Géométrie élémentaire, L2 maths-info

UNIVERSITÉ DE POITIERS, L2 Math-Info
GÉOMETRIE ÉLEMENTAIRE
Nadir Matringe
ANNÉE UNIVERSITAIRE 2012-2013
2
Chapitre 1
Calcul vectoriel et barycentrique
1.1 Notion de vecteur
On ne dénit pas vraiment le plan
P,
mais c'est celui qui est utilisé par l'étudiant depuis
le lycée, et qui possède les propriétés usuelles (par deux points distincts passe une seule droite,
on sait dénir la distance entre deux points du plan, l'angle entre deux droite, etc.). On notera
d'ailleurs
AB
est que si
A et B du plan. Il faut faire attention ici : comme
P de diérentes distances, l'essentiel pour cette section,
A 6= C , le quotient AB/AC ne dépend pas de la distance
la distance entre deux points
on le verra plus tard, on peut munir
A, B
et
C
sont alignés avec
choisie, c'est bien le cas si on choisit des distances associées à des porduits scalaires, c'est donc
ce genre de distance qu'on utilise. On ne privilégie à priori aucun point du plan, comme étant
l'origine.
A vers un point B dans le
P . Si on considère deux autres points C et D, on dit qu'ils dénissent le même vecteur si la
èche orientée de C vers D est identique à la èche orientée de A vers B , ceci peut s'exprimer
de la manière suivante : les segments [A, D] et [B, C] ont même milieu.
−−→ −−→
Ainsi, on associe aux couple (A, B) et (C, D) le même vecteur AB = CD , et les couples (A, B)
et (C, D) peuvent être considéré comme "équivalents" puisqu'ils produisent le même vecteur. Un
Intuitivement, un vecteur correspond à une èche orientée d'un point
plan
vecteur correspond à la donnée d'un ensemble de couples "équivalents" du plan. Pour formaliser
cela, on introduit la notion de relation d'équivalence.
Dénition 1.1.1. Soit E un ensemble, et R une relation binaire sur E (i.e. pour tout couple
(x, y) de E 2 , ou bien x est en relation avec y , ce qu'on note xRy , ou bien x n'est pas en relation
avec y, exemples classiques sur R : <,>, =, ≤, ≥). On dit que R est une relation d'équivalence
si les propriétés suivantes sont vériées :
1. R est réexive : pour tout x de E , on a xRx.
2. R est symétrique : pour tout x et y de E , on a xRy si et seulement si yRx.
3. R est symétrique : pour tout x, y et z de E , si xRy et yRz , alors xRz .
Exercice 1.1.1. Montrer que sur R, parmi les relations <,>, =, ≤, ≥, seul = est une relation
d'équivalence.
Exercice 1.1.2. Sur R∗ , on dénit la relation ' par : x ' y si et seulement si x/y > 0. Montrer
que ' est une relation d'équivalence sur R∗ .
La donnée d'une relation d'équivalence sur un ensemble partitionne cet ensemble en classe
d'équivalences.
3
Dénition 1.1.2. Soit ∼ une relation d'équivalence sur l'ensemble E , on appelle classe d'équivalence de x ∈ E l'ensemble des points qui sont en relation avec x : Cl(x) = {y ∈ E, y ∼ x}.
Proposition 1.1.1. Soit ∼ une relation d'équivalence sur E . Alors
de ses classes d'équivalences.
E
est la réunion disjointe
Démonstration.
Pour montrer que E est réunion de ses classes d'équivalences, on prend x dans
E , et on montre qu'il est dans une classe d'équivalence, et une seule. Comme R est réexive, on
x ∼ x, soit x ∈ Cl(x). Pour montrer que la réunion est disjointe, on montre que si Cl(x) 6= Cl(y),
alors Cl(x) ∩ Cl(y) = ∅. Par contraposée, il sut de montrer que s'il existe z dans Cl(x) ∩ Cl(y),
alors Cl(x) = Cl(y). On procède par double inclusion : soit x0 dans Cl(x), alors x0 ∼ x. Mais
comme z est dans Cl(x), on a z ∼ x, i.e. x ∼ z par réexivité, et donc x0 ∼ z par transitivité.
Finalement, come z ∈ Cl(y), on a z ∼ y , et donc x0 ∼ y par transitivité, c'est à dire x0 ∈ Cl(y).
On en déduit que Cl(x) ⊂ Cl(y). Mais par réexivité, x ∼ y si et seulement si y ∼ x, donc x et
y jouent des rôles symétriques, et donc Cl(y) ⊂ Cl(x), d'où Cl(x) = Cl(y).
Exercice 1.1.3. Montrer que les classes d'équivalences de
celles de la relation ' sur R∗ sont R>0 et R<0 .
On introduit sur
[B, C]
P ×P
la relation
∼,
dénie par
ont même milieu, autrement dit lequadrilatère
=
sur R sont les singletons, et que
(A, B) ∼ (C, D) : les segments [A, D]
ABDC est un parallélogramme.
et
Proposition 1.1.2. La relation ∼ dénie ci-dessus est une relation d'équivalence sur l'ensemble
P × P des couples de points du plan P .
Démonstration.
Exercice corrigé au tableau.
On peut maintenant formellement dénir ce qu'est un vecteur.
−−→
−
Dénition 1.1.3. Soient A et B deux points du plan, on déni le vecteur →
v = AB comme
étant Cl((A, B)) = {(C, D) ∈ P 2 , (C, D) ∼ (A, B)}, pour la relation ∼ sur P × P . On dit que
→
−
−
le couple (A, B) est un représentant du vecteur →
v . On note P l'ensemble des vecteurs.
On peut dénir la longueur d'un vecteur.
→
−
−
−
−
Dénition 1.1.4. Soit →
v un vecteur de P , et (A, B) un représentant de →
v , on note ||→
v || la
−
−
distance de A à B , on l'appelle longueur de →
v . Elle ne dépend pas du couple représentant →
v
choisi.
Démonstration.
Si
(C, D)
est un autre représentant de
un paralélogramme, donc les côtés
AB
et
DC
→
−
v,
on a par dénition que
ABDC
est
ont même longueur.
→
−
−
Exercice 1.1.4. Soit →
v un vecteur de P , et A un point de P , montrer qu'il existe un unique
−−→
→
−
−
point B de P , tel que v = AB . On utilisera parfois la notation A = B + →
v.
1.2 Addition et multiplication des vecteurs par un réel
On peut munir l'ensemble des vecteurs d'une addition, i.e. d'une loi interne, associative, et
commmutative. Cette operation est connue depuis le lycée au moins, et consiste à dire que la
somme de deux èches, est la èche obtenue en collant ceux deux èches par la n de la première,
et le début de la seconde, et en traçant la èche joignant alors le début de la première à la n
de la seconde. Pour formaliser cela, on pose.
4
−
−
Dénition-Proposition 1.2.1. Soient →
v et →
w deux vecteurs, si (A, B) est un représentant de
−−→
→
−
−
v , alors, d'après l'exercice 1.1.4, il existe un unique C dans P , tel que →
w = BC . On pose alors
−→
→
−
−
v +→
w = AC.
−
Cette dénition est indépendante du couple (A, B) représentant →
v.
Démonstration.
−−
→
→
−
0 0
que w = B C ,
Si
(A0 , B 0 )
est un autre représentant de
→
−
v,
et
C0
est l'unique point de
P
tel
0 0
0 0
on veut montrer que ACC A est un parallélogramme. Mais comme ABB A est
0
0
un paralélogramme, les segments [AA ] et [BB ] sont parallèles, ont même longueur, et même
0 0
0
0
orientation. Comme BCC D est un paralélogramme, les segments [BB ] et [CC ] sont parallèles
ont même longueur, et même orientation. Ainsi, les segments
[AA0 ]
et
[CC 0 ]
sont parallèles ont
0 0
même longueur, et même orientation, et ACC A est un parallélogramme.
L'addition des vecteurs a toutes les propriétés qu'on imagine.
→
−
→
−
−
−
−
Proposition 1.2.1. Soient →
u,→
v et →
w trois vecteurs de P . On note 0 le vecteur dont un
−→
représentant est AA, pour un point A de P . L'addition des vecteurs vérie les propriétés suivantes :
−
−
−
−
−
−
1. associativité : (→
u +→
v)+→
w =→
u + (→
v +→
w ).
→
− −
→
−
−
−
2. élément neutre : 0 + →
v =→
v + 0 =→
v.
−
−
−
−
3. commutativité : →
u +→
v =→
v +→
u.
−−→
−−→
→
−
→
−
−
−
−
4. existence de l'opposé : si v = AB , alors on note −→
v le vecteur BA, on a →
v +(−→
v)= 0.
Il découle facilement que l'élément neutre est unique, et que l'opposé d'un vecteur aussi. On dit
→
−
que ( P , +) est un groupe commutatif (ou abélien).
→
−
−
Exercice 1.2.1. Soit →
v un vecteur de P , et B un point de P , montrer qu'il existe un unique
−−→
−
−
point A de P , tel que →
v = AB . On utilisera la notation A = B − →
v , qui est équivalente par
→
−
ailleurs à B = A + v .
On dénit maintenant la multiplication d'un vecteur par un scalaire (i.e. un élément de
−−→
R).
−
Dénition-Proposition
1.2.2.
Soit λ un réel, et →
v = AB un vecteur.
→
−
→
−
→
−
→
−
Si v = 0 , on pose λ. v = 0 .
−
Si →
v 6= 0, on a deux cas.
−→
−
Si λ ≥ 0, on note C le point de la demi-droite [AB), tel que AC/AB = λ, et on pose λ.→
v = AC .
−
−
Si λ ≤ 0, on pose λ.→
v = (−λ).(−→
v ).
−
Ces dénitions ne dépendant pas du couple (A, B) choisi pour représenter →
v.
La multiplication par un scalaire possède elle aussi les bonnes propriétés.
→
−
−
−
Proposition 1.2.2. Soient λ et µ dans R, et →
v et →
w dans P . On a :
−
−
1. associativité : λ.(µ.→
v ) = (λµ).→
v.
−
−
−
−
−
−
−
2. distributivité : (λ + µ).→
v = λ.→
v + µ.→
v , et λ.(→
v +→
w ) = λ.→
v + λ.→
w.
→
−
→
−
−
3. 0.→
v = λ. 0 = 0 .
→
−
On dit que ( P , +, .) est un R-espace vectoriel.
5
1.3 Repère cartésien
On dénit maintenant ce que sont deux vecteurs liés, et libres.
→
−
−
−
−
−
Dénition-Proposition 1.3.1. Soient →
v et →
w deux vecteurs de P , on dit que →
v et →
w sont liés
si l'un est un multiple de l'autre (éventuellement nul). On dit qu'ils sont libres (ou indépendants)
→
−
−
−
s'ils ne sont pas liés, ceci équivaut à dire que (λ.→
v + µ.→
w = 0 ) ⇒ (λ = µ = 0).
On va maintenant montrer qu'une famille libre composée de deux vecteurs de
"base" de
→
−
P.
→
−
P
est une
→
−
−
−
−
Proposition 1.3.1. Soient →
u et →
v deux vecteurs indépendants de P . Pour tout vecteur →
w de
→
−
→
−
→
−
→
−
P , il existe un unique couple (a, b) de nombres réels tel que w = a u + b v . On dit que a et b
−
−
−
sont les coordonnées de →
w dans la base (→
u,→
v ).
−−→
−−→
→
−
−
w = AD, il existe un unique point B tel que →
u = AB , et un unique
−
−
→
→
−
→
−
→
−
point C tel que v = CD . Les droites (AB) et (CD) ne peuvent être parallèle, sinon u et w
−→
−−→
seraient liés. Elles ont donc un unique point d'intersection E . Il existe a ∈ R tel que AE = aAB
(a = AE/AB si E est situé sur la demi droite [AB), et a = −AE/AB sinon). De même, il existe
−−→
−−→
b ∈ R tel que ED = bCD (b = ED/CD si E est situé sur la demi droite [DC), et b = −ED/CD
−−→ −→ −−→
−−→
−−→
→
−
→
−
→
−
sinon). On en déduit que w = AD = AE + ED = aAB + bCD = a u + b v . De plus a et b sont
→
−
→
−
−
−
−
−
0
0
0→
0→
0 →
0 →
uniques, car si a et b vérient w = a u + b v , on en déduit (a − a ) u + (b − b ) v = 0 , et
→
−
→
−
0
0
donc a = a et b = b car u et v forment une famille libre.
Démonstration.
On écrit
On en prote pour rappeler comment on calcule les coordonnées dans une novelle base, en
fonction des coordonnées dans l'ancienne.
→
− →
−
→
−
→
−
→
−
−
−
→
−
0
0
0
0
0
Proposition 1.3.2. Soient B = (→
u,→
v ) et B
, v ) deux bases de P . Si u = a u + c v et
= (u
→
−
→
−
a b
→
−
u = b u0 + d v 0 , on note MB 0 (B) la matrice
(la matrice des vecteurs de B dans la base
c d
B 0 ).
B0,
x0
x
−
dans B , et pour coordonnées 0 dans
Alors si un vecteur →
w à pour coordonnées
on a la relation
Démonstration.
→
−
→
−
→
−
u = b u0 + d v 0 ,
y
y
0 x
a b
x
.
=
y
c d
y0
En eet, on écrit
→
−
→
−
→
−
−
−
w = x→
u + y→
v = x0 u0 + y 0 v 0 ,
puis, comme
→
−
→
−
→
−
u = a u0 + c v 0
et
l'égalité de droite donne
→
−
→
−
→
−
→
−
x0 u0 + y 0 v 0 = (xa + yb) u0 + (xc + yd) v 0 .
En identiant les coecients dans la base
B,
on obtient
x0 = (xa + yb)
et
y 0 = (xc + yd),
i.e.
0 x
a b
x
=
.
y0
c d
y
Dès qu'on en xe une base, on peut identier
→
−
P
à
R2 .
→
−
→
−
→
−
−
−
Proposition 1.3.3. Soit B = ( u , v ) une base de P , l'application φB : xy 7→ x→
u + y→
v est
x + ax0
x
x0
bijective, et elle vérie φB
= φB
+aφB
. On dira que φB est un ismorphisme
0
y + ay
y
y0
→
−
d'espaces vectoriels entre R2 et P .
6
Démonstration.
vecteur
a
b
de
φB est bijective
veut dire que
a
−
−
→
−
= a→
u + b→
v.
que w = φB
b
→
−
w
si
R2 ,
D'après la proposition 1.3.1, cet énoncé
tel
appartient à
P,
Dire que
il existe un unique
est vrai. Les autres propriétés sont évidentes.
On peut maintenant dénir ce qu'est un repère cartésien du plan
P.
Dénition 1.3.1. On appelle repère cartésien du plan P , un triplet
→
−
→
− →
−
point de P , et ( i , j ) forment une base de P .
On peut paramétrer tout point de
P
→
− →
−
(O, i , j ),
où O est un
par des coordonnées cartésiennes, dès qu'on a un repère.
→
− →
−
Dénition 1.3.2. Soit (O, i , j ) un repère (cartésien) de P , à tout point P de P, on associe
−−→
→
−
→
−
x
l'unique couple unique de réels (x, y) tel que OP = x i + y j . On écrit alors P =
, on dit
y
que x est l'abscisse de P , y son ordonnée, et (x, y) ses coordonnées.
On a le lemme suivant, qui est immédiat.
→
− →
−
−
Lemme 1.3.1. Si P est un point de P , de coordonnées (x, y) dans (O, i , j ), etque →
v est un
→
−
→
− →
−
x
+
a
−
vecteur de P , de coordonnées (a, b) dans la base ( i , j ), alors P + →
v =
.
y+b
Quand on change de repère, on a aussi une formule reliant les coordonnées, qui se déduit de
la proposition 1.3.2.
→
− →
−
→
− →
−
Proposition 1.3.4. Soit (O, i , j ) et (O0 , i0 , j 0 ) deux repères de P , si un point P de P a pour
coordonnées (x, y) dans le premier repère, et (x0 , y0 ) dans le second, que O0 a pour coordonnées
→
− →
−
a b
(t, u) dans (O, i , j ), et que MB 0 (B) =
, alors on a la relation
c d
0 x−t
a b
x
.
=
y−u
c d
y0
−−0→
→
−
→
− −−→
−−→
−−→
→
−
→
−
→
−
→
−
O P = x0 i0 + y 0 j 0 , OP = x i + y j , et O0 O = −OO0 = −t
i −uj . Mais
−−0→ −−0→ −−→
→
−0
→
−0
→
−
→
−
x0
a b
x−t
0
0
=
on a O P = O O+ OP , i.e. x i +y j = (x−t) i +(y−u) j . On a donc
y0
c d
y−u
Démonstration.
On a
d'après la proposition 1.3.2.
1.4 Alignement et orthogonalité, déterminant et produit scalaire,
équations de droites
Soit
→
− →
−
(O, i , j )
un repère cartésien de
P,
xé pour ce pargraphe. On écrira toujours les
coordonnées d'un point relativement à ce repère, et les coordonnées d'un vecteur relativement à
la base
→
− →
−
B = ( i , j ).
xv
x
Dénition 1.4.1. Soient et deux vecteurs de
de coordonnées
et u dans la
yv
yu
→
− →
−
→
− →
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
base B = ( i , j ). On note | u , v | ou det( u , v ) le déterminant de ( u , v ) dans la base ( i , j ),
déni comme étant le réel xu yv − xv yu .
→
−
u
→
−
P,
→
−
v
On a la proposition classique :
7
−
−
−
−
Proposition 1.4.1. Les vecteurs →
u et →
v sont liés si et seulement si |→
u,→
v | = 0.
→
−
−
u et →
v sont liés, alors soit l'un des deux est nul, auquel cas la proposition est
→
−
→
−
évidente, sinon il existe λ non nul, tek que v = λ u , mais alors xu yv −yu xv = λ(xu yu −xu yu ) = 0.
→
−
→
−
Inversement, si xu yv − yu xv = 0. Si u ou v est nul, alors la famille est liée. Sinon on a
→
−
xv
0
xu
xv
0
xu
→
−
→
−
→
−
→
−
=
, soit yv u −yu v = 0 et xv u −xu v =
−xu
=
et xv
−yu
yv
yv
0
yu
yv
0
yu
→
−
−
−
0 , comme l'une de ces deux relations de dépendance linéaire est non triviale (en eet →
u et →
v
→
−
→
−
sont non nuls, donc un des réels xu , yu , xv , yv est non nul), la famille ( u , v ) est liée.
Démonstration.
Si
Comme il est clair que trois points
et
−→
AC
A, B
et
C
sont alignés si et selmenet si les vecteurs
−−→
AB
sont liés. On en déduit immédiatement l'énoncé qui suit.
−−→ −→
Proposition 1.4.2. Trois points A, B et C sont alignés si et seuelemnt si |AB, AC| = 0.
Si
A
→
−
u
est un vecteur non nul, et
de direction
→
−
u
A
est un point du plan, on peut dénir la droite passant par
comme étant l'ensemble des points
On dénit de même la demi-droite passant par
des points
X
de
P
tels que
−−→
AX
A
X
de
P
tels que
est de direction
soit un multiple positif de
→
−
u.
→
−
u
−−→
AX
est colinéaire à
→
−
u.
comme étant l'ensemble
On a alors, dans les conditions ci-dessus :
Corollaire 1.4.1. La droite passant par A =
(y − yA )xu = (x − xA )yu .
−−→
Démonstration.
En
eet,
AX
soit
|
x − xA
x
, u | = 0,
y − yA
yu
est colinéaire à
xA
yA
→
−
u
et de direction
xu
yu
→
−
u =
a pour équation
si et seulement si le déterminant
−−→ −
|AX, →
u | = 0,
ce qui donne l'égalité recherchée.
−
Exercice 1.4.1. Montrer que la demi-droite passant par A et de direction →
u est donnée par
l'équation (y − yA )xu = (x − xA )yu et l'inégalité (x − xA )/xu ≥ 0 si xu 6= 0, et l'inégalité
(y − yA )/yu ≥ 0 si xu = 0.
On en déduit l'équation de le droite
(AB).
Proposition 1.4.3. La droite (AB) est donnée par l'équation :
(y − yA )(xB − xA ) = (x − xA )(yB − yA ).
Démonstration.
La droite
(AB)
est la droite assant par
A
de direction
−−→
→
−
u = AB ,
on applique
alors le corollaire 1.4.1.
On dénit maintenant le produit scalaire de deux vecteurs dans la base
→
−
→
−
→
−
→
− →
−
( i , j ).
→
−
−
−
−
−
Dénition 1.4.2. Soient →
u = xu i + yu j et →
v = xv i + yv j , alors on note < →
u,→
v >=
→
− →
−
→
−
→
−
xu xv + yu yv , et on dit que c'est le produit scalaire de u et v dans la base ( i , j ).
On a les propriétés suivantes du produit scalaires, qui sont évidentes.
−
−
−
−
Proposition 1.4.4. Le produit scalaire est symétrique : on a < →
u,→
v >=< →
v ,→
u > pour tout
→
−
→
−
et v dans P .
→
− −
→
−
→
−
−
Il est bilinéaire : pour t dans R, et →
u , u0 , →
v et v 0 dans P , on a
→
−
u
→
−
→
−
−
−
−
−
−
<→
u,→
v + t v 0 >=< →
u,→
v > +t < →
u , v0 >
8
et
Il est déni poisitif :
→
− −
→
− −
−
−
−
<→
u + t u0 , →
v >=< →
u,→
v > +t < u0 , →
v >
→
−
→
−
−
−
−
−
−
−
pour tout →
u dans P , on a < →
u,→
u >≥ 0, et < →
u,→
u >= 0 ⇔ →
u = 0.
Une fois donné un produit scalaire, on peut parler d'orthogonalité.
Dénition 1.4.3. On dit que deux vecteurs sont orthogonaux pour ce produit scalaire si leur
produit scalaire est nul.
On dénit maintenant la distance euclidienne associée à ce produit scalaire.
Dénition 1.4.4. SoientqA et B deux points de P , la distance AB associée au produit scalaire
p
−−→ −−→
< ., . > est par détion < AB, AB > = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 ). On dit aussi que c'est
−−→
−−→
la norme du vecteur AB , et la note parfois ||AB||.
Par exemple,
→
−
i
et
→
−
j
sont de norme
1,
et orthogonaux. On dira que c'est une base ortho-
normale pour ce produit scalaire.
On rapelle le théorème de Pythagore :
−−→
−→
Proposition 1.4.5. Si AB et AC sont orthogonaux, on a BC 2 = AC 2 + AC 2 .
Démonstration.
On a
−−→ −−→
−−→ −→ −−→ −→
2
BC =< BC, BC >=< BA + AC, BA + AC >
−−→ −−→
−−→ −→
−→ −−→
−→ −→
=< BA, AB > + < BA, AC > + < AC, BA > + < AC, AC >
−−→ −→
2
2
2
2
= BA − 2 < AB, AC > +AC = AB + AC .
→
− →
−
→
−
Exercice 1.4.2. Montrer que si B 0 = ( i0 , j 0 ) est une autre base de P , que < ., . >0 est le
→
−
−
−
produit scalaire associé à la base B 0 , avec ||.||0 la norme correspondante, et que →
u et →
v 6= 0
−
−
−
−
sont deux vecteurs, alors ||→
u ||0 /||→
v ||0 = ||→
u ||/||→
v ||.
On donne maintenant l'équation de la droite passant par un point, et orthogonale à un
vecteur.
−
Proposition 1.4.6. Si A ∈ P , et →
u est un vecteur de
→
−
u passant par A est (x − xA )xu + (y − yA )yu = 0.
Démonstration.
seulement si
Il sut décrire que
−−→ −
→
−
< AX, →
u >= 0 .
X
→
−
P,
de coordonnées
x
l'équation de la droite orthogonale à
et
y
appartient à cette droite si et
On dénit ce qu'est un cercle attaché à cette distance.
Dénition 1.4.5. Soit A un point de P , et
cercle de centre A et de rayon r.
r ≥ 0,
on note C(A, r) = {X ∈ P, AX = r} le
On rappelle l'équation d'un cercle dans les coordonnées attachées au repère
→
− →
−
(0, i , j ).
Proposition 1.4.7. L'équation de C(A, r) est (x − xA )2 + (y − yB )2 = r2 .
Démonstration.
Il sut d'écrire que
X
est dans
9
C(A, r)
si et seulement si
2
AX = r2 .
1.5 Barycentres, coordonnées barycentriques et convexité
(A1 , . . . , An ) de points de P est dit pondéré, si a chaque point Ai , on associe un
réel ai . On note (Ai , ai )i=1...n le système pondéré de points correspondant, on appelle l'ensemble
des ai les coecients du système. On a le résultat suivant, qui permet de parler de barycentre.
Un système
Théorème 1.5.1. Soit (Ai , ai )i=1...n une famille pondérée de points. Deux cas se présentent.
P
P
−−−→
−
v = ni=1 ai M Ai ne dépend pas du point M de P , i.e.
1. Si ni=1 ai = 0, alors, le le vecteur →
−−−
→
Pn
−−−→ Pn
0
0
i=1 ai M Ai même si M 6= M .
i=1 ai M Ai =
P
P
−−→
2. Si ni=1 ai 6= 0, alors il existe un unique point G de P tel que ni=1 ai GAi = 0.
Démonstration.
n
X
Pour le premier point, on écrit
n
n
n
n
n
X
−−−→ X
−−−→ X
−−−→ X
−−−→
−−−→ X −−−→
ai M 0 Ai =
ai M 0 M +
ai M Ai = (
ai )M 0 M +
ai M Ai =
a i M Ai .
i=1
i=1
i=1
Pour le second point, on note
r=
i=1
Pn
i=1 ai
6= 0,
i=1
et on xe un point
i=1
O
de
P,
et on pose
n
X
ai −−→
G=O+
OAi .
r
i=1
Alors, on a
n
X
n
n
n
n
n
X
−−→ X −−→ X −−→
−−→ X −−→
−−→ X −−→ →
−
ai GAi =
ai GO +
ai OAi = (
ai )GO +
ai OAi = −rOG +
ai OAi = 0
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
−−→ →
P
−
G. D'où l'existence de G. Si un autre point G0 de P vérie ni=1 ai G0 Ai = 0 ,
−−
→ Pn
−−
→ Pn
Pn
Pn
−−→
−−→
→
−
→
−
→
−
0
0
on a alors
i=1 ai GAi =
i=1 ai G Ai −
i=1 ai GAi = 0 − 0 = 0 , mais
i=1 ai G Ai −
−−0→
−−0→
−−0→
−−
→ −−→
Pn
Pn
→
−
0
0
i=1 ai (G G) = r G G, donc r G G = 0 , ce qui implique G = G car
i=1 ai (G Ai − GAi ) =
r 6= 0.
par dénition de
On peut maintenant dénir le barycentre d'un système pondéré par des coecients dont la
somme est non nulle.
Dénition 1.5.1. Soit (Ai , ai )i=1...n un système pondéré de points, tel que ni=1 ai 6= 0, le
point G déni dans le 2. du théorème précédent est appelé le barycentre du système pondéré
(Ai , ai )i=1...n .
P
Le barycentre est aussi caractérisé par la propriété utile suivante.
Proposition 1.5.1. Soit (Ai , ai )i=1...n un système pondéré avec ni=1 ai 6= 0, de barycentre G.
P
P
−−→
−−−→
Pour tout M de P , on a la relation ni=1 ai M Ai = ( ni=1 ai )M G. Pour M = G, on retrouve
Pn
−−→ →
−
i=1 ai GAi = 0 .
P
Démonstration.
On écrit
Pn
−−−→
i=1 ai M Ai
=
−−→
Pn
i=1 ai M G
+
Pn
−−→
i=1 ai GAi
P
−−→ →
−
= ( ni=1 ai )M G + 0 .
Si on multiplie les coecients d'un système pondéré par la même constante, cela ne change
pas le barycentre.
n
Proposition 1.5.2.
Pn Soit (Ai , ai )i=1...n un système pondéré avec i=1 ai 6= 0, de barycentre G,
et λ 6= 0, alors i=1 λai 6= 0, et G est aussi le barycentre de (Ai , λai )i=1...n .
P
10
Démonstration.
Il sut d'écrire que
P
−−→
→
−
λ( ni=1 ai GAi ) = 0 ,
car
−−→
Pn
i=1 ai GAi
→
−
= 0
si et seulement si
Pn
−−→
i=1 λai GAi
=
λ 6= 0.
Par conséquent, si on cherche le barycentre G d'un système pondéré (Ai , ai )i=1...n avec
Pn
Pn
on peut toujours supposer que
r =
i=1 ai = 1, car G est le barycentre de
i=1 ai 6= 0, P
(Ai , ai /r)i=1...n , et ni=1 ai /r = r/r = 1. C'est ce qu'on fera parfois.
Il n'est pas évident de calculer un barycentre directement, à par dans le cas de un et deux
points.
Exemple 1.5.1. Le barycentre du système (A, a), avec a 6= 0, est égal à A. En eet, on a bien
−→ →
−
aAA = 0 .
Pour deux points.
−→
Proposition 1.5.3. Soit G le barycentre de (A, a) et (B, b) avec a + b 6= 0, alors on a AG =
−→
b −
a+b AB , ce qui permet de placer G sur la droite (AB). En particulier, si a + b = 1, soit b = 1 − a.
On a :
si b < 0, G est du côté de A où B n'est pas.
Si 0 ≤ b ≤ 1, G est sur le segment [AB].
Si b > 1, alors G est du côté de B où A n'est pas.
Cette proposition, associée au résultat suivant, permet de placer par récurrence, le barycentre
de
n
points.
Théorème 1.5.2. Soient
suppose que
k
systèmes pondérés S1 , . . . , Sm , avec Sj = (Ai,j , ai,j )i=1...nj . On
rj =
nj
X
ai,j 6= 0
i=1
pour tout j entre 1 et m. Soient t1 , . . . , tm des réels tels que
m
X
r=
tj rj =
j=1
nj
m X
X
tj ai,j 6= 0.
j=1 i=1
Alors, pour tout j , le barycentre Gj de Sj est bien déni, le barycentre G du système S =
(Ai,j , tj ai,j )i=1...nj ,j=1...m , et le barycentre G0 du système S 0 = (Gj , tj rj )j=1...m sont aussi bien
dénis, et on a G = G0 . On appelle ce phénomène la propriété d'associativité des barycentres,
qui peut s'énoncer : le barycentre d'un système de barycentres est un barycentre.
Démonstration.
Le point
G0
−−0−→ →
−
Gj = 0 ,
Pm
j=1 tj rj G
vérie
mais par dénition de
nj
X
−−−→
−−0−→
ai,j )G0 Gj .
rj G Gj = (
i=1
D'après la proposition 1.5.1, on a
nj
nj
X
−−−→ X
−−−−→
(
ai,j )G0 Gj =
ai,j G0 Ai,j
i=1
car
Gj
est le barycentre de
i=1
(Ai,j , ai,j )i=1...nj .
On en déduit que
m
m
nj
X
−−−−→
−−−→ X X
→
−
tj ai,j G0 Ai,j ,
0 =
tj rj G0 Gj =
j=1 i=1
j=1
0
et G est bien le barycentre de
S , i.e. G0
= G.
11
rj ,
Par exemple pour calculer le barycentre de trois points, on se ramène au cas de deux points.
Exemple 1.5.2. Pour calculer le barycentre G d'un système (A, a), (B, b), (C, c), avec a+b+c 6=
0, et a + b 6= 0, c 6= 0. On calcule d'abord le barycentre G1 de (A, a), (B, b), puis G qui est le
barycentre du système (G1 , a + b), (C, c).
L'introduction de la notion de barycentre permet de paramétriser le plan par des coordonnées
barycentriques.
Dénition 1.5.2. Soient A, B et C trois points non alignés de P . On dit que (A, B, C) est un
repère ane de P .
On a alors la proposition suivante.
Proposition 1.5.4. Soit (A, B, C) est un repère ane de P , alors si X ∈ P , il existe un unique
triplet de réels (a, b, c) vériant a + b + c = 1, tel que X soit le barycentre de (A, a) et (B, b)
et (C, c). On dit que (a, b, c) sont les coordonnées barycentriques de X dans le repère ane
(A, B, C).
−−→
−→
AB et AC sont libres, ils
forment donc une base
En particulier, il existe un unique couple (b, c) de réels, tels que
−−→ −−→ −−→
−−→
−−→ −→
−−→ −−→ −→ →
−
AX = bAB +cAC . Ceci implique AX −bAB −cAC = 0 , puis en décomposant AB = AX + XB
−→ −→ −−→
−−→
−−→
−−→ →
−
et AC = AC + XC , on obtient (1 − b − c)AX + bBX + cCX = 0 , donc X est le barycentre de
(A, a) et (B, b) et (C, c), avec a = 1 − b − c, soit a + b + c = 1.
0 0 0
0
0
0
0
0
0
De plus, si (a , b , c ) est un autre triplet vériant a + b + c = 1 (i.e. a = 1 − b − c ) tel que X
−
−
→
−
−
→
−
−
→
→
−
0
0
0
0
0
0
0
soit le barycentre de (A, a ) et (B, b ) et (C, c ), on a (1 − b − c )AX + b BX + c CX = 0 . Ceci se
−−→
−→ −−→
−→ −−→
−→
0 −
0 −
0−
0 −→
réécrit AX = b (AX + XB) + c (AX + XC) = b AB + c AC . Par unicité de la décomposition de
−−→
−−→ −→
AX dans la base (AB, AC), on obtient b0 = b, c0 = c et donc a0 = (1−b0 −c0 ) = (1−b−c) = a.
Démonstration.
A, B
→
−
de P .
Comme
et
C
ne sont pas alignés, les vecteurs
L'utilisation des barycentres s'avère ecace dans de nombreuses situations, elle permet par
exemple de démontrer immédiatemment le résultat classique suivant.
Théorème 1.5.3. Soient A, B et C trois points non alignés, alors les trois médianes du triangle
ABC sont concourantes. On nomme leur point d'intersection le centre de gravité du triangle
ABC .
Démonstration.
G le barycentre du système (A, 1/3), (B, 1/3), (C, 1/3). C'est en particulier
(A, 1/3) et (J, 2/3), pour J le barycentre de (B, 1/3), (C, 1/3), i.e. J le milieu
de [BC]. En particulier G est sur la médiane (AJ). C'est de même le barycentre de (B, 1/3)
et (K, 2/3), pour K le barycentre de (A, 1/3), (C, 1/3), i.e. K le milieu de [AC]. En particulier
G est sur la médiane (BK). Finalement, G est le barycentre de (C, 1/3) et (I, 2/3), pour I le
barycentre de (A, 1/3), (B, 1/3), i.e. I le milieu de [AB]. En particulier G est sur la médiane
(CI). Le point G est donc l'intersection des trois médianes de ABC .
Soit
le barycentre de
On termine par quelques mots sur la convexité.
Dénition 1.5.3. On dit qu'une partie C de P est convexe si et seulement si pour toute
P famille
nie A1 , . . . , An de points de C , et toute famille de réels positifs a1 , . . . , an , telle que ni=1 ai > 0
le barycentre de (A1 , a1 ), . . . , (An , an ) appartient à C .
Soit S = (A1 , . . . , Ar ) une famille de points de P , on dit que A ∈ P est un barycentre positif
S s'il existe a1 , . . . , ar des réels ≥ 0 tels que a1 + · · · + ar > 0, et que A est le barycentre de
(A1 , a1 ), . . . , (An , an ). Ainsi, dire que C est convexe, revient à dire que C contient les barycentres
positifs des familles nies de C .
de
12
Exercice 1.5.1. Montrer que C est convexe si et seulement si pour tout couple (A, B) de points
de C , le segment [AB] est inclus dans C .
Proposition 1.5.5. Une intersection de convexes de P est convexe.
Démonstration.
C'est évident.
On peut donc dénir l'enveloppe convexe d'une partie de
P.
Dénition-Proposition 1.5.1. Soit X une partie de P , on note C(X ) l'intersection de tous
les convexes qui contiennet X , c'est le plus petit convexe qui contient X .
Démonstration.
C0
C(X ) est une intersection de convexe, elle est donc convexe. Si
X , on a C(X ) ⊂ C 0 car C(X) est l'intersection de C 0 avec tous les
contiennent X .
Par dénition,
est un convexe qui contient
autres convexes qui
On a la caractérisation suivante de l'enveloppe convexe.
Proposition 1.5.6.
Démonstration.
C(X )
est l'ensemble des barycentres positifs des familles nies de X .
X ⊂ C(X ), et que C(X ) est convexe, il est clair qu'un barycentre positif
C(X ), donc C 0 ⊂ C(X ). De plus, si A1 , . . . , As est une fa0
mille de points de C , alors chaque Ai est le barycentre d'un système (Xi,1 , xi,1 ), . . . , (Xi,ri , xi,ri ),
Pri
avec Xi,j ∈ X , xi,j ≥ 0 et ti =
j=1 xi,j > 0. Soit A le barycentre de (A1 , a1 ), . . . , (As , as ), avec
Pr
ai ≥ 0, et i=1 ai > 0, le théorème 1.5.2 implique alors qua A est le barycentre du système
(Xi,j , ai xi,j )i=1,...,s,j=1,...,ri , donc A appartient à C 0 car pour tout i et j , on a ai xi,j ≥ 0, et qu'au
0
moins l'un d'entre eux est > 0. Ainsi, C est convexe, elle contient X , elle contient donc C(X ).
0
Au nal, on a bien C = C(X )
Comme
d'une famille nie de
X
est contenu dans
Exercice 1.5.2. Montrer que l'enveloppe convexe de deux points du plan P est le segment qui
lie ces deux points, et que l'enveloppe convexe de trois points du plan, est le triangle dont ces
points sont les sommets.
Exercice 1.5.3. (Théorème de Carathéodory). Montrer que si X ⊂ P , et que A ∈ C(X ), alors
il existe trois points de C(X ), tels que A est dans l'enveloppe de ces trois points. (Indication, par
récurrence, se ramener au cas ou A est dans l'envelppe convexe de 4 points de X , le passage de
4 à 3 est plus dicile).
1.6 Applications anes
Une application ane est une application de
P
dans lui même, qui préserve la structure
ane.
Dénition 1.6.1. Soit T une application de P dans lui-même. On dit que T est ane si il
−−−−−−−→ →
→
−
→
−
− −−→
existe T ∈ EndR ( P ) telle que pour tout X et Y de P , on ait T (X)T (Y ) = T (XY ). Dans ce
→
−
cas, T est unique, et appelée la linéarisée de T .
Si on muni
P
d'un repère ane
−
−
(O, →
u,→
v ),
termes de coordonnées dans ce repère.
13
une application ane s'écrit comme suit en
−
−
Proposition 1.6.1. Soit T une application de P muni du repère ane (O, →
u,→
v ) dans
luix
même. Elle est ane si et seulement si il existe A ∈ M(2, R), et B ∈ R2 , tels que T
=
y
x
A
+ B.
y
0
T
.
0
→
−
→
→
→
De plus A et B sont uniques, A = M at(−→
u ,−
v ) ( T ), et B = M at(−
u ,−
v ) (T (O)) =
−−−−−−−→ →
− −−→
T (O)T
(X)
=
T (OX) pour toutX dans P , soit en passant
→
−
x
0
x
→
→
aux coordonnées dans le repère, T
−T
= M at(−
. Ceci donne un sens.
u ,−
v )( T )
y
0
y
x
x
Inversement, une application de la forme T :
7→ A
+ B est ane, car de manière
y
y
−−−−−−−→
−−→
x
x
évidente, on obtient T (X)T (Y ) = A(XY ) (B − B disparaît), et
7→ A
ets bien linéaire.
y
y
x
x
x
2
0
Ensuite, si A
+ B = A0
+ B 0 pour tout
dans R , on en déduit que B = B en
y
y
y
0
prenant x = y = 0, puis que A = A en prenant respectivement (x = 1, y = 0) et (x = 0, y = 1).
→
−
→
→
Finalement, on a vu au début de la preuve, qu'on pouvait prendre A == M at(−
u ,−
v ) ( T ), c'est
0
nécessairement.
donc le seul choix possible, et B = T
0
Démonstration.
Si
T
est ane, on a
On a la caractérisation suivante des applications anes :
Proposition 1.6.2. Soit T une application de P dans P , elle est ane si et seulement si elle
conserve les barycentres. Ceci veut dire que si M est le barycentre de (A1 , a1 ), . . . , (As , as ), alors
T (M ) est le barycentre de (T (A1 ), a1 ), . . . , (T (As ), as ).
Démonstration.
Si
T
est ane, et que
M
est le barycentre de
s
X
(A1 , a1 ), . . . , (As , as ),
alors
−−−→ →
−
a i Ai M = 0 .
i=1
P
−−−→
→
− →
→
−
→
− −−−→
→
− P
−
→
−
T ets linéaire, on en déduit que si=1 ai T (Ai M ) = T ( si=1 ai Ai M ) = T ( 0 ) = 0 .
−−−−−−−−→
Ps
−−−−−−−−→
→
− −−−→
→
−
Comme T (Ai M ) = T (Ai )T (M ), on en déduit que
i=1 ai T (Ai )T (M ) = 0 , et T (M ) est le
barycentre de (T (A1 ), a1 ), . . . , (T (As ), as ).
Inversement, si T préserve les barycentres, soient (O, A, B) trois points non alignés, de telle sorte
−→
−−→
→
−
−−→
→
−
→
−
→
−
que u = OA, et v = OB forment une base de P . Soient X et Y dans P . On a OX = x1 u +
−
−
→
−
−
−
x2 →
v , et OY = y1 →
u +y2 →
v , i.e. X est le barycentre de (O, 1−x1 −x2 ), (A, x1 ), (B, x2 ), et Y est le
−−→
→
−
→
−
barycentre de (O, 1 − y1 − y2 ), (A, y1 ), (B, y2 ), en particulier, XY = (y1 − x1 ) u + (y2 − x2 ) v . On
en déduit que T (X) est le barycentre de (T (O), 1−x−1−x−2), (T (A), x1 ), (T (B), x2 ), et T (Y ) le
→
−0
→
−0
−−−−−−−→
barycentre de (T (O), 1 − y1 − y2 ), (T (A), y1 ), (T (B), y2 ). On a donc T (O)T (X) = x1 u + x2 v , et
→
−
→
−
→
−
−
−−−−−−−→
−−−−−−−→ →
−−−−−−−→
→
−
T (O)T (Y ) = y1 u0 +y2 v 0 , où u0 = T (O)T (A) et v 0 = T (O)T (B). Notons T l'unique application
→
−0
→
−0
−−−−−−−→ −−−−−−−→ −−−−−−−→
→
−
→
−
linéaire qui envoie u sur u , et v sur v . On a alors T (X)T (Y ) = T (O)T (Y ) − T (O)T (X) =
→
−
→
−
−−−−−−−→
→
− −
→
− −
→
−
−
(y1 − x1 ) u0 + (y2 − x2 ) v 0 , soit T (X)T (Y ) = (y1 − x1 ) T (→
u ) + (y2 − x2 )) T (→
v ) = T ((y1 − x1 )→
u+
→
−
−
−
→
→
−
(y2 − x2 ) v ) = T (XY ). Ainsi T est bien ane.
Comme
Une autre propriété fondamentale des applications anes, est qu'elles sont déterminées par
l'image de trois points non alignés.
14
Théorème 1.6.1. Soient X1 , X2 et X3 trois points non alignés de P , et Y1 , Y2 et Y3 trois
points quelconques de P . Alors il existe une unique application ane T de P dans P , telle que
T (Xi ) = Yi pour i entre 1 et 3.
Démonstration.
−−−→ −−−→
(X1 X2 , X1 X3 )
→
−
P,
car X1 , X2 et X3 ne
→
−
→
−
sont pas alignés. Il existe donc une unique application linéaire T de P dans lui même, telle que
−−→
→
− −−−→
−−→
→
− −−−→
→
− −−−→
T (X1 X2 ) = Y1 Y2 , et T (X1 X3 ) = Y1 Y3 . On pose alors T (X) = Y1 + T (X1 X) pour tout X dans
P . On a
−−−−−−−−→
−−−−−→ −−−−−→ →
− −−−→
→
− −−−→
→
− −−−→ −−−→
→
− −−→
T (X)T (X 0 ) = Y1 T (X 0 ) − Y1 T (X) = T (X1 X 0 ) − T (X1 X) = T (X1 X 0 − X1 X) = T (XX 0 ).
Le couple de vecteurs
est une base de
→
−
→
− −−−→
T est donc ane, de linéarisée T , et on a T (X1 ) = Y1 , T (X2 ) = Y1 + T (X1 X2 ) =
−−→
Y1 + Y1 Y2 = Y2 , et de même T (X3 ) = Y3 . Ainsi, T vérie les propriétés requises, il reste à
montrer que T est unique.
→
−0 −−−→
−−→
0
Si T est une autre application ane qui vérie ces propriétés, on a T (X1 X2 ) = Y1 Y2 , et
→
−0 −−−→
→
−
−−→
→
−
T (X1 X3 ) = Y1 Y3 nécessairement, ainsi T = T 0 . Puis, comme T (X1 ) = T 0 (X1 ) = Y1 , on en
→
−0 −−−→
→
− −−−→
0
0
déduit que T (X) = T (X1 ) + T (X1 X) = T (X1 ) + T (X1 X) = T (X) pour tout X dans P .
L'application
CQFD.
On termine en remarquant que la composée de deux applications anes est encore ane.
Proposition 1.6.3. Soient T et T 0 deux application sanes de P dans P , alors T 0 ◦T est ane,
−−−→ →
− →
−
et on a T 0 ◦ T = T 0 ◦ T .
Démonstration.
Il sut d'écrire
−−0−−−−−−−−
−−−−→ →
− −−−−−−−→
→
− →
− −−→
T (T (X))T 0 (T (Y )) = T 0 (T (X)T (Y )) = T 0 ( T (XY )).
15
16
Chapitre 2
Nombres complexes et transformations
du plan
2.1 Construction du corps des nombres complexes
2.1.1 Une construction de C
−
−
P , muni d'un repère orthonormé (O, →
e1 , →
e2 )
→
−
x
→
−
→
−
2
∈ R2 7→ O + x e1 + y e2 ∈ P . On identie aussi P à R2 par
xé, à R , par la bijection
y
→
−
x
−
−
∈ R2 7→ x→
e1 + y →
e2 ∈ P . Il faudra donc faire attention au fait qu'un vecla bijection
y
x
teur colonne
désignera parfois un point, parfois un vecteur. Par la deuxième identication,
y
0
1
→
− →
−
→
−
→
−
, le produit scalaire associé à la base ( e1 , e2 ) est donné par
, et e2 =
on a e1 =
1
0
0
p
x
x
x
→
−
→
−
0
0
, sa norme est donné par || v || =
, 0 >= xx + yy . Si v =
<
x2 + y 2 . Ainsi,
y
y
y
xA
xB
si A =
et B =
sont deux points de P , la distance qui les sépare est donnée par
yB
yA
p
−−→
||AB|| = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 .
Dans ce chapitre, on identie le plan vectoriel
Comme
R2
est un
R-espace
vectoriel, il est en particulier muni d'une addition coordonnée
par coordonnée. On va le munir d'une multiplication. On commence par introduire de nouvelles
→
−
→
−
le vecteur e1 , et par ß le vecteur e2 , ainsi, tout vecteur
1 a
→
−
v =
= a1 + bß avec a et b dans R, on désignera par 0 le
b
2
générique de R , qu'on veut pouvoir multiplier avec un autre.
notations : on désignera désormais par
de
R2
s'écrit de manière unique
vecteur nul, et par
z
un vecteur
Dénition 2.1.1. Soient z = a1 + bß et
vecteur (aa0 − bb0 )1 + (ab0 + ba0 )ß.
z 0 = a0 1 + b0 ß
Remarque 2.1.1. On vérie immédiatement que
vecteur z .
La multiplication introduite ci-dessus, confère à
deux vecteurs de R2 , on notera z.z 0 le
ß2 = −1,
R2
et que 1.z = z.1 = z pour tout
une structure de
corps.
Théorème 2.1.1. Soit C l'ensemble R2 , muni des lois + et ., alors C est un corps, autrement
dit :
17
1. (C, +) est un groupe abélien, i.e. + est associative ((z+z 0 )+z 00 = z+(z 0 +z 00 )), commutative
(z + z 0 = z 0 + z ), elle admet un élément neutre (0 qui vérie 0 + z = z pour tout z ), et
tout élémnt z de C admet un inversopposé pour + (le vecteur −z ).
2. (C, +, .) est un corps : la loi . est associative (z.(z 0 .z 00 ) = (z.z 0 ).z 00 ), commutative (z.z 0 =
z 0 .z ), distributive par rapport à + (z.(z 0 + z 00 ) = z.z 0 + z.z 00 ), elle admet 1 pour élément
neutre (1.z = z.1 = z ), de plus, tout élément non nul z de C admet un inverse z −1 pour ..
Démonstration.
Il s'agit de vérications simples, qu'on admet. Le dernier point, concernant
l'inverse d'un élément non nul pour la multiplication, est moins évident, on y reviendra sous
peu.
(R, +, .) est un corps. L'application t ∈ R 7→ t1 ∈ C est injective, et préserve
+ et ., on peut donc considérer R comme un sous-corps de C. On cosidérera ainsi R comme
un sous-ensemble de C, et on omettra souvent 1 dans la notation t1, lorsque t ∈ R. Si t ∈ R,
et z ∈ C, on peut considérer tz comme le vecteur z multiplié par le scalaire t, ou comme la
multiplication des deux nombres complexes t et z , ces deux opérations aboutissent au même
résultat. Comme tout élément de C s'écrit de manière unique a1 + bß avec a et b dans R, on
écrira plus simplement z = a + ßb, ou encore a + ib (i.e. i = ß).
On rappelle que
les lois
Dénition 2.1.2. Pour z = a + ib avec a et b dans R, on appelle a la partie réelle de z ,
notée Re(z), et b sa partie imaginaire. Le complexe z est réel si et seulement si Im(z) = 0. Si
Re(z) = 0, on dit que c'est un imaginaire pur.
On dénit maintenant ce qu'est le conjugué d'un nombre complexe.
Dénition 2.1.3. Soit z = a + ib dans C, on note z = a − ib, et on appelle z le conjugué de z .
On rappelle les propriétés de base de la conjugaison complexe.
Proposition 2.1.1. Si z et z 0 sont deux nombres complexes, on a z + z 0 = z + z 0 et z.z 0 = z.z 0 .
Le complexe z appartient à R si et seulement si z̄ = z , et à iR (i.e. est imaginaire pur) si et
seulement si z̄ = −z .
Démonstration.
On prouve les deux dernières propriétés. Soit z = a + ib, avec a et b
z = z ⇔ a + ib = a − ib ⇔ ib = −ib ⇔ 2ib = 0 ⇔ b = 0 ⇔ z ∈ R.
De même : z = −z ⇔ a + ib = −a + ib ⇔ a = −a ⇔ 2a = 0 ⇔ a = 0 ⇔ z ∈ iR.
dans
R,
on
a :
On a alors.
√
√
Proposition 2.1.2. Si z = a + ib ∈ C, on a zz = a2 + b2 . On note |z| = zz = a2 + b2 , et
on l'appelle le module de z . On a |zz 0 | = |z||z 0 | pour z et z 0 dans C. Le complexe z est nul si et
seulement si |z| est nul.
Démonstration.
|zz 0 |2 = zz 0 zz 0 = zz 0 zz 0 = zzz 0 z 0 =
|z| = 0 si et seulement si a2 + b2 = 0, i.e.
On ne démontre que les derniers points :
|z|2 |z 0 |2 , puis on passe
a = b = 0, soit z = 0.
aux racines carrées. On a
On peut maintenant donner une formule explicite pour
z −1
quand
z
est non nul.
Proposition 2.1.3. Lorsque z est non nul, z −1 = z/|z|2 .
Démonstration.
|z|2 /|z|2
=
z est non nul, on a |z|2 > 0. Alors z/|z|2
= z/|z|2 .
Comme
1, donc z −1
18
est biend déni, et
z(z/|z|2 ) =
On rappelle que
z = a + ib
peut être identié au vecteur
−
||→
v || = |z|. De même, si z 0 correspond au vecteur
−0
→
− →
0
produit scalaire < v , v > en fonction de z et z .
→
−
−
Proposition 2.1.4. Si →
v et v 0 correspondent aux complexes z
on a donc
Démonstration.
→
−
−
=< →
v , v0 > .
On a
a
, via cette identication,
b
0
→
−0
a
v =
, on peut exprimer le
b0
→
−
v =
→
−
−
et z 0 , on a < →
v , v 0 >= Re(zz 0 ).
Re(zz 0 ) = Re((a + ib)(a0 − ib0 )) = Re(aa0 + bb0 + i(−ab0 + ba0 )) = aa0 + bb0
2.1.2 Bilan et propriétés les plus importantes
On a construit un
corps
(C, +, .),
qui contient
(R, +, .)
comme sous-corps. Il vérie les
proriétés importantes suivantes :
1.
2.
3.
C contient un élément, noté i, qui vérie i2 = −1.
C est un R-espace vectoriel de dimension 2, et de base (1, i), i.e. tout élément z de C s'écrit
de manière unique z = a + ib. On note Re(z) = a la partie réelle de z , et Im(z) = b la
partie imaginaire de z .
Si z = a + ib est un complexe avec a et b dans R, on note z = a − ib le conjugué de z . La
conjugaison vérie les propriétés suivantes :
z + z 0 = z + z 0 et z.z 0 = z.z 0 pour z et z 0 dans C.
b) z = z si et seulement si z appartient à R (z est réel), et z = −z si et seulement si z
appartient à iR (z est imaginaire pur).
2
2
c) Pour z == a + ib avec a et b dans R, on a zz = a + b .
√
√
a2 + b2 = zz . On
Si z = a + ib est un complexe avec a et b dans R, on note |z| =
appelle |z| le module de z , il vérie les propriétés suivantes :
a)
4.
|zz 0 | = |z||z 0 | pour z et z 0 dans C.
b) |z| ≥ 0, et |z| = 0 si et seulement si z =0.
−1 =
Tout élément z non nul de C admet un inverse pour la multiplication, on a z
a)
5.
R-espaces vectoriels entre R2
a
∈ R2 .
φ : a + ib ∈ C 7→
b
On a un isomorphisme naturel de
=
z
.
|z|2
C, donné par l'application
z 0deC, et que φ est une bijection
a
2
2
entre C et R . On appelle alors z = a + ib l'axe du vecteur
de R .
b
2
Cet isomorphisme permet aussi d'identier C au plan ane P = R , muni du repère (O =
0 →
1 →
0
a
,−
e1 =
,−
e2 =
). Si P =
est un point de P , on appelle zP = a + ib l'axe du
0
0
1
b
point P .
Ceci veut dire que
φ(z + λz 0 ) = φ(z) + λφ(z 0 )
et
1
z
pour tout
z
et
2
Dans toute la suite
de cechapitre,
on
identie le plan ane P à R muni du
→
−
1 →
0
−
repère ane (O = 00 , →
e1 =
,−
e2 =
), et on identie P à l'espace vectoriel
0
1
R2 ,
muni du produit scalaire <
0
x
x
, 0 >= xx0 + yy 0
y
y
Via cette identication, on a les propriétés suivantes :
19
−
−
associé à la base (→
e1 , →
e2 ).
p
A et B sont dans P , alors |zA − zB | = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 est la distance de A
à B.
0
→
−0
→
−
→
−
x
x
→
−
Si v =
est un vecteur de P d'axe z = x + iy , et v =
est un vecteur de P
0
y
y
→
−0
→
−
0
0
0
0
0
d'axe z , alors < v , v >= xx + yy = Re(zz ) = Re(z z).
1. Si
2.
Exercice 2.1.1. Donner l'équation complexe d'un cercle de centre d'axe z0 , et de rayon r > 0.
Exercice 2.1.2. Donner l'équation
complexe de la droite passant par le point M d'axe z0 , et
xu
−
orthogonale au vecteur →
u =
.
y
u
2.1.3 Décomposition polaire des nombres complexes non nuls
−
−
(O, →
e1 , →
e
orthonormal sur le plan P , qui l'identie donc à l'espace
2) 0 →
1 →
0
−
−
repère (O =
, e1 =
, e2 =
), et du produit scalaire associé
0
0
1
On xe un repère ane
euclidien
à la base
R2 , muni
−
−
(→
e ,→
e ).
1
du
1
On ne dénit pas ici la notion d'angle orienté entre deux vecteurs, on admet son existence,
et on rappelle simplement qu'un angle
modulo
Si
θ
2π ,
i.e. deux réels
θ
et
θ0
θ̂,
correspond à la classe d'équivalence d'un nombre réel
θ − θ0 ∈ 2πZ
0
(ce qu'on notera θ ≡ θ[2π]). Si θ est un réel qui correspond à l'angle orienté θ̂ , on dira que θ est
un représentant de θ̂ . On rappelle qu'un angle à un unique représentant dans l'intervalle [0, 2π[.
On commencera par dénir ce qu'est l'argument Arg(z) d'un nombre complexe non nul z .
Dénition 2.1.4. Soit z dans C − {0}, en identiant z = a + ib au point M = ab du plan
−−→
−
R2 , on note Arg(z) l'angle orienté de →
e1 vers 0M , on l'appelle argument de z .
θ
dénissent le même angle
est un réel, on dénit le complexe
θ̂
si et seulement si
eiθ .
iθ
Dénition 2.1.5. Soit θ un réel,
p on note e le nombre complexe cos(θ) + i sin(θ), c'est un
2
nombre complexe de module 1 = cos (θ) + sin2 (θ). Il ne dépend que de l'angle θ̂ associé à θ,
0
c'est à dire que si θ0 ≡ θ[2π], alors eiθ = eiθ .
Remarque 2.1.2. Comme les conditions
cos(θ) = cos(θ0 ) et sin(θ) = sin(θ0 ) impliquent θ0 ≡
0
iθ
iθ
θ[2π], on en déduit que e = e si et seulement si θ0 ≡ θ[2π], i.e. si et seulement si θ et θ0
représentent le même angle.
Il est immédiat qu'on a.
Proposition 2.1.5. Soit θ un réel, alors eiθ est l'axe du point M du cercle unité centré en O,
−−→
−
tel que θ̂ soit l'angle orienté entre →
e1 et 0M . En particulier, Arg(eiθ ) = θ̂.
On a alors le théorème suivant, qu'on admet.
Théorème 02.1.2. Soit z dans C − {0}, on pose r = |z|, et θ̂ = Arg(z), alors z = reiθ . De plus,
si |z| = r0 eiθ , avec r0 > 0, et θ0 un réel, alors r = r0 , et θ0 ≡ θ[2π].
Remarque 2.1.3. : en√particulier, pour calculer√θ, en fonction des réels a et b tels que z = a+ib,
on résoud cos(θ) = a/ a2 + b2 , et sin(θ) = b/ a2 + b2 .
Une propriété fondamentale de l'exponentielle complexe, que l'on admet, est la suivante.
20
Proposition 2.1.6. Soient θ et θ0 deux angles, alors ei(θ+θ0 ) = eiθ eiθ0 .
Exercice 2.1.3. Donner la forme algébrique de (1 + i)105 .
Exercice 2.1.4. Résoudre dans C, l'équation
polaire.
z 2 + z + 1 = 0,
On termine cette section par un rappel sur les racines
mettre ses solutions sous forme
n-ièmes
d'un nombre complexe.
Proposition 2.1.7. Soit a un nombre complexe, et n ≥ 1, si a = 0, alors l'équation z n = 0 n'a
que 0 comme solution, si a = |a|eiθa est non nul, avec θa ∈ [0, 2π[, alors z n = a a exactement
n solutions distinctes, dont la liste est {|a|1/n ei(θa +2kπ)/n , k ∈ {0, . . . , n − 1}}, en particulier, les
solutions de z n = 1 (les racines n-ièmes de l'unité) sont les n-éléments distincts de l'ensemble
{e2ikπ/n , k ∈ {0, . . . , n − 1}}.
2.2 Transformations du plan
On commence par donner la dénition d'une transformation ane du plan
P.
Dénition 2.2.1. Une transformation ane T de P est une bijection ane de P dans lui même.
D'après le chapitre précédent, on peut lui associer
inversible A de taille 2 × 2, et un
une matrice
x
x
+ B.
7→ A
vecteur colonne B à deux lignes, telle que T :
y
y
On dit que
A est la partie linéaire de T . L'application réciproque d'une transformation ane,
est elle-même une transformation ane.
x
x
+ B est une transformation
7 A
Exercice 2.2.1. Montrer que si T : y →
y
x
x
+ D, avec C = A−1 , et D = −A−1 B .
7→ C
ci-dessus, alors T −1 :
y
y
On s'intéressera aux transformations anes de
P
ane comme
qui préservent le rapport entre les distances.
Ces dernières sont appelées similitudes, on verra qu'elles peuvent s'écrire simplement en termes
de nombres complexes, ce qui s'avèrera très pratique dans de nombreux problèmes géométriques.
Dénition 2.2.2. On appelle une similitude (ane) de P , une transformation ane S de P ,
−−−−−−−→
−−→
telle qu'il existe λ > 0, tel que pour tous A et B de P , on a ||S(A)S(B)|| = λ||AB||. On appelle
→
− −−→
−−→
λ le rapport de S . Ceci s'écrit aussi || S (AB)|| = λ||AB||.
Un classe particulière des similitudes est celle des isométries.
Dénition 2.2.3. On appelle isométrie (ane) de P , une similitude de rapport λ = 1, en
→
− −−→
d'autres termes, c'est une transformation ane de P qui préserve les distances. L'égalité || S (AB)|| =
→
−
nous dit que S est une isométrie si et seulement si S préserve la norme.
On rappelle l'identité de polarisation :
−
−
Proposition 2.2.1. Soient →
v et →
v 0 dans
→
−
P,
on a la relation
1 − →
−
−
−
−
<→
v ,→
v 0 >= (||→
v +−
v 0 ||2 − ||→
v ||2 − ||→
v 0 ||2 ).
2
Démonstration.
En eet, on a en développant :
−
−
−
−
−
−
||→
v +→
v 0 ||2 = ||→
v ||2 +2 < →
v ,→
v 0 > +||→
v 0 ||2 .
21
−−→
||AB||
On en déduit.
Proposition 2.2.2. Une transformation ane T de P est une isométrie si et seulement is
elle conserve le produit scalaire, i.e. si pour tout quadruplet (X, Y, X 0 , Y 0 ) de points P , on a
−−−−−−−→ −−−−−−−−→
−−→ −−−→
< T (X)T (Y ), T (X 0 )T (Y 0 ) >=< XY , X 0 Y 0 >. Ceci s'écrit encore
→
− −−→ →
− −−−→
−−→ −−−→
< T (XY ), T (X 0 Y 0 ) >=< XY , X 0 Y 0 >,
→
−
i.e. T est une isométrie si et seulement si T préserve le produit scalaire.
Démonstration.
Si
T
conserve le produit scalaire, on a alors
−−−−−−−→
−−−−−−−→
−−→ −−→
−−→
||T (X)T (Y )||2 =< T (X)T (Y ), vT (X)T (Y ) >=< XY , XY >= ||XY ||2 ,
ainsi
T
préserve bien la distance. Inversement, si
T
préserve la distance, on a d'après l'identité
de polarisation :
→
− −−→ →
− −−−→
− −−→
→
− −−−→
→
− −−→
→
− −−−→
1 →
< T (XY ), T (X 0 Y 0 ) >= (|| T (XY ) + T (X 0 Y 0 )||2 − || T (XY )||2 − || T (X 0 Y 0 )||2 )
2
−−−→
− −−→ −−−→
→
− −−→
→
− −−−→
−−→
1 −−→ −−−→
1 →
= (|| T (XY + X 0 Y 0 )||2 −|| T (XY )||2 −|| T (X 0 Y 0 )||2 ) = (||XY + X 0 Y 0 ||2 −||XY ||2 −||X 0 Y 0 ||2 )
2
2
−−→ −−−→
=< XY , X 0 Y 0 >,
et
T
préserve bien le produit scalaire.
On rappelle la formule suivante :
−
Proposition 2.2.3. Si A et A0 appartiennent a M(2, R), alors pour tout vecteurs →
v et
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
P , on a < A( v ), A0 ( v 0 ) >=<t A0 A( v ), v 0 >, où tA0 est la transposée de A0 .
→
−0
v
de
On utilisera aussi le lemme évident suivant :
Lemme 2.2.1. L'orthogonal de
→
−
→
−
dans P est { 0 }.
→
−
→
−
v est orthogonal à P , on a en
→
−
−
−
−
−
||→
v ||2 =< →
v ,→
v >= 0, d'où →
v = 0.
Démonstration.
et donc que
→
−
P
Si
particulier que
→
−
v
est orthogonal à lui-même,
On en déduit le corollaire suivant :
Corollaire 2.2.1. L'application ane T
si et seulement si tAA = I2 .
: X 7→ AX +B , de P
dans lui même, est une isométrie
→
−
→
−
−
−
< A(→
v ), A( v 0 ) >=< →
v , v0 >
→
−0
→
−
→
−
pour tous v et v de
en déduit que T = A préserve le produit scalaire, et donc que T
→
−
est une isométrie. Inversement, si T est une isométrie, alors T = A préserve le produit scalaire.
−0
→
−0
−0
→
−0
→
−
→
− →
→
−
→
− →
→
−
t
On en déduit que < AA( v ), v >=< A( v ), A( v ) >=< v , v > pour tous v et v de P .
−0
→
−0
→
−
→
−
→
− →
→
−
→
−
t
Ceci implique que < AA( v ) − v , v >= 0 pour tous v et v de P , i.e. que pour tout v ,
→
−
−
−
tAA(→
v)−→
v est orthogonal à P , donc vaut zéro. Ainsi, tAA est bien l'identité.
Démonstration.
Si
tAA
= I2 ,
→
−
P . On
d'après la proposition 2.2.3, on a
22
2.2.1 Premiers exemples
→
−
−
→
Dénition 2.2.4 (Translations). Soit →
v ∈ P , on note T−
v l'application
−
dans lui-même. On la nomme la translation de vecteur directeur →
v.
P,
C'est évidemment une transformation ane de
métrie, en eet, on a
−→
→
T−
v = Id ,
et donc
−→
→
T−
v
de réciproque
→
T−−
v.
−
X 7→ X + →
v
de P
C'est aussi une iso-
préserve la norme.
Dénition 2.2.5 (Rotations). Soit θ ∈ R, et X0 dans P , on note RX0 ,θ̄ l'application
−−−→
X 7→ X0 + R(θ)X0 X
de P dans lui-même, où R(θ) =
d'angle θ̄.
cos(θ) sin(θ)
−sin(θ) cos(θ)
. On la nomme la rotation de centre X0 et
C'est évidemment une transformation ane de
isométrie, d'après ce qui suit. On a
RX0 ,−θ̄
−−−→
RX0 ,θ̄ = R(θ),
P,
de réciproque
RX0 ,−θ̄ .
C'est aussi une
t
mais on vérie que R(θ)R(θ)
= I2 ,
et donc
est une isométrie.
Dénition 2.2.6 (Homotéties). Soit λ ∈ R − {0}, et X0 dans P , on note HX0 ,λ l'application
−−−→
X 7→ X0 + λX0 X
de P dans lui-même. On la nomme l'homotétie de centre X0 et de rapport λ.
C'est évidemment une transformation ane de
tude de rapport
P,
de réciproque
HX0 ,λ−1 .
C'est une simili-
|λ|.
2.2.2 Projections et symétries orthogonales
Soit
∆
est une droite de
P.
On dénit d'abord la projection orthogonale associée à cette
droite :
Théorème 2.2.1. Soit ∆ est une droite de P , pour tout X dans P , il existe un unique point
−−−−−−→
p∆ (X) de ∆, tel que la droite Xp∆ (X) soit orthogonal à ∆. C'est aussi l'unique point de ∆,
tel que distance de X à p∆ (X) soit le minimum des distances entre X et un point de ∆. Il est
−−−−−−→ −−−−−→
caractérisé par p∆ (X)X ⊥ p∆ (X)Y pour tout point Y de ∆.
Démonstration.
X appartient à ∆, le résultat est évident, et p∆ (X) = X . Sinon, on considère
la perpendiculaire à ∆, passant par X , elle coupe ∆ en un unique point A. D'après le théorème
de Pythagore, ce point vérie bien la propriété souhaitée que p∆ (X) minimise la distance de X
à un point de ∆. La caractérisation est évidente.
Si
Proposition 2.2.4. L'application X 7→ p∆ (X) est ane de P dans lui même, on la nomme la
projection orthogonale sur ∆. Si −
u→
∆ est un des deux vecteurs directeurs de ∆, de norme 1, on a
−−−−−−−−−→
−−→ −
→
−
→
p∆ (X)p∆ (Y ) =< XY , u∆ > u∆ pour tous X et Y dans P .
Son image est ∆, ce n'est donc pas une transformation (elle n'est pas bijective).
23
−
u→
∆ un vecteur directeur de ∆, qui est de norme 1. Soient X et Y dans P ,
−−−−−−−−−→
−
→
comme p∆ (X) et p∆ (Y ) sont des points de ∆, il existe λ ∈ R, tel que p∆ (X)p∆ (Y ) = λu∆ . On
−−→ −
→
−
→ −
→
va montrer que λ =< XY , u∆ >. Mais comme < u∆ , u∆ >= 1, on en déduit que
Démonstration.
Soit
−−−−−−−−−→ −
−
→
→
λ =< λ−
u→
∆ , u∆ >=< p∆ (X)p∆ (Y ), u∆ > .
−−−−−−−−−→
−−−−−−→ −−→ −−−−−→
−−−−−−→ →
p∆ (X)p∆ (Y ) comme la somme p∆ (X)X+XY +Y p∆ (Y ), et comme < p∆ (X)X, −
u∆ >=
−−−−−→ −
−−−−−−−−−→ −
−−→ −
→
→
→
0 et < Y p∆ (Y ), u∆ >= 0, on en déduit que < p∆ (X)p∆ (Y ), u∆ >=< XY , u∆ >, i.e. λ =<
−−→ −
XY , u→
∆ >.
On décompose
On constate ensuite, par linéarité à gauche du produit scalaire, que l'application
−
→
−
→
− −
→ −
→
p→
∆ : v 7→< v , u∆ > u∆
est linéaire, et comme
−−−−−−−−−→ −
−−→
p∆ (X)p∆ (Y ) = p→
∆ (XY )
pour tous
X
et
Y
dans
P,
on en déduit que
p∆
est ane.
On dénit ensuite la symétrie arthogonale associée à la droite
∆.
Dénition 2.2.7. Soit ∆ est une droite de P , pour tout X dans P , on note s∆ (X) le point
−−−−−−→
p∆ (X) + Xp∆ (X). On appelle l'application X 7→ s∆ (X) la symétrie orthogonale associée ∆.
On rappelle le lemme de géométrie euclidienne suivant.
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
Lemme 2.2.2. Si →
v ∈ P − {0}, alors {v}⊥ = { v 0 ∈ P , < →
v , v 0 >= 0} est une droite
→
−
→
−
−
vectorielle (i.e. un sous-espace vectoriel de P de dimension 1). De plus P = V ect(→
v ) ⊕ {v}⊥ .
Démonstration.
En eet, le vecteur
||v||2 =< v, v >= 0,
et donc
v
v
est orthogonal en particulier à lui même, donc
est nul.
Proposition 2.2.5. La symétrie s∆ est une isométrie ane du plan, de réciproque s∆ .
Démonstration.
On note
−
s→
∆
l'application linéaire
−
→
−
→
−
→
− −
→ −
→
s→
∆ : v 7→ v − 2 < v , u∆ > u∆
→
−
→
−
→
−
→
−
−
→
P dans lui-même (on remarque que −
s→
∆ ( v ) = v quand v est orthogonal à u∆ , et que
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
−
−
→
−
→
−
→
−
→
−
−
→
−
→
s→
∆ ( v ) = − v quand v est colinéaire à u∆ ). On vérie que s∆ (X)s∆ (X) = s∆ (XY ) pour tout
couple de points (X, Y ) de P , et s∆ est donc ane.
→
−
→
−
→
−
→
− →
−
→
−
−
→
→
−
−
→⊥
Ensuite, soit v dans P , on le décompose en v = v1 + v2 , avec v1 ∈ V ect(u∆ ), et v2 ∈ u∆ .
−
→
→
−
→
−
→
−
−
→
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
2
2
2
2
2
2
On a alors s∆ ( v ) = v1 − v2 , et donc ||s∆ ( v )|| = || v1 || + || − v2 || = || v1 || + || v2 || = || v ||
d'après Pythagore, donc s∆ est une isométrie.
−−−−−−→
Enn, pour X dans P , on obtient s∆ (s∆ (X)) = s∆ (p∆ (X) + Xp∆ (X)). Notons Y = s∆ (X) =
−−−−−−→
−−−−−→ −−−−−−→
p∆ (X) + Xp∆ (X), alors p∆ (X)Y = Xp∆ (X) est orthogonal à ∆, ceci implique nécessairement
−−−−−→
−−−−−−→
que p∆ (Y ) = p∆ (X). On en déduit s∆ (Y ) = p∆ (Y ) + Y p∆ (Y ) = p∆ (X) − Xp∆ (X) = p∆ (X) +
−−−−−−→
p∆ (X)X = X . On en déduit s∆ ◦ s∆ , et donc s∆ est sa propre réciproque.
de
24
2.2.3 Classication des isométries et similitudes du plan
On va décrire maintenant les isométries du plan, à partir des isométries introduites précédemment. On commence par une série de lemmes. Le premier d'entre eux, fondamental, rappelle
ce que peut être la composée de deux symétries orthogonales.
Lemme 2.2.3. Soit ∆1 et ∆2 deux droites de P .
Si ∆1 et ∆2 sont parallèles, soit X1 dans ∆1 , et
−−−→
→
−
v = X1 X2 ne dépend pas de X1 dans ∆1 , et on a
X2 = p∆2 (X1 )
dans ∆2 , alors le vecteur
→
s∆2 ◦ s∆1 = T2−
v.
Si ∆1 et ∆2 sont sécantes en X0 , soit θ l'angle orienté positivement de ∆1 à ∆2 , alors
s∆2 ◦ s∆1 = RX0 ,2θ .
Démonstration.
der l'image par
On l'admet. Pour le second cas (le premier est similaire), l'idée consiste à regar-
s∆2 ◦s∆1
de
X0 , de X1
dans
∆1
diérent de
X0 , et de X2
dans
∆2
diérent de
X0 .
On constate, par exemple en faisant un dessin, et en utilisant des triangles isocèles appropriés,
que
s∆2 ◦ s∆1 (Xi ) = RX0 ,2θ (Xi ) pour i entre 0 et 2. On
X0 , X1 et X2 ne sont pas alignés.
en déduit que les deux applications sont
les mêmes, puisque
Lemme 2.2.4. Si une isométrie ane non triviale de P admet (au moins) deux points xes X1
et X2 , c'est la symétrie orthogonale par rapport à la droite ∆ = (X1 X2 ).
Démonstration.
comme
I
On note
∆ = (X1 X2 ),
et
I
I xe ∆ :
(X1 , a1 ), (X2 , a2 )
l'isométrie en question. Tout d'abord,
est ane, elle préserve les barycentres, en particulier le barcyentre de
+ a2 =
6 0)est envoyé sur le barycentre de (I(X1 ), a1 ), (I(X2 ), a2 ), c'est à dire sur lui-même,
I(Xi ) = Xi pour i dans {1, 2}, elle xe donc les barycentres de X1 et X2 , i.e. la droite
∆. Comme I n'est pas l'identité, il existe X3 hors de ∆ non xé par I , on note Y3 = I(X3 ). On
−−−−−−−−−−−→ −−−−−−−−−−−→
−−−−−−−→ −−−−−−→
a alors < I(pD (X3 ))I(X3 ), I(pD (X3 ))I(Y ) >=< pD (X3 )X3 , pD (X3 )Y > pour tout point Y de
−−−−−−−−−−−→ −−−−−−−−−−−→
P car I est une isométrie. En particulier, < I(pD (X3 ))I(X3 ), I(pD (X3 ))I(Y ) >= 0 lorsque Y
appartient à ∆, mais comme dans ce cas, on a I(Y ) = Y , et I((pD (X3 )) = pD (X3 ) puisque I xe
−−−−−−−−−→ −−−−−−→
∆, on en déduit que < pD (X3 )I(X3 ), pD (X3 )Y >= 0 pour tout Y dans ∆. Par la caractérisation
des projections orthogonales (théorème 2.2.1), on en déduit que pD (I(X3 )) = pD (X3 ), et que
I(X3 ) est sur la droite orthogonale à ∆ passant par X3 . Comme il est à égale distance de
pD (X3 ) = I(pD (X3 )) que X3 , mais qu'il ne lui est pas égal, c'est le symétrique orthogonal de
X3 par rapport à ∆. Mais alors, I et s∆ coïncident en les trois points non alignés X1 , X2 , et
X3 , elles sont donc égales, car ce sont des applications anes.
(a1
puisque
Lemme 2.2.5. Une isométrie du plan qui admet un unique point xe est une rotation.
Démonstration.
X1 6= X0 dans P , alors
I(X1 ) est diérent de X1 , et à égale distance de X0 que X1 . Soit alors R = RX0 ,θ l'unique
−1 ◦ I xe au moins deux
rotation de centre X0 qui envoie X1 sur I(X1 ). L'isométrie J = R
points : X0 et X1 . Si ça n'était pas l'identité, ça serait s∆ , où ∆ = (X0 X1 ). Mais r peut toujours
0
0
s'écrire s∆ ◦ s∆ pour ∆ la droite passant par X0 , faisant un angle θ/2 avec ∆. On en déduirait
−1
−1
−1
que r
◦ I = s∆ ◦ s∆0 ◦ I = s∆ , soit I = s∆0 car s2∆ = Id, ce qui est absurde car on a supposé
que I n'avait qu'un seul point xe. Donc J est l'identité, et donc I = R.
Soit
I
une telle isométrie, et
X0
son point xe. Soit
Théorème 2.2.2. Une isométrie du plan est soit une translation, soit la composée d'une translation avec une rotation non triviale, soit la composée d'une translation avec une symétrie non
triviale. Ces trois classes sont distinctes.
25
Démonstration.
→
T−−
v ◦I
xe
X0 .
Soit
I
une isométrie du plan. Soit
X0
dans
P,
et
→
−
v
le vecteur
−−−−−−→
X0 I(X0 ),
alors
D'après les lemmes précédents, c'est donc soit l'identité, soit une rotation non
triviale, soit une symétrie. La première partie du théorème en découle. Il reste à voir que ces
→
−
→
→
I = T−
v , on a I = Id, si I = T−
v ◦ RX0 ,θ avec θ non congru
→
−
→
−
−
→
→
à 0[2π], on a I = R(θ), et si I = T−
v ◦ s∆ , on a I = s∆ . Il est clair que R(θ) 6= Id car θ est
−
→ −
→
non congru à 0[2π], donc les deux premières classes sont distinctes. De plus, si B = (u1 , u2 ), où
−
→ est un vecteur directeur de ∆, et −
→ est une base de −
→⊥ , alors
u
u
u
1
2
1
1
M atB (−
s→
)
=
,
∆
−1
trois classes sont distinctes. Mais Si
son déterminant vaut donc
−1,
ceci implique que la troisième classe est diérente des deux
premières, dans les quelles les linéarisées ont pour déterminant
1.
Le résultat suivant permet de classier les similitudes du plan.
Proposition 2.2.6. Soit X0 dans P . Si S est une similitude de rapport λ > 0, alors S s'écrit
comme la composée HX0 ,λ ◦ I pour I une isométrie de P .
Démonstration.
Le rapport de
−1
HX
◦S
0 ,λ
est
λ−1 λ = 1,
c'est donc une isométrie
I.
→
−
Dénition 2.2.8. Soit S une similitude, on dit qu'elle es directe si det( S ) > 0, et indirecte si
→
−
det( S ) < 0.
Exercice 2.2.2. Montrer qu'une isométrie est directe si et seulement si c'est la composée d'une
translation et d'une rotation (éventuellement triviale), et indirecte si et seulement si c'est la
composée d'une translation et d'une symétrie orthogonale.
2.3 Ecriture matricielle et complexe des similitude
On commence par faire la remarque suivante.
Proposition 2.3.1. Soit s une symétrie orthogonale. Alors l'application Ls : S 7→ S ◦ s établit
une bijection entre l'ensemble des similitudes directes et indirectes.
Sa restriction à l'ensemble des isométries directes établit aussi une bijection entre l'ensemble des
isométries directes et indirectes.
Démonstration.
Ainsi,
Ls
S est une similitude directe, alors S ◦s est une
−−→
→
− −
→
−
→
−
−
−
det(S ◦ s) = det( S ◦ →
s ) = det( S )det(→
s ) = −det( S ) car det(→
s ) = −1.
Tout d'abord, on remarque que si
similitude indirecte car
va bien de l'ensemble des similitudes directes dans celui des similitudes indirecetes. On
vérie que l'application
L0s : S 7→ S ◦ s
envoie l'ensemble des similitudes indirectes dans celui
des similitudes directes de la même manière, et que c'est la réciproque de
démontre de manière similaire l'énoncé sur la retriction de
Ls
Ls
car
s ◦ s = Id.
On
aux isométries directes.
2.3.1 Ecriture matricielle
On donne maintenant la forme des matrices des linéarisées des isométries directes.
Proposition 2.3.2. Soit I :
angle θ, tel que A = R(θ).
x
x
7→ A
+B
y
y
26
une isométrie directe, alors il existe un unique
Démonstration.
Soit
tuellement congru à
→
−
det( I ) = 1,
I une
0[2π],
ismétrie, elle est soit de la forme
Tv ◦ RX0 ,θ ,
pour
θ
un angle éven-
→
−
Tv ◦ s∆ . Dans le premier cas, on a I = R(θ), et
→
−
→
−
I =−
s→
∆ , et det( I ) = −1. Ainsi, si I est directe, on
soit de la forme
alors que dans le second, on a
est dans le premier cas, et le résultat en découle.
On en déduit le corollaire suivant.
x
Corollaire 2.3.1. Soit I : y 7→ A xy + B une isométrie
1
cos(θ) sin(θ)
angle θ, tel que A = R(θ)
=
.
−1
sin(θ) −cos(θ)
Démonstration.
1
−1
Soit
s la symétrie orthogonale de P
. D'après la proposition 2.3.1, si
I
0
I 0 ◦ s
, pour I une isométrie directe unique.
1
R(θ)
pour un unique angle θ .
−1
indirecte, alors il existe un unique
associée à l'axe des abscisses, on a
→
− →
− −
M at( i , j )(→
s)=
est une isométrie indirecte, elle es de la forme
En passant aux linéarisées, on obtient que
→
−
I =
On en déduit le résultat suivant pour les similitudes.
x
x
+B
7 A
→
S:
y
y
une similitude directede P de rapport λ > 0,
Proposition 2.3.3. Soit
alors A =
. λR(θ)
x
x
+ B une similitude indirectede P de rapport λ > 0, alors
7→ A
Soit S :
y
y
A = λR(θ)
Démonstration.
Si
S
1
−1
cos(θ) sin(θ)
.
sin(θ) −cos(θ)
=λ
est une similitude de rapport
→
−
λ, alors λ−1 S est la linéarisée d'une isométrie
d'après la proposition 2.2.6. Le résultat découle alors de la proposition 2.3.2 et de son corollaire.
On appelle
θ
l'angle de la similitude.
Il est possible, en utilisant le lemme suivant, de
donner une autre écriture des matrices de similitudes.
Lemme 2.3.1. Soit (α, β) un vecteur non nul de
angle θ, tels que α = λcos(θ) et β = λsin(θ).
Démonstration.
R2 ,
il existe un unique λ > 0, et un unique
On écrit la décomposition polaire du nombre complexe
non nul a + ib.
On en déduit immédiatement la proposition suivante.
x
x
7→ A
une similitude
y
y
α −β
(α, ) tel que A =
.
β α
Proposition 2.3.4. Soit
unique vecteur non nul
S
de P . Si S est directe, il existe un
Si S est indirecte, il existe un unique vecteur non nul (α, ) tel que A =
27
α β
.
β −α
2.3.2 Ecriture complexe
Les similitudes de
P
complexes. On identie
ont pour propriété le fait d'être agréablement décrites via les nombres
P
à
C
comme expliqué en début de chapitre.
Théorème 2.3.1. Soit S + une similitude directe de C, alors il existe un unique couple (a, b) de
C∗ × C tel que S + (z) = az + b pour tout z dans C.
Soit S − une similitude directe de C, alors il existe un unique couple (a, b) de C∗ × C tel que
S − (z) = az + b pour tout z dans C.
+
2
Démonstration. On
paragraphe précédent que S , vue comme application de R
avu au lui même, s'écrit
α −β
A=
.
β α
x
y
x
7 A
→
+ B,
y
et
yB
(α, β)
non nul tel que
B . On pose a = α + iβ , et b = xB + iyB . Un
x
calcul simple montre que l'axe de A
+ B est a(x + iy) + b. Ainsi, S + (z) = az + b.
y
x
1
x
x
Soit s l'application
7→
, l'axe de s
est x − iy , i.e. s(z) = z . Comme on
y
−1
y
y
− x = A x + B , alors il existait un unique vecteur (α, β) non nul
a vu que si on écrivait S
y
y
α −β
tel que A =
s, on en déduit que si on pose à nouveau a = α + iβ , et b = xB + iyB , on
β α
−
a bien S (z) = az + b.
Soit
xB
et qu'il existe un unique vecteur
dans
les coordonnées de
Dans tous les cas, le rapport de la similitude vaut
|a|,
et son angle vaut
Arg(a).
Pour les
similitudes directes, on va de plus dénir le centre de la similitude directe.
Proposition 2.3.5. Une similitude directe qui n'est pas une translation, possède un unique point
xe. On appelle ce point xe le centre de la similitude. Si S(z) = az + b pour tout z dans C, le
centre de S est ω = b/(1 − a).
Démonstration.
Soit
S
S : z 7→ az + b. Dire que S n'est pas
l'équation az + b = z a pour unique solution
une similitude directe, on l'écrit
une translation équivaut à dire
a 6= 1.
Dans ce cas,
z = b/(1 − a).
On peut alors écrire de
Proposition 2.3.6. Soit
S(z) = ω +
λeiθ (z
Démonstration.
S
S
en fonction de son rapport, son angle et son centre.
une similitude de rapport λ > 0, d'angle θ, et de centre ω, alors
− ω)
S(z) = az +b, de telle sorte que ω = b/(1−a). On a alors a(z −ω)+ω =
az +ω(1−a) = az +b. Donc on a S(z) = ω+a(z −ω), ce qui donne le résultat puisque θ = Arg(a)
et λ = |a|.
On écrit
28