Devoir no 2

Universit´e des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees
IFP Ann´ee 2003-04
Devoir no2(nouvelle version)
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A rendre dans la semaine du 10 novembre 2003
Ex 1. Soit (Ω,F, µ) un ensemble mesur´e. Soit (En)n∈Nune suite d’´el´ements de F
telle que
X
n∈N
µ(En)<+∞.
Notons :
A={ω∈Ω, ω appartient `a une infinit´e de En}.
1) Exprimer Aen fonction des En.
2) Montrer que µ(A) = 0.
Ex 2. On note λla mesure de Lebesgue sur R. Soit Al’ensemble des r´eels xpour
lesquels il existe une infinit´e de couples d’entiers (p, q)∈N×N∗tels que
x−p
q
≤1
q3
Le but de cet exercice est de montrer que λ(A) = 0.
1) V´erifier que Acontient l’ensemble Q+des rationnels positifs. Aest donc une
partie infinie de R.
2) V´erifier que Aest un bor´elien de Ren traduisant sa d´efinition `a l’aide d’op´era-
tions ensemblistes d´enombrables faisant intervenir les intervalles
Ip,q := p
q−1 q3,p q+1 q3,
o`u p∈Net q∈N∗.
3) Montrer que λ(A) = 0 si et seulement si λ(B) = 0 avec B= [0,1[∩A.
4) Pour q∈N∗, on d´efinit :
Bq:= [0,1[∩ [
p∈N
Ip,q!.
Montrer que x∈[0,1[ est dans Bsi et seulement si xappartient `a une infinit´e d’ensembles
Bq.

I.F.P. 2003–04, D.M. 2 F. Recher, S. Delaunay
5) Montrer que
λ(Bq)≤2(q+ 2)
q3.
6) En utilisant l’exercice pr´ec´edent, montrer que λ(B) = 0.
7) On se propose de montrer que An’est pas d´enombrable. Pour cela, on fixe une
suite d’entiers (jk)k≥1telle que pour tout k≥1, jk+1 >3jk(par exemple la suite d´efinie
par jk= 4ka cette propri´et´e). On note Cl’ensemble des r´eels xpouvant s’´ecrire sous la
forme
x=
+∞
X
k=1
ak
2jk,(ak)k≥1∈ {0,1}N∗.
Montrer que Cest inclus dans Aet qu’il est en bijection avec {0,1}N∗. Conclure.
Ex 3. Soit (Ω,F, µ) un espace mesur´e tel que 0 < µ(Ω) <+∞. On dit qu’un
´ev´enement Ade mesure non nulle est un atome de (Ω,F, µ) si
∀B∈F, B ⊆A=⇒µ(B) = 0 ou µ(B) = µ(A).
On pourra utiliser le r´esultat suivant, cons´equence directe de la formule de Poincar´e :
si A1, . . . , And´esignent n(≥2) ´ev´enements dont les intersections deux `a deux sont
µ-n´egligeables, alors
µ(A1∪ · · · ∪ An) = µ(A1) + · · · +µ(An).
1) D´emontrer que l’on d´efinit une relation d’´equivalence ∼dans Fen posant :
∀A, B ∈F, A ∼B⇐⇒ µ(A∆B) = 0.
D´emontrer qu’alors µ(A) = µ(B).
2)
2.a) D´emontrer que si Aest un atome de (Ω,F, µ) et si Nest un ´ev´enement µ-
n´egligeable, A∆Nest un atome de (Ω,F, µ) ´equivalent `a A.
2.b) D´emontrer que si une classe d’´equivalence contient un atome, elle ne contient
que des atomes qui ont tous la mˆeme mesure.
2.c) D´emontrer que si Aet Bsont deux atomes non-´equivalents, µ(A∩B) = 0.
3) On suppose que (Ω,F, µ) poss`ede au moins un atome. On choisit un repr´esentant
dans chaque classe d’´equivalence form´ee d’atomes. On note (Ai, i ∈I) la famille d’atomes
ainsi obtenue. D´emontrer qu’elle est finie ou infinie d´enombrable.
4) On munit Rde la tribu
F=B;B∈Bor(R), B ⊇[0,1] ou Bc⊇[0,1],
et l’on consid`ere la fonction Psur Fqui ne prend que les valeurs 0 et 1 et v´erifie
∀F∈F, P (F) = 1 ⇐⇒ F⊇[0,1].
D´emontrer que la fonction Pest une probabilit´e sur (R,F) et que [0,1] est un atome de
(R,F, P ).
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