Di usion de particules Notes de cours - Alain Le Rille

physique
année scolaire 2014/2015
Diusion de particules
Notes
de cours
mardi 9 septembre 2013
I- Etablissement de l'équation de diusion des particules
1. Loi de Fick
Bref historique
s'y retrouver
Intérêt de l'étude
s'y retrouver
le physiologiste allemand Fick a étudié, le premier, la diusion vers 1850.
la diusion intervient dans de nombreux champ, en particulier :
• en biologie ;
• en chimie (en ce qui concerne la migration d'une espèce lors d'une chromatographie) ;
• en physique nucléaire (elle est le fondement de la séparation isotopique de l'uranium, mais est aussi
présente au c÷ur d'un réacteur nucléaire en ce qui concerne les neutrons) ;
• en physique des matériaux (la diusion des porteurs de charge dans une jonction p − n a une forte
incidence sur les propriétés électriques et optiques des diodes, diodes électroluminescentes et diodes
lasers).
Densité de particules :
dénition
Le nombre N0 de particules du système (ouvert) déni par le volume V , délimité par la surface fermée
Σ est :
ZZZ
N0 =
n0 .d3 τ
V
où n0 est la densité volumique de ces particules (en m−3 ).
Flux de particules à travers une surface orientée :
Le nombre dN0 de particules qui traversent une surface orientée S pendant dt est :
dN0 = φN .dt avec : φN =
ZZ
dénition
~
~jN .d2 S
S
Le ux φN s'exprime en s−1 .
Flux de particules à travers une surface orientée.
schéma
La gure 1 représente le ux de particules à travers une surface orientée.
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Figure 1 Flux de particules à travers une surface orientée.
Densité volumique de ux de particules :
dénition
~jN est le vecteur densité de courant de particules (
~jN en m−2 .s−1 ). Il vaut
~jN = n.~v
où ~v est la vitesse moyenne des particules.
Flux de particules à travers une surface fermée :
dénition
Un bilan pour le système délimité par la surface fermée Σ donne (s'il n'y a ni création, ni annihilation
de ces particules par une réaction) :
ZZ
dN0
~
= − ~jN .d2 Σ
dt
Σ
Conventions thermodynamiques.
schéma
La gure 2 représente une surface fermée. On introduit un signe moins dans les bilans car les conventions
de l'analyse vectorielle et de la thermodynamique sont diérentes.
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Figure 2 Conventions thermodynamiques.
Loi de Fick :
On admet la loi phénoménologique suivante (loi de Fick) :
dénition
−→
~jN = −D.−
grad (n0 )
où D est le coecient de diusion (en m2 .s−1 ).
s'y retrouver
A une dimension x, la loi de Fick devient
~jN = −D. ∂n .~ux
∂x
La loi de Fick revient à supposer une réponse (~jN ) proportionnelle aux causes (les inhomogénéités de
n0 ).
Le signe est là car les particules vont vers les zones peu denses.
2. Coecients de diusion
Propriétés du coecient de diusion :
D s'exprime en en m .s
2
−1
. On peut le supposer indépendant de n.
s'y retrouver
Exemples de coecients d'autodiusion de gaz
tableau
Le tableau 1 présente quelques valeurs numériques de coecients d'autodiusion de gaz à 20 C et P =
1atm.
◦
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espèce
D en m2 .s−1
44.10−7
90.10−7
200.10−7
Xe
Kr
N2
Table 1 Quelques coecients d'autodiusion de gaz à 20◦ C et P = 1atm
Exemples de coecients de diusion dans l'eau
tableau
Le tableau 2 présente quelques valeurs numériques de coecients diusion moléculaire dans l'eau à 25◦ C .
molécule
N aCl
sucre
D en m2 .s−1
19.10−10
5, 2.10−10
Table 2 Quelques coecients de diusion moléculaire dans l'eau à 25◦ C
Modèle brownien :
Un modèle brownien de l'agitation moléculaire conduit à la formule d'Einstein :
D=
s'y retrouver
kB .T
6.π.a.η
où a est le rayon des particules dont on observe la diusion dans un uide de viscosité η , à la température
T.
Modèle collisionnel :
Le coecient de diusion des particules du gaz dans lui-même est :
D=
s'y retrouver
1
hli . hvi
3
où le libre parcours moyen hli est un ordre de grandeur de la distance parcourue entre deux chocs.
Loi de Graham :
s'y retrouver
On admet la loi de Graham :
3
D=
3
2.R 2 T 2
√
√
3. πσ P. M
Expérimentalement, la dépendance de D en P −1 est bien vériée. Cependant on observe une variation
expérimentale de D avec T α , où 1, 6 6 α 6 2, plutôt que α = 1, 5 comme prévu par l'expérience.
Exemples de coecients de diusion de gaz
tableau
Le tableau 3 présente quelques valeurs numériques de coecients de diusion de gaz dans l'air à 0◦ C et
1
P = 1atm. D varie comme M − 2 et donc diminue à mesure que la masse augmente.
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gaz
H2
CH4
O2
CO2
D en m2 .s−1
611.10−7
196.10−7
178.10−7
138.10−7
Table 3 Quelques coecients de diusion de gaz dans l'air à 0◦ C et P = 1atm
Utilisation de la diusion pour l'enrichissement de l'uranium.
photo
La quasi-totalité des centrales nucléaires utilise un combustible enrichi à environ 4% en uranium 235
alors que cet élément n'est présent qu'à 0, 7% dans l'uranium naturel essentiellement composé d'uranium
238. Un enrichissement à des teneurs en isotope 235 encore plus fortes est nécessaire pour la propulsion
navale, ou les besoins militaires. En France, la diusion gazeuse pour la séparation isotopique des isotopes
de l'uranium a été mise en ÷uvre dès 1958 à Pierrelatte pour obtenir l'uranium très enrichi de la défense
nationale. Depuis 1979, l'usine Georges-Besse d'EURODIF assure une production d'uranium enrichi pour
des besoins civils. Cette très grosse usine est implantée sur le site de la centrale de Tricastin dans la vallée
du Rhône.
L'uranium est injecté sous forme d'hexauorure d'uranium U F6 gazeux. Les molécules d'hexauorure
doivent traverser des membranes très nes percées de milliards de pores au cm2 . Les molécules plus
légères contenant l'isotope 235 U franchissent un tout petit peu plus rapidement ces barrières que l'isotope
238
U . Au bout de 1400 barrières à l'usine Georges-Besse, on obtient le taux d'enrichissement d'environ
4%.
Vous pouvez retrouver la photo sur le site alain.lerille.free.fr.
1 Utilisation de la diusion pour l'enrichissement de l'uranium.
exercice
On donne la masse molaire du uor : M (F ) = 19g.mol−1 .
B Calculer la variation relative des coecients de diusion des deux isotopes de l'uranium dans U F6
gazeux.
3. Bilans de particules
2 Equation de diusion sans création ni annihilation à une dimension théorème
L'équation de diusion à une dimension (x) dans un milieu homogène de coecient de diusion D,
sans création ni annihilation, est (si la densité de particule est n0 (x, t)) :
∂n0
∂ 2 n0
=D
∂t
∂x2
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S'il y a création et/ou annihilation, il faut rajouter (et/ou soustraire) des termes dans l'équation de
diusion.
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3 Equation de diusion sans création ni annihilation à trois dimensions théorème
L'équation de diusion à trois dimensions dans un milieu homogène de coecient de diusion D, sans
création ni annihilation, est
∂n0
= D.∆n0
∂t
Passer du 3D au cartésien
s'y retrouver
On retrouve bien sûr l'équation à une dimension, en utilisant le laplacien en coordonnées cartésiennes :
∆n0 =
∂ 2 n0
∂ 2 n0
∂ 2 n0
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
Passer du 3D au cylindrique
On peut utiliser le laplacien en coordonnées cylindriques si n0 (r, t) :
1 ∂
∆n0 =
r ∂r
∂n0
r
∂r
Passer du 3D au sphérique
On peut utiliser le laplacien en coordonnées sphériques si n0 (r, t) :
1 ∂
∆n0 = 2
r ∂r
r
s'y retrouver
2 ∂n0
s'y retrouver
∂r
II- Solution de l'équation de diusion
1. En régime permanent
Position du problème à une dimension
schéma
La gure 3 représente une tige homogène, de section constante S , de longueur LAB , fermée sur ses surfaces
∂
latérales, mise en contact avec deux milieux en xA et en xB , en régime permanent ( ∂t
= 0).
Figure 3 Position du problème à une dimension
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4 Solution de l'équation de diusion en régime permanent
théorème
5 Résistance pour la diusion des particules
théorème
On se souviendra qu'en régime permanent, dans un milieu homogène :
• la grandeur qui diuse (n(x)) suit une loi ane,
• le ux (φn ) est constant.
nA − nB = Rn .φn
avec Rn =
LAB
D.S
Rn s'exprime en s.m−3 .
2. En régime quelconque
Propriétés de l'équation de diusion
s'y retrouver
Cette équation étant non invariante par transformation du sens d'écoulement du temps (t → −t), la
diusion est irréversible.
Il y a unicité de la solution. Il existe des solutions analytiques dans des cas particuliers, mais souvent il
faut faire appel à une résolution numérique.
Les constantes d'intégration sont déterminées par les conditions aux limites (spatiales et temporelles).
Solution gaussienne de l'équation de diusion
animation
Solution intégrale d'une gaussienne de l'équation de diusion
animation
La distribution de particules initialement disposées en x = 0 est une gaussienne dont la largeur augmente
au cours du temps. C'est aussi le cas de la distribution de température pour une barre initialement chauée
en x = 0. On voit que le processus de diusion est irréversible.
Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site alain.lerille.free.fr.
La distribution de température d'une barre dont les deux extrémités sont mises en contact avec des sources
de chaleur diérentes est l'intégrale d'une gaussienne (fonction erf ). On voit que le processus de diusion
tend à rendre ane la distribution si t → ∞.
Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site alain.lerille.free.fr.
Solution numérique :
s'y retrouver
Ordre de grandeur :
s'y retrouver
Il se peut que l'on ne trouve pas de solution analytique à l'équation de diusion. On fait alors appel à
une solution numérique, trouvée par ordinateur.
L'équation de diusion fait apparaître un temps caractéristique τ pour un système de taille caractéristique L :
√
1
D
∼ 2
τ
L
On voit donc que L varie comme τ : la diusion est un phénomène lent, dans la mesure où, pour des
tailles macroscopiques, les temps de diusion sont souvent très grands.
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III- Approche microscopique du phénomène de diusion
1. Caractéristiques du mouvement brownien
Mouvement brownien :
s'y retrouver
Brown a étudié le mouvement de pollens dans l'eau, soumis aux chocs aléatoires des molécules d'eau.
Vitesse quadratique moyenne, temps de vol et libre parcours moyen : dé-
nition
En moyenne, une particule de mass em se déplace de façon rectiligne uniforme sur une longueur ` (le
libre parcours moyen) entre deux chocs éloignés dans le temps de ∆t (le temps de vol).
`
est telle que l'énergie cinétique moyenne de la particule est
Sa vitesse quadratique moyenne vq = ∆t
1
2
Ec = 2 mvq .
2. Modèle de la marche au hasard
Marche au hasard à une dimension
schéma
La gure 4 représente les diérents chemins possibles le long d'un axe x en fonction du temps t pour une
marche au hasard qui se fait en se déplaçant de ∆x vers la gauche ou vers la droite tous les ∆t.
Vous pouvez retrouver le schéma animé sur le site alain.lerille.free.fr.
Figure 4 Marche au hasard à une dimension
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Probabilité d'une position dans le cas de la marche au hasard à une dimension
schéma
La gure 5 représente l'évolution de la probabilité d'être en x en fonction du temps t (après n pas, donc
n∆t) dans le cas de la marche au hasard qui se fait en se déplaçant de ∆x vers la gauche ou vers la droite
tous les ∆t.
Vous pouvez retrouver le schéma animé sur le site alain.lerille.free.fr.
Figure 5 Probabilité d'une position dans le cas de la marche au hasard à une dimension
3. Modèle probabiliste
Probabilité continue :
s'y retrouver
On admet que, si le nombre de pas est susamment grand, la probabilité d'être en x est gaussienne. En
fait,
p(x) = √
x2
1
e− 4Dt
4πDt
où D est le coecient de diusion pour que n0 = N0 p(x) vérie l'équation de diusion.
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Moyenne d'une grandeur
dimension :
2
p(x) = Ae
x
− Dt
f (x)
dans le cas de la marche au hasard à une
dénition
est la probabilité pour la particule d'être en x. La moyenne de la grandeur f est :
Z
+∞
< f >=
f (x)p(x)dx
−∞
6 Quelques moyennes dans le cas de la marche au hasard à une dimension :
théorème
En moyenne, la particule ne bouge pas : < x >= 0 mais la probabilité de la trouver plus loin de l'origine
augmente, et on peut quantier la distance moyenne de la particule à l'origine grâce à
√
< x2 > =
√
2Dt
7 Expression du coecient de diusion D en fonction du libre parcours moyen
et de la vitesse quadratique moyenne :
théorème
Le coecient de diusion est relié à `, le libre parcours moyen, et vq , la vitesse quadratique moyenne,par :
D ≈ `vq
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Technique
à maîtriser
jeudi 11 septembre 2013
I- Les capacités exigibles
1. Bilans de particules
ce qu'il faut savoir faire
capacités
Exprimer le nombre de particules traversant une surface en utilisant le vecteur ~jN .
Utiliser la notion de ux pour traduire un bilan global de particules.
Établir une équation traduisant un bilan local dans le seul cas d'un problème unidimensionnel en géométrie cartésienne, éventuellement en présence de sources internes.
Admettre et utiliser une généralisation en géométrie quelconque utilisant l'opérateur divergence et son
expression fournie.
Utiliser la loi de Fick. Citer l'ordre de grandeur d'un coecient de diusion dans un gaz dans les conditions usuelles.
Utiliser la conservation du ux sous forme locale ou globale en l'absence de source interne.
Établir une équation de la diusion dans le seul cas d'un problème unidimensionnel en géométrie cartésienne.
Utiliser une généralisation en géométrie quelconque en utilisant l'opérateur laplacien et son expression
fournie.
2. Solutions de l'équation de diusion
ce qu'il faut savoir faire
capacités
Analyser une équation de diusion en ordre de grandeur pour relier des échelles caractéristiques spatiale
et temporelle.
3. Modèle de la marche au hasard
ce qu'il faut savoir faire
capacités
Mettre en place un modèle probabiliste discret à une dimension de la diusion (marche au hasard) et
évaluer le coecient de diusion associé en fonction du libre parcours moyen et de la vitesse quadratique
moyenne.
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II- Méthodes
1. Bilans de particules
A) Etablissement de l'équation de diusion des particules
RRR
méthode
Il s'agit de faire un bilan particulaire : le nombre de particules N =
nd3 τ du système déni (qui vérie
les symétries du problème) varie pendant dt de dN = +C.dt−A.dt+dNe , où A est le terme d'absorption,
e
C le terme de création, et le nombre de particules échangées dNe est tel que dN
dt est égal au ux de
−→
~jN à travers les parois du système orientées vers l'intérieur. On utilise la loi de Fick ~jN = −D.−
gradn.
d 2S3
2
d S
En cartésien, il faut prendre comme système
un élément de volume compris entre x et
x + dx et bien penser à orienter les vecteurs
surface vers l'intérieur du système.
1
x
2
d S
2
x + dx
2. Solutions de l'équation de diusion
B) Ordre de grandeur et diusion de particules
méthode
L'équation de diusion fait apparaître un temps caractéristique τ pour un système de taille caractéristique L :
1
D
∼ 2
τ
L
3. Modèle de la marche au hasard
C) Evaluer le coecient de diusion à partir du modèle de la marche au
hasard
méthode
On peut relier le libre parcours moyen `, le coecient de diusion D et le temps de vol ∆t grâce à
l'équation de diusion :
1
D
≈ 2
∆t
`
soit
D≈
`2
= vq `
∆t
avec vq , la vitesse quadratique moyenne.
Les calculs dans le détail sont plus compliqués et partent du modèle discret de la marche au hasard à
une dimension avant de passer à une densité de probabilité continue.
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III- Exercices supplémentaires
1. Bilans de particules
1.1) Diusion de particules à trois dimensions sans absorption ni création
Quelle est l'équation que suit n0 , la densité volumique de particules dans un milieu homogène à trois
dimensions, de coecient de diusion D, sans création ni annihilation ?
∂n0
∂t
= D.∆n0 .
1.2) Diusion de particules à une dimension sans absorption ni création
Quelle est l'équation que suit n0 , la densité volumique de particules dans un milieu homogène à une dimension
x, de coecient de diusion D, sans création ni annihilation ?
∂n0 (x,t)
∂t
= D. ∂
2
n0 (x,t)
.
∂x2
1.3) Diusion de particules à une dimension avec absorption et création
Quelle est l'équation que suit n0 , la densité volumique de particules dans un milieu homogène à une dimension
x, de coecient de diusion D, avec création et annihilation ?
∂n0 (x,t)
∂t
= D. ∂
2
n0 (x,t)
∂x2
+ C − A.
1.4) Création par réaction en chaîne dans un réacteur nucléaire
On s'intéresse aux neutrons créés par la réaction nucléaire qui a lieu dans le c÷ur du réacteur. Chaque
neutron va casser plusieurs noyaux et ainsi donner naissance à de nouveaux neutrons.
Ecrire l'équation de diusion pour la densité n0 des neutrons.
∂n0 (x,t)
∂t
= D.∆.n0 (x, t) + c.n0 (x, t).
1.5) Source radioactive de particules
On s'intéresse à une source qui génère par une réaction radioactive des particules en un point O : dN
dt O = S0 .
On se place en régime permanent. Les particules diusent avec un coecient D dans le milieu environnant.
Comme la diusion est isotrope, la densité n0 des particules ne dépend que du rayon r dans les coordonnées
sphériques.
1) Déduire l'équation diérentielle suivie par n0 grâce à l'expression du laplacien en sphérique :
1 ∂
∆f = 2
r ∂r
r
2 ∂f
∂r
si f (r, t).
∆n0 (r) =
1
r 2 . sin θ
∂
∂r
0
r2 . sin θ. ∂n
∂r
=
1
r2
h
i
2 ∂ 2 n0
0
2.r. ∂n
∂r + r ∂r 2 .
1.6) Séparation isotopique
L'uranium naturel contient une faible proportion (0, 72%) de l'isotope 235, qui seul intéresse l'industrie
nucléaire, le reste étant de l'isotope 238. Il convient donc d'enrichir le minerai naturel en 235 U . On commence
pour cela à préparer l'hexauorure U F6 , gazeux.
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La diusion est d'autant plus rapide que les molécules sont plus légères (loi de Graham) : le coecient de
diusion dépend de la masse molaire M en √1M .
On arrive à une séparation acceptable moyennant de très nombreux passages successifs du mélange gazeux
à travers des cloisons poreuses.
1) Calculer le rapport r des vitesses de diusion de 235 U F6 et 238 U F6 , connaissant la masse molaire du
uor : M (F ) = 19g.mol−1 .
1)
r = 1, 00429.
2. Solutions de l'équation de diusion
2.7) Temps de diusion du CO2 dans une pièce
On donne le coecient de diusion du dioxyde de carbone dans l'air : D = 0, 14.10−4 m2 .s−1 .
1) Calculer l'ordre de grandeur de la durée t que mettrait du dioxyde de carbone à diuser dans une salle
dont le volume vaut V = 50m3 .
1)
t = 11jours.
2.8) Absorption de neutrons par le bore
On considère une assemblée de neutrons dans un milieu leur faisant subir de nombreux chocs, qui leur
communiquent une vitesse d'agitation moyenne constante v . On appellera n(x, y, z, t) le nombre de neutrons
par unité de volume.
1) Rappeler la loi de Fick qui donne le vecteur densité de courant de neutrons ~jn , dont le ux à travers une
surface quelconque est égal au nombre de neutrons traversant cette surface par unité de temps.
Le milieu absorbe les neutrons et on supposera que chaque neutron parcourt une distance λa jusqu'à son
absorption. Le nombre A de réactions d'absorption par seconde et par unité de volume est A = n.v
λa .
2) Vérier que cette relation est homogène.
3) Etablir l'équation aux dérivées partielles vériées par n.
On se place dans un milieu semi-inni situé dans le demi-espace correspondant aux valeurs positives de x (un
mur). Il est limité en x = 0 par une source plane délivrant N0 neutrons par unité de surface et par seconde.
4) Calculer la densité de neutrons n(x) en régime permanent.
5) Déterminer l'épaisseur L du mur pour diminuer la densité de neutrons d'un facteur 1000.
q
L. = 3.ln(10) λav.D .
2.9) Stabilité d'un réacteur nucléaire
1) On considère une assemblée de neutrons dans un milieu leur faisant subir de nombreux chocs, qui leur
communiquent une vitesse d'agitation moyenne constante v . On appellera n(x, y, z, t) le nombre de neutrons
par unité de volume.
Le milieu absorbe les neutrons et on supposera que chaque neutron parcourt une distance λa jusqu'à son
absorption.
Le nombre A de réactions d'absorption par seconde et par unité de volume est A = n.v
λa .
1.a) Vérier que cette relation est homogène.
On supposera en outre que le milieu contient des sources de neutrons représentées par la création de S(x, y, z)
neutrons par seconde et par unité de volume.
1.b) En admettant le modèle simple suivant lequel, lors d'une absorption, il y a capture d'un neutron
qui donne lieu à une ssion délivrant K neutrons, exprimer S(x, y, z).
2) On considère le cas d'un réacteur nucléaire en régime permanent, compris entre deux faces planes
perpendiculaires à Ox aux points d'abscisse x = ± a2 . sur lesquelles la densité de neutrons est nulle : n(x =
± a2 ) = 0. (régime stable d'un réacteur nucléaire).
2.a) Établir l'équation diérentielle suivie par n dans un tel milieu.
2.b) Que doit vérier K − 1 ?
2.c) Donner la forme de la répartition correspondante de densité n(x) des neutrons.
2.d) Exprimer alors v pour que le réacteur atteigne eectivement un régime stable (régime critique).
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d2 n
dx2
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n.v
+ (K − 1) D.λ
= 0. Pour s'annuler en x = ± a2 , la densité de neutrons doit être : n = n0 . cos π.x
a . Il
a
faut que v =
π 2 λa .D
a2 K−1
3. Modèle de la marche au hasard
3.10) De la marche au hasard à la densité de probabilité gaussienne
1) On s'intéresse à une particule qui se déplace selon l'axe x sur une longueur ` vers la gauche ou vers la
droite tous les ∆t. On prendra n et k entiers et on appelle p (k, n) la probabilité d'être en x = k` à la date
t = n∆t.
1.a) Que doit vérier k pour que p soit non nul ?
n!
.
1.b) Exprimerp (k, n) en utilisant la fonction Cnp = p! (n−p)!
2) On suppose que n 1. On admet que dans ce cas :
Cnp
∼
2n
r
2 2
−2 n
exp
−p
πn
n 2
2.a) Que devient p (k, n) ?
2.b) En passant au continu, exprimer la densité de probabilité p (x, t) telle que p (x, t) × 2` = p (k, n).
1
2.c) On peut montrer que p (x, t) = √4πDt
e− . Exprimer alors le coecient de diusion D en fonction
x2
4Dt
de ` et ∆t.
D=
`2
2∆t .
3.11) Solution gaussienne de l'équation de diusion
N
1) Montrer que n0 (x, t) = √4πDt
e−
vérie l'équation de diusion à une dimension
x2
4Dt
∂n0
∂t
2
= D ∂∂xn20 .
Ca marche bien !
3.12) Densité de probabilité gaussienne
On admet que
(
R +∞
2
e−α x dx
−∞
R +∞ 2 −α x2
x e
dx
−∞
=
=
pπ
α
pπ
1
2α
α
1) Déterminer le coecient de normalisation A de la densité de probabilité p (x, t) = Ae−
2) Calculer < x >, la valeur moyenne de x.
3) Calculer < x2 >, la moyenne quadratique de x.
On trouve A =
√ 1
,
4πDt
< x >= 0 et < x2 >=
√
x2
4Dt
.
Dt.
3.13) De la marche au hasard à la la formule d'Einstein
On admet que les trois directions de l'espace étant indépendantes,
< x2 + y 2 + z 2 >=< x2 > + < y 2 > + < z 2 >= 3 < x2 >
1) Le modèle de la marche au hasard à une dimension suivant x donne à la date t :
< x2 >= 2Dt
où D est le coecient de diusion. En déduire < x2 + y 2 + z 2 > pour un modèle à trois dimensions.
2) L'observation du mouvement brownien de particules de taille a à la surface d'un liquide de viscosité η à
la température T aboutit à la relation :
< x2 + y 2 >=
2kB T
t
3πηa
En déduire le coecient de diusion D de ces particules de taille a dans le volume du liquide de viscosité η à
la température T .
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D=
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kB T
6πηa .
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physique
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Résolution
de
problème
vendredi 12 septembre 2013
Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.
La carburation de l'acier
D'après ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2011 - PARTIE D
Disponible sur le site scei-concours
Faire diuser du carbone pour durcir l'acier.
Les procédés de traitements thermochimiques de surface par réaction hétérogène gaz-solide consistent à exposer, à une température
inférieure à la température de fusion de l'acier que constitue la pièce
métallique à un environnement gazeux contenant l'espèce chimique à
introduire. Ce traitement, largement usité en milieu industriel, est un
processus lent et thermiquement activé qui permet d'introduire un élément en surface d'une pièce métallique comme les aciers sans passer
par la phase liquide ; opération qui serait très couteuse compte tenu
des températures de fusion élevées des aciers. Il permet d'améliorer
notablement les propriétés mécaniques des pièces mais nécessite des
temps de traitement relativement longs qu'il convient d'optimiser.
À titre d'exemple, si l'on souhaite connaître le temps de traitement nécessaire à une diusion du carbone dans l'austénite à 900◦ C
d'un acier initialement à un pourcentage massique en carbone 0,5% de
telle façon que ce pourcentage atteigne après traitement 1% en masse
de carbone à 1mm de la surface, un temps de diusion d'environ 74
heures est nécessaire ! Cet exemple montre que les conditions de diusion en phase solide conduisent à des temps de traitement très longs,
dicilement compatibles avec la production industrielle.
Ces durées peuvent être cependant considérablement réduites si
l'on augmente la température de traitement. Ainsi si on élève de 50◦ C
la température de traitement par rapport au calcul précédent, le temps de diusion se réduit à 14 heures. En
eet, le coecient de diusion dépend exponentiellement de la température T selon une loi de type Arrhénius :
D = D0 exp
−Q
RT
avec R = 8, 314 J · K−1 · mol−1 , D0 le facteur pré-exponentiel qui correspond au coecient de diusion pour
une température innie et Q l'énergie d'activation. Dans le cas de la diusion du carbone dans l'austénite,
D0 = 1, 5 × 10−6 cm2 · s−1 et Q = 313 × 103 kJ · mol−1 .
Enoncé
1) Si la durée de traitement est d'environ 74 heures à 900◦ C, de combien de degrés faut-il augmenter la
température pour faire tomber la durée du traitement à 14 heures.
Travaux
pratiques
vendredi 12 septembre 2013
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La moitié de la classe fait un TP d'électricité sur les ltres inconnus.
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Approche
documentaire
vendredi 12 septembre 2013
Le document est à lire, l'exercice est à rendre. Les troisième et quatrième élève dans la liste feront un exposé.
Sur la théorie du mouvement brownien
Note de M. P. LANGEVIN, présentée par M. Mascart
Comptes-rendus de l'Académie des Sciences 146 (1908), 530-532. Lire en ligne sur Gallica.
En 1908, Paul Langevin va développer une approche nouvelle, qui permet de
k T
.
retrouver la relation d'Einstein D = 6πηa
B
I. Etudes du mouvement brownien par Einstein
Le très grand intérêt théorique présenté par les phénomènes de mouvement brownien a été signalé par M.
Gouy : on doit à ce physicien d'avoir formulé nettement l'hypothèse qui voit dans ce mouvement continuel
des particules en suspension dans un uide un écho de l'agitation thermique moléculaire, et de l'avoir justiée expérimentalement, au moins de manière qualitative, en montrant la parfaite permanence du mouvement
brownien et son indiérence aux actions extérieures lorsque celles-ci ne modient pas la température du milieu.
Une vérication quantitative de la théorie a été rendue possible par M. Einstein, qui a donné récemment une
formule permettant de prévoir quel est, au bout d'un temps donné τ , le carré moyen ∆2x du déplacement ∆x
d'une particule sphérique dans une direction donnée x par suite du mouvement brownien dans un liquide, en
fonction du rayon a de la particule, de la viscosité µ du liquide et de la température absolue T . Cette formule
est
(1) ∆2x =
RT 1
τ
N 3πµa
où R est la constante des gaz parfaits et N le nombre de molécules dans une molécule-gramme, nombre bien
connu aujourd'hui et voisin de 8 × 1023 .
M. Smoluchowski a tenté d'aborder le même problème par une méthode plus directe que celles employées
par M. Einstein dans les deux démonstrations qu'il a données successivement de sa formule, et a obtenu pour
∆2x une expression de même forme que (1), mais qui en dière par le coecient 64/27.
II. Calcul par la méthode de Langevin
J'ai pu constater tout d'abord qu'une application correcte de la méthode de M. Smoluchowski conduit à
retrouver la formule de M. Einstein exactement et, de plus, qu'il est facile de donner, par une méthode toute
diérente, une démonstration inniment plus simple.
Le point de départ est toujours le même : le théorème d'équipartition de l'énergie cinétique entre les divers
degrés de liberté d'un système en équilibre thermique exige qu'une particule en suspension dans un uide
quelconque possède, dans la direction x, une énergie cinétique moyenne RT
2N égale à celle d'une molécule gazeuse
de nature quelconque dans une direction donnée, à la même température. Si ξ = dx
dt est la vitesse à un instant
donné de la particule dans la direction considérée, on a donc pour la moyenne étendue à un grand nombre de
particules identiques de masse m
(2) mξ 2 =
RT
N
Une particule comme celle que nous considérons, grande par rapport à la distance moyenne des molécules et se
mouvant par rapport à celui-ci avec la vitesse ξ subit une résistance visqueuse égaie à −6πµaξ d'après la formule
de Stokes. En réalité, cette valeur n'est qu'une moyenne et en raison de l'irrégularité des chocs des molécules
environnantes, l'action du uide sur la particule oscille autour de la valeur précédente, de sorte que l'équation
du mouvement est, dans la direction x
(3) m
d2 x
dx
= −6πµa
+X
dt2
dt
Sur la force complémentaire X , nous savons qu'elle est indiéremment négative et positive, et sa grandeur est
telle qu'elle maintient l'agitation de la particule que, sans elle, la résistance visqueuse nirait par arrêter.
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L'équation (3) multipliée par x peut s'écrire
(4)
m d2 x2
dx2
2
−
mξ
=
−3πµa
+ X ·x
2 dt2
dt
Si nous considérons un grand nombre de particules identiques et prenons la moyenne des équations (4) écrites
pour chacune d'elles, la valeur moyenne du terme X · x est évidemment nulle à cause de l'irrégularité des actions
2
complémentaires X , et il vient, en posant z = dx
dt
m dz
RT
+ 3πµaz =
2 dt
N
La solution générale
z=
6πµa
RT 1
+ Ce− m t
N 3πµa
prend la valeur constante du premier terme en régime permanent au bout d'un temps de l'ordre de
10−8 seconde environ pour les particules sur lesquelles le mouvement brownien est observable.
On a donc en régime permanent d'agitation
m
6πµa
ou
dx2
RT 1
=
dt
N 3πµa
d'où pour un intervalle de temps τ
x2 − x2 0 =
RT 1
τ
N 3πµa
Le déplacement ∆x d'une particule est donné par
x = x0 + ∆ x
et comme ces déplacements sont indiéremment positifs et négatifs,
∆2x = x2 − x2 0 =
RT 1
τ
N 3πµa
d'où la formule (1).
III. Vérications expérimentales
Un premier essai de vérication expérimentale vient d'être fait par M. T. Svedberg, dont les résultats ne
s'écartent de ceux fournis par la formule (1) que dans le rapport de 1 à 4 environ et s'approchent davantage de
ceux, calculés par la formule de M. Smoluchowski.
Les deux démonstrations nouvelles que j'ai obtenues de la formule de M. Einstein, en suivant pour l'une
d'elles la marche amorcée par M. Smoluchowski, me paraissent écarter dénitivement la modication proposée
par ce dernier.
D'ailleurs, le fait que M. Svedberg ne mesure pas réellement la quantité ∆2x qui gure dans la formule
et l'incertitude sur le diamètre réel des granules ultramicroscopiques qu'il a observées appellent de nouvelles
mesures faites de préférence sur des granules microscopiques de dimensions plus faciles à connaître exactement,
et pour lesquels l'application de la formule de Stokes, qui néglige les eets d'inertie du liquide, est certainement
plus légitime.
Enoncé
On considère une particule micrométrique (de rayon a) positionnée à l'instant initial au centre d'un repère
dans de l'eau de viscosité µ = 10−3 Pa · s, sans vitesse initiale. Cette particule a une masse m et une masse
volumique proche de celle de l'eau ρ ≈ 103 kg · m−3 .
On admet que la projection du principe fondamental de la dynamique suivant la direction x appliqué à la
particule considérée s'écrit
(3) m
dx
d2 x
= −6πµa
+X
2
dt
dt
où X est une force aléatoire : X = 0 et X · f (t) = 0.
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Dans la suite, on notera f (t) la moyenne de f (t).
1) Temps caractéristique
1.a) Donner grâce à (3) l'expression littérale d'un temps caractéristique Tc .
1.b) Evaluer l'ordre de grandeur de Tc .
Par la suite, on se placera toujours à des temps τ Tc .
2) Moyenne de la position
2.a) Déterminer x (τ ). On pourra poser la grandeur y = dx
dt pour s'aider.
2.b) Que penser du résultat ?
3) Moyenne du carré de la position
3.a) Récrire le théorème d'équipartition de l'énergie à une dimension grâce à la constante de Boltzmann
3.b) Déterminer x2 (τ ). On pourra, comme le propose le texte de Langevin, poser la grandeur z =
pour s'aider.
dx2
dt
3.c) On pourrait montrer que x2 (τ ) = 2Dτ , où D est le coecient de diusion de la particule dans
l'eau. Que penser du résultat ?
3.d) Retrouver une expression littérale approchée de x2 (τ ) grâce à l'équation de diusion de la particule.
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