M3 - Approche énergétique du mouvement d`un point matériel

Lycée Jean Perrin - Classe de TSI 1 - E. VAN BRACKEL TD de Physique-Chimie
TD
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M3 - Approche énergétique du mouvement d’un point matériel
Application du théorème de l’énergie cinétique
1 Looping
Une petite masse m peut glisser sans frot-
tements sur des tremplins.
1. Sur le tremplin de la figure de droite,
de quelle hauteur hmin doit-on au
moins lâcher la masse sans vitesse
initiale pour qu’elle puisse remonter
toute la pente de droite ?
2. On considère le cas d’un looping. On souhaite déterminer la hauteur minimale h0
min
pour que la masse fasse un tour complet sur la boucle de rayon R
(a) Expliquer qualitativement pourquoi h0
min n’est pas égale à 2R.
(b) Evaluer la vitesse v0atteinte au point le plus bas.
(c) De manière générale, donner la norme v(θ)de la vitesse atteinte au point M en
fonction de v0, R, g et θ.
(d) En appliquant le principe fondamental de la dynamique, calculer la norme de la
réaction normale en fonction de v0et θ.
(e) En déduire la valeur de h0
min .
2 Distance de freinage
Une voiture de masse m = 1500 kg roule à la vitesse de 50 km.h−1. Devant un imprévu, le
conducteur doit freiner et s’arrête après avoir parcouru une distance d = 15 m. On modélise
la force de freinage par une force constante opposée à la vitesse.
1. Calculer le travail de cette force de freinage. En déduire la norme de cette force.
2. Quelle distance faut-il pour s’arrêter si la vitesse initiale est de 70 km.h−1?
3. Commenter la phrase d’un livret d’apprentissage de la conduite : "La distance de
freinage est proportionnelle au carré de la vitesse de la voiture".
3 Approche énergétique d’un pendule simple
Une masse m est attachée à une ficelle de faible masse et de longueur l0qui a été fixée au
point O. On admettra que la ficelle reste tendue, et que la force de tension −→ Test colinéaire
à la ficelle. La position du pendule est repérée par l’angle θ(t). Initialement, le pendule est
immobile avec un angle θ0.
1. Quelles sont les forces agissant sur la masse ?
2. Montrer que l’une des forces ne travaille pas.
3. Evaluer l’énergie potentielle de pesanteur.
4. Donner l’expression de l’énergie cinétique.
5. En déduire une intégrale première du mouvement.
6. Obtenir l’équation du mouvement, comparer à ce qui peut être obtenu à l’aide du
principe fondamental de la dynamique.
7. A l’aide de la courbe d’énergie potentielle, exprimer l’énergie mécanique minimale à
fournir pour obtenir un mouvement de révolution, si on suppose que le fil est remplacé
par une tige rigide, sans masse.
4 Mouvement d’une bille reliée à un ressort
On considère le mouvement d’une bille M
de masse m pouvant coulisser sans frot-
tement sur un cerceau de centre O et de
rayon R disposé dans un plan vertical. La
bille est attachée à un ressort de longueur
à vide l0et de raideur k dont la second
extrémité est fixée en B. Elle ne peut se
déplacer que sur le demi-cercle inférieur.
1. Etablir l’expression de la longueur du ressort en fonction de R et θ.
2. En déduire l’énergie potentielle totale du système. Représenter la courbe et en déduire
les positions d’équilibre éventuelles et leur stabilité.
3. Si l’on écarte faiblement la bille de sa position d’équilibre stable θeet qu’on la lâche
sans vitesse initiale, à quel type de mouvement peut-on s’attendre ?
4. Etablir l’équation différentielle du mouvement.
5. En posant =θ−θe, on écarte la bille d’un angle 01, linéariser l’équation dif-
férentielle. On rappelle que si x1,sin(x) 'xet cos(x) '1
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TD 15. M3 - APPROCHE ÉNERGÉTIQUE DU MOUVEMENT D’UN POINT MATÉRIEL
Equilibre et stabilité d’un point matériel
5 Potentiel de Lennard-Jones
On peut obtenir une expression assez simple de l’énergie potentielle associée à l’influence
d’un atome sur un deuxième atome éloigné d’une distance r :
Ep(r) = A
r12 −B r6
où A et B sont des constantes positives.
1. Tracer l’allure de l’énergie potentielle. Discuter qualitativement de ses limites.
2. Donner la ou les positions d’équilibre ainsi que leur stabilité.
3. Discuter du mouvement possible selon l’énergie mécanique du deuxième atome.
4. Calculer l’expression de la force subie par le deuxième atome. Cette force est-elle
attractive, répulsive ? Faire le lien avec la question précédente.
6 Mouvement d’un anneau sur une piste circulaire
On considère le dispositif ci-contre, où un objet
assimilable à un point matériel M de masse m se
déplace solidairement à une piste formée de deux
parties circulaires de rayon R1et R2, de centre C1
et C2dans un plan vertical. Il n’y a pas de frot-
tements. On repère la position de M par l’angle θ
tel que pour la partie (1) θ∈[−π
2;π]et pour la
partie (2) θ∈[π;5π
2].
1. Exprimer l’énergie potentielle en prenant Ep(θ=π)=0.
2. Tracer l’allure de Ep(θ).
3. Déterminer les positions angulaires d’équilibre et leur stabilité.
4. L’anneau, initialement en A, est lancé à une vitesse v0. A quelle condition sur cette
vitesse l’anneau peut atteindre le point D en θ= 2π?
5. Quelle est alors la vitesse en D ?
2E. VAN BRACKEL