M3 - Approche énergétique du mouvement d`un point matériel

Lycée Jean Perrin - Classe de TSI 1 - E. VAN BRACKEL
TD de Physique-Chimie
TD
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M3 - Approche énergétique du mouvement d’un point matériel
Application du théorème de l’énergie cinétique
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à la ficelle. La position du pendule est repérée par l’angle θ(t). Initialement, le pendule est
immobile avec un angle θ0 .
1. Quelles sont les forces agissant sur la masse ?
Looping
2. Montrer que l’une des forces ne travaille pas.
Une petite masse m peut glisser sans frottements sur des tremplins.
1. Sur le tremplin de la figure de droite,
de quelle hauteur hmin doit-on au
moins lâcher la masse sans vitesse
initiale pour qu’elle puisse remonter
toute la pente de droite ?
3. Evaluer l’énergie potentielle de pesanteur.
4. Donner l’expression de l’énergie cinétique.
5. En déduire une intégrale première du mouvement.
6. Obtenir l’équation du mouvement, comparer à ce qui peut être obtenu à l’aide du
principe fondamental de la dynamique.
7. A l’aide de la courbe d’énergie potentielle, exprimer l’énergie mécanique minimale à
fournir pour obtenir un mouvement de révolution, si on suppose que le fil est remplacé
par une tige rigide, sans masse.
0
2. On considère le cas d’un looping. On souhaite déterminer la hauteur minimale hmin
pour que la masse fasse un tour complet sur la boucle de rayon R
4
0
(a) Expliquer qualitativement pourquoi hmin
n’est pas égale à 2R.
Mouvement d’une bille reliée à un ressort
(b) Evaluer la vitesse v0 atteinte au point le plus bas.
(c) De manière générale, donner la norme v(θ) de la vitesse atteinte au point M en
fonction de v0 , R, g et θ.
On considère le mouvement d’une bille M
de masse m pouvant coulisser sans frottement sur un cerceau de centre O et de
rayon R disposé dans un plan vertical. La
bille est attachée à un ressort de longueur
à vide l0 et de raideur k dont la second
extrémité est fixée en B. Elle ne peut se
déplacer que sur le demi-cercle inférieur.
(d) En appliquant le principe fondamental de la dynamique, calculer la norme de la
réaction normale en fonction de v0 et θ.
0
(e) En déduire la valeur de hmin
.
2
Distance de freinage
Une voiture de masse m = 1500 kg roule à la vitesse de 50 km.h−1 . Devant un imprévu, le
conducteur doit freiner et s’arrête après avoir parcouru une distance d = 15 m. On modélise
la force de freinage par une force constante opposée à la vitesse.
1. Etablir l’expression de la longueur du ressort en fonction de R et θ.
1. Calculer le travail de cette force de freinage. En déduire la norme de cette force.
3
2. Quelle distance faut-il pour s’arrêter si la vitesse initiale est de 70 km.h−1 ?
2. En déduire l’énergie potentielle totale du système. Représenter la courbe et en déduire
les positions d’équilibre éventuelles et leur stabilité.
3. Commenter la phrase d’un livret d’apprentissage de la conduite : "La distance de
freinage est proportionnelle au carré de la vitesse de la voiture".
3. Si l’on écarte faiblement la bille de sa position d’équilibre stable θe et qu’on la lâche
sans vitesse initiale, à quel type de mouvement peut-on s’attendre ?
4. Etablir l’équation différentielle du mouvement.
Approche énergétique d’un pendule simple
5. En posant = θ − θe , on écarte la bille d’un angle 0 1, linéariser l’équation différentielle. On rappelle que si x 1, sin(x) ' x et cos(x) ' 1
Une masse m est attachée à une ficelle de faible masse et de longueur l0 qui a été fixée au
→
−
point O. On admettra que la ficelle reste tendue, et que la force de tension T est colinéaire
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TD 15. M3 - APPROCHE ÉNERGÉTIQUE DU MOUVEMENT D’UN POINT MATÉRIEL
Equilibre et stabilité d’un point matériel
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Potentiel de Lennard-Jones
Mouvement d’un anneau sur une piste circulaire
On considère le dispositif ci-contre, où un objet
assimilable à un point matériel M de masse m se
déplace solidairement à une piste formée de deux
parties circulaires de rayon R1 et R2 , de centre C1
et C2 dans un plan vertical. Il n’y a pas de frottements. On repère la position de M par l’angle θ
π
tel que pour la partie (1) θ ∈ [− ; π] et pour la
2
5π
partie (2) θ ∈ [π;
].
2
On peut obtenir une expression assez simple de l’énergie potentielle associée à l’influence
d’un atome sur un deuxième atome éloigné d’une distance r :
A
B
Ep (r) = 12 − 6
r
r
où A et B sont des constantes positives.
1. Tracer l’allure de l’énergie potentielle. Discuter qualitativement de ses limites.
2. Donner la ou les positions d’équilibre ainsi que leur stabilité.
1. Exprimer l’énergie potentielle en prenant Ep (θ = π) = 0.
3. Discuter du mouvement possible selon l’énergie mécanique du deuxième atome.
2. Tracer l’allure de Ep (θ).
3. Déterminer les positions angulaires d’équilibre et leur stabilité.
4. Calculer l’expression de la force subie par le deuxième atome. Cette force est-elle
attractive, répulsive ? Faire le lien avec la question précédente.
4. L’anneau, initialement en A, est lancé à une vitesse v0 . A quelle condition sur cette
vitesse l’anneau peut atteindre le point D en θ = 2π ?
5. Quelle est alors la vitesse en D ?
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E. VAN BRACKEL