théorie des modèles

Introduction `a la Logique Math´ematique
Seconde partie : Th´eorie des mod`eles
Thomas Blossier & Julien Melleray

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Table des mati`eres
5 Structures et th´eories 1
5.1 Structures, langage associ´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
5.2 Sous-structures, plongements, isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . 2
5.3 Langagedu1erordre............................ 6
5.4 Satisfaction des formules du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.5 Ensembles d´efinissables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.6 Th´eories et leurs mod`eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.7 Extensions ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 Compacit´e, Th´eor`eme de L¨owenheim-Skolem 17
6.1 Enonc´es du th´eor`eme de compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.2 Ultraproduits - Une d´emonstration du th´eor`eme de compacit´e . . . . . 19
6.3 Th´eor`eme de l’extension ´el´ementaire commune . . . . . . . . . . . . . . 21
6.4 Th´eor`eme de L¨owenheim-Skolem - Th´eories κ-cat´egoriques . . . . . . . 21
7 Types et ´elimination des quanteurs 25
7.1 Types .................................... 25
7.2 Elimination des quanteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.3 Les corps alg´ebriquement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8 Espaces de types, Saturation, Th´eor`eme d’omission 31
8.1 Espacesdetypes .............................. 31
8.2 Types sur des param`etres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8.3 Saturation.................................. 34
8.4 Th´eor`eme d’omission des types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8.5 Th´eories ℵ0-cat´egoriques .......................... 37
9 Limtes de Fra¨ıss´e 39
iii

iv TABLE DES MATI ` ERES

Chapitre 5
Structures et th´eories
Les th´eoriciens des mod`eles s’int´eressent aux structures et `a leurs ensembles d´efinissables.
Ils ´etudient plus pr´ecis´ement des classes de structures suivant des propri´et´es partag´ees
par celles-ci, qui peuvent ˆetre par exemple combinatoires ou g´eom´etriques. Dans ce cha-
pitre on pr´esente des notions de base de la th´eorie des mod`eles. Les aspects syntaxiques
des langages consid´er´es sont introduits sans ˆetre compl`etement d´etaill´es, l’essentiel pour
les th´eoriciens des mod`eles ´etant le point de vue s´emantique.
5.1 Structures, langage associ´e
Les structures, structures de groupes, de corps ..., sont des objets usuels pour les
math´ematiciens contemporains. Dans la premi`ere partie du cours, la structure sous-
jacente ´etait r´eduite `a un univers muni d’une unique relation binaire, ∈(et de l’´egalit´e
=). Pour ce cours, nous d´efinissons la notion de structures de la fa¸con suivante :
D´efinition 5.1.
1. Une structure Mest la donn´ee d’un ensemble de base ou univers Mnon vide
muni :
– d’une famille (cM
i)i∈Ide constantes, o`u cM i∈M,
– d’une famille (fM
j)j∈Jde fonctions, o`u pour tout j∈J,fM jest une fonction
totale de Mnjdans Mpour un entier nj>0,
– d’une famille (RM
k)k∈Kde relations, o`u pour tout k∈K,RM kest un sous-
ensemble de Mnkpour un entier nk>0.
On supposera de plus qu’une structure est toujours munie de l’´egalit´e, c’est-`a-dire
que la diagonale de M2est l’une des relations RM
k. L’ensemble de base Msera
appel´e domaine de Met sera souvent not´e de la mˆeme fa¸con que M.
2. Le langage Lassoci´e `a une structure Mconsiste en :
– un symbole de constante cipour chaque constante cM
i,
– un symbole de fonction fjd’arit´e njpour chaque fonction fM
j,
– un symbole de relation Rkd’arit´e nkpour chaque relation RM
k.
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