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Thème.1:
Séries Chronologiques
Stationnaires en
Dimension un et
Prévision
MODELE.1.(Klein 1950)
Equation de consommation:
Ct = 0 + 1Pt + 2Pt 1 + 3 (Wtp + Wtg )+"1t
(1)
Equation d'investissement:
It = 0 + 1Pt + 2Pt 1 + 3Kt 1 + "2t (2)
Salaires dans le secteur privé:
Wtp = 0 + 1Xt + 2Xt 1 + 3(At 1931)+"3t
(3)
Demande d'équilibre:
Xt = Ct + It + Gt
(4)
Béné ces privés:
Pt = Xt Tt Wtp
(5)
Stock de capital:
Kt = Kt 1 + It
(6)
où Ct désigne la consommation; Pt les
pro ts réalisés dans le secteur privé; It
l'investissement; Xt la production industrielle;
Gt les dépenses publiques hors salaires; Tt
3
impôts sur les sociétés; Wtg , la masse salariale
globale dans le secteur publique; Wtp la masse
salariale dans le secteur privé; Kt, le stock de
capital et At la tendance.
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MODELE.2
(Ct
Ct 1) = (Ct
1
Ct 2) + "t
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COMPARAISON: PREVISION
NUMERIQUE
*Période d' estimation: 1920-1938
*Prévisions: 1939-1940-1941
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+ "t
Vrai valeur
61:6
65
69:7
Modèle.1
Modèle.2
61:36
60:537
65:18
64:61
73:4798
68:75
RM SE = 2:189 RM SE = 0:85
COMMENTAIRES
=) Malgré la simplicité du modèle.2, sa
prévision est comparable à celle donnée par
le modèle.1. plus sophistiqué. D' où l' intérêt
des modèles auto régressifs.
=) Mais le modèle.1 explique sa
prévision.
=) Alors que la prévision du modèle.2
est basée uniquement sur les propriétés statistiques de Ct. Pas de théorie économique.
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OBJECTIF:
*Identi er les modèles ARMA
*Prévoir
*Evaluation de la prévision
PLAN DU COURS
1.Processus Stochastique Stationnaire
2.Processus ARMA
3.Prévision pour un processus ARMA
4.Estimation
5.Identi cation par la méthode de BOX et
Jenkins
6.Evaluation de la Prévision
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I. PROCESSUS STOCHASTIQUES ET
STATIONNARITE: RAPPEL
* Les observations x1; x2; :::; xt d' une
variable économique X à des instants successifs 1; :::; t, re ètent avant tout la réalisation
un phénomène aléatoire.
* Les outils nécessaires à l' étude des processus aléatoires incluent forcément la notion d'
espace de probabilité et celle de variable aléatoire.
Espace de Probabilité
Un espace de probabilité est un triplet
( ; A; P ) où
. est l' univers
.A une famille de sous ensemble de
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,
stable par passage à la partie complémentaire
et par union dénombrable( algèbre).
.P une mesure de probabilté sur A.
Variable Aléatoire
Une application X de dans R est une
variable aléatoire réelle si: 8 I
R, I intervalle, X 1(I) A avec A le
algebre de
( ; A; P ).
Moments
Soit X et Y deux variables aléatoires dé nies
sur ( ; A; P ).
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E(X) =
Z
X(!)dP (!)
E(X)]2
V ar(X) = E[(X
Cov(X; Z) = E[(X
E(X)]E[(Z
.
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E(Z)]
A.Processus Stochastique
Un processus stochastique réel est une famille
de variables aléatoires (Xt; t Z) dé nies sur
un espace ( ; A; P ) et indéxée sur Z.
Trajectoire d' un Processus
Un processus stochastique réel (Xt; t Z)
permet de dé nir une fonction à deux variables dé nie sur Z
: (t; !) ! Xt(!)
Soit ! 0 un élément xé de . La fonction de
variable t dé nie sur Z : (t; ! 0) ! Xt(! 0)
est appelée réalisation ou trajectoire du
processus.
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Remarque.
Lorsque on observe x1; x2; :::; xt les valeurs
prises par une grandeur économique X , on
observe la réalisation d' un processus pour un
état xe ! 0 de l'économie.
B. ERGODICITE ET STATIONNARITE
*Dans les études empiriques, on n' observe
qu' une partie x1; x2; :::; xt de la trajectoire du
processus.
*L' ergodicité suppose intuitivement que
les propriétés statistiques observées sur cette
partie de la trajectoire soient représentatives
du reste de la trajectoire.
*La stationnarité suppose intuitivement
que les propriétés statistiques observables
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dans la partie x1; x2; :::; xt se reproduisent
dans le temps.
B1.STATIONNARITE FORTE
Une série chronologique (Xt; t Z) dé nie
sur ( ; A; P ) est fortement stationnaire si 8
(t1; :::; tk ), 8 s Z:
P (!= Xt1 (!)
a1; :::; Xtk (!)
ak )
=
P (!= Xt1+s(!)
a1; :::; Xtk +s(!)
ak )
la distribution de probabilité ne dépend
pas du temps.
B.2. STATIONNARITE EN MOYENNE,
EN VARIANCE.
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Une série chronologique (Xt; t Z) est stationnaire en moyenne si E(X) existe et est
constante:
E(Xt) = m < 1, 8t 2 Z
Elle est stationnaire en variance si la variance existe et est constante:
V ar(Xt) =
2
< 1, 8t 2 Z
B.3. STATIONNARITE FAIBLE
Une série chronologique (Xt; t Z) est stationnaire au sens faible si:
* Elle est stationnaire en moyenne et en
variance
*8t; s; u 2 Z: Cov(Xt; Xu) = Cov(Xt+h; Xu+h)
=)Fonction d' autocovariance:
Cov(Xt; Xt+h)
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(h) =
=) Fonction d' autocorrélation: (h) =
(h)= (0)
=)Corrélogramme: f(h; (h)g
C. QUELQUES PROPRIETES
Soit une série chronologique faiblement
stationnaire (Xt; t Z) sur ( ; A; P ) alors
*0
(0)
* (h) est paire,
*
(0)
(h)
(0) 8h Z
*L' espace L2( ; A; P ) muni du produit
scalaire < X; Y >= Cov(X; Y ) est un
espace de Hilbert.
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Exercice.1
On considère la séries chronologiques
(Xt; t Z) composée d'une série (Yt; t Z)
stationnaire en moyenne et d'une fonction
détérministe g(t):
Xt = Yt + g(t)
Proposez pour chaque cas un opérateur qui
permet de stationnariser la série en moyenne.
a). g(t) = 2 + 3t. b).g(t) = cos( 2 3 t)
Exercice.2
Soit l' opérateur linéaire F qui transforme
toute série chronologique (Xn; n Z) en
F (Xn) = Xn 6Xn 1 + aXn 2. Déterminer
la(ou les) solution(s) de l' équation F (Xn) en
fonction de X0 et X1 dans les cas où a = 0 et
a = 8.
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Exercice.3
Dans un article publié en 2006, Granger et
Starica proposent la modélisation suivante
pour la série Xt qui represente les rendements
de l'indice S$P500.
Xt = ht"t
ht constante par morceaux et "t stationnaire disons au sens faible. La série Xt est elle
stationnaire? si la réponse est non, comment
stationnariser Xt ?
Exercice.4
On considère la série chronologique suivante
Xt
St =
"i où ("t; t Z) une suite de varii=1
ables indépendantes avec "0 = 0 . St est elle
stationnaire? sinon proposez une méthode de
stationnarisation. Simmuler une trajectoire de
St à l'aide du logiciel R.
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Exercice.5
On considère le processus Xt =
A cos(!t) + B sin(!t). Avec A et B deux
variables aléatoires réelles telles que E(A) =
E(B) = 0, V ar(A) = V ar(B) = 2 < 1,
Cov(AB) = E(AB) = 0. Le processus Xt
est il stationnaire? Trajectoire simmulée avec
R en posant A et B uniformes?
Exercice.6
On considère le processus Yt = U cos( 3 t+V )
avec U ~N (0; 2) et V ~unif orme[ ; ].
On suppose que U et V sont indépendantes.
Stationnarité de Yt ?
Exercice.7
Les fonctions suivantes peuvent elle être des
fonctions d' autocovariance d'un processus
faiblement stationnaire?
1. (k) = 1 + jkj
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2. (k) = 1 + 0:25 sin(4k)
3. (k) = 1 + 0:25 cos(4k)
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*Programme R Exercice.4: marche
aléatoire
s=cumsum(rnorm(1000))+rnorm(1000)
plot(ts(s))
*Programme R Exercice 5: processus
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harmonique
x=(runif(1000,0,1)-0.5)*cos(0.5*(1:1000))+(runif(1000,0
0.5)*sin(0.5*(1:1000))
plot(ts(x))
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