PDF rapport

Modélisation numérique de la dispersion d'eaux usées en
mer.
Michaël Susini
2 Mai 2013
Travail dirigé par Monsieur Andrea Doglioli.
1
Table des matières
1 Introduction
2
2 Solution analytique
2
3 Loi uniforme et loi normale
3
4 Marche aléatoire
5
5 Théorème de la limite centrale
7
6 Modélisation de la diusion
7
7 Conclusion
9
8 Annexes
10
Je tiens à remercier dans un premier temps M. Andrea Doglioli pour son encadrement et
son suivi tout au long du semestre.
1 Introduction
Le mouvement brownien tire son nom du grand botaniste Robert Brown qui en 1827
le décrit pour la première fois en observant le mouvement désordonné et incessant de
particules à l'intérieur d'un grain de pollen. Il suppose donc en premier lieu que les
grains de pollen sont vivants mais pour s'en convaincre il réitère l'expérience avec des
minéraux et réalise les mêmes observations que sur le grain de pollen mais ne parvient pas
à trouver d'explication à ce phénomène. Il faudra attendre 1905 pour qu'Albert Einstein
explique ce mouvement aléatoire par la présence de molécules d'eau dans le liquide qui
entrent en collision avec les particules observées. Aujourd'hui le mouvement brownien
est utilisé dans de nombreuses disciplines comme la physique, la biologie, les nances. . .
Dans le cadre du projet le mouvement brownien sera utilisé pour modéliser la dispersion
des eaux usées à l'émissaire de Cortiou.
2 Solution analytique
Le physiologiste Allemand Adolf Eugene Fick résout ce problème de diusion analytiquement au 19ème siècle. Grâce a sa seconde loi il permet de représenter théoriquement
la diusion d'un uide dans un milieu.
2
Seconde loi de Fick :
∂C
= k∇2 C + ε
∂t
. ε représente les apports, dans ce cas précis ε = 0
Solution analytique à cette équation :
C(x, t) = Co ∗
1
(4 ∗ π ∗ Kc ∗ t)
−x2
3
2
∗ e 4∗Kc∗t
.
Où σ 2 =2*Kc*t et t 6= 0
Figure 1 Superposition d'une gausienne à la solution analytique.
La courbe en bleu représente la courbe de concentration et la courbe en rouge un gaussienne de référence, en superposant ces deux courbes il est possible de déduire que la
courbe de concentration décrit une gaussienne.
3 Loi uniforme et loi normale
Sur le logiciel Matlab il existe deux fonctions permettant un tirage aléatoire rand et
randn. 100 Tirages vont être simulés an de comparer ces deux fonctions.
3
Loi uniforme :
Figure 2 Histogramme obtenu avec la fonction rand.
Sur le graphique les résultats des tirages sont répartis de manière homogène entre 0 et
1, En approchant plus ou moins la valeur de 10 tirages par tranche de 0,1. La courbe en
rouge représente un tirage aléatoire suivant une loi uniforme cette histogramme semble
y correspondre, avec un plus grand nombre de tirages la précision aurait été meilleure.
On en déduit donc que la fonction rand suit une loi uniforme.
4
Loi normale :
Figure 3 Histogramme obtenu avec la fonction randn.
Contrairement à la gure précédente les résultats de tirages ne sont pas répartis de
manière homogène. La courbe rouge est une gaussienne et semble correspondre à l'histogramme, la fonction randn suit donc une loi normale.
4 Marche aléatoire
Le mouvement aléatoire d'une particule puis de plusieurs particules va être simulé suivant
une loi uniforme et une loi normale sur un plan à deux dimensions :
5
Figure 4 Mouvement aléatoire d'une particule.
Figure 5 Mouvement aléatoire de 30 particules.
6
5 Théorème de la limite centrale
Figure 6 Répartition de la concentration pour 100 particules.
En observant la répartition de concentration de 100 particules après diusion obtenues
avec la loi uniforme et la loi normale une courbe gaussienne se dessine, ce phénomène
est établit par le théorème de la limite centrale qui arme que toute somme de variables
aléatoires indépendantes et identiquement distribuées tend vers une variable aléatoire
gaussienne. Utiliser la loi uniforme ou normale revient donc au même, seul la loi normale
sera utilisé pour la suite du rapport.
6 Modélisation de la diusion
A présent il est intéressant d'observer l'évolution de la concentration de nos particules
en fonction du temps. Dans la gure suivante les unités de temps et d'espaces et de
concentrations sont arbitraires, Les particules sont préalablement placées au centre de
cette matrice au temps T1.
7
Figure 7 Evolution de la diusion dans le temps.
Le même algorithme va être appliqué avec les approximations adéquates de la calanque
de Cortiou.
Les coordonnées GPS de Cortiou sont approximativement : latitude = 43,5 ; longitude
=5,5.
Figure 8 Positionnement à l'émissaire de Cortiou.
8
Le courant à la sortie de l'émissaire est d'environ 10cm/s dans la direction du Sud, En
prenant 1 degré de latitude environ égal à 111km il faudra 6 jours pour qu'une particule
parcourt 0,5 degré de latitude
Figure 9 Parcours des particules en 6 jours.
7 Conclusion
Le mouvement observé par Brown peut être modélisé grâce au logiciel Matlab avec les
fonctions de tirage aléatoire qui peuvent toutes être utilisées car cela n'inue pas sur la
répartition des particules comme le montre le théorème de la limite centrale. Le mouvement brownien est donc utile pour simuler la diusion de particules dans un uide, ce
modèle peut être ensuite appliqué à des cas réels comme la dispersion des eaux usées
de Cortiou ou à d'autres phénomènes similaires en ajoutant les paramètres du milieu.
Dans le cas du rapport seul le courant a été pris en compte mais pour plus de précision
il aurait été intéressant de pouvoir dénir la concentration en particules en m3, de faire
varier la dispersion en fonction de la direction du vent et de son intensité, de connaitre les
débits réels de la station d'épuration située en amont etc. Des paramètres liés au milieu
permettant de coller au mieux à la réalité.
9
8 Annexes
Figure 10 Algorithmes utilisés pour la loi uniforme et la loi normale.
Figure 11 Algorithme nal.
10