13 Compléments : exercices

13
13.1
Compléments : exercices
Exercices avec correction
Exercise 1 Soit ("t ) un bruit blanc. Les processus suivants sont-ils stationnaires ? (éventuellement avec
certaines restrictions sur les paramètres)
(i) Xt = a + b"t + c"t¡1 où a; b; c 2 R
(ii) Xt = "t cos (ct) + "t¡1 sin (ct) où c 2 R
(iii) Xt tel que Xt ¡ Xt¡1 = "t
¤
£
(i) Le processus Xt véri…e E (Xt ) = a = constante. Sa variance est donnée par V (Xt ) = b2 + c2 ¾2 où ¾ 2
est la variance du bruit, puisque le bruit est non-autocorrélé : cov ("t ; "t¡1 ) = 0.
De plus, cov (Xt ; Xt¡1 ) = bc¾ 2 qui ne dépend pas de t et cov (Xt ; Xt¡h ) = 0 pour tout h > 1. Aussi, le
processus Xt est stationnaire.
Le processus
£ (ii)
¤ Xt véri…e E (Xt ) = 0 (= constante). De plus, sa variance est donnée par V (Xt ) =
cos2 (ct) + sin2 (ct) ¾2 = ¾2 où ¾2 est la variance du bruit, puisque le bruit est non-autocorrélé : cov ("t ; "t¡1 ) =
0. .
= ¼Z.Aussi, le processus Xt n’est pas stationnaire
En…n, cov (Xt ; Xt¡1 ) = ¾ 2 [sin ct cos c (t ¡ 1)] qui dépend de t pour c 2
(iii) Le processus Xt peut se réécrire
t
X
Xt =
"k + X0
k=1
qui correspond à une marche aléatoire. Aussi, le processus Xt n’est pas stationnaire. On peut montrer que le
p
processus explose en t.
Exercise 2 Soit ("t ) un bruit blanc et (Xt ) un processus véri…ant
7
3
Xt ¡ Xt¡1 + Xt¡2 = "t pour tout t 2 Z
2
2
(57)
Montrer qu’il existe un processus stationnaire, solution de (57) sous la forme
X
et =
ak "t¡k
X
k2Z
et :
En déduire que "t n’est pas l’innovation du processus X
Le polynôme caractéristique de la forme AR est © (Z) = 1 ¡ 7Z=2 + 3Z 2 =2, qui peut s’écrire
¶
µ
7
3 2
1
© (Z) = 1 ¡ Z + Z = (1 ¡ 3Z) 1 ¡ Z
2
2
2
Les racines sont alors 1=3 et 2:La racine 1=3 n’est pas à l’extérieur du disque unité : la représentation n’est pas canonique.
et est dé…ni par
Toutefois, il est possible d’inverser le poylnôme retard ©. Soit X
·
¸
1=5
1
6=5
et = ©¡1 (L) "t =
¡
¢
¡
X
"
=
"t
t
1 ¡ 3L 1 ¡ L=2
(1 ¡ 3L) 1 ¡ 12 L
1 µ ¶k¡1
1 µ ¶k
+1
X
2 X 1
1 X 1
= ¡
"t+k ¡
"t¡k soit
®i "t¡i
5
3
5
2
¡1
k=1
k=0
|
{z
}
|
{z
}
dépend du futur
dépend du passé
de "t
de "t
ft s’exprime en fonction du passé et du futur de
et¡1 ; X
et¡2 ; ::: (puisque X
Le processus "t est alors corrélé avec X
"t ) : le processus "t n’est pas l’innovation.
247
¢
¡
En revanche, en considérant un bruit blanc de la forme ´t s BB 1; ¾2 =9 (le coe¢cient 1=9 venant de
et sous forme AR,
(1=3)2 , 1=3 étant la racine appartenant au disque unité), on peut mettre X
¶µ
¶
µ
¢
¡
1
1
et = ´ soit X
et¡1 + 1 X
et¡2 = ´ où ´ s BB 1; ¾2 =9
et ¡ 5 X
1¡ L X
1¡ L
t
t
t
2
3
6
6
et .
Cette écriture correspondra à l’écriture canonique du processus X
Exercise 3 On considère le processus aléatoire AR (2) suivant
¢
¡
Xt = 40 + 0:4Xt¡1 ¡ 0:2Xt¡2 + "t où "t s BB 0; ¾2 = 12:8
(i) véri…er que le processus est stationnaire
(ii) calculer l’espérance de Xt
(iii) donner les équations de Yule-Walker du processus, calculer la variance, ainsi que les 5 premières valeurs
des autocorrélations
(iv) calculer les 3 premières autocorrélations partielles
¡
¢
(i) Le processus peut s’écrire 1 ¡ 0:4L + 0:2L2 Xt = 40 + "t . Le processus est stationnaire si les racines
du polynôme sont à l’extérieur du disque unité :
p
½
0:4 § i 0:64
Z = 1 + 2i
2
1 ¡ 0:4Z + 0:2Z = 0 ssi Z =
c’est à dire Z =
Z
= 1 ¡ 2i
0:4
p
p
dont le module est 1 + 22 = 5 > 1 : le processus est stationnaire.24
(ii) Le processus est un AR (2) avec constante : il n’est pas centré.
E (Xt ) = 0:4E (Xt¡1 ) ¡ 0:2E (Xt¡2 ) + 40 + 0 soit ¹ = E (Xt ) = 40=0:8 = 50
(iii) Soit Yt = Xt ¡ 50. Alors Yt satisfait Yt = 0:4Yt¡1 ¡ 0:2Yt¡2 + "t avec E (Yt ) = 0. La fonction
d’autocovariance de Yt (qui est la même que celle de Xt ) est obtenue de la façon suivante
E (Yt Yt¡h ) = 0:4E (Yt¡1 Yt¡h ) ¡ 0:2E (Yt¡2 Yt¡h ) + E ("t Yt¡h )
ce qui donne l’équation de Yule Walker ° h = 0:4° h¡1 ¡0:2° h¡2 . Les initialisations sont obtenue par les relations
½
° 1 = 0:4° 0 ¡ 0:2° 1
° 2 = 0:4° 1 ¡ 0:2° 0
La première équation permet d’écrire ° 1 = 0:4° 0 =1:2 = ° 0 =3, et la seconde ° 2 = ¡0:2° 0 =3. Or ° 0 véri…e
° 0 = E (Yt Yt ) = 0:4E (Yt¡1 Yt ) ¡ 0:2E (Yt¡2 Yt ) + E ("t Yt ) = 0:4° 1 ¡ 0:2° 2 + E ("t Yt )
Et comme "t Yt = 0:4"t Yt¡1 ¡ 0:2"t Yt¡2 + "2t , on en déduit que E ("t Yt ) = ¾2 . Et donc ° 0 = 0:4° 1 ¡ 0:2° 2 + ¾2 .
D’où …nallement, par substitution
° 0 = 0:4 £ ° 0 =3 ¡ 0:2 £ (¡0:2° 0 =3) + ¾ 2 et donc ° 0 = 3¾2 =2:56 = 15
D’où …nalement
2 4 Ceci
8
° 1 = ° 0 =3 = 5
>
>
>
>
< ° 2 = ¡0:2° 0 =3 = ¡1
° 3 = 0:4 £ ¡1 ¡ 0:2 £ 5 = ¡1:4
>
>
° = 0:4 £ ¡1:4 ¡ 0:2 £ ¡1 = 0:36
>
>
: 4
° 5 = 0:4 £ ¡0:36 ¡ 0:2 £ ¡1:4 = 0:136
8
½1 = 0:333
>
>
>
>
< ½2 = ¡0:068
½3 = ¡0:093
et donc
>
>
½ = ¡0:024
>
>
: 4
½5 = 0:009
pouvait également se noter directement en notant que les conditions de stationnarité dans le cas d’un AR (2) s’écrivent
8
< Á1 + Á2 < 1
¡Á1 + Á2 < 1
:
Á2 > ¡1
248
(iv) Les autocorrélations partielles se calculent à l’aide des déterminants des matrices d’autocorrélations :
j½1 j
= 0:33
j1j
¯
1 ½1 ¯¯
½1 ½2 ¯
½ ¡ ½21
¯= 2
= ¡0:199
¯
1 ¡ ½21
1 ½1 ¯
½1 ½1 ¯
¯
¯
¯ 1 ½1 ½1 ¯
¯
¯
¯ ½1 1 ½2 ¯
¯
¯
¯ ½ ½1 ½3 ¯
¯
¯ 2
¯ 1 ½1 ½2 ¯ = ¡0:00069
¯
¯
¯ ½1 1 ½1 ¯
¯
¯
¯ ½2 ½1 1 ¯
® (1) =
¯
¯
¯
¯
® (1) = ¯¯
¯
¯
® (1) =
On peut noter que a (3) est très faible, ce qui con…rme la nature AR (2) du modèle (en théorie, les autocorrélations
partielles d’un processus AR (p) sont nulles au delà du rang p).
Exercise 4 Considérons deux processus (Xt ) et (Yt ) liés par les relations suivantes
½
Yt = ÁYt¡1 + ®Xt + "t
Xt = µXt¡1 + ´ t
où "t et ´t sont des bruits blancs non-corrélés, de variance respective ¾ 2" et ¾2´ . Pour les applications pratiques,
on prendra
® = 1:5, Á = 0:4, µ = 0:6, ¾ 2" = 0:016 et ¾2´ = 0:036
(i) on pose ! t = (1 ¡ ÁL) (1 ¡ µL) Yt . Calculer les moments de ! t et en déduire qu’il s’agit d’un processus
moyenne mobile (à préciser). Donner la représentation canonique de ! t
(ii) en déduire que Yt est un processus ARMA dont on précisera les ordres. Donner la représentation
canonique de Yt
(i) Le processus ! t est dé…ni par !t = (1 ¡ ÁL) (1 ¡ µL) Yt . Xt et Yt étant centrés, on peut dèjà noter que
E (! t ) = 0.
(1 ¡ µL) Yt
= Yt ¡ µYt¡2 = ÁYt¡1 + ®Xt + "t ¡ µ [ÁYt¡2 + ®Xt¡1 + "t¡1 ]
= Á [Yt¡1 ¡ µYt¡2 ] + ® [Xt ¡ µXt¡1 ] + "t ¡ µ"t¡1
= Á [Yt¡1 ¡ µYt¡2 ] + ®´t + "t ¡ µ"t¡1 = Á [1 ¡ µL] Yt¡1 + ®´ t + "t ¡ µ"t¡1
Ainsi (1 ¡ µL) Yt = Á [1 ¡ µL] LYt + ®´t + "t ¡ µ"t¡1 , soit (1 ¡ µL) (1 ¡ ÁL) Yt = !t = ®´t + "t ¡ µ"t¡1 . Le
processus ! t véri…e alors,
8
¢
¡ ¢
¡
< ° (0) = E !2t = ®2 ¾2´ + 1 + µ 2 ¾2" = 0:10276
° (1) = E (! t ! t¡1 ) = ¡µ¾2" = ¡0:0096
:
° (h) = 0 pour h ¸ 2
Ce comportement de l’autocorrélogramme est caractéristique des processus MA (1) (nullité des autocorrélations
au delà du rang 1) : !t est un processus moyenne-mobile.
Cherchons à écrire ! t sous forme M A (1) : ! t = ut ¡ ¯ut¡1 où ut est un bruit blanc de variance ¾2 . Les
paramètres ¯ et ¾2 doivent alors véri…er
½
¢
¡
° (0) = 1 + ¯ 2 ¾2
° (1) = ¡¯¾ 2
249
c’est à dire que ¯ doit véri…er
¡
¡µ¾2"
° (1)
¯
¢
¡
=
=
= 0:0934
° (0)
1 + ¯2
®2 ¾ 2´ + 1 + µ2 ¾2"
¯ doit alors véri…er 0:0934¯ 2 ¡ ¯ + 0:0934 = 0 soit ¯ = 0:095 ou ¯ = 10:61. On choisit la racine de module
inférieur à 1 pour la représentation canonique (¯ étant l’inverse de la racine du polynôme caractéristique). ! t
satisfait ! t = ut ¡ ¯ut¡1 où ut est un bruit blanc de variance ¾2 = 0:101 et où ¯ = 0:095.
(ii) D’après ce que nous venons de montrer ! t = (1 ¡ µL) (1 ¡ ÁL) Yt = (1 ¡ ¯L) ut où ut est un bruit blanc,
c’est à dire que Yt suite un processus ARM A (2; 1).
La forme développée de la dynamique de Yt est
Yt = (Á + µ) Yt¡1 ¡ ÁµYt¡2 + ut ¡ ¯ut¡1
(58)
Il est également possible de calculer les autocorrélations ° (h) du processus : pour cela, on va multiplier cette
expression par Xt¡h , puis prendre l’espérance (le processus Yt étant centré25 ) :
Yt2
= (Á + µ) Yt¡1 Yt ¡ ÁµYt¡2 Yt + ut Yt ¡ ¯ut¡1 Yt
= (Á + µ) Yt¡1 Yt ¡ ÁµYt¡2 Yt + ut [(Á + µ) Yt¡1 ¡ ÁµYt¡2 + ut ¡ ¯ut¡1 ]
¡¯ut¡1 [(Á + µ) Yt¡1 ¡ ÁµYt¡2 + ut ¡ ¯ut¡1 ]
(on remplace Yt par (58) dans ut Yt et ut¡1 Yt ). En prenant l’espérance, on obtient
£
¤
° (0) = (Á + µ) ° (1) ¡ Áµ° (2) + ¾2 1 ¡ ¯ (Á + µ) + ¯ 2
De plus, en multipliant (58) par Yt¡1 on peut écrire
Yt Yt¡1
= (Á + µ) Yt¡1 Yt¡1 ¡ ÁµYt¡2 Yt¡1 + ut Yt¡1 ¡ ¯ut¡1 Yt¡1
= (Á + µ) Yt¡1 Yt¡1 ¡ ÁµYt¡2 Yt¡1 + ut Yt¡1 ¡ ¯ut¡1 [(Á + µ) Yt¡2 ¡ ÁµYt¡3 + ut¡1 ¡ ¯ut¡2 ]
(ut est indépendant du passé de Yt , en particulier indépendant de Yt¡1 ) d’où, en prenant l’espérance
° (1) = (Á + µ) ° (0) ¡ Áµ° (1) ¡ ¯¾ 2
En multipliant (58) par Yt¡2 on a
° (2) = (Á + µ) ° (1) ¡ Áµ° (0)
et de façon plus générale
° (h) = (Á + µ) ° (h ¡ 1) ¡ Áµ° (h ¡ 2)
Exercise 5 Décomposition de Beveridge-Nelson d’un processus intégré
On s’intéresse dans cet exercice à la décomposition d’un processus ARIM A, intégré d’ordre 1, en la somme
d’une marche aléatoire, et d’un processus stationnaire.
(1) Soit Yt admettant la décomposition (1 ¡ L) Yt = £ (L) "t avec
£ (L) =
+1
X
µk Lk où µ0 = 1 et
k=0
+1
X
k=0
jµk j < +1
et "t bruit blanc de variance ¾ 2 . Posons alors µ = £ (1).
(1 ¡ i) Soit £¤ tel que £P(L) = µ + (1 ¡ L) £¤P
(L). Donner l’expression des coe¢cients µ ¤k du polynôme £¤ .
(1 ¡ ii) Montrer que si
k jµk j < +1 alors
jµ¤k j < +1.
(1 ¡ iii) Montrer que l’on peut décomposer Yt sous la forme Yt = Tt + Ct où (1 ¡ L) Tt = µ"t et où Ct est
un processus stationnaire.
25
¡ Ce¢ qui implique que cov (Xt ; Xt¡h ) = E (Xt Xt¡h ) ¡ E (Xt ) E (Xt¡h ) = E (Xt Xt¡h ) pour tout h. En particulier V (Xt ) =
E Xt2 .
250
(1 ¡ iv) Quelle est la limite de V (Yt ) =t quand t ! 1 ?
(1 ¡ v) Considérons une décomposition quelconque du processus Yt ; Yt = T t + C t en une somme d’une
marche aléatoire T t et d’un processus stationnaire C t . Montrer qu’alors, on a nécessairement
¢
¡
V (1 ¡ L) T t = µ2 ¾2
(2) On supposera désormais que le processus Yt véri…e une équation de la forme
(1 ¡ L) (1 ¡ ÁL) Yt = "t où 0 < Á < 1
(59)
(2 ¡ i) Ecrire la relation précédente sous la forme (1 ¡ L) Yt = £ (L) "t (Forme de Wold)
(2 ¡ ii) Décomposer le processus Yt en somme d’une marche aléatoire et d’un processus stationnaire. Les
processus Ct et Tt sont-ils indépendants ?
(3) On veut montrer ici qu’il est impossible d’écrire le processus Yt sous la forme Yt = Tt +Ct où (1 ¡ L) Tt =
ut et Ct = £ (L) vt où les processus ut et vt sont des bruits blancs indépendants, et où £ (L) est un polynôme
en L dont les racines sont de module strictement supérieur à 1.
(3 ¡ i) En utilisant (59) ; calculer la densité spectrale de Xt = (1 ¡ L) Yt
(3 ¡ ii) En supposant que Yt = Tt + Ct où (1 ¡ L) Tt = ut et Ct = £ (L) vt ; où les processus ut et vt sont
des bruits blancs indépendants, calculer la densité spectrale de Xt = (1 ¡ L) Yt
(3 ¡ iii) Etudier les comportements pour ! = 0 des deux densités spectrales trouvées en (3 ¡ i) et en (3 ¡ ii).
(3 ¡ iv) Conclure.
(1 ¡ i) Par hypothèse, (1 ¡ L) Yt = £ (L) "t . Soit alors Xt = (1 ¡ L) Yt . Le polynôme £ véri…e
£ (L) =
+1
X
k=0
+1
+1
X
¡
¡
¢ X
¢
µk Lk ¡ 1 +
µk =
µk Lk ¡ 1 + £ (1)
k=0
k=0
Or la di¤érence Lk ¡ 1 peut se réécrire
¤
£
Lk ¡ 1 = (L ¡ 1) 1 + L + ::: + Lk¡1
et donc
£ (L) = £ (1) + (1 ¡ L)
= £ (1) ¡ (1 ¡ L)
+1
X
£ ¡
¢¤
µ k ¡ 1 + L + ::: + Lk¡1
k=0
@
k=0
+1
X
D’où …nallement l’écriture £ (L) = µ + (1 ¡ L) £¤ (L) où
£¤ (L) =
+1
X
µ ¤k Lk
0
+1
X
j=k+1
1
µ j A Lk
avec µ¤k = ¡
k=0
+1
X
µj
j=k+1
(1 ¡ ii) En utilisant cette expression,
+1
X
µ¤k =
k=0
+1 X
+1
X
µj = [µ1 + µ2 + µ3 + :::] + [µ 2 + µ 3 + :::] + [µ3 + :::] + ::: =
k=0 j=k+1
k=0
et
Donc …nallement si
P
k jµk j < +1 alors
+1
X
P
+1
X
k=0
jµ¤k j ·
jµ ¤k j < +1.
+1
X
k=0
251
k jµk j
jµ j
(1 ¡ iii) D’après la question précédente, on peut écrire Xt = £ (L) "t = µ"t + (1 ¡ L) £¤ (L) "t
Si Yt = Tt + Ct , alors Xt = (1 ¡ L) Yt = (1 ¡ L) Tt + (1 ¡ L) Ct . Aussi, on devrait avoir
½
(1 ¡ L) Tt = µ"t
Ct = £¤ (L) "t
- Montrons que le processus Ct est stationnaire :
Ct = £¤ (L) "t =
+1
X
µ¤k "t¡k
k=0
P
jµ¤k j
< +1, qui sera véri…é dès lors que
qui sera stationnaire si et seulement si
- Le processus Tt dé…nie par (1 ¡ L) Tt = µ"t est une marche stationnaire :
Tt = Tt¡1 + µ"t = µ:
t
X
k=0
P
k jµ k j < +1:
"t¡k + T¡1
(1 ¡ iv) La variance de Yt peut se décomposer en
V (Yt ) = V (Ct ) + 2cov (Ct ; Tt ) + V (Tt )
avec V (Ct ) =constante et V (Tt ) est équivalent à µ2 ¾ 2" t, carTt = T0 + µ ["1 + ::: + "t ]. De plus,
³p ´
p
p
jcov (Tt ; Ct )j · V (Tt ) V (Ct ) = O
t
et …nalement, on a
V (Yt )
! µ2 ¾2" quand t ! 1
t
En e¤ectuant exactement le même genre de calcul sur Yt = T t + C t , p, a
¡
¢
¡ ¢
¡ ¢
V (Yt ) = V C t + 2cov C t ; T t + V T t
et on obtient alors
¡ ¢
V Tt
V (Yt )
lim
= lim
= µ2 ¾2"
t!1
t!1
t
t
¢
¡
D’où …nallement de résultat souhaité, V ¢T t = µ 2 ¾2" .
PARTIE 2
(3 ¡ i et ii) Le processus Yt se décompose en Yt = Tt + Ct , avec (1 ¡ L) Yt = ut et Ct = B (L) vt . Aussi, en
di¤érenciant Yt , on a
(1 ¡ L) Yt = (1 ¡ L) Tt + (1 ¡ L) Ct = ut + (1 ¡ L) B (L) vt = £ (L) "t
où £ (L) "t = ut + (1 ¡ L) B (L) vt . Le processus Xt = (1 ¡ L) Yt = £ (L) "t admet pour densité spectrale
f (!) =
¢ ¡ ¢¯2
1 ¯¯¡
1 ¯¯ ¡ i! ¢¯¯2 2 ¾ 2u
£ e
+
1 ¡ ei! B ei! ¯ ¾2v
¾" =
2¼
2¼ 2¼
en utilisant l’écriture £ (L) "t = ut + (1 ¡ L) B (L) vt
(3 ¡ iii) En comparant les deux écritures pour ! = 0 on constate alors que
¾2
¾ 2u
¾2
= " j£ (1)j2 soit u2 = j£ (1)j2
2¼
2¼
¾"
¯¡
¢ ¡ ¢¯2
Et comme ¯ 1 ¡ ei! B ei! ¯ ¾2v ¸ 0, alors f (!) ¸ f (0) = ¾2u =2¼ : f admet un minimum global en ! = 0.
252
(3 ¡ iv) Soit (1 ¡ L) (1 ¡ ÁL) Yt = "t pour 0 < Á < 1. Alors (1 ¡ ÁL) Xt = "t en posant Xt = (1 ¡ L) Yt , on
peut écrire
¾2
¾2
1
1
et f (0) = "
f (!) = "
2
2¼ j1 ¡ Áei! j
2¼ (1 ¡ Á)2
¯
¯2
2
Montrons qu’alors 0 n’est pas un minimum golbal : si ! = ¼=2 alors ¯1 ¡ Áei! ¯ = 1 + Á2 > (1 ¡ Á) puisque
0 < Á < 1, et donc
³¼ ´
1
1
>
et
donc
f
(0)
>
f
2
1 + Á2
(1 ¡ Á)2
(Yt ) ne peut donc pas être décomposée en tendance - cycle, d’après le modèle de la question (2). Par contre
il peut l’être d’apères le modèle (1) :
13.2
Examen de 2001/2002
Exercise 6 (i) Soit ("t ) un bruit blanc et Xt dé…ni par
Xt =
t
X
k=0
¸k ("t¡k ¡ "t¡k¡1 ) où ¸ 2 R
Le processus Xt est il stationnaire ? (éventuellement avec certaines restrictions sur les paramètres)
(ii) Soit ("t ) un bruit blanc, et Xt , Yt et Zt dé…ni par Xt = "t , Yt = (¡1)t "t et Zt = Xt + Yt pour tout
t 2 Z.Les processus Xt , Yt et Zt sont-ils stationnaires ?
(iii) La somme de deux processus stationnaires est-elle stationnaire ?
(i) Le processus Xt est un processus centré, E (Xt ) = 0. Le processus Xt peut s’écrire
Xt = ¸0 ["t ¡ "t¡1 ] + ¸1 ["t¡1 ¡ "t¡2 ] + ¸2 ["t¡2 ¡ "t¡3 ] + ::: + ¸t¡1 ["1 ¡ "0 ] + ¸t ["0 ¡ 0]
avec la convention "¡1 = 0. Cette relation peut se réécrire, en mettant en facteur les "t¡i ,
¤
¤
¤
¤
¤
£
£
£
£
£
Xt = ¸0 "t + ¸1 ¡ ¸0 "t¡1 + ¸2 ¡ ¸1 "t¡2 + ¸3 ¡ ¸2 "t¡3 + ::: + ¸t¡1 ¡ ¸t¡2 "1 + ¸t ¡ ¸t¡1 "0
¤
£
= ¸0 "t + (¸ ¡ 1) "t¡1 + ¸"t¡2 + ¸2 "t¡3 + ¸3 "t¡4 + ::: + ¸i¡1 "t¡i + ::: + ¸t¡2 "1 + ¸t¡1 "0
Aussi, pour ¸ = 1, alors Xt = "t et le processus est stationnaire.
Pour ¸ 6= 1, on peut écrire
t¡1
X
¸k "t¡k¡1
Xt = "t + (¸ ¡ 1)
k=0
Aussi,
V (Xt ) = ¾ 2 + (¸ ¡ 1)2
t¡1
X
k=0
¸2k ¾2 = ¾2 + (¸ ¡ 1)2
1 ¡ ¸2t 2
¾
1 ¡ ¸2
qui n’est pas indépendante de t : Xt n’est pas un processus stationnaire.
(ii) Le processus Xt est un bruit blanc donc Xt est stationnaire.
¡ ¢
¡ ¢
Le processus Yt véri…e E (Yt ) = 0 (=constante), et ° (0) = E Yt2 = E "2t = ¾2 (=constante). En…n, pour
tout h 6= 0, ° (h) véri…e
³
´
° (h) = E (Yt Yt¡h ) = E (¡1)2t¡h "t "t¡h = §E ("t "t¡h ) = 0
Le processus Yt est stationnaire (et c’est même un bruit blanc).
Le processus Zt est dé…ni de la façon suivante
½
2"t pour t pair
Zt =
0
pour t impair
253
¡ ¢
Si E (Z¡t ) =¢ 0 (=constante), on peut noter que la variance, elle, ne sera pas constante : E Zt2 = 4¾2 pour t
pair, et E Zt2 = 0 pour t impair (car Zt2 est alors une constante). La variance de Zt dépend de t : le processus
Zt n’est pas stationnaire.
(iii) Dans la question précédante, nous avions vu que Xt et Yt étaient des processus stationnaire, et pourtant,
leur somme Zt n’est pa un processus stationnaire : la somme de deux processus stationnaires n’est pas
forcément stationnaire.
Exercise 7 Soit "t un bruit blanc, centré de variance 5=18, et considérons le processus Yt dé…ni par
Yt = 2Yt¡1 + "t
On suppose que Yt n’est observable qu’avec une erreur d’observation : on ne peut observer
¡ que le¢ processus
Xt = Yt + ´t où ´t est un bruit blanc non corrélé avec "t ; de variance 1=6 (avec de plus cov "t ; ´t¡h = 0 pour
tout h 2 Z)
(i) montrer que le processus !t = "t + ´t ¡ 2´ t¡1 est un processus MA; et en déduire que Xt est un processus
ARM A (1; 1) que l’on précisera,
(ii) donner la représentation canonique de Xt ,
(iii) en déduire une représentation de Xt du type
Xt = ¡
1
X
®i Xt¡i + ut
avec
i=1
1
X
i=1
j®i j < 1
(60)
et où ut est un bruit blanc que l’on explicitera (donner sa volatilité), non corrélé avec Xt . A quoi sert une telle
représentation ?
(i) Soit ! t = "t + ´t ¡ 2´ t¡1 . Ce processus est centré : E (! t ) = 0 + 0 ¡ 0 = 0. Sa variance est donnée par
¡ ¢
¡£
¤£
¤¢
° (0) = E ! 2t = E "t + ´t ¡ 2´t¡1 "t + ´ t ¡ 2´t¡1
¡
¢
= E "2t + ´2t + 4´2t¡1 + 2"t ´ t ¡ 4´t ´t¡1 ¡ 4"t ´t¡1
= ¾2" + 5¾2´ + 0 + 0 + 0 = ¾ 2" + 5¾2´
¡
¡
¢
¢
car E ("t¡´t )¢= E "t ´t¡1 = 0 (les processus sont indépendants) et E ´t ´t¡1 = 0 (car ´t est un bruit blanc).
Donc E !2t = ¾ 2" + 5¾ 2´ qui est une constante : ° (0) = 5=18 + 5=6 = 20=18 = 10=9. De plus
¡£
¤£
¤¢
° (1) = E (! t !t¡1 ) = E "t + ´t ¡ 2´t¡1 "t¡1 + ´t¡1 ¡ 2´ t¡2
¡
¢
= E "t "t¡1 + "t ´t¡1 ¡ 2"t ´t¡2 + ´t "t¡1 + ´t ´ t¡1 ¡ 2´t ´t¡2 ¡ 2´t¡1 "t¡1 ¡ 2´t¡1 ´ t¡1 + 4´t¡1 ´t¡2
= 0 + 0 ¡ 0 + 0 + 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 2¾2´ + 0 = ¡2¾ 2´
d’où ° (1) = ¡2=6 = ¡1=3. En…n, on peut montrer que ° (2) = 0 et, plus généralement, ° (h) = 0 pour h ¸ 2.
Ce processus !t véri…e
° (1)
1 9
3
½ (1) =
=¡
=¡
et ½ (h) = 0 pour h ¸ 2
° (0)
3 10
10
Le processus !t est un processus M A (1). Aussi, il existe un bruit blanc º t et un paramètre µ tel que
! t = º t ¡ µº t¡1
Le processus Xt véri…e
Xt
¤
£
= Yt + ´t = [2Yt¡1 + "t ] + ´t = 2 Xt¡1 ¡ ´t¡1 + "t + ´t
¤
£
= 2Xt¡1 + "t + ´t ¡ 2´t¡1 = 2Xt¡1 + ! t
donc, d’après la question précédente, il existe bruit blanc º t et un paramètre µ tel que Xt = 2Xt¡1 + º t ¡ µº t¡1 ,
c’est à dire que Xt est un processus ARMA (1; 1).
254
(ii) Pour expliciter l’écriture de ce processus ARM A, il convient de donner deux paramètres : µ (composante
moyenne-mobile) et ¾ 2º , la variance du nouveau bruit blanc. Pour identi…er ces deux paramètres, on utilise les
deux équations que nous avions obtenues auparavant. Pour le processus ! t = º t ¡ µº t¡1 , on a
½
¡ ¢ £
¤
° (0) = E ! 2t = 1 + µ2 ¾ 2º = 10=9
° (1) = E (! t ! t¡1 ) = ¡µ¾2º = ¡1=3
En divisant la première équation par la seconde, on obtient que
10 3
10
1 + µ2
=
=
µ
9 1
3
ce qui donne l’équation de degré 2 suivante, 3µ2 ¡ 10µ + 3 = 0, dont les racines sont
p
p
½
10 § 102 ¡ 4 £ 3 £ 3
10 § 64
10 § 8
3
µ=
=
=
=
1=3
2£3
6
6
Pour mettre le processus sous forme canonique on choisit µ de telle sorte que la racine du polynôme
moyenne-mobile (£ (L) = 1 ¡ µL) est à l’extérieur du disque unité, c’est à dire µ < 1. On choisit µ = 1=3:
Cette valeur permet d’en déduire la variance du bruit blanc associé : ¡µ¾ 2º = ¡1=3 donc ¾2º = 1.
La forme canonique du processus est alors
1
Xt = 2Xt¡1 + º t ¡ º t¡1 où º t s BB (0; 1)
3
(iii) Nous avons écrit le processus sous la forme © (L) Xt = £ (L) º t . A…n d’obtenir une représentation de la
forme (60), il convient d’inverser le polynôme retard £ (L) : £¡1 (L) © (L) Xt = º t . Puisque nous avions choisi
la racine de £ à l’extérieur du disque unité, le polynôme £ (L) est inverble en fonction des opérateurs passés, et
£¡1 (L) © (L) =
1
1
X
X
£ i¡1
¤
1
µ Á + µi Li
(1 + ÁL) = (1 + ÁL)
µi Li = 1 +
1 ¡ µL
|
{z
}
i=0
i=1
®i
Avec cette écriture, on obtient …nalement
Xt = ¡
1
X
®i Xt¡i + º t avec
i=1
½
®i = µ i¡1 Á + µi = 2=3i¡1 + 1=3i
º t s BB (0; 1)
Cette écriture est utile pour faire de la prévision : la meilleur prévision possible, faite à la date T pour un
horizon h est
h¡1
T
+h
X
X
b¤
bT¤ +h¡k ¡
®k :T X
®k XT +h¡k
T XT +h = ¡
k=1
k=h
Remarque 81 L’exercice suivant utilisait les sorties informatiques disponibles sur http://www.respublica.fr/charthur/TS/slides02
Exercise 8 Considérons la série brute Xt , série trimestrielle observée de 1980 à 2000. Nous noterons dans
toute la suite
- Xt la série brute
- Yt la série di¤érenciée une fois Yt = ¢Xt = (Xt ¡ Xt¡1 )
- Zt la série di¤érenciée deux fois Zt = ¢2 Xt = ¢Yt = Xt ¡ 2Xt¡1 + Xt¡2
- Y 2t la série Y 2t = Yt ¡ Yt¡2 et Z2t la série Z2t = Zt ¡ Zt¡2
- Y 4t la série Y 4t = Yt ¡ Y et Z4t la série Z4t = Zt ¡ Zt¡4
A partir de l’ensemble des séries informatiques suivantes (courbes, histogrammes, tests, estimation d’équations...etc),le
but est ici de trouver un (ou plusieurs) modèle permettant de modéliser au mieux la série Xt :
(i) quelle(s) série(s) peut-on essayer de modéliser à l’aide d’un processus ARM A ?
255
(ii) les modèles suivants sont-ils valides ?
¡
¢
(1 ¡ L) 1 ¡ ®1 L ¡ ®2 L2 ¡ ®3 L3 ¡ ®4 L4 ¡ ®5 L5 ¡ ®6 L6 ¡ ®7 L7 Xt = "t où "t est un bruit blanc
¢
¡
(1 ¡ L) 1 ¡ ®L2 Xt = "t où "t est un bruit blanc
¢¡
¢
¡
(1 ¡ L) 1 ¡ L2 1 ¡ ®L2 Xt = "t où "t est un bruit blanc
¢
¡
(1 ¡ L) 1 ¡ L4 Xt = "t ¡ µ"t¡1 où "t est un bruit blanc
(61)
(62)
(63)
(64)
(iii) les méthodes SCAN et ESCF suggèrent-elles de ’bons’ modèles ? si oui, lesquels ?
(iv) est-il possible de modéliser la série Xt sans composante M A ?
(v) la série Xt a en fait été simulée sur 80 valeurs, à l’aide d’un bruit blanc gaussien N (0; 1), de telle sorte
que
¢
¢
¡
¡
(1 ¡ L) 1 ¡ L4 (1 ¡ 0:8L) Xt = 1 ¡ 0:6L2 "t
Les simulations correspondent-elles e¤ectivement à un tel modèle ? Existe-t-il de ’meilleurs’ modèles, ou d’autres
modèles permettant de modéliser la série Xt ?
(i) Si l’on regarde la série brute Xt , nous sommes en présence d’une série non-stationnaire : nous n’observons
pas la décroissance exponentielle de l’autocorrélogramme, que l’on pourrait observer sur un processus AR, et
les 20 premières autocorrélations sont signi…actives : Xt est non-stationnaire, avec présence d’une racine unité.
La série di¤érenciée (une fois) Yt semble stationnaire, avec toutefois présence d’une racine unité saisonnière :
toutes les autocorrélations obtenues avec un retard pair sont signi…cativement non nulle. Yt n’est pas stationnaire,
avec présence
¡ d’une¢ racine unité saisonnière.
La série 1 ¡ L2 Yt présente le même genre de comportement que Yt , c’est donc que 2 n’était pas la fréquence
de la racine unité. Y 2t n’est pas stationnaire. En revanche la série Y 4t est stationnaire. Les autres séries
proposées étant obtenues à partir d’une série (Zt ) di¤érenciée davantage, nous n’allons pas les prendre en
compte. De toutes façons, un raisonnement
analogue aurait pousser
ࢠne retenir que Z4t , qui est la seule série
¢
¡
2¡
stationnaire. Or Y 4t = (1 ¡ L) 1 ¡ L4 Xt et Z4t = (1 ¡ L) 1 ¡ L4 Xt = (1 ¡ L) Y 4t :¡puisque¢ Y 4t est déjà
stationnaire, il est inutile de di¤érencier davantage. Nous allons modéliser Y 4t = (1 ¡ L) 1 ¡ L4 Xt .
Ceci est validé par les tests de Dickey-Fuller.
(ii) L’estimation du modèle (61) - modèle AR (7) pour Yt - dé…ni par
¢
¡
(1 ¡ L) 1 ¡ ®1 L ¡ ®2 L2 ¡ ®3 L3 ¡ ®4 L4 ¡ ®5 L5 ¡ ®6 L6 ¡ ®7 L7 Xt = "t où "t est un bruit blanc
est donnée dans le slide (50). Si tous les paramètres semblent signi…catif, on peut noter que l’estimation aboutit
à une racine unité (1:01 est racine du polynôme AR, et Eviews précise ’Estimated AR process is nonstationary’)
: ce modèle ne peut pas être retenu.
L’estimation du modèle (62) - modèle AR (2) pour Yt - dé…ni par
¢
¡
(1 ¡ L) 1 ¡ ®L2 Xt = "t où "t est un bruit blanc
est donnée dans le slide (67). Le paramètre ® est signi…cativement non nul. Toutefefois, si l’on considère
l’autocorrélogramme des résidus obtenus après régression (slide (69)), on peut noter que l’on n’a pas un bruit
blanc : toutes les autocorrélations paires sont non nulles. Ce modèle ne peut être retenu.
L’estimation du modèle (63) - modèle AR (2) pour Y 2t - dé…ni par
¢¡
¢
¡
(1 ¡ L) 1 ¡ L2 1 ¡ ®L2 Xt = "t où "t est un bruit blanc
est donnée dans le slide (79). Le paramètre ® est signi…cativement non nul. Toutefefois, si l’on considère
l’autocorrélogramme des résidus obtenus après régression (slide (81)), on peut noter que l’on n’a pas un bruit
blanc : toutes les autocorrélations paires sont non nulles. Ce modèle ne peut pas être retenu.
L’estimation du modèle (64) - modèle M A (1) pour Y 4t - dé…ni par
¡
¢
(1 ¡ L) 1 ¡ L4 Xt = "t ¡ µ"t¡1 où "t est un bruit blanc
256
est donnée dans le slide (96). Le paramètre µ est signi…cativement non nul. Si l’on considère l’autocorrélogramme
des résidus obtenus après régression (slide (98)), on peut noter qu’aucune autocorrélation n’est signi…activement
non nulle. Si les tests de Box-Pierce (Q) ne sont pas validés à 5%, on peut malgré tout noter que ce modèle
reste relativement bon Ce modèle pourrait être retenu.
(iii) La méthode SCAN appliquée à Y 4t (c’est la variable que nous avions retenu dans la partie (i)) suggère
des modèles ARMA (0; 1) ou ARM A (4; 0), alors que la méthode ESACF suggère des modèles ARMA (2; 3)
ou ARM A (0; 4).
Le modèle ARMA (0; 1) appliqué à Y 4t correspond au modèle (64) : ce modèle peut être retenu.
Le modèle ARM A (4; 0) appliqué à Y 4t correspond au modèle estimé slide (106) : les 4 paramètres sont
signi…catifs, et si l’on considère les autocorrélations, on obtient un bruit blanc : ce modèle peut être retenu.
Le modèle ARM A (2; 3) appliqué à Y 4t correspond au modèle estimé slide (110) : on peut noter que le
coe¢cient en AR (1) est non-signi…catif. Le slide (111) permet de rester la même équation sans retard d’ordre
1 sur Y 4t : tous les coe¢cients sont là aussi signi…catifs. Et si l’on considère l’autocorrélogramme des résidus
obtenus après régression (slide (11)), on peut noter qu’aucune autocorrélation n’est signi…activement non nulle
: l ’hytpothèse de bruit blanc est validée également par le Q¡test : ce modèle peut être retenu.
Le modèle ARM A (0; 4) appliqué à Y 4t correspond au modèle estimé slide (115) : les composantes d’ordre
2 et 3 sont ne sont pas signi…activement non nulles, et si l’on teste le modèle sans les composantes d’ordre
2 et 3, la composante d’ordre 1 n’est plus signi…cative. En…n, le modèle M A (4) ne marchant pas non plus,
ce modèle ne peut pas être retenu.
(iv) Le modèle AR (4) applique à Y 4t (slide (106)) est valide : il est possible de modéliser la série Xt sans
composante M A : le modèle
¢¡
¢
¡
(1 ¡ L) 1 ¡ L4 1 ¡ 0:6236L ¡ 0:5452L2 ¡ 0:5238L3 ¡ 0:2815L4 Xt = "t
est valide.
¡
¢
¢
¡
(v) Le modèle (1 ¡ L) 1 ¡ L4 (1 ¡ 0:8L) Xt = 1 ¡ 0:6L2 "t c’est à dire Y 4t modélisé par une modèle
ARM A (1; 2) est estimé dans le slide (88). Ce modèle est validé : les paramètres sont tous signi…catifs, et le
résidu est un bruit blanc. Ce modèle est retenu.
Les di¤érents modèles possibles sont alors
¢
¡
[1] - slide (96) (1 ¡ L) ¡1 ¡ L4 ¢ ¡Xt = (1 ¡¢ ¯L) ´ t¡
¢
[2] - slide (111) (1 ¡ L) ¡1 ¡ L4 ¢ ¡1 ¡ ®L2 Xt = 1 ¡ ¯ 1 L ¡ ¯ 2 L2¢¡ ¯ 3 L3 "t
[3] - slide (106) (1 ¡ L) ¡1 ¡ L4 ¢ 1 ¡ ®1 L ¡ ®2 L¡2 ¡ ®3 L3¢ ¡ ®4 L4 Xt = ut
2
[4] - slide (88) (1 ¡ L) ¡1 ¡ L4 ¢ ¡(1 ¡ ®L) Xt = 1 ¡
¢ ¯L ¡vt
¢
4
2
4
[5] - slide (131) (1 ¡ L) ¡1 ¡ L ¢ ¡1 ¡ ®2 L¢ ¡ ®4 L¡ Xt = 1 ¡ ¯ 1 L ¡ ¯ 2 L¢2 ¡ ¯ 5 L5 et
[6] - slide (123) (1 ¡ L) 1 ¡ L4 1 ¡ ®L2 Xt = 1 ¡ ¯ 1 L ¡ ¯ 3 L3 ¡ ¯ 4 L4 et
où ´t ; "t ; ut et vt sont des bruit blancs.
Les indicateurs de choix de modèles donnt les résultats suivants :
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
R2
0:2893
0:3322
0:3487
0:3273
0:9920
0:9913
2
R
log L
Akaike
Schwarz
F -stat
0:2893 ¡101:6273 ¡0:10115 ¡0:07025
0:3032 ¡94:7231 ¡0:13313 ¡0:00763 11:44084
0:3196 ¡91:8485 ¡0:13792 ¡0:01044 11:95962
0:3179 ¡97:4373 ¡0:15038 ¡0:08811 35:02662
0:9916 ¡92:8359 ¡0:15744 ¡0:00056 2117:092
0:9910 ¡99:1440 ¡0:08737 0:036229 2709:168
Comme le montre le tableau ci-dessus, le modèle [4] a beau être celui qui a été simulé, ce n’est pas celui qui
modéliser la mieux la série. En particulier, [5] présente un meilleur critère d’Akaike, et [6] un meilleur critère
de Schwarz (que l’on cherche à minimiser ), ainsi qu’une meilleure F -stat.
257