TD de mécanique no3 Énergie d`un point matériel - mpsi

Lycée François Arago
Perpignan
M.P.S.I.
2012-2013
TD de mécanique no3
Énergie d’un point matériel en référentiel galiléen
Exercice 1 -
Travail d’une force.
→
On considère un point matériel M (m) pouvant se déplacer le long de l’axe (O, −
ex ) dans le référentiel galiléen R ; il est
−
→
→
soumis à une force −F0 ex (constante) s’il se déplace dans le sens des x croissants et à une force F0 −
ex s’il se déplace
dans le sens des x décroissants.
1 . Déterminer le travail de la force pour aller directement du point A(x = 1) au point B(x = 3) en suivant l’axe
→
(O, −
ex ) .
2 . Déterminer le travail de la force pour aller du point A(x = 1) au point B(x = 3) en passant par le point C(x = 4)
→
tout en restant sur l’axe (O, −
ex ) .
3 . La force est-elle conservative ? Si oui, déterminer l’énergie potentielle associée.
1. Réponse : WA→B,(1) = −2 F0
2. Réponse : WA→B,(2) = −4 F0
3. Comparer les deux résultats précédents et conclure.
Exercice 2 -
Énergie potentielle en coordonnées polaires.
−
→
→
Un point matériel M est soumis à l’action d’une force centrale f = −k −
r
−
→
−
−
−
→
−
→
−
→
avec r = OM et d’une force uniforme f0 = f0 ex . On se place en coordonnées polaires.
Déterminer, à une constante près, l’énergie potentielle totale du point
matériel.
M
→
−
f
→
−
uθ
→
−
ur
θ
O
→
−
f0
x
Figure 1
Déterminer les expressions des travaux élémentaires des deux forces.
Quelle relation existe-t-il entre le travail élémentaire d’une force conservative et l’énergie potentielle associée ?
En déduire l’expression de l’énergie potentielle totale.
1
Réponse : Ep (r, θ) = kr2 − f0 r cos θ + Cte
2
Exercice 3 -
Travail d’une force de frottement.
Un mobile effectue des oscillations rectilignes sinusoïdales entretenues, avec une amplitude X et une fréquence f
constantes. Son abscisse x est donc du type x(t) = X cos(2πf t).
−
→
→
II est soumis à une force de frottement fluide du type F = −h−
v où h est une constante positive.
1 . Exprimer la puissance instantanée développée par la force de frottement.
2 . En déduire l’expression du travail de la force de frottement au cours d’une période du mouvement.
3 . La force de frottement est-elle conservative ?
−
→
1. Réponse : P( F )/R = −4π 2 hf 2 X 2 sin2 (2πf t)
−
→
2. Réponse : WA→B,(Γ) ( F )/R = −2π 2 hf X 2 en notant A et B les positions occupées par le mobile aux instant
tA et tB correspondants à une période du mouvement.
3. Déterminer l’expression
de la force, montrer que l’on peut définir une énergie potentielle
du travail élémentaire
sin(4πf t)
−
→
2
2 2
associée Ep = 2π hf X t −
+ Cte . Conclure quant au caractère conservatif de la force F .
4πf
S. Bénet
1
Exercice 4 -
Glissement sur une sphère.
z
Un petit mobile M de masse m est posé au sommet S d’une sphère de
centre O et de rayon R.
On le déplace très légèrement de cette position d’équilibre instable, il se
met alors à glisser sans frottement le long de la sphère, avant de quitter
celle-ci pour tomber sur le sol.
Au cours de son mouvement en contact avec la sphère, on repère la position
du mobile par l’angle θ(t) formé par le rayon OM , avec l’axe vertical
ascendant (Oz).
→
u−
r
S
→
u−
θ
−
→
g
θ
x
1 . Définir le système, le référentiel d’étude et sa nature. Établir un bilan
des forces.
O
2 . Déterminer l’équation différentielle du mouvement.
3 . En déduire la norme de la vitesse acquise sur la sphère en fonction de θ, m, R et g.
4 . Exprimer la norme de la réaction de la sphère en fonction de m, g et θ.
5 . En déduire la valeur θ0 de l’angle θ pour lequel le contact entre le mobile et la sphère est rompu ainsi que la
vitesse du mobile en ce point.
6 . Déterminer l’équation différentielle du mouvement ultérieur puis l’équation de la trajectoire.
p
3. Réponse : v = 2gR(1 − cos θ) .
−→
4. Réponse : kRN k = −mg(2
− 3 cos θ) .
2
= 48, 2o .
5. Réponse : θ0 = arccos
3
Exercice 5 -
Test de freinage.
Lors d’un test de freinage, une voiture, assimilée à un point matériel
G de masse m = 1300 kg, roule sur une route horizontale et freine
alors que sa vitesse est v0 = 100 km · h−1 . Le temps nécessaire à l’arrêt
complet du véhicule est T = 7 s.
−
→
→
ex est constante. Le réOn suppose que la force de freinage F = F0 −
férentiel lié au sol est supposé galiléen. La position de la voiture est
repérée par son abscisse x(t) mesurée sur l’axe (Ox) du mouvement.
On choisit comme origine des dates t = 0 l’instant du début du freinage,
pour lequel x = 0.
z
−
G, →
v
G, v = 0
x
O
x(t)
Figure 2
1 . Exprimer la force de freinage F0 en fonction des données. Calculer F0 .
2 . Calculer la distance d’arrêt d.
3 . En utilisant le théorème de l’énergie cinétique sous forme intégrale, exprimer la distance d’arrêt d en fonction de
la vitesse initiale v0 , ainsi que de F0 et m. Que se passe-t-il si la vitesse initiale double ?
1. Appliquer le P.F.D., le projeter sur (Ox) afin d’obtenir l’équation différentielle qui régit le mouvement. En
déduire l’expression de la vitesse et traduire le fait qu’au bout de T la voiture est à l’arrêt.
mv0
.
Réponse : F0 =
T
1 F0 T
2. Chercher à obtenir l’équation horaire du mouvement. Réponse : d = T v0 −
2 m
3. Utiliser cette fois-ci le T.E.C. sous forme intégrale entre les instants correspondant au début et à la fin du
mv02
freinage. Réponse : d =
(vérifier que les réponses des questions 2 et 3 sont bien identiques).
2F0
S. Bénet
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Exercice 6 -
Étude de la stabilité d’un équilibre.
Le référentiel terrestre R est supposé galiléen.
Un anneau ponctuel M de masse m est enfilé sur un cercle fixe de centre O et de rayon R placé verticalement dans
le plan (Oxz). Il est susceptible de glisser sans frottement le long de ce guide circulaire et est soumis au champ de
pesanteur terrestre supposé uniforme. La résistance de l’air est négligeable.
−
→
−−→
Une force T = k M A tend à attirer l’anneau M vers le point A. Elle se comporte comme une force de rappel élastique
due à un ressort de raideur k et de longueur à vide nulle, dont l’autre extrémité serait fixée en A.
y
−
→
g
M
θ
A
O
B
x
1 . Représenter les trois forces appliquées en M .
2 . Projeter ces forces dans la base de projection adaptée au mouvement de M .
3 . Étude dynamique : déterminer les positions d’équilibre de l’anneau et préciser leur stabilité.
4 . Étude énergetique : exprimer l’énergie potentielle de l’anneau en fonction de θ.
5 . En déduire les positions d’équilibre de l’anneau. Étudier leur stabilité.
6 . Déterminer la pulsation des petites oscillations par rapport à la position d’équilibre stable.
S. Bénet
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