Laboratoire d`Analyse – Recherche en Economie Quantitative

Jean – Paul Kimbambu, Tsasa Vangu
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
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Théorie du Consommateur, un regard plus rigoureux
Laboratoire d’ Analyse – Recherche en Economie Quantitative
One Pager
Septembre 2013
Vol. 7 – Num. 008
Copyright © Laréq 2013
http://www.lareq.com
Théorie du Consommateur. Un regard plus rigoureux
Jean–Paul K., Tsasa Vangu
"Wir müssen wissen, wir werden wissen."
[Nous devons savoir, nous saurons.]
Sur la pierre tombale de David Hilbert (Königsberg 1862 - Göttingen 1943; Allemagne)
Résumé
Ce papier présente les fondements mathématiques justifiant la cohérence du problème néoclassique
du consommateur.
Mots – clé : Ensemble de consommation, ensemble budgétaire, choix du consommateur.
Abstract
This paper presents the mathematical foundations, supporting the consistency of the consumer
neoclassical program.
Introduction
Dans cet exposé, nous tentons de présenter soigneusement et parcimonieusement les fondements de la
théorie du consommateur. L’approche adoptée insiste sur les bases mathématiques de la théorie en
cause. Ainsi, dans une première section, nous rappelons les ingrédients nécessaires à l’établissement
desdits fondements, avant d’étudier dans la section deuxième, les principaux blocs constitutifs de
l’analyse de cette théorie dite néoclassique.
Rappels de quelques préalables
Epigraphe et Hypographe d’une fonction
Les notions d’épigraphe et d’hypographe permettent de transférer aux fonctions, les notions définies sur
les ensembles. Soit  une fonction à valeurs dans un ensemble compact, 
 (droite réelle achevée), tel
que : 
et définie sur un ensemble  un espace vectoriel ou plus généralement un espace topologique.
L’épigraphe de  notée  est un ensemble défini comme suit :
En cas d’inégalité stricte, on obtient l’épigraphe stricte de  :
En parallèle, l’hypographe de  notée  est un ensemble tel que :

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De même, pour une inégalité sévère, on obtient l’hypographe stricte de  :
Dès lors, pour  correspondant à un espace vectoriel, la fonction 
 est :
- convexe, si son épigraphe est convexe, soit :
- concave, si son hypographe est convexe
1
, soit :
Lorsque les inégalités sont sévères, on obtient respectivement une fonction strictement convexe, et une
fonction strictement concave.
Quasi – convexité et quasi - concavité
Considérons une fonction  telle que  De ce fait,  est :
- quasi – convexe, si 
- strictement quasi – convexe, si 
- quasi – concave, si 
- strictement quasi – concave, si 
Dès lors, une fonction est dite quasi – linéaire, si elle est à la fois quasi – convexe et quasi – concave.
Graphique 1 : Fonction quasi – linéaire
Bien 2
Bien 1
Plus loin, nous énoncerons deux autres définitions de la quasi – convexité/quasi – concavité.
Théorème de Weierstrass (1861)
Le théorème de Weierstrass permet d’établir les conditions d’existence d’un maximum. D’après ce
théorème, toute fonction continue dans un espace compact atteint ses bornes, et donc dans le cas
d’espèce, possède un élément maximum.
1
L’ensemble concave étant moins naturel.

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Théorème. Soit  un ensemble non – vide et compact. Soit  une fonction telle que 
Si  est continue, alors il existe  tel que : 
Preuve. Voir Tsasa (2013a, p.11).
Au passage, précisons qu’un ensemble  est compact si et seulement si  est borné et fermé. Par
ailleurs, une fonction  est continue en un point  si et seulement si  tel que :
où  dénote la distance (métrique).
Et, il suit que  est continue, si et seulement si elle est continue en tout point 
Dérivabilité
Soient  une fonction univariée à valeurs réelles et  un scalaire tel que  où  est un intervalle. La
fonction  définie sur  est dérivable en un point  si et seulement s’il existe un réel  tel que :
Ainsi, obtient – on la dérivée première de  en  La fonction  est dérivable  fois en  si  est
dérivable  fois au voisinage de  et si sa dérivée  est dérivable en 
Par ailleurs, la fonction  est dérivable sur l’intervalle  si et seulement si elle admet une dérivée en tout
point de cet intervalle.
Propositions
- La dérivabilité entraîne la continuité, mais la réciproque est fausse.
- Si les fonctions  et  sont dérivables en  alors  et  où  est un réel quelconque, sont
également dérivables.
- Si  est une fonction dérivable en  alors 
 est également dérivable en 
- Soient  et  deux intervalles non réduits à un point tel que :  et  définie sur  Si  est
dérivable en  et si  est dérivable en  alors  est dérivable en 
- Si  est une bijection de  sur  dérivable en  de dérivée non nulle en  et si la réciproque de  
est continue en  alors  est dérivable en 
- Une fonction convexe définie sur un intervalle  est dérivable à droite et à gauche en tout point.
- Une fonction monotone sur un intervalle  est dérivable presque partout (théorème de Lebesgue).
- Une fonction  sur  est dérivable presque partout. Si  est  alors :
- Une fonction à variation bornée est dérivable presque partout.
La notion de dérivées partielles généralise la définition de la dérivabilité extraite précédemment.
Considérons un sous – ensemble ouvert de l’espace  noté  et une fonction multivariée ( variables)
telle que : 

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La dérivée partielle d’ordre 1 de  au point  par rapport à la  variable  s’écrit :
ou encore : 
Si toutes les dérivées partielles d’ordre 1 existent et sont continues dans un voisinage de  alors  est
différentiable dans ce voisinage, et la différentielle est continue. On dit,  est une fonction de classe 
sur ce voisinage de . Par ailleurs, si toutes les dérivées partielles secondes de  existent et sont
continues sur  alors  est dite fonction de clase  sur 
La dérivée partielle d’ordre  est donnée par l’expression :
Pour  on a : 
Par le théorème de Schwarz, il y a lieu d’établir :
Soit   le gradient de  au point  Alors :
Ainsi, le gradient de  décrit un vecteur composé des dérivées premières de  en un point donné 
Méthode du multiplicateur de Lagrange
La méthode ML est généralement sollicitée dans la recherche des points stationnaires (extremum) d’une
fonction dérivable. Sa généralisation est une version proposée par Karush (1939) et Kuhn et Tucker
(1951)
1
.
Soit  une fonction de  variables à valeurs réelles, soumise à une contrainte  telle que
 où  est un espace euclidien de dimension  En plus,  et  sont des fonctions de classe 
c’est – à – dire leurs dérivées premières existent et sont continues.
La méthode du multiplicateur de Lagrange fournit des conditions nécessaires permettant de résoudre un
problème d’optimisation sous contraintes équationnelles, en le transformant à un problème
d’optimisation sans contrainte dans un espace .
1
Le théorème gouvernant les conditions de Kuhn – Tucker (conditions de Karush – Kuhn – Tucker) a été abordé dans
Tsasa (2013, b).

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Soit  la fonction  de Lagrange est donnée par :
où les coordonnées du vecteur  correspondent aux multiplicateurs de Lagrange.
Soit  la solution recherchée (optimum). Pour un maximum, il vient que :
Alors, pour une solution  donnée, il existe  tel qu’au point  :
Théorème. Si le point  est un extremum local de la fonction  dans l’ensemble  tel que :
alors le noyau (kernel) de la différentielle de  au point  est orthogonal au gradient de  en
ce point.
Démonstration. La preuve de ce théorème fera l’objet d’un papier ultérieur.
Relation binaire
A la fin du XXième siècle, Georg Cantor (1845 – 1918), mathématicien allemand, a proposé une nouvelle
branche en mathématiques, appelée théorie des ensembles, à partir de laquelle il est devenu possible de
construire des objets mathématiques tels que les fonctions, les nombres réels ou complexes, plusieurs
autres, notamment les relations binaires entre deux ensembles  et  Analysons de plus près, ce dernier
objet.
En effet, une relation binaire, notée  d’un ensemble  vers un ensemble  est définie par un sous –
ensemble du produit cartésien  Soit  tel que  est en relation avec  on écrit : 
La relation  sur  est :
- réflexive, si pour tout  :  ;
- irréflexive ou antiréflexive, si pour tout  :  ;
- symétrique, si pour tout  :  où  ;
- antisymétrique ou faiblement antisymétrique, si pour tout  :
- transitive, si pour tout  : 
Une relation binaire réflexive et transitive est appelée préordre. De ce fait, il suit que :
- un préordre antisymétrique est un ordre ;
- un préordre symétrique est une relation d’équivalence.