Lois normales, intervalle de fluctuation, estimation

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Séquence 9 – MA02
Lois normales, intervalle
de fluctuation, estimation
Séquence 9
Sommaire
1. Prérequis
2. Lois normales
3. Intervalles de fluctuation
4. Estimation
5. Synthèse de la séquence
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Séquence 9 – MA02
Dans le chapitre 2, après le rappel et l’approfondissement des résultats connus sur les lois binomiales,
le théorème de Moivre-Laplace est énoncé. On introduit alors la loi normale réduite centrée, loi à den-
sité sur ,
 et les autres lois normales.
Dans le chapitre 3, on étudie des intervalles de fluctuation des variables aléatoires
FX
n
nn
=,
fréquences des variables aléatoires binomiales
Xn de paramètres n et p. On étudie quelques exemples
de prise de décision.
Dans le chapitre 4, on aborde l’estimation d’une proportion inconnue à partir de celle d’un échantillon.
Cette séquence pourra vous paraître difficile au premier abord.
Le monde des probabilités et des statistiques est différent des autres par son sujet et ses méthodes.
Il faut vous y plonger et, au fur et à mesure, vous vous familiariserez avec ces notions.
Les premiers exercices vont montreront comment utiliser les résultats du cours et les calculs sont
souvent simples à réaliser.
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Séquence 9 – MA02
1Prérequis
Fonctions
Les lois normales sont des lois à densité, on utilisera donc les résultats des
séquences précédentes sur les fonctions et le calcul intégral.
Probabilité
1. Espérance et écart-type d’une variable
aléatoire
On rappelle que, dans le cas fini, on ala propriété suivante.
Propriété
Soit X une variable aléatoire et deux nombres réels a et b .
On a alors: EE()()
aX b a X b += +
et
σσ ()(). aX b a X +=
Signalons que l’on dit aussi « moyenne » pour désigner l’espérance d’une
variable aléatoire.
2. Loi binomiale
Soit X la variable aléatoire définie par le nombre de succès obtenus quand
on répète n fois de façon indépendante une expérience ayant deux résultats
possibles, réussite de probabilité p et échec de probabilité 1− p . La loi de
probabilité de X est la loi binomiale de paramètres n et p , notée B(). np ;
Définition
A
B
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Séquence 9 – MA02
Propriétés La loi binomiale
t On a
PX k n
kpp
knk
() ()==
−−
1 pour tout entier
k tel que 0≤≤
kn , le
nombre
n
k
 est un coefficient binomial qui se lit «
k parmi n » et qu’on
peut déterminer avec une calculatrice.
t On a E( )
Xnp = et σ () ( ). Xnpp =−1
Représentation graphique d’une loi binomiale
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
n=20 et p=0,7 P(X=k)
k
probabilité
Utiliser une calculatrice ou un tableur.
Avec un tableur
Soit
X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p .
t La syntaxe LOI.BINOMIALE(
k ; n ; p ; FAUX) ou LOI.BINOMIALE( k ; n ; p ; 0)
renvoie la probabilité
PX k ().=
t La syntaxe LOI.BINOMIALE(
k ; n ; p ; VRAI) ou LOI.BINOMIALE( k ; n ; p ; 1)
renvoie la probabilité cumulée
PX k ().≤
Avec une calculatrice TI (84, mais aussi 83 et 82
avec des modifications mineures)
Pour calculer
PX k ()=lorsque
X suit la loi
binomiale B(), np ; on utilise l’instruction
binomFdp( (que l’on obtient par l’instruction
DISTR (touches 2ND VARS) et la touche 0) que
l’on complète ainsi: binomFdp( n, p, k ).
Ces calculatrices donnent aussi les probabilités
PX k ()≤ par l’instruction binomFREPdp(.
Avec une calculatrice Casio
(graph 35+ ou plus)
Pour calculer
PX k ()= lorsque X suit la loi
binomiale B(), np ; on utilise le menu STAT,
on choisit DIST (touche F5) puis BINM (touche
F5), Bpd (touche F1) et Var (touche F2).
On renseigne la boîte de dialogue : Data :
variable; valeur désirée:
k ; Numtrial: n ; pro-
babilité: p .
Avec une calculatrice Casio graph 25+Pro, pour
calculer
PX k (),= il faut taper la formule ou
avoir implémenté un programme.
왘 Exemple
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Séquence 9 – MA02
3. Loi à densité
On dit qu’une fonction f , définie sur un intervalle I de , est une densité de
probabilité sur I lorsque:
t la fonction
f est continue sur I ;
t la fonction
f est à valeurs positives sur I ;
t l’aire sous la courbe de
f est égale à 1 u.a.
Définition
Soit f une fonction, définie sur I, qui est une densité de probabilité sur I.
On dit que la variable aléatoire
X suit la loi de densité f sur l’intervalle I
lorsque, pour tout événement J inclus dans I, la probabilité de l’événement
X (J)∈ est la mesure, en unités d’aire, de l’aire du domaine:
xy x y fx M; ; Jet0 ().
{}
()
∈≤≤
j
Oi
cd
Définition
Propriété
t Pour tout intervalle cd J;
[]
= de I, on a:
Pc X d fx x
c
d
≤≤
()
=∫() .d
t Pour tout réel α de I, on a:
PX 0.
()
=α =
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