13 Compléments : exercices

13 Compléments : exercices
13.1 Exercices avec correction
Exercise 1 Soit ("t)un bruit blanc. Les processus suivants sont-ils stationnaires ? (éventuellement avec
certainesrestrictionssurlesparamètres)
(i)Xt=a+b"t+c"t¡1où a;b;c 2R
(ii)Xt="tcos (ct)+"t¡1sin (ct)où c2R
(iii)Xttel que Xt¡Xt¡1="t
(i)Le processus Xtvéri…e E(Xt)=a=constante. Sa variance est donnée par V(Xt)=£b2+c2¤¾2où ¾2
est la variance du bruit, puisque le bruit est non-autocorrélé : cov("t;"t¡1)=0.
De plus, cov (Xt;Xt¡1)=bc¾2qui ne dépend pas de tet cov(Xt;Xt¡h)=0pour tout h>1.Aussi,le
processus Xtest stationnaire.
(ii)Le processus Xtvéri…e E(Xt)=0(= constante). De plus, sa variance est donnée par V(Xt)=
£cos2(ct)+sin
2(ct)¤¾2=¾2où ¾2est la variance du bruit, puisque le bruit est non-autocorrélé : cov ("t;"t¡1)=
0..
En…n, cov(Xt;Xt¡1)=¾2[sin ctcos c(t¡1)] qui dépend de tpourc=2¼Z.Aussi, le processus Xtn’est pas stationnaire
(iii)Le processus Xtpeut se réécrire
Xt=
t
X
k=1 "k+X0
qui correspond à une marche aléatoire. Aussi, le processus Xtn’est pas stationnaire. On peut montrer que le
processus explose en pt.
Exercise 2 Soit ("t)un bruit blanc et (Xt)un processus véri…ant
Xt¡7
2Xt¡1+3 2Xt¡2="tpour tout t2Z(57)
Montrer qu’il existe un processus stationnaire, solution de (57) sous la forme
e
Xt=X
k2Zak"t¡k
En déduire que "tn’est pas l’innovation du processus e Xt:
Le polynôme caractéristique de la forme AR est ©(Z)=1¡7Z=2+3Z2=2, qui peut s’écrire
©(Z)=1¡7
2Z+3 2Z2=(1¡3Z)
µ
1¡1
2Z¶
Les racines sont alors 1=3et 2:La racine 1=3n’est pas à l’extérieur du disque unité : la représentation n’est pas canonique.
Toutefois, il est possible d’inverser le poylnôme retard ©. Soit e
Xtest dé…ni par
e
Xt=©
¡1(L)"t=1
(1 ¡3L)¡1¡1
2L¢"t=
·6=5
1¡3L¡1=5 1¡L=2
¸"t
=¡2
5
1
X
k=1
µ1
3
¶k¡1"t+k
|{z }
dépend du futur
de "t
¡1
5
1
X
k=0
µ1
2
¶k"t¡k
|{z }
dépend du passé
de "t
soit +1
X
¡1 ®i"t¡i
Le processus "test alors corrélé avec e
Xt¡1;e
Xt¡2;::: (puisque f
Xts’exprime en fonction du passé et du futur de
"t) : le processus "tn’est pas l’innovation.
247

En revanche, en considérant un bruit blanc de la forme ´tsBB¡1;¾2=9¢(le coe¢cient 1=9venant de
(1=3)2,1=3étant la racine appartenant au disque unité), on peut mettre e
Xtsous forme AR,
µ
1¡1
2L¶µ
1¡1
3L¶e
Xt=´tsoit e
Xt¡5
6e
Xt¡1+1
6e
Xt¡2=´toù ´tsBB¡1;¾2=9¢
Cette écriture correspondra à l’écriture canonique du processus e
Xt.
Exercise 3 OnconsidèreleprocessusaléatoireAR(2) suivant
Xt=40+0:4Xt¡1¡0:2Xt¡2+"toù "tsBB¡0;¾2=12:8¢
(i)véri…er que le processus est stationnaire
(ii)calculer l’espérance de Xt
(iii)donner les équations de Yule-Walker du processus, calculer la variance, ainsi que les 5 premières valeurs
des autocorrélations
(iv)calculer les 3 premières autocorrélations partielles
(i)Le processus peut s’écrire ¡1¡0:4L+0:2L2¢Xt=40+"t. Le processus est stationnaire si les racines
du polynôme sont à l’extérieur du disque unité :
1¡0:4Z+0:2Z2=0ssi Z=0:4§ip0:64
0:4c’est à dire Z=
½Z=1+2i
Z=1¡2i
dont le module est p1+2
2=p5>1: le processus est stationnaire.24
(ii)Le processus est un AR(2) avec constante : il n’est pas centré.
E(Xt)=0:4E(Xt¡1)¡0:2E(Xt¡2)+40+0soit ¹=E(Xt)=40=0:8=50
(iii)Soit Yt=Xt¡50.AlorsYtsatisfait Yt=0:4Yt¡1¡0:2Yt¡2+"tavec E(Yt)=0. La fonction
d’autocovariance de Yt(qui est la même que celle de Xt) est obtenue de la façon suivante
E(YtYt¡h)=0:4E(Yt¡1Yt¡h)¡0:2E(Yt¡2Yt¡h)+E("tYt¡h)
ce qui donne l’équation de Yule Walker °h=0:4°h¡1¡0:2°h¡2. Les initialisations sont obtenue par les relations
½°1=0:4°0¡0:2°1
°2=0:4°1¡0:2°0
La première équation permet d’écrire °1=0:4°0=1:2=°0=3, et la seconde °2=¡0:2°0=3.Or°0véri…e
°0=E(YtYt)=0:4E(Yt¡1Yt)¡0:2E(Yt¡2Yt)+E("tYt)=0:4°1¡0:2°2+E("tYt)
Et comme "tYt=0:4"tYt¡1¡0:2"tYt¡2+"2
t, on en déduit que E("tYt)=¾2.Etdonc°0=0:4°1¡0:2°2+¾2.
D’où …nallement, par substitution
°0=0:4£°0=3¡0:2£(¡0:2°0=3) + ¾2et donc °0=3¾2=2:56 = 15
D’où …nalement 8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
°1=°0=3=5
°2=¡0:2°0=3=¡1
°3=0:4£¡1¡0:2£5=¡1:4
°4=0:4£¡1:4¡0:2£¡1=0:36
°5=0:4£¡0:36 ¡0:2£¡1:4=0:136
et donc
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
½1=0:333
½2=¡0:068
½3=¡0:093
½4=¡0:024
½5=0:009
24Ceci pouvait également se noter directement en notant que les conditions de stationnarité dans le cas d’un AR (2) s’écrivent
8
<
:
Á1+Á2<1
¡Á1+Á2<1
Á2>¡1
248

(iv)Les autocorrélations partielles se calculent à l’aide des déterminants des matrices d’autocorrélations :
®(1) = j½1j
j1j=0:33
®(1) =
¯
¯
¯
¯1½1
½1½2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯1½1
½1½1
¯
¯
¯
¯
=½2¡½2
1
1¡½2
1=¡0:199
®(1) =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1½1½1
½11½2
½2½1½3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1½1½2
½11½1
½2½11
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=¡0:00069
On peut noter que a(3) est très faible, ce qui con…rme la nature AR(2) du modèle (en théorie, les autocorrélations
partielles d’un processus AR(p)sont nulles au delà du rang p).
Exercise 4 Considérons deux processus (Xt)et (Yt)liés par les relations suivantes
½Yt=ÁYt¡1+®Xt+"t
Xt=µXt¡1+´t
où "tet ´tsont des bruits blancs non-corrélés, de variance respective ¾2
"et ¾2 ´. Pour les applications pratiques,
on prendra ®=1:5,Á=0:4,µ=0:6,¾2
"=0:016 et ¾2 ´=0:036
(i)on pose !t=(1¡ÁL)(1¡µL)Yt. Calculer les moments de !tet en déduire qu’il s’agit d’un processus
moyenne mobile (à préciser). Donner la représentation canonique de !t
(ii)en déduire que Ytest un processus ARMA dont on précisera les ordres. Donner la représentation
canonique de Yt
(i)Le processus !test dé…ni par !t=(1¡ÁL)(1¡µL)Yt.Xtet Ytétant centrés, on peut dèjà noter que
E(!t)=0.
(1 ¡µL)Yt=Yt¡µYt¡2=ÁYt¡1+®Xt+"t¡µ[ÁYt¡2+®Xt¡1+"t¡1]
=Á[Yt¡1¡µYt¡2]+®[Xt¡µXt¡1]+"t¡µ"t¡1
=Á[Yt¡1¡µYt¡2]+®´t+"t¡µ"t¡1=Á[1 ¡µL]Yt¡1+®´t+"t¡µ"t¡1
Ainsi (1 ¡µL)Yt=Á[1 ¡µL]LYt+®´t+"t¡µ"t¡1, soit (1 ¡µL)(1¡ÁL)Yt=!t=®´t+"t¡µ"t¡1.Le
processus !tvéri…e alors, 8
<
:
°(0) = E¡!2
t¢=®2¾2 ´+¡1+µ2¢¾2 "=0:10276
°(1) = E(!t!t¡1)=¡µ¾2
"=¡0:0096
°(h)=0pour h¸2
Ce comportement de l’autocorrélogramme est caractéristique des processus MA(1) (nullité des autocorrélations
au delà du rang 1):!test un processus moyenne-mobile.
Cherchons à écrire !tsous forme MA(1) : !t=ut¡¯ut¡1où utest un bruit blanc de variance ¾2.Les
paramètres ¯et ¾2doivent alors véri…er ½°(0) = ¡1+¯2¢¾2
°(1) = ¡¯¾2
249

c’est à dire que ¯doit véri…er
¡¯
1+¯2=°(1)
°(0) =¡µ¾2
"
®2¾2
´+¡1+µ2¢¾2 "=0:0934
¯doit alors véri…er 0:0934¯2¡¯+0:0934 = 0 soit ¯=0:095 ou ¯=10:61. On choisit la racine de module
inférieur à 1pour la représentation canonique (¯étant l’inverse de la racine du polynôme caractéristique). !t
satisfait !t=ut¡¯ut¡1où utestunbruitblancdevariance¾2=0:101 et où ¯=0:095.
(ii)D’après ce que nous venons de montrer !t=(1¡µL)(1¡ÁL)Yt=(1¡¯L)utoù utest un bruit blanc,
c’est à dire que Ytsuite un processus ARMA(2;1).
LaformedéveloppéedeladynamiquedeYtest
Yt=(Á+µ)Yt¡1¡ÁµYt¡2+ut¡¯ut¡1(58)
Il est également possible de calculer les autocorrélations °(h)du processus : pour cela, on va multiplier cette
expression par Xt¡h, puis prendre l’espérance (le processus Ytétant centré25):
Y2
t=(Á+µ)Yt¡1Yt¡ÁµYt¡2Yt+utYt¡¯ut¡1Yt
=(Á+µ)Yt¡1Yt¡ÁµYt¡2Yt+ut[(Á+µ)Yt¡1¡ÁµYt¡2+ut¡¯ut¡1]
¡¯ut¡1[(Á+µ)Yt¡1¡ÁµYt¡2+ut¡¯ut¡1]
(on remplace Ytpar (58) dans utYtet ut¡1Yt). En prenant l’espérance, on obtient
°(0) = (Á+µ)°(1) ¡Áµ° (2) + ¾2£1¡¯(Á+µ)+¯2¤
De plus, en multipliant (58) par Yt¡1on peut écrire
YtYt¡1=(Á+µ)Yt¡1Yt¡1¡ÁµYt¡2Yt¡1+utYt¡1¡¯ut¡1Yt¡1
=(Á+µ)Yt¡1Yt¡1¡ÁµYt¡2Yt¡1+utYt¡1¡¯ut¡1[(Á+µ)Yt¡2¡ÁµYt¡3+ut¡1¡¯ut¡2]
(utest indépendant du passé de Yt, en particulier indépendant de Yt¡1) d’où, en prenant l’espérance
°(1) = (Á+µ)°(0) ¡Áµ° (1) ¡¯¾2
En multipliant (58) par Yt¡2on a °(2) = (Á+µ)°(1) ¡Áµ° (0)
et de façon plus générale °(h)=(Á+µ)°(h¡1) ¡Áµ° (h¡2)
Exercise 5 Décomposition de Beveridge-Nelson d’un processus intégré
On s’intéresse dans cet exercice à la décomposition d’un processus ARIMA, intégré d’ordre 1, en la somme
d’une marche aléatoire, et d’un processus stationnaire.
(1) Soit Ytadmettant la décomposition (1 ¡L)Yt=£(L)"tavec
£(L)=
+1
X
k=0 µkLkoù µ0=1et +1
X
k=0 jµkj<+1
et "tbruit blanc de variance ¾2.Posonsalorsµ=£(1).
(1 ¡i)Soit £¤tel que £(L)=µ+(1¡L)£
¤(L). Donner l’expression des coe¢cients µ¤
kdu polynôme £¤.
(1 ¡ii)Montrer que si Pkjµkj<+1alors Pjµ¤
kj<+1.
(1 ¡iii)Montrer que l’on peut décomposer Ytsous la forme Yt=Tt+Ctoù (1 ¡L)Tt=µ"tet où Ctest
un processus stationnaire.
25Ce qui implique que cov(Xt;Xt¡h)=E(XtXt¡h)¡E(Xt)E(Xt¡h)=E(XtXt¡h)pour tout h. En particulier V(Xt)=
E¡X2
t¢.
250

(1 ¡iv)Quelle est la limite de V(Yt)=t quand t!1?
(1 ¡v)Considérons une décomposition quelconque du processus Yt;Y
t=Tt+Cten une somme d’une
marche aléatoire Ttet d’un processus stationnaire Ct. Montrer qu’alors, on a nécessairement
V¡(1 ¡L)Tt¢=µ2¾2
(2) On supposera désormais que le processus Ytvéri…e une équation de la forme
(1 ¡L)(1¡ÁL)Yt="toù 0<Á<1(59)
(2 ¡i)Ecrire la relation précédente sous la forme (1 ¡L)Yt=£(L)"t(Forme de Wold)
(2 ¡ii)Décomposer le processus Yten somme d’une marche aléatoire et d’un processus stationnaire. Les
processus Ctet Ttsont-ils indépendants ?
(3) On veut montrer ici qu’il est impossible d’écrire le processus Ytsous la forme Yt=Tt+Ctoù (1 ¡L)Tt=
utet Ct=£(L)vtoù les processus utet vtsontdesbruitsblancsindépendants,etoù£(L)est un polynôme
en Ldont les racines sont de module strictement supérieur à 1.
(3 ¡i)En utilisant (59) ;calculer la densité spectrale de Xt=(1¡L)Yt
(3 ¡ii)En supposant que Yt=Tt+Ctoù (1 ¡L)Tt=utet Ct=£(L)vt;où les processus utet vtsont
des bruits blancs indépendants, calculer la densité spectrale de Xt=(1¡L)Yt
(3 ¡iii)Etudier les comportements pour !=0des deux densités spectrales trouvées en (3 ¡i)et en (3 ¡ii).
(3 ¡iv)Conclure.
(1 ¡i)Par hypothèse, (1 ¡L)Yt=£(L)"t.SoitalorsXt=(1¡L)Yt. Le polynôme £véri…e
£(L)=
+1
X
k=0 µk¡Lk¡1¢+
+1
X
k=0 µk=
+1
X
k=0 µk¡Lk¡1¢+£(1)
Or la di¤érence Lk¡1peut se réécrire
Lk¡1=(L¡1) £1+L+::: +Lk¡1¤
et donc
£(L)=£(1)+(1¡L)
+1
X
k=0 µk£¡¡1+L+::: +Lk¡1¢¤
=£(1)¡(1 ¡L)
+1
X
k=0
0
@+1
X
j=k+1 µj
1
ALk
D’où …nallement l’écriture £(L)=µ+(1¡L)£
¤(L)où
£¤(L)=
+1
X
k=0 µ¤
kLkavec µ¤ k=¡
+1
X
j=k+1 µj
(1 ¡ii)En utilisant cette expression,
+1
X
k=0 µ¤
k=
+1
X
k=0
+1
X
j=k+1 µj=[µ1+µ2+µ3+:::]+[µ2+µ3+:::]+[µ3+:::]+::: =
+1
X
k=0 jµj
et +1
X
k=0 jµ¤
kj·
+1
X
k=0 kjµkj
Donc …nallement si Pkjµkj<+1alors Pjµ¤
kj<+1.
251