Exemples de processus stationnaires
Exemples de processus
stationnaires
Prévisions utilisant la
corrélation croisée; processus
linéaires; processus Gaussiens
Prévision utilisant la corrélation croisée
On dispose de deux processus conjointement stationnaires
et Supposons le modèle dynamique
suivant:
On suppose que , et que est un
processus bruit blanc indépendant de .
Si , on dit que mène . Dans le cas,
joue le rôle d’un input.
Si , on dit que retarde .
Calcul de la corrélation croisée
On aura donc:
La covariance croisée devrait donc ressembler à
l’autocovariance de ;
Compte tenu des propriétés de l’autocovariance, il devrait y
avoir un pic du côté positif si , lorsque mène
Il devrait y avoir un pic sur le côté négatif si , lorsque
retarde .
Processus linéaires
Posons:
On suppose que les coefficients satisfont la condition
Le processus est un processus bruit
blanc.
Par définition, le processus est un processus
linéaire.
On montre que le processus est stationnaire.
On montre donc les trois conditions.
Un processus linéaire est stationnaire
1.
2.
, indépendant de t.
3.
Or
On a donc que
Ainsi . En posant , on trouve que:
Puisque les trois conditions sont remplies on conclut que est
stationnaire.
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