Réflexion d`une O.P.P.M. sur un plan parfaitement conducteur

Réflexion d’une O.P.P.M. sur un plan parfaitement conducteur
1. Une O.P.P.M.R. de pulsation se propageant dans le vide tombe sur un plan parfaitement
conducteur, son vecteur champ électrique étant perpendiculaire au plan d’incidence. Sous
son influence une répartition superficielle de charges et de courants prend naissance sur le
conducteur. Exprimer le champ électrique créé par cette répartition à l’intérieur du
conducteur. En utilisant un argument de symétrie, en déduire l’existence d’une onde
réfléchie et préciser ses caractéristiques. Exprimer en particulier le champ électrique de
l’onde réfléchie au voisinage du conducteur en fonction de celui de l’onde incidente.
2. Mêmes questions pour une O.P.P.M.R. incidente de champ magnétique perpendiculaire au
plan d’incidence. Exprimer le champ magnétique de l’onde réfléchie en fonction de celui de
l’onde incidente au voisinage du conducteur.
3. L’onde incidente tombe sur le conducteur sous incidence normale et est polarisée circulaire
gauche. Que peut-on dire de l’onde réfléchie ?
1. Remarquons d’abord que la relation des
O.P.P.M.
B=
k
ω
∧E
Montre que le vecteur k est un vecteur
polaire.
Le champ électromagnétique en un point M
quelconque intérieur au conducteur est nul ;
d’autre part il y a dans le conducteur ni
répartition volumique de charge ni
répartition volumique de courant. Le champ
en M n’est dû qu’à l’onde incidente ( E , B )
et au champ créé par la répartition
superficielle de charges et de courants (
E1, B1 ). Donc,
(1)
( 2)
E (M ) + E1 (M ) = 0.
B (M ) + B1 (M ) = 0.
Si E et B sont de la forme suivante (en notation complexe) :
E = E exp j ωt − k ⋅ r ,
0


B = B0 exp j ωt − k ⋅ r ,

(
(
On a en tout point du conducteur :
)
)
M
M’
Fig. 1.
E = −E exp j ωt − k ⋅ r ,
0
 1

B1 = −B0 exp j ω t − k ⋅ r ,

(
(
)
)
Le champ électromagnétique créé par la répartition dans le conducteur est donc celui d’une
onde plane de vecteur d’onde k .
Maintenant le plan P de la répartition superficielle de charges et de courants est un plan de
symétrie pour cette répartition elle-même : le champ électromagnétique qu’elle crée dans le
vide se déduit de celui qu’elle crée dans le conducteur par symétrie par rapport à P. Dans
cette symétrie, k se transforme comme un vecteur polaire ainsi que E1 ; B1 se transforme
comme un vecteur axial.
Il existe donc dans le vide une O.P.P.M.R. de vecteur d’onde k ' symétrique de k par rapport
à P. Ceci démontre l’existence de l’onde réfléchie et établit la loi de Descartes. Appelons
E ' et B ' les champs électrique et magnétique de l’onde réfléchie. Considérons plus
particulièrement deux points M (dans le conducteur) et M’ (dans le vide) très voisins l’un de
l’autre (Fig. 2)
On a d’après (1) :
E1 ( M ) = − E ( M )
E est parallèle à P ; c’est un vecteur polaire. On en déduit
M’
E ' ( M' ) = E1 ( M )
M
De plus M et M’ sont extrêmement voisins, donc :
E ( M ) =E ( M' )
Fig.2.
Il vient :
E ' ( M' ) = − E ( M' )
Le champ électrique subit un déphasage de π à la réflexion.
2. L’existence de l’onde réfléchie et la loi Descartes s’établissent comme à la question
précédente. Cette fois au voisinage de P (Fig. 2), on a d’abord d’après (2) de la question 1
B1 ( M ) = − B ( M )
B est un vecteur axial et est parallèle à P. On en déduit d’après les rappels :
B ' ( M ) = − B1 ( M )
M et M’ étant très voisins l’un de l’autre, on a de plus :
B ( M ) = B ( M' ) .
Il vient :
B ' ( M' ) =B ( M' )
Le champ magnétique ne subit pas de déphasage à la réflexion.
3. k ' déduit de k par symétrie par
rapport à P, est normal à ce plan. En un
point M quelconque du conducteur,
E ( M ) tourne dans le sens positif
autour
de
k
ainsi
que
E1 ( M ) = − E ( M ) . En M’ symétrique
de M par rapport à P,
E '( M ' )
symétrique de E1 ( M ) par rapport à P,
tourne dans le sens positif autour de k .
Il tourne donc dans le sens négatif
autour de k ' :
l’onde réfléchie est polarisée circulaire droite.
(M)
.
M’
M
(M)
(M’)
Fig. 3.