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PCSI.
M5. Exercices.
Energie d’un point matériel.
M5.1. Energie potentielle et stabilité d'une position d'équilibre.
Une particule P, supposée ponctuelle, de masse m, située en un point A de l'espace, repérée dans le
référentiel galiléen Oxyz par OA = r = rI ( I est un vecteur unitaire suivant OA), est soumise à deux
forces F1 et F2 définies par:
F1 = - K1 OA et F2 = K2 I/r2
où K1et K2 sont deux constantes positives. On néglige les forces de pesanteur et on se place dans
le référentiel galiléen Oxyz.
1) Exprimer la force résultante F que subit P en fonction de r et I. Calculer la position d'équilibre ro
de P.
2) Montrer que F dérive d'une énergie potentielle V(r). La déterminer sachant que pour r= ro,
1
3
V (r o )  K 1 K 22  3
2
Déterminer, à partir de V(r), si l'équilibre pour r = ro est stable, instable ou indifférent, lors d'un
déplacement de P autour de ro:
i) le long de la droite OA
ii) sur la sphère centrée sur O, de rayon ro.
M5.2. Point mobile à l’intérieur d’un cône.
Soit C un cône de sommet O, d’axe de r évolution Oz, confondu avec la verticale ascendante et de
demi-angle au sommet . Dans un système de coordonnées cylindriques (r, , z), C est décrit par
l’équation : r = z tan .
Un point matériel M de masse m repose sans frottement sur la surface interne de C, il est donc
soumis à son poids P = - mg uz et à une action de contact normale à C :
N = - Ncos ur + Nsinuz
avec N > 0
a
M est initialement lancé du point C de coordonnées cylindriques ro = a,  o  0 , z o 
et avec
tan 
une vitesse vo horizontale et tangente à C ( ro  0,  o  , z o  0 ).
g
On pose : o2  et  =  o.
a
1) Exprimer la loi de la dynamique en coordonnées cylindriques. En déduire que, pour une valeur
particulière o de  que l’on exprimera en fonction de , le mouvement de C peut-être circulaire
et uniforme.
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Le mouvement du point M est maintenant quelconque.
2) Etablir que r 2   Cte . Déterminer l’expression de Cte. Interpréter.
3) En exprimant la conservation de l’énergie mécanique de M, établir une équation différentielle ne
contenant que r et sa dérivée par rapport au temps. On notera Epeff la partie de l’énergie
mécanique ne dépendant que de r. Par une méthode graphique portant sur Epeff, déduire de
cette équation que r reste toujours compris entre deux limites r1 et r2.
4) Montrer que deux allures différentes d’évolution de r se présentent selon que  est inférieur ou
supérieur à o.
M5.3. Energie potentielle d'un point dans un référentiel non galiléen.
Un cerceau de rayon R tourne uniformément autour d'un diamètre vertical avec une vitesse
angulaire  =  k. Un anneau de masse m, dont la position est repérée par l'angle  = (Oy',OA),
représenté sur la figure ci-dessous, peut coulisser sans frottement sur le cerceau.
L’angle  = (Ox,Ox’) permet de repérer la rotation du cerceau.
Le repère Ox’y’z’ est tel que : Ox’ soit perpendiculaire au plan du cerceau et Oy’, Oz’ contenus dans
le plan du cerceau.
1) Donner les expressions de l'énergie potentielle de pesanteur, de l'énergie potentielle
"centrifuge" et de l'énergie cinétique dans R' = Ox'y'z'.
2) Déterminer les positions d'équilibre de l'anneau sur le cerceau et étudier leur stabilité.
M5.4. Etude d’un système avec ressort.
On dispose d’un ressort élastique de raideur k, de longueur à vide l o et de masse négligeable. L’une
des extrémités de ce ressort est relié à un point C et l’autre à un anneau de masse m, coulissant sans
frottements sur un axe Ox horizontal dont la distance h au point C peut être réglée à volonté.
1) Que peut-on prévoir concernant le comportement du système pour les cas :
lo < h et lo > h ?
On envisagera une étude graphique de l’énergie potentielle de ce système à évolution
conservative pour répondre à ces questions.
2) Le cas lo = h est un cas limite intéressant correspondant à des oscillations qualifiées
d’anharmoniques, car non sinusoïdales. Ayant réglé la distance OC pour se trouver dans une
telle situation, on abandonne sans vitesse initiale l’anneau à la distance x = a du point O.
Montrer que l’intégrale première de l’énergie cinétique se simplifie en :
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m  dx 
k a 4  x 4 

 
2  dt 
8l o2
après un développement limité à l’ordre le plus bas de l’énergie potentielle.
En déduire que la période d’un tel mouvement est de la forme :
2
1
 lo  m  2
T  8I   
 a  k 
où I est une intégrale que l’on détermine numériquement et valant environ 1,31.
M5.5. Energie cinétique d’une masse sur une tige en rotation.
Soit une tige OX tournant dans le plan horizontal xOy avec un vecteur rotation  vertical. Le
référentiel Ro de repère d’espace (O,i, j, k) est galiléen. Un point matériel M de masse m glisse sans
frottement sur OX. A l’instant initial, il est en X(t=0) = Xo. Le point passe de la position Mo(Xo) à la
position Mo’(2Xo) sur l’axe OX.
1) Calculer l’énergie cinétique relative en Mo’.
2) Calculer le travail de la force de réaction R dans R pour le déplacement considéré. Conclure.
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