière hiérarchique sur trois
niveaux. La figure 6, qui correspond au premier niveau,
représente un AEF à 9 états correspondant aux 9 régions
définies dans la section 3.2.1. Chacun des 9 états est en
fait un méta-état regroupant 48=8*6 états (définis dans la
section 3.2.2).
Ensuite, la figure 7 correspond au second niveau qui
représente la structure d’un méta-état constitué de 6 états
correspondant aux 6 zones définies dans la section 3.2.2.
Chacun des 6 états est en fait un super-état regroupant 8
états correspondant aux 8 vecteurs de tension (définis
dans la section 3.2.2). Notons que c’est le méta-état E0ij
de la figure 6 (correspondant à la région 0) qui est repré-
senté sur la figure 7, où les événements σ1
+, σ1 - permettent
les transitions de la région R0 vers R1 et inversement.
Et enfin, la figure 8 correspond au troisième niveau et
représente la structure d’un super-état constitué de 8
états correspondant aux 8 vecteurs de tension. Notons
que c’est le super-état E01i (correspondant à la région 0 et
à la zone 1) de la figure 7 qui est représenté sur la figure
8. Notons que toutes les transitions menant à un même
état correspondent à un même événement.
A
B
C
O
V1
V2
V3
V4
V5 V6
δ1
δ2
δ3
δ4
δ5
δ6
z1
z
2
z3
z4
z5 z6
Sens 1
Sens 2

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Figure 6. Premier niveau hiérarchique : AEF constitué de
9 méta-états.
Figure 7. Second niveau hiérarchique : méta-état (E0ij)
constitué de 6 super-états.
Figure 8. Troisième niveau hiérarchique : super-
état (E01i) constitué de 8 états .
La figure 8 est une représentation détaillée de super-état
(Enmi), pour une position du flux dans la région Rn et la
zone zm et pour un fonctionnement libre ( huit vecteurs
tensions sont possibles Vi ).
Notons que toutes les transitions menant à un même état
correspondent à un même événement.
3.4. ARCHITECTURE ASSOCIEE AU MODELE
EVENEMENTIEL
La modélisation du procédé {ensemble machine
asynchrone, actionneur et générateur} par un AEF
nécessite l’utilisation de deux interfaces amont et aval
de la machine asynchrone, comme le montre la figure 9
dans laquelle :
MAS : machine asynchrone.
A onduleur de tension : il fournit à la machine
asynchrone la tension Vsabc, et reçoit les commandes des
interrupteurs.
G génère les événements :
- σi (i=1, ..., 4) [ section 3.2.1]
- δi (i=1, ...,6) événement généré lors de changement
de zone [section 3.2.2].
G reçoit aussi de MAS les grandeurs flux et couple
instantanées.
Enm0
Enm1
Enm2
Enm3
Enm4
Enm5
Enm6
Enm7
α1
α0
α2
α1
α3
α2
α4
α3
α5
α4
α5
α6
α
6
α7
E01i E02i E06i
σ
1
+
σ3
+
σ3
-
δ2
[αj]{i=j ;} [αj]{i=j ;} [αj]{i=j ;}
σ3
+ σ3
+
σ3
-
σ3
- σ3
-
δ1
Région
R
3
Région
R
0
E
0ij
E
3ij
E
4ij
E
6ij
E
7ij
E
8ij
E
1ij
E
5i
j
[δjm OR αn]
{i=m+ 1;j=n}
[δjm OR αn]
{i=m+ 1;j=n}
σ1- σ2-
E
2ij
σ1+ σ2+
σ1+ σ2+
σ1+ σ2+
σ3+
σ3+
σ4+
σ4+
[δjm OR αn]
{
i=m+ 1;
j
=n
}
[δjm OR αn]
{i=m+ 1;j=n}
[δjm OR αn]
{i=m+ 1;j=n}
[δjm OR αn]
{i=m+ 1;j=n}
[δjm OR αn]
{i=m+ 1;j=n}
[δjm OR αn]
{i=m+ 1;j=n}
[δjm OR αn]
{i=m+ 1;j=n}
σ1-
σ1-
σ2-
σ2-
σ4- σ4-σ4-
σ3- σ3-σ3-
σ3+
σ4+