IV- Propagation d`une onde électromagnétique dans un conducteur

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Université du Maine - Faculté des Sciences
Electromagnétisme
IV- Propagation d’une onde électromagnétique dans un
conducteur
Introduction du phénomène d’absorption et de dispersion des ondes électromagnétiques à travers l’existence de l’effet de peau
et un vecteur d’onde complexe. On considérera un conducteur l.h.i non ferromagnétique.
Equations de Maxwell dans un conducteur
Dans un milieu conducteur, les équations de Maxwell s’écrivent :
!
!
o
M-Flux : divB ! 0
M-G : divD ! "libre
o
M-F : rotE ! $
!
#B
#t
M-A : rotH ! jlibre %
!
!
!
!
#D
#t
Or la densité de charges vraies est nulle dans un conducteur (neutralité locale) (* On raisonne sur des champs lissés dans un
espace mésoscopique).
La densité de courant de conduction est lié au champ électrique appliqué par la loi d’Ohm locale :
!
!
jlibre ! &E
On peut la comparer à la densité de courant de déplacement
Le rapport des densités de courant est
!
!
#D
! j'(E
#t
&
.
'(
!
#D
A titre d’exemple si on veut que
100 ) jlibre .
#T
On peut négliger le courant de déplacement devant le courant de conduction dans le cas où :
&
&
+ 100 * ' ) 100
'(
(
pour & ~ 10 4 S.I, ( ~
1
36 ,.10 9
S.I * ' ) 1017 rad.s $1
(Domaine radioélectrique-micro-ondes.)
Résolution de l’équation en Champ électrique
!
!
!
# 2E
#E
.E $ (- 0
! -0&
#t
#t 2
On cherche des solutions de la forme :
!!
! !
E ! E 0 e j( 't $ k.r )
L’équation en champ s’écrit :
!
j& !
)E ! 0
.E % (- 0 '2 (1 $
('
On pose ( ! ( 0 (r
avec
( r ! (r $
j&
(0 '
(la conductivité est réelle (valable en dessous de 1014Hz)).
!
!
Avec / ! $ jk , on en déduit la relation de dispersion :
k 2 ! ( 0 - 0 ( r '2 !
'2
c2
(r
La norme du vecteur d’onde comporte donc une partie réelle et une partie imaginaire :
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k ! k '$ jk ' ' !
Electromagnétisme
'
(
c r
En supposant une propagation dans le direction Oz, le champ électrique s’écrit :
! !
! $ z j( t k ' z )
$ k ' ' z j( 't $ k ' z )
E ! E0e
e
! E0e 0 e ' $
C’est une onde qui s’amortit en pénétrant dans le métal. Son existence est lié à celle d’une conductivité et donc de charges
libres mises en mouvement par le champ de l’onde. Ce mouvement s’accompagne d’une dissipation de l’énergie
électromagnétique sous forme de chaleur (effet joule local).
Atténuation du champ électrique de l’onde dans un conducteur
Structure de l’onde dans un conducteur
Les équations de Maxwell s’expriment sous la forme :
conducteur
Z
o
!!
M-Flux : k.B ! 0
o
M-F : $ jk 1 E ! $ j'B
!
!
!!
M-G : k.E ! 0
!
!
!
!
M-A : $ jk 1 B ! - 0 &E %
j' !
E
c2
Nous effectuons des produit scalaires entre un vecteur comportant des composantes complexes . Si on effectue le produit
scalaire de l’équation M-Flux :
0
7 0 4
7 E0 x(cos% j sin) 4 7
4 704
5
2 $k ' ' z 5
2 5
2 5 2
%
0
.
e
E
0
y
(cos
j
sin)
!
0
5
2
5
2 5
2 ! 502
5 k '% jk ' ' 2
5 E0 z(cos% j sin) 2 5 (k '$ jk ' ' ).E0 z(cos% j sin)e $k '' z 2 5 0 2
6
3
6
3 6
3 6 3
Relation vérifiée pour tout instant et à tout endroit donc la composante E0z doit être nulle. Ceci montre la transversalité
électrique de l’onde dans le conducteur . De même il ya transversalité magnétique. Par contre le champ électrique et
magnétique ne sont pas orthogonaux entre eux sauf dans le cas d’une polarisation rectiligne.
Epaisseur de peau
D’après ( ! ( 0 (r
avec
( r ! (r $
j&
'2
et la relation de dispersion k 2 ! ( 0- 0 (r '2 ! 2 (r , on en déduit les composantes du
(0 '
c
vecteur d’onde :
; 2
'2
2
8k ' $k ' ' ! 2 (r
8
c
:
82k ' k ' ' ! '&
8
(0c 2
9
D’autre part, sachant que k 2 ! k
2
on en déduit k '2 %k ' '2 !
On en déduit les composantes du vecteur d’onde :
'2 ( r
c
2
1%
&2
( 2 '2
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Electromagnétisme
;
&2
8
1
1
'
(
%
%
r
8
( 2 '2
8k ' !
c 2
88
:
8
&2
8
' (r $ 1 % 1 % 2 2
8
( '
8k ' ' !
89
c 2
L’épaisseur de peau 0 !
1
représente la distance sur laquelle l’amplitude de l’onde s’atténue de e1 . La densité de courant
k' '
électrique est aussi atténuée de la même façon.
Vitesse de Phase dans le conducteur
L’existence d’un vecteur d’onde complexe traduit l’existence du phénomène d’absorption. Il existe aussi un phénomène de
dispersion car la vitesse de phase de l’onde dépend de la pulsation. Cette vitesse est définie par v < !
'
= f (') .
k'
Cas de bons conducteurs
D’après la relation de dispersion k 2 ! ( 0- 0 (r '2 !
'2
c2
(r !
'2
c2
n2 = et en dessous de 10 Hz (conductivité réelle et constante), le
13
terme réel est négligeable et la relation de dispersion se limite à k 2 ! $ j- 0 &' c’est l’approximation des régimes quasipermanents. L’équation de propagation se réduit à :
!
!
#E
.E $ - 0 &
!0
#t
C’est une équation dite de diffusion (diffusion de particules ou de chaleur). Le vecteur d’onde est donc de l’ordre de :
- 0 &'
(1 $ i)
2
k!
! !
! k 1E
Le champ magnétique a pour expression : B !
.
'
!
Prenant la direction de propagation selon Oz, on en déduit B !
La vitesse de phase est v < !
'
!
k'
, 4
7
5 $ E0 y cos('t $ k ' z % < y $ ) 2
4 2
5
-0& $k ' z 5
, 2
e
5 E0 x cos('t $ k ' z % < x $ 4 ) 2
'
5
2
0
55
22
6
3
2'
- 0&
Dans le cas des fréquences usuelles (validité de la loi d’ohm, bon conducteur),
&
++ 1 *
('
0=
2
.
- 0 &'
L’épaisseur de peau dépend de la pulsation, plus la fréquence est grande plus l’onde est absorbée.
Ordre de grandeur de l’épaisseur de peau (pour un bon conducteur):
Fréq. (Hz)
Radio(<1011)
IR (1012-1014)
Visible(1015)
UV(1015-1016)
Epaisseur(m)
10-4-10-7
10-8-10-9
10-9
10-9-10-10
Remarque : Si les fréquences deviennent plus hautes que 1013Hz, alors la conductivité devient complexe et il faut reprendre le
calcul des composantes du vecteur d’onde. Les valeurs ci-dessus sont à reconsidérer à hautes fréquences en particulier en UV
(~10-8-10-4), RX(10-2-100).
Pour le transport d’un signal à hautes fréquences, il suffit d’utiliser un isolant revêtu d’un métal. Car seul une pellicule
métallique de quelques Epaisseur de peu suffit. Inutile d’utiliser un câble métallique plein.