Notes de cours L1 - IMJ-PRG

Notes de cours
L1 — MATH120
Herv´ e Le Dret
11 mai 2004

2

Chapitre 1
Rappels sur les nombres complexes
Dans ces notes de cours, on travaillera essentiellement ` a l’aide de nombres
r´ eels, dont les propri´ et´ es alg´ ebriques sont suppos´ ees acquises, mais parfois ´ egale-
ment avec les nombres complexes.
1.1 D´ efinition et premi` eres propri´ et´ es
On adopte une pr´ esentation alg´ ebrique des nombres complexes. Pour cela,
on va munir l’ensemble R2de deux lois de composition internes, respectivement
appel´ ees addition et multiplication, qui sont d´ efinies de la fac¸on suivante.
– Pour tout couple ((x,y),(x0,y0)) de R2×R2, on d´ efinit la somme par
(x,y)+(x0,y0)=(x+x0,y+y0),
– et le produit par
(x,y)×(x0,y0)=(xx0−yy0,xy0+yx0).
L’ensemble R2muni de ces deux lois est appel´ eensemble des nombres com-
plexes, ou encore plan complexe (pour une raison g´ eom´ etrique que l’on d´ etaillera
un peu plus loin et qui correspond ` a l’interpr´ etation qui en est donn´ ee dans l’en-
seignement secondaire), et on le note C.
Par convention, il est commode d’identifier les nombres complexes de la forme
(x,0)avec le nombre r´ eel x, si bien que l’on pose
∀x∈R,(x,0) = x.
En particulier, on notera (1,0) = 1 et (0,0) = 0. On introduit enfin la notation
suivante i= (0,1).
3

4CHAPITRE 1. Rappels sur les nombres complexes
Th´ eor` eme 1 Avec les notations pr´ ec´ edentes, on a
(x,y) = x+iy,
et l’on a i2=−1.
D´ emonstration. En effet, soit z= (x,y)∈C. Alors zpeut encore s’´ ecrire, en uti-
lisant les d´ efinitions des op´ erations internes
z= (x+0,0+y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(0,1)×(y,0) = x+iy.
De plus, i2= (0,1)×(0,1)=(−1,0) = −1. 
Ces notations sont extrˆ emement pratiques car elles simplifient les calculs.
Proposition 1 Les calculs alg´ ebriques ´ el´ ementaires sur les nombres complexes
s’effectuent exactement comme les calculs sur les nombres r´ eels en remplac¸ant i2
par −1.
D´ emonstration. Soit z= (x,y) = x+iy et z0= (x0,y0) = x0+iy0deux nombres
complexes. Consid´ erons le cas de l’addition. On a
z+z0= (x,y)+(x0,y0) = (x+x0,y+y0)=(x+x0) + i(y+y0)
=x+x0+iy+iy0= (x+iy)+(x0+iy0).
De mˆ eme pour le produit
zz0= (x,y)×(x0,y0) = (xx0−yy0,xy0+yx0)
= (xx0−yy0) + i(xy0+yx0)
=xx0+i(xy0+yx0) + i2yy0
= (x+iy)(x0+iy0),
si bien qu’` a partir de maintenant, on peut sans regret abandonner les d´ efinitions
utilisant les couples de r´ eels. 
D´ efinition 1 Soit z =x+iy un nombre complexe. Le r´ eel x s’appelle la partie
r´ eelle de z et le r´ eel y sa partie imaginaire. On les note
x=ℜ(z)et y =ℑ(z).
Remarque 1 On a donc z=ℜ(z) + iℑ(z). Notons bien que la partie r´ eelle et la
partie imaginaire d’un nombre complexe sont toutes les deux des nombres r´ eels.
On peut r´ e´ ecrire les d´ efinitions des op´ erations internes sous la forme suivante
ℜ(z+z0) = ℜ(z) + ℜ(z0)et ℑ(z+z0) = ℑ(z) + ℑ(z0),
ℜ(zz0) = ℜ(z)ℜ(z0)−ℑ(z)ℑ(z0)et ℑ(zz0) = ℜ(z)ℑ(z0) + ℑ(z)ℜ(z0).

1.1. D´ efinition et premi` eres propri´ et´ es 5
Les nombres complexes de la forme iy avec y∈Rsont appel´ es des nombres
imaginaires purs. Le carr´ e d’un nombre imaginaire pur est un r´ eel n´ egatif, (iy)2=
−y2et r´ eciproquement iest une racine carr´ ee de −1 (l’autre ´ etant −i). ` A l’´ epoque
o` u ces nombres ont ´ et´ e invent´ es, ` a la Renaissance, cette propri´ et´ e´ etait jug´ ee telle-
ment choquante que ces nombres ont ´ et´ e qualifi´ es d’«imaginaires », c’est-` a-dire
qu’on ne croyait pas vraiment ` a leur existence. Depuis le temps, on s’est habitu´ e
`
a l’id´ ee...
Notons que les puissances successives du nombre isont de la forme i2=−1,
i3=i2×i=−i,i4= (i2)2= (−1)2=1 et plus g´ en´ eralement i2p= (−1)ppour
les puissances paires et i2p+1= (−1)pipour les puissances impaires.
Notons enfin qu’en physique, et notamment en ´ electricit´ e, la lettre iest r´ eserv´ ee
`
a l’intensit´ e du courant, si bien que les physiciens pr´ ef` erent noter (0,1) = j. Mal-
heureusement, la tradition math´ ematique donne ` a la lettre june toute autre si-
gnification j=−1
2+i√3 2= (−1 2,√3 2). Ce n’est qu’une question de contexte, et
naturellement nous suivrons ici la tradition math´ ematique. 
Th´ eor` eme 2 Les propri´ et´ es alg´ ebriques des op´ erations sur les complexes sont
les mˆ emes que celles des op´ erations sur les r´ eels. En particulier, pour tout z =
x+iy ∈C, on a
−z=−x−iy et si z 6=0,1
z=x−iy x2+y2.
D´ emonstration. Dans cette d´ emonstration, on notera syst´ ematiquement x=ℜ(z),
y=ℑ(z),x0=ℜ(z0), etc.
Il y a toute une liste de propri´ et´ es ` a v´ erifier.
– L’addition est associative
(z+z0) + z00 =(x+x0) + i(y+y0)+x00 +iy00
= (x+x0+x00) + i(y+y0+y00)
= (x+iy) + (x0+x00) + i(y0+y00)
=z+ (z0+z00),
pour tous z,z0,z00 dans C. On n’a donc pas ` a se pr´ eoccuper des parenth` eses
dans une somme de complexes.
– Elle admet un ´ el´ ement neutre, qui n’est autre que (0,0) = 0, car
z+0=x+0+i(y+0) = x+iy =z=0+z,
pour tout z∈C.
– Tout z∈Cadmet un oppos´ e pour l’addition, qui n’est autre que −x−iy,
car z+ (−x−iy) = x−x+i(y−y) = 0= (−x−iy) + z.
On note l’oppos´ e de zpar −z=−x−iy.